第三章离散小波变换.
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
第三章 离散小波变换
第三章 离散小波变换3.1 尺度与位移的离散化方法减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a t a t a τψψτ1)(,的τ,a 限定在一些离散点上取值。
1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取mm a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。
如果采用对数坐标，则尺度a的离散取值如图3.1所示。
图3.1 尺度与位移离散方法2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。
（1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。
（2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。
3. )(,t a τψ=？当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。
因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。
此时)(,t a τψ可表示为);(2212221,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为()n t t m m n m -=--22)(2,ψψ （3.1）4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为⎰⋅=Rn m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2）DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。
将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：（1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。
（2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和∑∈=Zn m n m nm t Ct f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？上述两个问题可以归结为一个。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000 ，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
离散小波变换
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
第3章小波变换简介
j t
d
da W f (a, b)a,b (t )db a 2 0
1 t b a ,b (t ) ( ) a a
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F ( )
f (t )e
j t
傅立叶变换
F ( )
f (t )e
j t
dt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确 定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
小波变换简介
傅立叶变换
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。 1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲 线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边 缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶 基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频 谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。
1980：Morlet 1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理 学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)。 1986：Y. Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数； 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展。
离散小波变换公式原理
离散小波变换公式原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，简称DWT）是一种在信号与图像处理中常用的变换方法。
