量子力学课件(6)( 一维方势垒、隧道效应)
量子隧道效应
隧道效应的发现
1957年，受雇于索尼公司的江崎 玲於奈（LeoEsaki，1940～）在改良 高频晶体管2T7的过程中发现，当增 加PN结两端的电压时电流反而减少， 江崎玲於奈将这种反常的负电阻现象 解释为隧道效应。
隧道效应-基本简介
•
在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按
经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量 子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒，实际也正是如
利用金刚石针尖制成以SiO2膜或Si3N4膜悬 臂梁（其横向截面尺寸为100μm×1μm，弹性系 数为0.1～1N/m），梁上有激光镜面反射镜。当 针尖金刚石的原子与样品的表面原子间距离足够 小时，原子间的相互作用力使悬臂梁在垂直表面 方向上产生位移偏转，使入射激光的反射光束发 生偏转，被光电位移传感器灵敏地探测出来。原 子力显微镜对导体和绝缘体样品都适用，且其分 辨力达到0.01mm（0.1A），可以测出原子间的 微作用力，实现原子级表面观测。
• 隧道二极管正向伏安 特性中有一段负阻区，而 且它还是一种多数载流子 效应,没有渡越时间的限 制,所以隧道二极管可用 作低噪声的放大器、振荡 器或高速开关器件，频率 可达毫米波段。它作为器 件的缺点是功率容量太小。 隧道过程中,常常有电子 －声子相互作用或电子杂质相互作用参加。从隧 道二极管的伏安特性上可 分析出参与隧道过程的某 些声子的频率。在势垒区 中的光吸收或发射中,隧 道效应也起着作用,这称 夫兰克－凯尔德什效应。 杂质的束缚电子态和能带 中电子态之间的隧道也观 察到。
理论上假定电子穿越绝缘体势垒时保持其自旋 方向不变，在实际制备过程中由于氧化层生成时难
免导致相邻铁磁层氧化，致使反铁磁性的氧化薄层
的出现影响磁电电阻效应。所以实验的结果比理论
21.7 一维势阱 势垒 隧道效应
STM的发明者 宾尼、罗雷尔和电 子显微镜的发明者 卢斯卡分享了1986 年诺贝尔物理奖。
宾尼
罗雷尔
U0
电子云重叠 U0 U0 E
样 品
d
针 尖
扫描隧道显微镜（STM）装置示意图
用STM得到的神经细胞象
液体中观察原子图象
在电解液中得到的硫酸根离子吸附在铜 单晶表面的STM图象。
“扫描隧道绘画 ” 一氧化碳“分子人”
8 n1 x n2 y n3 z ( x, y, z ) sin sin sin l1l2 l3 l1 l2 l3
三维势阱中粒子的能量：
n12 2 2 n2 2 2 2 n32 2 2 E 2 2 2 2ml1 2ml2 2ml3
处在超晶格的一维量子线和两维量子阱中的电子 就属于一维和两维势阱中的粒子，而处在金属内的电 子可看作三维势阱中的粒子。
i En t
)e
i En t
( px En t )
C 2e
( px En t )
n ( x, t ) 是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而
③粒子在阱中的分布 经典力学的结果：均匀分布 P ( x ) 1/ a a a P ( x)dx P ( x) dx P ( x)a 1
(4) 解方程、定常数 在 0<x<a 区域，定态薛定谔方程为
令
d x 2mE 2 x 0 2 dx 2mE 2 k 2 d 2 x 2 k x 0 2 dx
2
比较谐振动方程 特解为
d2x 2 x0 2 dt
( x ) C sin(kx )
2 2 2
物理-势垒和隧道效应
三．扫描隧道显微镜 (STM)
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏 中的电子形成驻波。 “量子围栏－扫描隧道显微术的又一杰作”
三．扫描隧道显微镜 (STM)
1986诺贝尔物理学奖宾 尼：设计出扫描式隧道 效应显微镜
1986 诺 贝 尔 物 理 学 奖 罗雷尔：设计出扫描式 隧道效应显微镜
三．扫描隧道显微镜 (STM)
Gamov首先用势垒穿透成功说明了原子核的α衰变。后来人 们用来成功解释了电子穿越金属表面，金属电子的冷发射； 氢核穿越Couloms势垒发生核聚变等。
§3.5 势垒和隧道效应
怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的。
量子物理：粒子有波动性，遵从不确定原理， 粒子经过势垒区和能量守恒并不矛盾。
参考信号
隧道电流 不接触、不破坏样品
三．扫描隧道显微镜 (STM)
隧道电流i 与样品和针尖间距离d 的关系
i Ue A d A—常量
隧道电流 i
d —样品和针尖间的距离 U—加在样品和针尖间的微小电压
探针
U
—样品表面平均势垒高度
d
d
~
。 10A
Hale Waihona Puke 样品d 变~ 1 A。
i 变几十倍，非常灵敏。
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
隧道效应这种现象只在一定条件下才比较显著！
假设：k2a 1
shk2a
1 2
e k2a
§3.5 势垒和隧道效应
T 灵敏地依赖于粒子的质量m，势垒宽度a以及(U0-E)。
U 0 0.1eV
E 0.005eV 当U0-E=5eV，势垒的宽度约50nm 以上时，隧道效应在实际上已经没有 意义了。量子概念过渡到经典了。
势垒贯穿(隧道效应)ppt
( 0 ) A sin B 0
( a ) A sin( ka B ) 0
n 1, 2 ,3 ,
ka n
n不能取零，否则无意义。
因为 k 2 2 mE 2 ka n n 1, 2 ,3 ,
En
2
2 2
n
2
n 1, 2 , 3 ,
2 ( x ) Te
k1 x
,
ikx
0 xa
, xa
根据边界条件：
1 (0) 2 (0)
3 ( x ) Ce
d1 ( x) dx d 2 ( x) dx |x0 |xa
mn 0 ,
