四色问题又称四色猜想
四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”（右图）这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。
如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
四色定理
解决历程
1.猜想的诞生 2.问题的提出
3.问题的证明
猜想的诞生
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来 的。德· 摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四 色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯· 格思里来到一家科研单位搞地图 着色工作时，发现了一种有趣的现象“看来每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的 国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟 弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作 没有进展。 1852年10月23日他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德· 摩尔根。摩尔根 也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。汉 密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止问题也没有能 够解决。
如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立只要
证明不存在一张正规五色地图就足够了。
问题的证明
肯普是用归谬法来证明的。大意是如果有一张正规的五色地图就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”。 如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个。就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的。这样一 来就不会有极小五色地图的国数也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是
缓慢的进展
当时由大数学家黎曼，康托尔，庞加莱等创立的拓扑学之发展可谓一日千里后来竟然盖过大数学家 高斯宠爱的数论成为雍荣华贵的数学女王。四色问题就是属于拓扑学范畴的一个大问题。拓扑学不 仅引进了全新的研究方式，对数学家来说他也是一场革命。回顾拓扑学的的历史就可以说明为什么 四色问题对于20世纪数学来说是重要的。通俗的说连续变换就是你可以捏，拉一个东西但不能将其 扯破也不能把原先不在一起的两个点黏在一起。比如26个大写英文字母一些拓扑学家就认为可将其 分为3类。
四色定理算法
四色定理算法四色定理（four color map theorem）是一个著名的数学定理[1]，即对任意的（平面上的）地图染色，要求相邻的国家颜色不同，四种颜色即可完成着色。
南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出“四色问题”或“四色猜想”。
证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但是四色定理证明持续了很长时间。
四色定理不是地图学的定理，四色定理是第一个由计算机证明的数学定理。
1976年，哈肯及其学生在伊利诺伊大学（即现在UIUC）的IBM360电脑上编程，经过电脑1200小时的验证，他们终于在6月证明四色定理。
1976年6月22日，哈肯和阿佩尔在于多伦多大学召开的美国数学学会（A.M.S.）夏季会议公布他们的结果。
不久，伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”（FOUR COLORS SUFFICE）的一句话，以庆祝四色猜想得到解决。
1977年，哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》（Every planar map is four colorable）的论文，分成上下两部分，发表在《伊利诺伊数学杂志》（Illinois Journal of Mathematics）上[2][3].这是现在伊利诺伊大学大学厄巴纳香槟分校数学系主楼（离我们CyberGIS办公楼大约2分钟步行距离）。
我和同事曾在午饭后参观过UIUC数学楼，学术氛围非常浓厚。
四色定理被证明后，经历了十几年争议、修正和改进的过程。
1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请，发表了1篇清晰易懂的证明总结文章，1989年的最终的定稿超过400页（貌似图论中的经典定理证明都比较长）。
四色定理不是地图学定理，但它是地图学的经典问题。
地图设计的专著中对四色定理描述很少。
四色定理在地图中的应用其实没有想象的那么广，其实原因比较多，第一个是地图着色中可能会有飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家（例如美国的阿拉斯加州），而地图着色时仍需要这两个区域涂上同样颜色。
四色定理
四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。“是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。1976年，数学家凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到了一个完全的证明，四色问题也终于成为了四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。
四色猜想四色猜想四色定理
四色猜想-四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色问题
四色问题
英国人格思里于1852年提出四色问题(four colour problem，亦称四色猜想），即在为一平面或一球面的地图着色时，假定每一个国家在地图上是一个连通域，并且有相邻边界线的两个国家必须用不同的颜色，问是否只要四种颜色就可完成着色。
1878年英国数学家凯莱重新提出这问题，引起人们关注。
次年，英国数学家肯普提出用可约构形证明四色问题，虽然他的证明过程有漏洞，但为该问题的解决指出方向。
1890年英国人希伍德沿着这方向证明了任何地图只用五种颜色着色便够了，取得初步进展。
1913年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。
1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色，推进了四色问题的研究。
70年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集，因为用它可以通过数学归纳法证明四色问题。
1976年美国数学家哈肯和阿佩尔花了1200多小时的电子计算器工作时间，找到一个由1936个可约构形所组成的不可免完备集，因而在美国数学会通报上宣称证明了四色猜想。
后来他们又将组成不可免完备集的可约构形减至1834个。
四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑论、有限射影几何和计算器编码程序设计等理论的发展起了推动作用。
彻底解决四色问题的数学故事