它是将信号或图像通过一对分析滤波器和合成滤波器进行卷积运算，得到信号或图像的低频分量和高频分量。
(1) 分解（Analysis）:将长度为N的输入信号x(n)通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)分别卷积得到低频分量和高频分量：L(k) = Sum(h(i) * x(2*k-i))H(k) = Sum(g(i) * x(2*k-i))其中，L(k)表示k时刻的低频分量，H(k)表示k时刻的高频分量。
(2) 上采样（Upsampling）和滤波（Filtering）:将得到的低频分量和高频分量分别进行上采样（插值）和卷积运算，得到长度为2N的信号：LL(k) = Sum(h(i) * L(2k-i))HL(k) = Sum(g(i) * L(2k-i))L(k)=LL(k)H(k)=HL(k)(3) 递归（Recursion）:重复以上过程，将得到的低频分量和高频分量再次进行分解，直到分解到指定的层数。
这个过程可以用一棵二叉树来表示，每个节点对应一个分解层，汇聚到根节点的路径就是一个信号或图像的分解系数序列。
一、滤波器组的选择离散小波变换通过一对滤波器组来进行分解和合成，低通滤波器h(n)用于提取信号或图像的低频成分，高通滤波器g(n)用于提取信号或图像的高频成分。
滤波器组的选择决定了小波变换的性质。
常用的小波滤波器有Daubechies小波、Haar小波、Symlets小波等。
二、多尺度分析1.小波变换具有良好的时间局部性，能够更好地捕捉信号或图像的短时特征。
2.小波变换不仅能够提取信号或图像的低频成分，还能够提取高频细节信息，可以在对信号或图像进行降噪、压缩等处理时发挥较好的作用。
3.小波变换可以进行多尺度分析，对信号或图像的不同频率特征进行精细化处理。
小波变换及离散
小波变换的分类
连续小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的 小波变换。 离散参数小波变换 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散 的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的 小波变换。
Wavelet Analysis and its Applications
连续小波变换
不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间 中心和频率中心的关系
t / 2
(a 1 / 2) 2 0 (a 1)
2
t 2 t
0
/ 2
(a 2) 0 / 2
f (t) C
其中：
-1
(W f )(a, b)a,b (t)
da db 2 a
互为对偶关系
C ( ) ( ) d | |
Wavelet Analysis and its Applications
小波反变换及小波容许条件
设 x(t ), (t ) L ( R) ，记 () 为 (t ) 的傅里叶变换，
小波分析及其应用
第三章 小波变换及 离散实现
华中科技大学 电子与信息工程系 国家防伪工程中心 尤新革 you1231cncn@
Wavelet Analysis and its Applications
本章的主要内容
小波变换的分类及概念 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 小波变换的性质 Mallat算法 Shannon抽样定理 小波包分析 正交小波、半正交小波、双正交小波 半正交小波的正交化
离散小波变换原理
离散小波变换原理
离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）是指在离散时间或空间域上对信号或图像进行的小波变换。
它将信号或图像分解成不同尺度的分量（包括低频分量和高频分量），可用于信号和图像的分析和处理。
离散小波变换可以将信号或图像分解成不同尺度的分量，其中低频分量表示信号或图像的平均振幅，而高频分量表示信号或图像的细节和突变。
离散小波变换的基本原理是，应用一组低通滤波器和高通滤波器覆盖一段时间或空间的图像或信号，分别从低频和高频信号中提取滤波器范围内的信号分量。
离散小波变换的基本步骤：
1）选择一组滤波器：一组小波分解滤波器（具有高斯小波和交错小波两种）和一组小波重构滤波器（具有巴特沃斯小波和相关小波两种）。
2）应用高斯小波和交错小波滤波器将源图像进行小波分解，这时生成低频和高频两个图像分量。
小波分解可以反复进行，每次分解后会得到一个新的高频图像。
3）使用巴特沃斯小波和相关小波滤波器对低频和高频分量进行小波重构，生成新的低频和高频图像。
4）将原始图像与新的低频和高频图像进行比较，计算出两者之间的差值。
若差值较小，则说明小波变换的效果较好。
离散小波变换的优点：
1）离散小波变换可以分解并重构信号或图像，提取出信号或图
像中包含的振幅和频率信息，方便信号或图像处理；
2）离散小波变换的优势在于，它可以提取出信号或图像中的低频和高频分量，可以更准确地分析信号或图像的低频和高频组成。
因此，离散小波变换可以对信号或图像进行精确的分析和处理。
3）离散小波变换的另一个优势在于，它可以有效地削减信号或图像中的噪声，使信号或图像看起来更清晰、有序。
离散小波变换 python