mn
mn 1,
mn
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、 确定的本征值、独立完整的存在于其中。
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态 的可能的本征态的本征值。可以用本征态 出现的几率来计算物理量的平均值。
18-10 势垒贯穿（隧道效应）
V ( x ) 0, x 0, x a
建立薛定谔方程的主要依据和思路：
* 要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足
德布罗意关系式
* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E，
质量为m，动量为P的粒子：
*若
是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。 因此，波函数应遵从线性方程。
* 自由粒子的外势场应为零。
前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了 它应满足的方程，从 中我们可得到些启示， 下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系：
从上式推导可知若有如下对应关系：
隧道效应及其应用
x < 0和x > a U0, 0 ≤ x ≤ a
0,
V
U0
这种势能分布称为一维势垒。 这种势能分布称为一维势垒。 一维势垒 I II III 区域里， 粒子在 x < 0 区域里，若其能量 小于势垒高度， 小于势垒高度，经典物理来看是不 x 能越过势垒达到 x > a的区域。 的区域。 的区域 O a 在量子力学中， 在量子力学中，情况则不一样。 为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： 为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： Ι( x ≤ 0), Π (0 ≤ x ≤ a ), ΙΠ ( x ≥ a ) 在各个区域的波函数分别表示为Ψ 在各个区域的波函数分别表示为Ψ1 Ψ2 Ψ3。
（2）E<U0 ） 从解薛定谔方程的结果来看， 从解薛定谔方程的结果来看，在 势垒内部存在波函数Ψ 势垒内部存在波函数Ψ2。即在势垒内 部找出粒子的概率不为零，同时， 部找出粒子的概率不为零，同时，在 x>a区域也存在波函数，所以粒子还 I 区域也存在波函数， 区域也存在波函数 可能穿过势垒进入x>a区域。 区域。 可能穿过势垒进入 区域
V
V0
II
III
o a x 粒子在总能量E小于势垒高度时 粒子在总能量 小于势垒高度时 仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应 隧道效应。 仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 定义粒子穿过势垒的贯穿系数： 定义粒子穿过势垒的贯穿系数：透射波的概率密度与 入射波概率密度的比值。 入射波概率密度的比值。
2
| ϕ3 (a) | | ϕ2 (a) |2 T exp(−2k1a) T= = = 2 2 | ϕ1 (0) | | ϕ2 (0) | T exp(−2k1 0)
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变， 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
14.7量子物理之势垒和隧道效应(动画)
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
2
1
2
2
2
%exp(ik x) + C % exp(−ik x) ψ3( = x) C 1 1 2 1
(x > a)
I
II
III
将ψ1(x)乘以exp(-iωt)，然后取函数的实部。 x 由于cos(k1x - ωt) = cos(ωt - k1x)，可知：第一项 O a 表示I区向x正方向传播的波，即入射波， % A 是入射波的复振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。 1 同理可知：第二项表示向x负方向传播的波，即反射波， %和B % 是反射波的复振幅。 %是复振幅。 B A 1 2 2 由于在III区
隧道效应也得到广泛的应用， 例如半导体器件，超导和扫 描隧道显微镜，等等。
当粒子能量小于势垒高 度时，在势垒中，反射 波很小，主要是入射波。 当粒子能量一定时，势垒 常数越大，透射波越小。 势垒常数较大时，对于一 定质量和能量的粒子来说， 势垒的宽度较大，波函数 在势垒中衰减得较厉害， 透射波较小。
dψ 2 (a ) dψ 3 (a ) = dx dx
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
%+ A % =B %+ B %, A % % % % A 1 2 1 2 1k1 − A2 k1 = B1k 2 − B2 k 2
%exp(ik a) %exp(ik a ) + B % exp(−ik a) = B C 1 2 2 2 1 1
= k2 当E > V0时，可设II区的波矢为
薛定谔方程 组可化为
2m( E − V0 ) / h
O
2 2 d ψ3 2 d 2ψ 1 ψ d 2 2 2 + k 0. + k2ψ 2 = 0, 1ψ 3 = + k1 ψ 1 = 0, 2 2 2 dx dx dx
隧道效应及其应用
可以穿过势垒而到达势垒的另一侧，这种现象称为势垒贯穿
或隧道效应。隧道效应只在微观领域才有意义。
则
且
说明
上式表明，透射系数D随势垒的高度U0和宽度
a的增大呈指数性衰减.如：当U0-E=1MeV时，势垒
的宽度为a =10-5 nm时，透射系数D = 10-4；若
