热学-统计物理3 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律

f v
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2

N
0
v2dN N


0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.

v
vNf (v)dv
0


vf (v)dv

v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0

v3ev2 dv
1
2 kT
0
22
v 8kT 1.60 RT 1.60 RT
f (v)
m
M
o
vp (H2 ) vp (O2 )
2000 v / m s1 vp (H2 ) vp (O2 )
m(O2 ) m(H2 )
32 4 2
vp (H2 ) 2000m/s
vp (O2 ) 500m/s
3.1.4 麦克斯韦速度分布律
1.速度空间的概念 首先在经典物理能量变化为连续性的基础上引入速度空 间的概念：
d f (v) 0
dv vp
M mNA , R NA k
f (v)
f max
vp
2kT m
2RT M
o
vp
v
根据分布函数求得
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
RT M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然速率 vp
附近单位速率间隔内的相对分子数最多 .
v 2.平均速率 v
f (v) T2 T1
T2
f (v)
m
1
T1
m1 m2 m2
o
vp1 vp2
v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
vp1 vp2
v
三种速率的大小顺序为 v p v vrms
三种速率的意义 •讨论速率分布时——用最概然速率 •讨论分子碰撞时——用平均速率 •讨论分子平均平动动能时——用方均根速率
都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规率。
3.1 麦克斯韦速率分布律
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子
的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，
其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而
言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律—
—气体速率分布律。
3.1.1 速率分布函数的概念
在一定温度的平衡态下，气体分子速率分布的统计规律，
N 总分子数的百分比 ，或者某个单个分子以
v v v 区间内的某个速率运动的概率。
则 dNv f v dv 其中，分布函数 f (v) 1 dNv
N
N dv
f (v)
dS
o v v dv
物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态
下，速率在 v 附近单位速率区间
的分子数占分子总数的比,称为速
v内y、分v子z 分数布；f的v分y 布NddN函vy 数，d，N满为足vy~vf y+vxd vy内NddNv分x 子，数dN；为f vvzx~ vNdxdN+vzd，vxdN
为vz~vz+dvz内分子数；由麦克斯韦基本假设有
df vx , vy , vz df vx df vy df vz
分子热运动情况是分子物理的重要研究对象，我们 必须讨论速率大小取值的概率问题。由于分子数目 如此巨大，速率的取值从0到∞，这个取值区间非常 大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概率 都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是 一个大数量偶然微观运动的集体效应的问题，即统 计的问题，对应的规律就是一个统计规律。
2
vz
例5 用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的 气体分子数。
解：如图，设单位体积内的分子数为n，则单位体积内速 度分量vx在vx ~ vx +d vx之间的分子数为nf(vx)d vx 。
C e Bvx2 x

C
y
e
Bv
2 y

f
vz

C e Bvz2 z
令
令 C CxCyCz ,Cx Cy Cz 有
f vx , vy , vz CeBv2
由归一化条件和 3 kT
2



f

vx , vy , vz
v vxi vy j vzk
速度的连续变化对应空间的连续变化，一个速度矢量对应
一组(vx、vy、vz)。以vx、vy、vz为坐标架构起来的“空间”
叫做速度空间。
速度空间
2. 速度分布函数
在速度空间内任意点P(vx、vy、vz)处取体积元
dv=dvxdvydvz，设此体积元内分子代表点的个数为dN，则 任一个分子的速度取在该体积元内的概率为
vx , vy , vz


m
2 kT
2
m v2
e 2kT
麦克斯韦速度分量分布函数为
1
f
vx


m
2 kT
2
e
m 2kT
2
vx
1
f
vy


m
2 kT
2
e
m 2 kT
2
vy
1
f
vz


m
2 kT
2
m
e 2kT
dvxdvydvz 1
1 m v2 f
2
vx , vy , vz
dvx dv y dvz

3 2
kT
球坐标系中体积元 d v2 sin dvd d ，归一化方程变为
积分
2
d

sin d
v2 f
0
dN
N f vx , vy , vz dvxdvydvz
其中f(vx、vy、vz)称为速度分布函数，其物理意义是速度 空间点P(vx、vy、vz) 处单位体积元内分子出现的概率。速
度分布函数的归一化条件为



f

vx , vy , vz
dvxdvydvz 1
f(v) f(vP)
面积= dNv/N
曲线下面宽度为 dv 的小窄v条P 面v积v等+d于v 分布在此v速率区间内的 分子数占总分子数的概率dNv/N 。
气体种类一定（即质量m一定或摩尔质量M一定）时的 速率分布曲线。温度一定时速率分布曲线与气体种类不同 的关系。
气体分子在不同温度、不同质量情况的分布

vz2
因此
f vx2 vy2 vz2 f vx f vy f vz
对上式取对数
ln f vx2 vy2 vz2 ln f vx ln f vy ln f vz
解的形式为
f


f
vx vy

0
0
vx , vy , vz dv 1
4 v2 f 0
vx , vy , vz dv 1
1 m 4 v2 f
20
vx , vy , vz
dv
3 kT 2
解得
3
C


m 2 kT
2
,
B

m 2kT
因此麦克斯韦速度分布函数为
3
f
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布
在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数的比率为
dN v 4
m
3
2 e mv 2 2kT v 2dv
m——分子的质量 T——热力学温度
N
2kT
k——玻耳兹曼常量
麦克斯韦速率分布函数：
麦克斯韦 速率分布函数
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
任一与速度分布有关的物理量的统计平均值为
Q Q vx , vy , vz f vx , vy , vz dvxdvydvz
3.麦克斯韦速度分布率的导出
麦克斯韦统计假设：在热平衡态下，分子按速度的任一
分量的分布应与其它分量的分布无关，即按速度三个分量分