离散小波变换 python离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号处理技术，广泛应用于图像处理、数据压缩、噪声去除等领域。
本文将介绍离散小波变换的原理和Python实现方法。
一、离散小波变换的原理离散小波变换是一种多分辨率分析方法，它将信号分解成不同尺度的小波系数。
在分解过程中，信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数和细节系数。
重复进行这一过程，直到达到预设的分解层数。
离散小波变换的主要步骤如下：1. 初始化：将输入信号进行规范化处理，确定小波基函数和分解层数。
2. 分解：通过卷积运算，将输入信号分解为近似系数和细节系数。
3. 重构：根据分解得到的近似系数和细节系数，通过卷积运算进行重构，得到重构后的信号。
离散小波变换的优点在于能够提取信号的时频特征，并且能够进行多分辨率分析。
同时，离散小波变换还具有良好的压缩性能，能够将冗余信息去除，实现信号的高效编码和压缩。
二、离散小波变换的Python实现Python提供了多个库和工具包，可以方便地进行离散小波变换的实现。
其中，PyWavelets是一个常用的库，提供了丰富的小波变换函数和工具。
以下是使用PyWavelets库进行离散小波变换的示例代码：```pythonimport pywtimport numpy as np# 定义输入信号signal = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])# 选择小波基函数和分解层数wavelet = 'db4'level = 2# 执行离散小波变换coeffs = pywt.wavedec(signal, wavelet, level=level)# 提取近似系数和细节系数approximation = coeffs[0]details = coeffs[1:]# 打印结果print("Approximation:", approximation)for i, detail in enumerate(details):print("Detail coefficients level", i+1, ":", detail)```在上述代码中，我们首先导入了pywt库，并定义了一个输入信号signal。
第三章 离散小波变换与框架
可得： F ( F F ) 1 F
~
(式3-20)
则定理中 (式3-18b)、 (式3-18c)、 (式3-18d)既可得证。
由(式3-13)： F c c j j
jJ
令：c Ff , 即c j f , j , 则上式变为：
j
Id R
1
R k j
k 0
j 2 2 k ~ j (F F ) j R j A B I d R A B k 0
则： f
~ f , j j
jJ
(式3-29)
2 2 k f , j R k j R (F F ) f A B jJ A B k 0 k 0
2 jJ
(式3-14)
(式3-10)可写成：
Af , f F Ff , f Bf , f
令Id为H到H的单位算子，即： Idf=f，上式可写成：
AI d F F BI d
(式3-15)
F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为 (F*F)-1它必满足：
Tf (t ) B f (t )
1 2
2 2
即： f (t ), j ,k (t ) B f (t )
2 j , kZ
2
(式3-7)
2
其次．由反变换是连续的，可得：
2 1 2 A f (t ) T Tf (t ) Tf (t ) 即： A j , kZ
f (t ),
jJ
若A=B=1,
f , A f 则 为 H 的正交基，则有：
3.4离散小波变换
A f
2
≤ ∑ Wf (2 j , b) ≤ B f
2 j∈Z
2
, f ∈ L2 ( R ) 。
j 这是因为二进小波变换 W f 2 , b 的傅立叶变换
(
)
⎡ 1 ⎛ t ⎞⎤ ⎡W f ( 2 , b ) ⎤ = ⎡ f t ⎤ ( ) ⎦ ⎢ 2 j ψ ⎜ 2 j ⎟⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ， 1 j j = F ( ω )i j i 2 Ψ ( 2 ω ) 2
第 3 章 小波变换
3.4 离散小波变换（DWT, discrete wavelet transform）
由小波变换的反演公式
1 f (t ) = Cψ
+∞ +∞
∫
0
1 W f (a, b)ψ a ,b (t )dbda 2 ∫ a −∞
可知，信号 f (t ) 可以由它的小波变换 W f ( a, b) 精确重建。或者说，函 数是按“基”
2
Wk1 f + k2 g ( s, b ) = k1W f ( s, b ) + k 2Wg ( s, b ) ，
这里 k1 , k2 为任意常数。 2） 平移性 设 f (t ) ∈ L2 ( R ) ，则
W f ( t − t0 ) ( s , b ) = W f ( t ) ( s , b − t 0 ) 。
−j ψ j ,k ( t ) = a0 2ψ ( a0 t − k ), −j
j, k ∈ Z ，
若对于任何 f (t ) ∈ L ( R) ，有
2
A f
where