下面就两种情况进行讨论;
因为是定态问题方程分别为：
令：
根据边界条件：
在E>U0情况下入射粒子的
∵透射系数：反射系数：
将C , A , A'代入得
可见，：
D与R的和等于1，说明入射粒子一部分反射，一部分透射，不会停留在势垒中。
（2）
隧道效应产生的原理：
光子隧道效应与近场光学显微镜:
将一个同时具有传输激光和接收信号功能的光纤微探针移近样品表面，微探针表面除了尖端部分以外均镀有金属层以防止光信号泄露，探针的尖端未镀金属层的裸露部分用于在微区发射激光和接收信号。当控制光纤探针在样品表面扫描时，探针一方面发射激光在样品表面形成隐失场，另一方面又接收10-100纳米范围内的近场信号。探针接收到的近场信号经光纤传输到光学镜头或数字摄像头进行记录、处理，在逐点还原成图象等信号。近场光学显微镜的其它部分与STM或AFM很相似。
而量子力学认为，描述微观粒子的坐标和动量不
可能同时具有确定的值，势能和动能也不可能同时具
有确定的值，对于微观粒子来说总能量等于动能和势
能之和已不再有明确的意义。
2、隧道效应的应用前景
1、用途：
隧道二极管
半导体
隧道显微镜
光子隧道效应与近场光学显微镜
隧道二极管：
隧道二极管是一种具有负阻特性的半导体二极管。目前主要用掺杂浓度较高的锗或砷化镓制成。其电流和电压间的变化关系与一般半导体二极管不同。当某一个极上加正电压时，通过管的电流先将随电压的增加而很快变大，但在电压达到某一值后，忽而变小，小到一定值后又急剧变大；如果所加的电压与前相反，电流则随电压的增加而急剧变大。因为这种变化关系只能用量子力学中的“隧道效应”加以说明，故称隧道二极管。可用于高频振荡、放大以及开关等电路元件，尤其可以用来提高电子计算机的运算速度。
量子隧道效应
件的缺点是功率容量太小。 隧道过程中,常常有电子 －声子相互作用或电子杂质相互作用参加。从隧 道二极管的伏安特性上可 分析出参与隧道过程的某 些声子的频率。在势垒区 中的光吸收或发射中,隧 道效应也起着作用,这称 夫兰克－凯尔德什效应。 杂质的束缚电子态和能带 中电子态之间的隧道也观 察到。
扫描隧道显微镜
隧道效应 产生原因
隧道效应-主要用途
隧道效应本质上是量子 跃迁，电子迅速穿越势垒。 隧道效应有很多用途。如制 成分辨力为0.1nm（1A）量 级的扫描隧道显微镜，可以 观察到Si的（111）面上的 大元胞。但它适用于半导体 样品的观察，不适于绝缘体 样品的观测。在扫描隧道显 微镜（STM）的启发下， 1986年开发了原子力显微镜 （AFM）
量 子 隧 道 效 应
隧道效应的发现
1957年，受雇于索尼公司的 江崎玲於奈（LeoEsaki，1940～） 在改良高频晶体管2T7的过程中发 现，当增加PN结两端的电压时电 流反而减少，江崎玲於奈将这种反 常的负电阻现象解释为隧道效应。
隧道效应-基本简介
在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按 经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量 子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒，实际也正是如 此，这种现象称为隧道效应。 对于谐振子，按经典力学，由核间距所决定的位能决 不可能超过总能量。量子力学却证明这种核间距仍有一定 的概率存在，此现象也是一种隧道效应。隧道效应是理解 许多自然现象的基础。在两层金属导体之间夹一薄绝缘层， 就构成一个电子的隧道结。实验发现电子可以通过隧道结， 即电子可以穿过绝缘层，这便是隧道效应。使电子从金属 中逸出需要逸出功，这说明金属中电子势能比空气或绝缘 层中低．于是电子隧道结对电子的作用可用一个势垒来表 示，为了简化运算，把势垒简化成一个一维方势垒。
量子力学导论Chap3-2
(1) E > V0
薛定谔方程为 d
2
dx
2
2m
2
( E V ) 0 2 mE /
2
令 k
1
k
2
2m (E V ) /
0
2
则其通解为
Ae
1
ik 1 x
A e B e C e
ik 1 x
( x 0) (0 x a ) (x a)
A
2 i ( k k ) sin k a
2 1
A
J JT JR
i 2m
[
d
i
dx
2
* i
* i
d dx
i]
k1 m k1 m k1 m
| A|
|C | , | A |
2
2
透射系数 (T) 与反射系数 (R) 为：
T R
J J J
T
2
k2a
2 1 2 2
( k k ) sin
2 1 2 2 2
2
k2a 4k k
T R 1
其中
k1 k2 2 mE /
2
2m ( E V0 ) /
2
讨论： （1）在V0 = 0，可以计算出 T =1，因为此时无势阱； 若V0 0 ， T < 1，R 0， 粒子有一定的几率被势阱 弹回，这完全是一种量子力学效应，经典力学无力解 释。 （2）共振透射：如果 E V0，一般说来 T 很小；但 如果粒子能量 E 取得合适使得，sin k2a = 0 成立，此 时 T = 1，R = 0，透射最大，反射最小。
物理-势垒和隧道效应
§3.5 势垒和隧道效应
势能函数：
0
U(x)
U0
能量为E 的粒子从左边入射：
x0 x0
U E<U0
U U0
1、定态薛定谔方程： E U0
I
II
I 区:
x0
2
2m
d2 dx 2
1(
x)
E
1(
x)
O
x
令
k12
2mE 2
d
2 1 (
dx 2
x)
透射? x
0
a
经典：电子不能进入E < U0的区域 。
量子：电子可透入势垒。
电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。
§3.5 势垒和隧道效应
1、势能函数
Ⅰ区 U ( x ) = 0
x≤0
U0
Ⅱ区 U ( x ) = U0 Ⅲ区 U ( x ) = 0
0≤ x ≤ a x≥a
ⅠⅡⅢ E
2、定态薛定谔方程
