排列组合综合应用

第九讲 排列组合综合应用

【内容概述】

乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，

做第二步有m 2种不同的方法…做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×……×m n 种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一

起才能完成这件事情）

加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m 1种不同的

方法，在第二类办法中，有m 2种不同的方法……在第n 类办法中，有m n 种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m n 种不同方法。（即每一类办法都能独立完成，每一类与

另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情）

【典型题解】

例1 某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？

【答案解析】根据题目条件可知，买饭可以分3个步骤。直接利用乘法原理计算。 不同的买法的种数：24234=⨯⨯（种）

练习一“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母用三种不同的颜色来写，现有五种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？

【答案解析】根据题目条件可知，写完IMO 可以分三个步骤，第一步写“I ”有5种写法，第二步写“M ”有4种写法，第三步写“O ”有3种写法。直接利用乘法原理计算。 不同的写法的种数60345=⨯⨯（种）

例2 一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余 四人可以分配到五个位置的任何一个上，问：共有多少种不同的站位方法？

【答案解析】把球场的上的五个位置分别称为1、2、3、4、5号位；令1号位为中锋，由于C 不能做中锋，那么还有4种不同的选择方法，2号位还有剩下的4个人可供选择，3号位还有剩下的3个人可供选择，4号位还有剩下的2个人可供选择，5号位只剩个人可供选择，根据乘法原理，它们的积就是全部的选择方法．

不同的站位方法：9612344=⨯⨯⨯⨯（种）

练习二 广州电话号码有8个数码，其中第一个数字不为0，而且数字不重复，这样的电话号码共有多少个？

【答案解析】首先考虑第1个位置，有9种选择。其它位置根据乘法原理，依次有9、8、7、6、5、4、3种选择。

电话号码个数：163296034567899=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（个）

例3 一个书架分上中下三层，上层有5本科技书，中层有6本故事书，下层有8本文艺书，小华想拿一本书看，它共有多少种不同的拿法？

【答案解析】根据题目条件，拿的书可以分3类，所以符合加法原理。

不同的拿法：19

+

+（种）。

6

5=

8

练习三书架有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？

【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。

第一类：只拿1本书，共有拿法：13

+（种）。

6=

7

第二类：拿2本书。这里又可以分3类：第一类，2本都从画报中拿，有15种；第二类，2本都从书中拿，有21种；第三类，1本从画报种拿，另一本从书中拿，运用乘法原理，有42种。

故总的不同拿法种数：91

+

+

+（种）。

15

21

42

13=

例4 有3封不同的信，投入到4个不同的邮筒，一共有多少种不同的投法？

【答案解析】根据题目条件可知，每封信都有4种不同的投法，由乘法原理可得，3封信共有64

⨯

4=

⨯种。

4

4

练习四张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？

①七个人排成一排

【答案解析】根据题目条件可知，七个人排成一排符合乘法原理。

站法种数：5040

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯（种）。

6

2

1

3

4

5

7=

②七个人排成一排，张华必须站在中间

【答案解析】根据题目条件可知，张华位置固定，其他6个人排列符合乘法原理。

站法种数：720

⨯

⨯

⨯

⨯（种）。

⨯

2

1

3

4

6=

5

③七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间

【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。

第一类：张华站在中间，由②知共有720种；

第二类：李明站在中间，同理，由②知共有720种；

+（种）。

720=

故总的站法总数：1440

720

④七个人排成一排，张华、李明必须站在两边。

【答案解析】首先排张华、李明的位置，有2种站法；再排其他人的位置，有⨯

⨯

⨯

⨯种。

5=

2

4

1

120

3

故总的站法总数：240

⨯（种）。

120

2=

⑤七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上。

【答案解析】根据题目条件，两边有20

5=

⨯

⨯

4

⨯

⨯

3

4

⨯种站法，剩下的人有120

5=

2

1种。

故总的站法总数：2400

⨯（种）。

20=

120

⑥七个人排成两排，前排3人，后排4人。

【答案解析】根据题目条件可知，符合乘法原理。

站法种数：5040

⨯

⨯

7=

⨯（种）。

⨯

⨯

⨯

2

1

6

3

4

5

⑦七个人排成两排，前排3人，后排4人，张华、李明不在同一排。

【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。

第一类：张华在前排，李明在后排。从5人中任选2人站前排有10种方法；

前排3人（包括张华）有6种方法；后排4人（包括李明）有24种方法；

所以一共有10×6×24=1440种方法；

第二类：李明在前排，张华在后排。原理与第一类一样，共有1440种站法。

故总的站法总数：2880

+（种）。

1440=

1440

【课后精练】

1王芳有六件上衣，五条裤子，三双皮鞋，他能有多少天穿戴装束不同？

【答案解析】第一步选上衣，有6种选择；第二步选裤子，有5种选择；第三步选皮鞋，有3种选择。根据乘法原理，不同穿戴种数有90

⨯

⨯（种）。

5

6=

3

2张老师从长沙到上海参加全国奥数教研培训会，之后再到广州参加全国奥数夏令营活动。其中她从长沙到上海可乘汽车、火车或飞机，而她从上海到广州，可乘火车或飞机，那么她从长沙经上海到广州，共有多少种不同走法？

【答案解析】根据题目条件可知，张老师从长沙到上海有3种选择，从上海到广州有2种选择。根据乘法原理，不同走法有6

⨯种。

2

3=

3 如图，从甲地到乙地有两条路，从乙地到丙地有两条路，从甲地到丁地有四路，

从丁地到丙地有两条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？