高等数学同济七版第一章电子教案

第一章 函数与极限

第一节 函数

一、集合

定义：以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作()U a .

设δ是任一正数，则开区间(),a a δδ-+就是点a 的一个邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作(),U a δ，即()(){}{},,||U a a a x a x a x x a δδδδδδ=-+=-<<+=-<，点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径.

点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作(),U a δ。

，即

(),U a δ。

()(){},,|a a a a x a x a a x a δδδδ=-⋃+=-<<<<+或{}|0x x a δ=<-<

把开区间(),a a δ-称为a 的左δ邻域，把(),a a δ+称为a 的右δ邻域.

二、函数 1．函数的定义

定义：对于任意x D R ∈⊂，按照对应法则f ，总存在确定的实数y 与之对应，则称y 是

x 的函数，记()y f x =．自变量x 取值的全体称为f 的定义域．对于用抽象的数学式表示的函数，

由于没有实际意义，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．

例：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，例如507⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，

21⎡⎤=⎣⎦

，[]11-=-，[]3.54-=-，把x 看作变量，则函数[]y x =称为取整函数．显然[]x x ≥，定义域为R ，值域为Z ．注：若整数[]n x >，则n x >．

指数函数：x

y a =（0a >且1a ≠） 幂函数：y x μ=（R μ∈是常数）

对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠），特别地，当e a =时，记为ln y x = 三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，1cot tan y x x ==，1sec cos y x x

==， 1

csc sin y x x

==

反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，arccot y x = arcsin y x =：定义域[1,1]-，值域[,]22

ππ

-

arccos y x =：定义域[1,1]-，值域[0,]π

arctan y x =：定义域R ，值域,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

arccot y x =：定义域R ，值域()0,π

定义：指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数． 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合，且用一个解析式表示的函数，称为初等函数.

注：求定义域考虑的几个方面（其中

表示一个x 或x 的一个表达式）

①1

y =

，

分母不能为０ ②y =偶次

，偶次根号下大于等于０

③log a

y =，真数

大于０

④

arcsin

y =，11-≤≤；arccos

y =，11-≤≤

⑤tan

y =，()2

k k Z π

π≠+

∈；

cot

y =，

()k k Z π≠∈

例：求下列函数的定义域 （１）23

821

y x x x =

+--1y x =-解：（１）函数成立满足的条件为

32

10820x x x ⎧-≠⎪⎨+-≥⎪⎩

即1(2)(4)0x x x ≠⎧⎨+-+≥⎩即124x x ≠⎧⎨-≤≤⎩

解之得214x x -≤<<≤或1 所以函数的定义域为[2,1)(1,4]-⋃ （２）函数成立满足的条件为

11010

x ⎧-≤≤⎪⎪>⎨⎪-≥⎪⎩

即11e e x -⎧≤≤⎪⎨<⎪⎩

解之得2

211e

x e --≤≤-

所以函数的定义域为2

2

[1,1]e e --- ２．函数的特性

（１）单调性：对∀1x ，2x I D ∈⊂，当12x x <时，若12()()f x f x <，则称函数()f x 在I 上是单调增加的；若12()()f x f x >，则()f x 在I 上是单调减少的．

（２）奇偶性：设()f x 的定义域为D ，其中D 关于原点对称，若()()f x f x -=成立，则称()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-成立，则称()f x 为奇函数.

注：奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称

（３）周期性：设()f x 的定义域为D ，如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈均有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=成立，则称()f x 为周期函数，正数l 称为函数()f x 的周期.

（４）有界性：设函数()f x 在集合D 上有定义，如果存在正数M ，使得()f x M ≤，对任一x D ∈都成立，则称()f x 在D 上有界；

如果这样的M 不存在，即对于任意的正数M ，无论它多大， 总存在x D ∈使得()f x M >，则称()f x 在D 上无界. 如果存在常数M （或m ），使得对任意的x D ∈，

恒有()f x M ≤（或()f x m ≥），则称()f x 在D 上有上界（或有下界）.

注：()f x M ≤即()M f x M -≤≤，图像夹在以M y =-和M y =为边界的带型区域之间． 例：函数sin y x =在其定义域R 上是有界的，这是因为对任意的x ∈R ，恒有sin 1x ≤． 例：函数1

y x

=在()0,1内没有上界但有下界；在()1,2内有界，显然对任意的()1,2x ∈，恒有

11x ≤，这就是说1

y x

=在()1,2上是有界的；在其定义域(,0)(0,)-+∞∞内无界． 注：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界．