➢ 1988年，中国第一台计算机控制的STM研制成功。1994年，中 国科学院化学所和中国科学院北京真空物理室利用STM在单晶硅 表面上通过提走硅原子的方法，获得了（线宽2 nm）硅原子的 “毛泽东”。在石墨表面刻出线宽10 nm的“中国”字符。汉字 的大小只有几个纳米。
只要势垒区宽度x=a不是无限大, 粒子能量就有不确定量E
p2 E
2m
E 2 pp 2m
x=a 很小时, P 和E 很大: ΔE U0 E
§3.5 势垒和隧道效应
隧道 效应
经典 量子
三．扫描隧道显微镜 (STM)
Scanning tunneling microscopy
13-2一维定态问题隧道效应和共振透射
U0 D 0 即表明，在 E 时，粒子有越过势垒的概率！
“势垒贯穿”或“隧道效应”
隧道效应的本质: 来源于微观粒子的波粒二相性
讨论
1、宏观粒子是否有势垒贯穿？
2Å，约原 子半径
D0 . 5 1
D 0 . 0 2 4
举例说明：对于电子，若：
8 E 1 e V , Ue 2 V , a 2 1 0 c m 0
2 2 m ( E U ) 22 m ( E U ) d 0 0 r 0 , 0 x a 2 2 2 d x
当 0E 时 U 0
1 1 2 m ( E U ) 2 m E 02 2 令 ： k ( ) , k [ ] 1 2 2 2
量子力学如何向经典力学过渡？
量子力学在微观领域是正确的理论 经典力学在宏观领域是正确的理论
？？？
量子力学的结论 经典极限 经典力学的结论
（1）经典极限： 0 成功例子 成功例子 失败例子 测不准关系： 对易关系：
x p
2
ˆx i x, p
2 2
n 2 能量： En 2ma2
（2）经典极限：n
此即为量子隧道效应——势垒贯穿！
势垒贯穿： 对于微观粒子
U 0 0 x a U ( x) 0 x 0, x a
U 0, 其 中 E U 0,
？
？ ？
类比一下，对于经典小球 在经典力学中, 如图所示，小球在重力场中具有的势能为：
m g h x h U(x) 0 x 0
D
透射系数
表示透过势垒的概率
2 22 2 2 ( k k )s i n k a |A '| 1 2 2 2 22 2 1 D R 2 22 |A | ( k k )s h a k 4 k k 1 2 2 1 2
量子力学PPT专业知识
d dx
i
]
k1
|
A |2
JD
k1
| c |2 ,
JR
k1
|
A |2
透射系数与反射系数为：
D
JD J
4k12
k
2 2
(k12
k
2 2
)
2
sin 2
k2a
4k12 k 22
R
JR J
(k12 k22 )2 sin 2 k2a (k12 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
显而易见： D R 1
由此可得
c
4k1k2e ika1
A
(k1 k2 ) 2 eik2a (k1 k2 ) 2 eik2a
A
2i(k12 k22 ) sin k2a
A
(k1 k2 ) 2 eik2a (k1 k2 ) 2 eik2a
易得到入射波、透射波和反射波旳几率流密度为：
J
i
2
[
i
d dx
* i
* i
1 n
sin ( x a). a 2a
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本旳问题，它 是物体在势（或势场）旳稳定平衡位置附近作小振动此类常见 问题旳普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本旳问题，甚至更为基本。因为它不但是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题旳普遍概 括，而且更是将来场量子化旳基础。
这里 k1 2mE ，k 2 2m(E V0 ) 。考虑到时间
因子 e iEt / e it ，所以 e ikx代表向右运动旳 波数为K旳平面波，eikx 则是向左运动旳平面波。在I、II两
量子力学教程《一维量子力学》
Lecture2Quantum mechanics in one dimensionQuantum mechanics in1d:Outline1Unbound statesFree particlePotential stepPotential barrierRectangular potential well2Bound statesRectangular potential well(continued)δ-function potential3Beyond local potentialsKronig-Penney model of a crystalAnderson localizationi ∂tΨ(x,t)=− 2∂2x2mΨ(x,t)For V=0Schr¨o dinger equation describes travelling waves.Ψ(x,t)=A e i(kx−ωt),E(k)= ω(k)= 2k2 2mwhere k=2πλwithλthe wavelength;momentum p= k=hλ.Spectrum is continuous,semi-infinite and,apart from k=0,has two-fold degeneracy(right and left moving particles).i ∂tΨ(x,t)=− 2∂2x2mΨ(x,t)Ψ(x,t)=A e i(kx−ωt)For infinite system,it makes no sense tofix wave function amplitude,A,by normalization of total probability.Instead,fix particleflux:j=−2m(iΨ∗∂xΨ+c.c.)j=|A|2 km=|A|2pmNote that definition of j follows from continuity relation,∂t|Ψ|2=−∇·jThe Fourier transform of a normalized Gaussian wave packet,ψ(x)= 12πα 1/4e ik0x e−x24α.