本人2004年夏天刚接触到“拓扑学”，试着用“拓扑学”的方法去分析“四色问题”，只化半小时左右时间就证明了“四色问题”。我写的《关于“四色问题”的证明》（以下简称《证明》，可在电脑中文搜索栏打入“四色问题”或作者姓名“焦永溢”查看）2004年底在许多数学网站上刊登出来后，看了的人很多认为非常正确；但也有一部分不明白的人认为证明了“相互间有连线的点不多于四个”并不是证明了“四色问题”，他们认为四点相互间有连线只是平面图上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个点周围五个点的图形并没有四个点之间相互有连线却也要四种颜色。可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理概括讲就是“三点必闭，四点必围，五点必断”，并没有说一定要四点相互间有连线才需四色，证明“四色问题”关键在于“五色必断”。《证明》中分析了第五点E落在封闭图形ABC以内及以外的情况，也提到了第五点若落在连线上必定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其实一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点又被小的封闭图形所包围。下面我再从第五点开始，接着第六点、第七点、第八点……直到无穷多点的情况下证明“四色永远足够”。
在这里我还要肯定地说：以前有人用“穷举法”借助电子计算机所谓的证明肯定是不完全的，图形的变化是无穷的，用成千上万的个例是根本无法去“穷举”完无穷数的。就象“七桥问题”可以用“穷举法”证明，可是变成“八桥、九桥、十桥……无数桥的问题”，难道也能用电子计算机去一一证明吗？
当第五点放在任一小三角形中间，显而易见这点只能与周围的三个点有连线（如图1中E点），并且又把小三角形分隔成三个更小的三角形，这样只要第六点、第七点……一直到任意多点都落在三角形中间，每一点都只能与包围它的三点有连线，所以无括以上更小更更小的连线）上时（如图2中E点所示），E点成了三角形ABD与三角形ACD公共边AD中间的点，这样实际上形成了ABDE及ACDE两个四边形，而最大平面图中是不存在多边形的。若E点与B点有连线，A点与D点从右边仍有连线，那么E点又变成了三角形ABD中间的点；若E点与C点有连线，A点与D点从左边有连线，那么E点又变成了三角形ACD中间的点；若E点与B点及C点都有连线，那么A点与D点的连线必被E点隔断，这就是《证明》中的“五点必断”，再看看这时整个图变成了E点被三角形ABC所包围取代了D点原来的地位，而D点反过来被三角形EBC所包围。接下来第六点、第七点……一直到任何多点都可落在任何一条公共边上，最后都会变成与上面的几种情况一样，形成大三角形里面包含小三角形，小三角形包含更小三角形……这样可以一级级的无限延续下去。
《有趣的数学文化》一年级PPT
1. 四色定理四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
1976年春季借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。
四色定理的本质就是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域。
2. 芝诺悖论阿基里斯追赶乌龟乌龟在阿基里斯前方1000m处，假设阿基里斯的速度为10m/s，乌龟的速度是1m/s。
阿基里斯追乌龟跑1000米用100s，此时乌龟又跑了100米阿基里斯继续追乌龟跑10s，此时乌龟又跑了10米阿基里斯继续追乌龟跑1s，此时乌龟又跑了1米阿基里斯继续追乌龟跑0.1s，此时乌龟又跑了0.1米阿基里斯继续追乌龟跑0.01s，此时乌龟又跑了0.01米额额，额，，阿基里斯永远追不上乌龟，不对呀悖论解释当阿基里斯无限接近于乌龟之时，时间也停滞了。
所以在有限的时间里，阿基里斯永远无法追上乌龟。
从这个意义上讲，阿基里斯悖论倒不是悖论了，只是有个隐含件没有被大家所发现——有限时间内。
3. 希尔伯特旅馆某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。
这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，…)，称为可数无穷集。
有一天开大会，所有房间都住满了。
后来来了一位客人，坚持要住房间。
旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。
正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。
于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。
最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。
第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。
选修课之四色问题课件
在学校或企业的时间表安排中，为避免同一时间段内的冲突，可以 将时间段视为节点，利用四色定理进行着色，从而合理安排各项活 动。
交通规划
在交通规划中，可以利用四色定理对交通网络进行划分和着色，以便 更有效地组织交通流，降低交通拥堵的风险。
05
课程总结与回顾
课程知识点总结
四色问题的提出与背景
四色学史上的一个著名 难题，其解决过程推动了数学理 论和方法的发展，尤其是图论和
组合数学领域。
实际应用
四色问题的解决方案在地图制作 、电路板设计、时间表安排等方 面有着广泛的应用，提高了这些
领域的效率和优化程度。
计算机科学价值
在证明四色问题的过程中，数学 家们开创了使用计算机辅助证明 数学定理的先河，对计算机科学
• 证明难点：四色问题的证明是数学史上的一个著名难题，难点在于如何找到一 种普遍适用的着色方法，以及如何严格证明该方法的正确性。
• 早期尝试：早期的研究者通过大量的实验和观察，提出了一些猜想和局部证明 ，但均未能给出完整的解决方案。
• 现代证明：借助计算机技术和高级数学理论，Appel和Haken在1976年提出 了一种基于计算机辅助的证明方法，被公认为是四色问题的首个完整证明。但 此方法涉及大量计算和复杂的数学理论，难以被一般人所理解。
相关定理与推论
介绍与四色问题相关的定理和推论， 如五色定理、六色定理等，拓展学生 的视野。
课程学习过程中的回顾与反思
1 2 3
学习方法的探索
回顾在学习过程中尝试的不同方法，如阅读教材 、听讲座、与同学讨论等，分析各种方法的优缺 点。
遇到的挑战与解决策略
反思在学习过程中遇到的挑战，如概念理解困难 、证明过程复杂等，并分享解决这些挑战的策略 。
四色猜想
COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
拓展了人们对“证明”的理解
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯
和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从
根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学
家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
•
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少
要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
• 但德· 摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数
学家,其中包括著名数学家哈密顿。
• 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后， 认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了
更大的注意。
• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，
这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重 要,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,