2
≤
t =−∞
∑
+∞
f ,ψ j , k
离散小波变换原理
离散小波变换原理介绍离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种在信号处理领域广泛应用的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而实现对信号的分析和处理。
本文将深入探讨离散小波变换的原理和应用。
离散小波变换的基本原理离散小波变换的基本原理是利用小波函数对信号进行分解和重构。
小波函数是一种能够在时间和频率上都有良好局部化特性的函数。
通过对信号进行多级的分解和重构，可以获得不同频率范围的子信号，从而实现对信号的频域分析。
离散小波变换的过程可以概括为以下几个步骤： 1. 将原始信号分解成低频和高频部分，其中低频部分包含了信号的整体趋势，高频部分包含了信号的细节信息。
2. 对每个分解后的低频信号进行进一步的分解，重复步骤1，直到达到设定的分解级数。
3. 根据需要，可以选择保留特定的低频和高频系数，从而实现对信号的压缩和去噪。
离散小波变换的具体实现离散小波变换可以通过滤波器组实现。
在每一级的分解中，需要使用一对低通滤波器和高通滤波器，分别对低频和高频信号进行滤波和下采样。
具体步骤如下： 1. 设定好分解级数和滤波器组，常用的包括Daubechies、Symlet、Coiflet等。
2. 将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器，得到低频和高频的分量。
3. 对低频分量进行下采样，得到一级分解的低频信号。
4. 重复步骤2和3，对每一级分解的低频信号进行进一步的分解，直到达到设定的分解级数。
5. 根据需要，可以选择保留特定的低频和高频系数，从而实现对信号的压缩和去噪。
6. 对保留的低频和高频系数进行逆变换，重构出原始信号。
离散小波变换的应用离散小波变换在信号处理领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 信号压缩离散小波变换可以实现对信号的压缩，通过选择保留的低频和高频系数的数量，可以控制压缩比例。
由于小波函数的局部化特性，相对于傅里叶变换等方法，离散小波变换可以更好地保留信号的细节信息。
离散小波变换与框架ppt
(F F )1 f , F F (F F )1 f (F F )1 f , f
利用式3-16,有:
B1 f , f , (F F )1 f , f A1 f , f
将以上两式合并,有:
B1 f 2 f ,~j 2 A1 f 2
(式3-19)
jJ
上式表明, ~j jJ 就是H空间得一个框架。
2 A
(FF) f B
Rf N 1
(将R表达式代入)
f N 1
2 (F F )( f A B
f N 1)
最后得到迭代公式
f N
f N 1
2 A B
[
jJ
f , j
f N 1, j
] j
f0
2 (FF) f A B
2 A B
jJ
f , j
j
(式3-30) (式3-31)
三、小波框架(本节定理证明参见《小波十讲》) 现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)得问题
令：c Ff ,即c j f , j ,则上式变为：
F Ff f , j j jJ
f (F F )1 f , j j f , j (F F )1 j
jJ
jJ
同理:
f f , j ~j jJ
f f ,~j j jJ
(式3-21) (式3-22)
以上两式就就是 f 得重构公式,由<f, φj >重构 f 需要求出框架
c j0 ,k0 f (t), j0 ,k0 (t) f (t) j0 ,k0 (t)dt
c j,k~j,k (t) j0,k0 (t)dt
R
c j,k
~j,k (t) j0,k0 (t)dt
离散小波变换与正交小波
例 5.3 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0
(t) 1 1 t , 0 t 2
0,
其他
从几何上看， (t) 显然是一个基本小波
易知 (t) s(t) s(t 2)
t, 0 t 1 这里 s(t) 2 t, 1 t 2
0, 其他
是个帐篷函数
s()
s(t)eitdt
1teit dt
2 (2 t)eitdt
0
1
ei
i
1 ei
(i)2
ei
i
ei2 ei
(i)2
1 ei
i
2
ˆ () sˆ() e2i sˆ() (1 e2i )(1 ei )2 i
构成了子空间 S { f (t) L2(R) | fˆ() 0, }
的一个标准正交基
令S2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m}，则 S2m
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
正交小波
且对任意
其中
cj,k
f (t) cj,k j,k (t)
j,k
正交小波级数分解
f (t), j,k (t) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
称为 f 的小波系数
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ () 的窗口半径为 ，中心为 0，则