(moving at velocity v= k0/m)is also a Gaussian,ψ(k)= 2απ 1/4e−α(k−k0)2,Although we can localize a wave packet to a region of space,this has been at the expense of having some width in k.For the Gaussian wave packet,∆x = [x − x ]2 1/2≡ x 2 − x 2 1/2=√α,∆k =1√4αi.e.∆x ∆k =12,constant.In fact,as we will see in the next lecture,the Gaussian wavepacket has minimum uncertainty ,∆p ∆x = 2Stationary form of Schr¨o dinger equation,Ψ(x,t)=e−iEt/ ψ(x):− 2∂2x2m+V(x) ψ(x)=Eψ(x)As a linear second order differential equation,we must specify boundary conditions on bothψand its derivative,∂xψ. As|ψ(x)|2represents a probablility density,it must be everywherefinite⇒ψ(x)is alsofinite. Sinceψ(x)isfinite,and E and V(x)are presumedfinite,so∂2xψ(x)must befinite.⇒bothψ(x)and∂xψ(x)are continuous functions of xFor E >V 0,both k <and k >=2m (E −V 0)are real,and j i = k <m,j r =|r |2 k <m,j t =|t |2 k >mDefining reflectivity,R ,and transmittivity,T ,R =reflected flux incident flux,T =transmitted flux incident flux R =|r |2=k <−k >k <+k >2,T =|t |2k >k <=4k <k >(k <+k >)2,R +T =1For E <V 0, k >=2m (E −V 0)becomes pure imaginary,wavefunction,ψ>(x ) te −|k >|x ,decays evanescently,andj i = k <m,j r =|r |2 k <m,j t =0Beam is completely reflected from barrier,R =|r |2= k <−k >k <+k >2=1,T =0,R +T =1Transmission across a potential barrier–prototype for generic quantum scattering problem dealt with later in the course. Problem provides platform to explore a phenomenon peculiar to quantum mechanics–quantum tunneling.Wavefunction parameterization:ψ1(x)=e ik1x+r e−ik1x x≤0ψ2(x)=A e ik2x+B e−ik2x0≤x≤aψ3(x)=t e ik1x a≤xwhere k1=√2mE and k2= 2m(E−V0).Continuity conditions onψand∂xψat x=0and x=a,1+r=A+BAe ik2a+Be−ik2a=te ik1a, k1(1−r)=k2(A−B)k2(Ae ik2a−Be−ik2a)=k1te ik1aSolving for transmission amplitude,t=2k1k2e−ik1a2k1k2cos(k2a)−i(k21+k22)sin(k2a)which translates to a transmissivity ofT=|t|2=11+14 k1k2−k2k1 2sin2(k2a) and reflectivity,R=1−T(particle conservation).but penetrates,barrier region–quantumUnbound particles:tunnelingAlthough tunneling is a robust,if uniquely quantum,phenomenon,it is often difficult to discriminate from thermal activation.Experimental realization provided by Scanning TunnelingMicroscope(STM)Quantum mechanical scattering in three-dimensions In three dimensions,plane wave can be decomposed intosuperposition of incoming and outgoing spherical waves: If V(r)short-ranged,scattering wavefunction takes asymptotic form,e i k·r=i2k∞ =0i (2 +1) e−i(kr− π/2)r−S (k)e i(kr− π/2)r P (cosθ)Quantum mechanics in1d:bound states1Rectangular