Hale Waihona Puke 四色问题的解决• 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前
人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
• 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台
IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证
明了四色猜想。
• 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR
数学文化作业答案(全正确答案)
1数学的研究对象是（）A、B、C、D、2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。
D、3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。
正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、9数学文化这个词最早出现于：B、10数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。
正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。
正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、B、C、D、14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。
正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。
正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。
（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。
正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1数学素养不包括（）A、B、C、D、2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、B、C、D、4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、B、C、D、6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。
正确答案：√8专业“数学素养”有几点？（）B、9以下不是开数学文化课的指导思想的的是：C、10用数学方法可以解决实际生活中的问题。
正确答案：√11数学文化是以浅显数学知识为载体，讲述数学的思想、精神、方法、观点的一门课程。
正确答案：√12目前社会并不重视数学素养。
四色猜想简介
四色猜想
四色问题，又称四色定理，是一个著名的图论问题，提出的问题是：是否可以使用四种颜色来给地图上的每两个相邻的国家着色，使得相邻的国家颜色不同？以下是对四色问题的详细介绍：
历史：四色问题最早可以追溯到19世纪，当时英国数学家弗朗西斯·格斯特提出了这个问题。
随后，数学家们开始尝试寻找问题的解决方法。
这个问题一直引发数学家和研究人员的兴趣，成为了数学领域中的一个经典问题。
问题陈述：四色问题的陈述是，给定一个平面地图，可以使用四种颜色来着色地图上的每一个国家，使得任意相邻的两个国家使用的颜色不同。
研究和尝试：四色问题在长时间内没有得到解决。
许多数学家试图寻找解决方法，但都没有成功。
该问题被证明是非常复杂的，需要复杂的图论和计算方法。
定理证明：直到1976年，美国数学家肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用计算机辅助证明了四色问题的一个特殊情况，也就是每个地图都可以用四种颜色来着色。
这个证明引发了一些争议，因为它涉及到大规模的计算机搜索，不是传统的数学证明方法。
尽管如此，该证明被广泛接受，四色问题也被认为已经解决。
问题的一般化：尽管四色问题的一个特殊情况已经得到解决，但问题的一般化仍然是一个开放的数学问题。
研究人员继续探讨类似的问题，例如在三维空间中的着色问题。
总的来说，四色问题代表了数学中一个重要的解决问题的历程。
虽然该问题的证明涉及了计算机的使用，但它引导了图论和离散数学等领域的研究，对计算机科学和数学有着深远的影响。
四色问题的解决也是数学中的一个重要里程碑。
2。
世界难题数学[世界数学难题--四色猜想]
![世界难题数学[世界数学难题--四色猜想]](https://img.taocdn.com/s3/m/e3a5fd375ef7ba0d4b733b0b.png)
世界难题数学[世界数学难题--四色猜想]世界数学难题——四色猜想平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。
可用符号表示：K （n) ，n=、四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。
着色着色时要使得不会两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。
1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。
1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。
直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。
20世纪80-90世纪曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。
四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了确凿机器证明的美好前景。
四色定理的诞生过程当今世界世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想) 。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie) 来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了第二种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同颜色。
”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这九个数字之一来标记，而无法使相邻的数字两个区域得到相同的数字。
”这个结论能不能从数学上加以严格呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一但此问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他求教的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有有效途径能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的表哥、著名数学家哈密尔顿爵士查理斯请教。
哈密尔顿收到摩尔根的信后，对微积分进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够加以解决。
数学文化作业答案(全正确答案)
1数学的研究对象是（）A、物质B、物质的运动C、自然界D、以上都不对2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。
D、数学3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、数学4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。