1
t0= || ||2
R t | (t) |2dt ，
= 1 0 || ˆ ||2
|ˆ () |2d
R
t= [ ] ， 1
1
2
|| || 2
ˆ (0) = R (t)dt =0。“母”指的是小波变换中用到的基函数
都是从它生成的。即母小波是生成其它窗函数的样本。
定义 3.2 设 ψ(t)是一个小波函数。对它进行伸缩和平移变 换得
a,b (t)
1 (t b)，a 0，b R
|a| a
其中 a 为伸缩因子（尺度因子，scale），b 为平移因子。称 a,b(t) 为依赖于参数 a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取 值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t) }为连续小波基函数。
对 a 的每个值重复上述过程。对每个 a 的计算都 得到时间—尺度平面上对应一行的点的变换值。当对所 有需要的 a 进行完毕时，我们就得到了信号的 CWT 在 各种尺度、各个位置上的小波系数。
通过平移小波，我们得到了信号的时域局部化，而 通过改变 a 的值，我们得到了信号的频域局部化。
如果该信号有一个对应于当前尺度因子 a 的频率 成分，则在该频率成分出现的地方，小波和信号的内积 （对应时间—尺度平面上的点的 CWT）有一个较大的 值。如果该信号没有一个对应于当前尺度因子 a 的频 率成分，则小波和信号的内积（对应时间—尺度因子平 面上的点的 CWT）有一个较小或为 0 的值。
幸运的是，在实际情形中，高频成分（对应于小尺度因 子，相当于大比例尺）持续时间不长，它们往往以短时突变 的形式出现。而低频成分（对应于大尺度因子，相当于小比 例尺）往往要持续很长时间。
《离散小波变换》课件
3 Symlets小波
4 Coiflets小波
对称小波基函数，适用于处理对称性较强 的信号，具有快速计算、紧凑型等特点。
小波基函数的一种变体，可以实现任意精 度的小波变换，适用于信号去噪、图像压 缩等领域。
DWT有哪些实用应用？
信号去噪
从功率谱角度出发，去除信号 中的高频成分，使信号更加纯 净，信噪比更高。
图像压缩
通过离散小波变换将图像分解 成低频和高频部分，压缩高频 部分，保留低频部分，实现图 像的无损和有损压缩。
特征提取
利用离散小波变换可以有效地 抽取信号和图像的主要特征， 包括边缘、纹理、轮廓等，为 后续的分类和识别提供基础。
DWT的优缺点和发展趋势是什么？
优点
离散小波变换具有多分辨 率分析、极致压缩、数据 局部性和算法可并行等优 点，可用于信号、图像、 视频及音频处理。
缺点
离散小波变换对于信号或 图像的边缘部分处理不够 灵敏，易受噪声干扰，且 算法具有一定的复杂性。
发展趋势
离散小波变换仍然具有许 多未被挖掘的应用和研究 方向，基于深度学习的小 波变换和基于量子计算的 小波变换也在发展中。
3
实际应用
不同样本数据的特点和形态不同，需要选择适当的小波基函
分解算法
将原始信号分解为高频和低 频两个分量，然后对低频分 量进行进一步分解，一直到 分解到最后一层。
重构算法
将分解得到的低频和高频分 量进行重构，得到逼近信号 和细节信号，并进行逆变换， 得到原始信号。
过滤器组
用于计算离散小波基函数的 滤波器和尺度参数，确定每 一级的分解和重构系数。
常见小波函数有哪些？
1 Haar小波
2 Daubechies小波
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第三章离散小波变换3.1尺度与位移的离散化方法减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数 '一些离散点上取值。
1.尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幕级数进行离散化，即取，一般取 ）。
如果采用对数坐标，则尺度'的离]234 5€ J ■ ■ ■k- ] ■■v■Prit ■1J■i r图3.1尺度与位移离散方法（1）通常对「进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。
（2）要求采样间隔「满足’’… 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率 通带的2倍。
3.：' = ？当 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图 2.2），可见采样 频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。
因此，如果尺度：■时—的TrE T™ T （ f l间隔为•，则在尺度为-时，间隔可取 。
此时 可表示为为简化起见，往往把’轴用’归一化，这样上式就变为叫厂畸（皿为整数，叫士 散取值如图3.1所示。
2. 位移的离散化：当1时，'om, w e Z%山"2 W"（3.1）4.任意函数的离散小波变换为H 心（3.2）DWT与CWT不同，在尺度一位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。