potential well(continued)2δ-function potentialFor a potential well,we seek bound state solutions with energies lying in the range−V0<E<0.Symmetry of potential⇒states separate into those symmetric and those antisymmetric under parity transformation,x→−x. Outside well,(bound state)solutions have form√−2mE>0ψ1(x)=Ceκx for x>a, κ=In central well region,general solution of the formψ2(x)=A cos(kx)or B sin(kx), k= 2m(E+V0)>0Uncertainty relation,∆p∆x>h,shows that confinement by potential well is balance between narrowing spatial extent ofψwhile keeping momenta low enough not to allow escape.In fact,one may show(exercise!)that,in one dimension,arbitrarily weak binding always leads to development of at least one bound state.In higher dimension,potential has to reach critical strength to bind a particle.Forδ-function potential V(x)=−aV0δ(x),− 2∂2x2m−aV0δ(x) ψ(x)=Eψ(x)(Once again)symmetry of potential shows that stationary solutions of Schr¨o dinger equation are eigenstates of parity,x→−x.States with odd parity haveψ(0)=0,i.e.insensitive to potential.Quantum mechanics in1d:beyond local potentials1Kronig-Penney model of a crystal2Anderson localizationKronig-Penney model provides caricature of(one-dimensional) crystal lattice potential,∞ n=−∞δ(x−na)V(x)=aV0Since potential is repulsive,all states have energy E>0. Symmetry:translation by lattice spacing a,V(x+a)=V(x). Probability density must exhibit same translational symmetry, |ψ(x+a)|2=|ψ(x)|2,i.e.ψ(x+a)=e iφψ(x).In region(n−1)a<x<na,general solution of Schr¨o dinger equation is plane wave like,ψn(x)=A n sin[k(x−na)]+B n cos[k(x−na)]√2mEwith k=Imposing boundary conditions onψn(x)and∂xψn(x)and requiring ψ(x+a)=e iφψ(x),we can derive a constraint on allowed k values (and therefore E)similar to quantized energies for bound states.Rearranging equations(1)and(2),and using the relations A n+1=e iφA n and B n+1=e iφB n,we obtaincosφ=cos(ka)+maV02k sin(ka)Since cosφcan only take on values between−1and1,there are2k2Example:Naturally occuring photonic crystals “Band gap”phenomena apply to any wave-like motion in a periodicsystem including light traversing dielectric media,e.g.photonic crystal structures in beetles and butterflies!Band-gaps lead to perfect reflection of certain frequencies.Anderson localizationWe have seen that even a weak potential can lead to the formationof a bound state.However,for such a confining potential,we expect high energystates to remain unbound.Curiously,and counter-intuitively,in1d a weak extended disorderpotential always leads to the exponential localization of allquantum states,no matter how high the energy!First theoretical insight into the mechanism of localization wasachieved by Neville Mott!。