正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、1990.09数学文化这个词最早出现于：B、1990.010数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。
正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。
正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、提高数学能力13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、数学思想B、数学精神C、数学方法D、数学教育14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。
正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。
正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。
（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。
正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、上世纪九十年代19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、1999年20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1990年1数学素养不包括（）A、从数学的角度看问题B、控制问题中的因素C、有条理地理性思考D、解决问题时的逻辑能力2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、了解思想B、引起兴趣C、学会方法D、解题方法6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。
四色
四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。
[1]地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（FrancisGuthrie）的英国大学生提出来的。
德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。
一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
1四色图着色问题的描述
四色图着色问题是一种复杂的组合优化问题,它可以描述为:“任何一张地图只用4种颜色
就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示就是:“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用①、②、③、④这四个数字之一来代替颜色标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”
虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。
现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的。
选修课之四色问题课件
回溯法
通过尝试多种颜色组合，寻找满 足条件的着色方案。此方法在理 论上可行，但因计算量大，实际
应用中效率较低。
智能优化算法
如遗传算法、模拟退火等，通过 模拟自然过程或物理现象，寻找 四色问题的近似最优解。这类方 法在处理大规模问题时具有一定
优势。
03
四色问题的应用与拓 展
四色问题在地图染色中的应用
02
四色问题的证明与解 法
四色问题的初步证明
肯普的证明
肯普在19世纪提出了一种基于归 纳法的证明，但后来被发现有错 误。不过，其部分思路对后续研 究仍有参考价值。
阿佩尔的初步证明
20世纪初，阿佩尔与哈肯借助大 量的计算机辅助计算，进行了初 步的证明尝试，取得了阶段性成 果。
四色问题的计算机证明
四色问题与算法设计
贪心算法
在解决四色问题时，通常会使用贪心算法进行尝试性涂色，通过不断优化局部选择，达到全局最优解 。
回溯算法
当贪心算法无法解决问题时，可以使用回溯算法，通过逐步撤销选择，寻找其他可能的解决方案。
四色问题在计算机科学中的其他应用
地图着色
四色问题最初的研究动机就是为了给地图着色，因此计算 机科学家可以将四色问题的研究成果应用于地图着色算法 ，提高着色效率。
阿佩尔与哈肯的计算机证明
通过构造不可避免组合的方法，阿佩尔与哈肯成功地用计算机完成了四色问题的 证明。这一成果被认为是数学史上的一大突破。
证明的验证
为确保计算机证明的准确性，后续研究者对阿佩尔与哈肯的方法进行了严格的验 证，确认了其正确性。
四色问题的常见解法
贪心算法
通过逐步为地图区域着色，尽可 能减少所用颜色数量。这种解法 在简单情况下较为实用，但面对 复杂地图时可能无法得到最优解
数学文化作业答案(全正确答案)
1数学的研究对象是（）A、物质B、物质的运动C、自然界D、以上都不对2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。
D、数学3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、数学4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。
正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、1990.09数学文化这个词最早出现于：B、1990.010数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。
正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。
正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、提高数学能力13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、数学思想B、数学精神C、数学方法D、数学教育14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。
正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。
正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。
（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。
正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、上世纪九十年代19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、1999年20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1990年1数学素养不包括（）A、从数学的角度看问题B、控制问题中的因素C、有条理地理性思考D、解决问题时的逻辑能力2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、了解思想B、引起兴趣C、学会方法D、解题方法6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。
浙教版小学二年级数学文化知识点【五则】
精心整理浙教版小学二年级数学文化知识点【五则】1852 用了简捷明快的书面证明方法。
【篇二】拓扑学在拓扑学的发展历史中，还有一个而且重要的关于多面体是v。
结起来。
一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。