将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：（1）离散小波变换’一' *"是否完全表征函数的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数。
（2）是否任意函数都可以表示为以为基本单元川2工的加权和？如果可以，系数’ 如何求？上述两个问题可以归结为一个。
假设条件（1）满足，可合理的选择，并对进行适当的离散（即适当的选择•’），那么一定存在与小波序列对应的序列，使得问题（1）的重建简单地表示为A0 = £也2“（3.3）称为的对偶，它可以由一个基本小波■•通过位移和伸缩取得：由上式，若存在'''，则有故问题（2）也成立，其中’由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1）,该问题的数学语 言描述如下：若小波系数'表征 •的全部信息，则应有当 时，v>=<£山“ >；rjj./re Z或当.时,当和很接近时， 和’’也必然很接近。
用范数的概II 「f\\刖仙钏八亡3">|念来描述，即当为一个很小的数时，也必然为一个很小的数，用数学公式来描述：啊咅矩R*也即£|< 5唤寸“|厅（ 3.4a ）■LIT也即若要小波系数稳定的重建，则必须有:血膳£和U 仲心很接近时，函数£和石也 很接近，即川舛百乞卜5" '（3.4b ）把（3.4a ）和（3.4b ）合到一起。
我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变 换对所有.必须满足下述条件：满足式（3.4c ）的离散函数序列"：在数学上称为框架3.2小波框架与离散小波变换的逆变换3.2.1小波框架（1）小波框架的定义当由基本小波• J 经伸缩和位移引出的函数族具有下述性质时:if x （n}便称构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为（2）小波框架的性质1）满足小波框架条件的，其基本小波!必定满足容许性条件。
当序列■ 1州/『匹k g 川坤牟UtuFI(3.4c )(3.5)(3.7)但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔兀及尺度基数巧下都满足小波框架的条件。
2）小波函数的对偶函数；：|也构成一个框架，其框架的上、下界是框架上、下界的倒数：(3.8)3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。
4）离散小波变换仍然具有冗余度, 3.2.2离散小波变换的逆变换与重建核问题1.离散小波变换的逆变换如离散小波序列. ，构成一个框架，其上、下界分别为和•，则当■'时（紧框架），由框架概念可知离散小波变换的逆变换为A0 =片空* W川”矿川⑴尸匚工"CM怜上（f）」仁」（3.9）当 '，而：，比较接近时，作为一阶逼近，可取〜2 冲皿（3.10）则重建公式近似为g ■工c j^（i）>r 眄<扃幻*血（0J""以（3.11）逼近误差的范数为心卜制"卜黑卜由上式可见，’■与愈接近，逼近误差就愈小为了保证能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在：轴上的采样间隔提出更高要求：’不一定等于2, 也不一定等于1以便于 使 和 接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔愈小。
离散栅格愈接近于覆盖整个说一匸半平面，&山就愈接近于1.关于•：与. ，以及| -间的关系的部分结论如下：如’ 是一个框架，则框架的上界 、下界门满足下面的不斗」一厂也尤血\「」” " (3.13)举例：将Marr 小波离散化为小波框架。
Marr 小波是常用的一种连续小波形式。
若将 Marr 小波的尺度及位移分别离散 化为= % 险（7「— J^r ）则可证明， 「构成了一个-'1空间的小波框架，其框架的上界、下界止同、之间的关系如表3.1表示。
表3.1 Marr 小波框架上、下界同 和，之间的关系0.25 13.091 14.183 1.083(3.12)特别对紧框架有:0.50 6.546 7.092 1.083 22 0.75 4.364 4.728 1.083 2 1.00 3.223 3.596 1.161 2 1.25 2.001 3.454 1.726 2 1.50 0.325 4.221 12.984 4i0.25 27.273 27.278 1.00020.50 13.673 13.639 1.0002 4i 1.00 6.768 6.870 1.015 4i 1.50 2.609 6.483 2.485 7 L0.50 20.457 20.457 1.0000*1.00 10.178 10.279 1.010*1.50 4.629 9.009 1.947k0.50 27.276 27.276 1.0000 2亍1.00 13.586 13.690 1.007 11由表3.1可知：1 ）当斗■ 2时，取也T 弋0,15;州广后时，取* - 1;州| - 乂时，取’ 或时，取均可使「•，可近似为紧框架。
此时采用重建公式（3.9）可较精确地重构原函数。
2）'一定时，-I 的值随增大而增大。
3）给定一个’值，只要足够小，总可以得到一个近似紧的小波框架。
4），: 时，| ,不是紧框架。
2.重建核公式（1）正交性：只有当沁时，框架 •’变为正交基，此时经框架变换 后的信息无任何冗余。