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
§3.3势垒贯穿 量子力学课件
e k 3 a e k 3 a
sh 2 k 3 a
1 (e k3a 4
e k3a ) 2
1 e 2k3a 4
D
1
1 ( k1 k 3 ) 2 e 2k3a 1
16 k 3 k 1
当
k1
k e 2k3a 3,
1
D
16
e 2 k3a
RJR J
(k12
(k12k22)2sin2k2a k22)2sin2k2a4k12k22
显而易见 D： R1
(2)E<U0的情况： 此时方程为：
k20,
k320,
x0orxa 0xa
其中，k3
2(U0 E) 。在粒子从左方入射时有：
Aeik x Beik,x
x0
(x) Fek3xGek3x,
0xa
Ceik,x
xa
让 和 在 x=0 和 x=a 处连续,我们得到4个方程，从中可
以解出B、C、F、G对A的比。结果是：
B A(k2(kk322 )sk3h23)askhk23iak3ckh3ak,
C A(k2k32)2sihk33aekki2kiak3ckh3ak,
sh 1 x(x e ex),ch 1 x(x e ex) .
右图所示为一任意形状的势垒，我们
可以把这个势垒看作是许多方形势垒 组成的，每个方形势垒宽为dx,高为
E
U(x)。能量为E的粒子在x=a处射入势
垒U(x),在x=b处射出,即U(a)=U(b)=E。 0 a dx b
x
由数式 为：DD0e 2 2(U0E)a可得粒子贯穿每个方形势垒的透射系
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探针
空气隙
样品 STM工作示意图
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物 质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性 质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有 着重大的意义和广阔的应用前景。
求出解的形式画于图中。
量子力学结果分析： （1）E>V0情况 在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到x>a区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， I 即粒子具有波动性的具体体现。 （2）E<V0情况
V
隧道效应
V0
II
III
o
a
x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。
§8 一维方势垒 隧道效应 X=a处， 2 (a) 3 (a)
第二章 薛定谔方程
可得
于是
d 3 ( x) d 2 ( x) |x a |x a dx dx ik1 k2 ik1a k2a A2 e A3 2k2 ik1 k2 ik1a k2a ' A2 e A3 2k 2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 [ sh(k2 a)]e A3 2ik1k2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 A1 [ch(k2 a) sh(k2 a)]e A3 2ik1k2
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
V
8.1 势垒贯穿 薛定谔方程的散射态解
V ( x) 0,
x 0, x a
0 xa
V
V ( x) V ,
在经典力学中,若 E V ,粒子的动能 为正, 它只能在 I 区中运动。
I
O
II
a
III
x
2 d 2 1 ( x) E 1 ( x), x0 2 2m dx 2 2 d 2 ( x) V 2 ( x) E 2 ( x), 2 2m dx 2 d 2 3 ( x) E 3 ( x), 2 2m dx xa
可以验证
J in J re J out
§8 一维方势垒 隧道效应 反射系数和透射系数定义为：
第二章 薛定谔方程
J re R J in
' 2 1 2
2 2
J out T J in
对于我们目前讨论的问题，
R
T
A
A1
A3 A1
(k k ) sh (k2 a) 2 2 , 2 4k1 k2 (k k ) sh (k2 a)
xa
o
a
x
d 2 ( x) 2 k2 2 ( x) 0, 2 dx
2
0 xa
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
以上三个方程中，波函数 1 , 2 和 3 是本征函数， 都是待求量。粒子能量E是给定的，在全空间是同一 常量。粒子可以出现在无穷远处。方程的解应当分别 具有如下形式：
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
i 把时间因子 exp( Et ) 考虑进来，有
1 ( x) Ae 1
1 i ( k1x Et ) k2 x
Ae
' 1
1 i ( k1x Et )
,
x0 , 0 xa
xa
2 ( x) ( A2e
Ae
,
' k2 x 1
1 ( x) Ae A e , 1 2 ( x) A2ek x Ae , ik x 3 ( x) A3e ,
ik1x
2
' ik1x 1 ' k2 x 1
1
x0 0 xa xa
散射问题关心的是粒子贯穿势垒的反射系数和 透射系数，不需要将所有常数全部确定下来。
§8 一维方势垒 隧道效应 用扫描隧道显微镜观察到
第二章 薛定谔方程
硅表面7×7重构图
硅表面硅原子排列