这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。
这是拓扑学的“先声”。
【篇四】20世年提出莫比乌斯曲面“连通性”最简单的拓扑性质。
上面所举的空间的例子都是连通的。
而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。
这样的空间是可定向的。
而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。
这种曲面不能用不同的颜色来涂满。
莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。
可定向性是一种拓扑性质。
这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。
那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
譬如哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。
从说谎者悖论（Liarparadox）到罗素悖论（Russell‘sparadox），各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。
数理逻辑中的不合逻辑遍地都是，它们直接引发了数学的第三次数学危机。
欧拉不合逻辑的证明法在数学，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。
最典型的例子可能就是1735年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。
他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：这是一个出人意料的答案，圆周率π毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。
欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完的。
四色定理的意义
四色定理
四色定理：又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色定理的本质正是二维平面的固有属性，即平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。
很多人证明了二维平面内无法构造五个或五个以上两两相连区域，但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性的层面，以致出现了很多伪反例。
不过这些恰恰是对图论严密性的考证和发展推动。
计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。
证明：假设存在一张至少需要m种着色的地图，那么决定该地图必须要用m种着色的条件有且只有一个，即该地图至少存在这样一个区域Q，与该区域相邻的所有区域必须满足m-1着色。
首先满足
这个条件后，Q只能用第m种颜色，其次如果这个推论一是错误的，对于m着色地图不存在这样的区域，那么地图上任何一个区域的邻域只能满足少于m-1的着色，那么整个地图势必不需要m种颜色，这与假设相矛盾，所以这是一个充分必要条件。
（推论一）
假设随意取一张任意结构的至少m着色的地图M，其上满足上述
条件的区域有n个，那么将图论图形中的这n个区域及其与邻域的关系线我们可以全部去掉，这样我们就将构建一个至少m着色地图M的问题转化成了一个在至少需要m-1着色地图上添加n个满足推
论一条件的区域问题。
如果五着色地图存在且能构建成功，那么必然存在构建这样五着色的四着色模型图，而要存在这样的四着色模型图必然存在构建该四着色的三着色模型图，同理要存在这样的三着色模型图必然要存在构建它的二着色模型图，那么我们来构建一下五色图是否存在。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语
言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭
的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这
四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个
区域得到相同的数字。
”（右图）
这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”
（左图）。
如为正规地图，否则为非正规地图（右
图）。
一张地图往往是由正规地图和非
正规地图联系在一起，但非正规地图所
需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一
张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色
的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
肯普是用归谬法来
证明的，大意是如果有一
张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。
这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。
第一个概念是“构形”。
他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。
肯普提出的另一个概念是“可约”性。
“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。
他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。
但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。
他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。
就是说对地图着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。
后
来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
看来这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。
从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。
他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。
他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家
的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都
(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有
的线，剩下的称为原图的对偶图。
到了六十年代后
期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方
法来求构形的不可避免组。
在海克的研究中第一次
以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。
就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子
计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。
如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。
不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。