但在其他情况下，框架并不正交，具有一定的相关性。
因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。
（2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性： 将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下:（3.14）(3.15b )1.50 6.594 11.590 1.758Aj-#其中WT f {j.k}=「r(r)(3.15a )则将式（3.14）代入式（3.15b ）得« j I=+工工［呵仃*%』）呦二 £ 兀 2 I 枕（几心;M ）H<“ J； Ail A八（3.16）其中分析说明:（1与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点 ’处小波变换之值与栅格上其他 各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程，称 为重建核，由小波框架本身决定。
（2并不是相平面上的任意离散函数’’都可看作是某一函数的离散小波变换, 只有它们之间满足（3.16）时才可以被看作为某一函数的离散小波变换序列。
（3无论将Marr 小波如何离散，都不能使’丨，也即它不可能构成厂''空间 的正交基。
（Morlet 小波和DOG 也是如此）3.3二进小波变换对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的' ， ，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为 二进小波，表示为二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进 行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，故二进小波具有时移共变(3.17)性，在奇异性检测、图像处理方面十分有用。
在讨论二进小波变换及逆变换公式时，我们仍借用离散小波框架理论对其进行分析。
3.3.1二进小波变换及其逆变换设小波函数为，其傅里叶变换为'•，若存在二常数0 u八呂甘u丈，使得池耳工＜B“（3.19）此时式（3.18）定义的二进小波才是有意义的二进小波，即其逆变换存在。
称式（3.19）为二进小波的稳定性条件；若，则称最稳定条件。
若定义函数的二进小波变换系数为“才I 2 丿（3.20）由卷积定理，设，的傅里叶变换为「’：，则___ tWT^（r）- Fg）①芮宀屮卩怙丨因此，稳定性条件（3.19）等价于对任意…都有4df辽1%河诃彳心（3.21）式（3.21）说明：1）二进小波构成了' 的一个框架。
2）二进小波的小波变换公式（式（3.20））及其逆变换公式存在。
二进小波变换的重建公式为(3.22)其中， 为’’的对偶框架，其上、下界分别为■''■同离散小波框架相似，当时,J ⑴二丄巴」（0亠片■（ 3.23）当 •时，的一阶近似为2小 H（ 3.24）（2）二进小波变换时冗余的由框架理论可知，当不满足 几-「7是，框架是冗余的，也即二进变换系数之间 具有一定的相关性，它们之间的关系满足重建核方程。
紧框架情况下的重建核方程 如下：紧框架（）时，由（3.22）和（3.23）可知，重建公式为当 接近于1时，其重构误差减小。
当 更精确的解。
采用高阶近似或递推的方法就可求得3.3.2二进小波变换（1）与离散小波相同，二进小波也一定是一个允许小波，且有特别是，当时,.41112 百［亦 v M2 山1w(3.25)A In 1严心宀⑷血（3.26）此即为二进小波变换紧框架下的重建核方程。
说明：由重建核方程可知，并不是任意函数序列.'都可以作为某一函 数的二进小波变换，而只有当它们满足重建核方程时，才可以看作是某一函数的 二进小波变换。
（3）二进小波变换具有平移不变性（时域平移不变性），即若设•的二进小波变换为f ， 的二进小波变换为，则有由于KT k (r)=(0=2 吓 fg•* -f J it当尺度为、，平移为’时，小波变换系数为di¥丄［孚叫（叫川皿审f r ，-1D j丁刊i/f石咗叫肆di tk其中—瓦5讥;和 三iV昇(3.27)di证明略（习题）表3.1 Marr小波框架上、下界同和' 之间的关系% A r A H/A 20.25 13.091 14.183 1.083 20.50 6.546 7.092 1.083 20.75 4.364 4.728 1.083 2 1.00 3.223 3.596 1.161 2 1.25 2.001 3.454 1.726 2 1.50 0.325 4.221 12.9840.25 27.273 27.278 1.0002 410.50 13.673 13.639 1.0002 Ji 1.00 6.768 6.870 1.015 4i 1.50 2.609 6.483 2.485 2、0.50 20.457 20.457 1.00002' 1.00 10.178 10.279 1.010 * 1.50 4.629 9.009 1.9470.50 27.276 27.276 1.0000 3* 1.00 13.586 13.690 1.007 11.50 6.594 11.590 1.758。