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过 电极间的势垒形成隧道电流。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制 隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏。 因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子 扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。 STM样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工 作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一 种技术都有其局限性。
下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果
§8 一维方势垒 隧道效应
)e
i Et
3 ( x) A3e e
i Et ik1x
波函数的物理意义很清楚： 1 为平面波的叠加态， 分别相应于入射波和反射波。 3 为透射波。
能量算符等于动能算符和势能算符之和，但是不存 在粒子的动能加势能等于总能量的关系。
§8 一维方势垒 隧道效应 8.2 反射系数和透射系数
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波反 射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区 只有透射波。以上的计算和讨论只是说明，在方势垒 存在时，即使自由粒子的能量小于势垒的高度，在同 一时刻，粒子既有概率出现在势垒的右方（ III 区）， 也有概率出现在经典禁区（II区）。但粒子在对 x0 处的概率要大于在 a 处出现的概率。 x 用波包态代表粒子的状态，波包入射到势垒并被 势垒散射的物理模型，更为接近实际的物理模型。
第二章 薛定谔方程
这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原 子到Cu表面上构成的量子围栏。 1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。 这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约 0.5纳米的“分子人”。这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称 世界上最小的人形图案。
第二章 薛定谔方程
利用 x 0和 x a 处波函数和它的一阶导数的连续性 A1 , A1' , A2 , A2' 用 A3 表示。 条件,可以将常数 X=0处， 1 (0) 2 (0)
d 1 ( x) d 2 ( x) |x 0 |x 0 dx dx ik1 k2 ik1 k2 ' 可得 A1 A2 A2 2ik1 2ik1 ik1 k2 ik1 k2 ' ' A1 A2 A2 2ik1 2ik1
2 1 2 2 2 2 2 2 21 k2 (k k ) sh (k2 a)
2 2 1 2 2 2 2 1 2
§8 一维方势垒 隧道效应 容易验证
第二章 薛定谔方程
R T 1
这是概率守恒的一种表示形式。 把
4E (V E ) T . 2 2 a 4E (V E) V sh [ 2m(V E)]
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
用扫描隧道显微镜观察 到砷化镓表面砷原子的 排列图如下
1994年初，中国科学院真空物理实 验室的研究人员成功地利用一种新 的表面原子操纵方法，通过STM在 硅单晶表面上直接提走硅原子，形 成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的 线条。从STM获得的照片上可以清 晰地看到由这些线条形成的“100” 字 样和硅原子晶格整齐排列的背景。
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
2mE 2 2m(V E ) 令： k k2 2 2
2 1
V
三个区间的薛定谔方程化为：
V0
d 1 ( x) 2 k1 1 ( x) 0, 2 dx
2
x0
I
II
III
d 2 3 ( x) 2 k1 3 ( x) 0, 2 dx
§8 一维方势垒 隧道效应 8.3 隧道效应的应用
第二章 薛定谔方程
2.扫描隧道显微镜STM
1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限 于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。 只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面 作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们 的表面电子云就可能重叠。
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
由概率流密度的定义，可以得到入射粒子流的概率 流密度 J in 、反射粒子流概率流密度 J re 和透射粒子 流概率流密度 J out 分别是：
k1 1 2 ik1 x * ik1 x J in Re [( A1e ) ( A1e )] A1 e x m i m k1 ' 2 1 ' ik1 x * ' ik1 x J re Re [( A1e ) ( A1e )] A1 e x m i m k1 1 2 ik1 x * ik1 x J out Re [( A3e ) ( A3e )] A3 e x m i m
1 k2 a 当 k2a 1 时，sh(k2 a ) e 2