高等数学同济七版第一章电子教案

第一章 函数与极限第一节 函数一、集合定义：以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作()U a .设δ是任一正数，则开区间(),a a δδ-+就是点a 的一个邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作(),U a δ，即()(){}{},,||U a a a x a x a x x a δδδδδδ=-+=-<<+=-<，点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径.点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作(),U a δ。

，即(),U a δ。

()(){},,|a a a a x a x a a x a δδδδ=-⋃+=-<<<<+或{}|0x x a δ=<-<把开区间(),a a δ-称为a 的左δ邻域，把(),a a δ+称为a 的右δ邻域.二、函数 1．函数的定义定义：对于任意x D R ∈⊂，按照对应法则f ，总存在确定的实数y 与之对应，则称y 是x 的函数，记()y f x =．自变量x 取值的全体称为f 的定义域．对于用抽象的数学式表示的函数，由于没有实际意义，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．例：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，例如507⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，21⎡⎤=⎣⎦，[]11-=-，[]3.54-=-，把x 看作变量，则函数[]y x =称为取整函数．显然[]x x ≥，定义域为R ，值域为Z ．注：若整数[]n x >，则n x >．指数函数：xy a =（0a >且1a ≠） 幂函数：y x μ=（R μ∈是常数）对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠），特别地，当e a =时，记为ln y x = 三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，1cot tan y x x ==，1sec cos y x x==， 1csc sin y x x==反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，arccot y x = arcsin y x =：定义域[1,1]-，值域[,]22ππ-arccos y x =：定义域[1,1]-，值域[0,]πarctan y x =：定义域R ，值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭arccot y x =：定义域R ，值域()0,π定义：指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数． 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合，且用一个解析式表示的函数，称为初等函数.注：求定义域考虑的几个方面（其中表示一个x 或x 的一个表达式）①1y =，分母不能为０ ②y =偶次，偶次根号下大于等于０③log ay =，真数大于０④arcsiny =，11-≤≤；arccosy =，11-≤≤⑤tany =，()2k k Z ππ≠+∈；coty =，()k k Z π≠∈例：求下列函数的定义域 （１）23821y x x x =+--1y x =-解：（１）函数成立满足的条件为3210820x x x ⎧-≠⎪⎨+-≥⎪⎩即1(2)(4)0x x x ≠⎧⎨+-+≥⎩即124x x ≠⎧⎨-≤≤⎩解之得214x x -≤<<≤或1 所以函数的定义域为[2,1)(1,4]-⋃ （２）函数成立满足的条件为11010x ⎧-≤≤⎪⎪>⎨⎪-≥⎪⎩即11e e x -⎧≤≤⎪⎨<⎪⎩解之得2211ex e --≤≤-所以函数的定义域为22[1,1]e e --- ２．函数的特性（１）单调性：对∀1x ，2x I D ∈⊂，当12x x <时，若12()()f x f x <，则称函数()f x 在I 上是单调增加的；若12()()f x f x >，则()f x 在I 上是单调减少的．（２）奇偶性：设()f x 的定义域为D ，其中D 关于原点对称，若()()f x f x -=成立，则称()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-成立，则称()f x 为奇函数.注：奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称（３）周期性：设()f x 的定义域为D ，如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈均有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=成立，则称()f x 为周期函数，正数l 称为函数()f x 的周期.（４）有界性：设函数()f x 在集合D 上有定义，如果存在正数M ，使得()f x M ≤，对任一x D ∈都成立，则称()f x 在D 上有界；如果这样的M 不存在，即对于任意的正数M ，无论它多大， 总存在x D ∈使得()f x M >，则称()f x 在D 上无界. 如果存在常数M （或m ），使得对任意的x D ∈，恒有()f x M ≤（或()f x m ≥），则称()f x 在D 上有上界（或有下界）.注：()f x M ≤即()M f x M -≤≤，图像夹在以M y =-和M y =为边界的带型区域之间． 例：函数sin y x =在其定义域R 上是有界的，这是因为对任意的x ∈R ，恒有sin 1x ≤． 例：函数1y x=在()0,1内没有上界但有下界；在()1,2内有界，显然对任意的()1,2x ∈，恒有11x ≤，这就是说1y x=在()1,2上是有界的；在其定义域(,0)(0,)-+∞∞内无界． 注：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界．证明：必要性 若函数()f x 在X 上有界 即∃0M >，使得()f x M ≤，对∀x X ∈都成立∴ ()M f x M -≤≤，∴对∀x X ∈，()f x M ≤，()M f x -≤即()f x 在X 上既有上界又有下界． 充分性 若()f x 在X 上既有上界又有下界 即∃数1k ，使得1()f x k ≤，对∀x X ∈都成立∃数2k ，使得2()f x k ≥，对∀x X ∈都成立∴21()k f x k ≤≤，对∀x X ∈都成立取{}12max ,M k k =，则()f x M ≤，对∀x X ∈都成立∴()f x 在X 上有界．第二节 数列的极限一、数列极限的定义定义：按照下标n 从小到大排列得到的一个序列2,,,,n x x x ，就叫做数列，简记为数列{}n x ．例：（１）1111,,,,,23n（２）1143(1)2,,,,,,234n n n-+-（３）211,,,,,n q q q -（４）11,1,1,1,,(1),n ----定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意 给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得 当n N >时，不等式n x a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a .记为lim n nx a →=∞或()n x a n →→∞． 如果不存在这样的常数a ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在．简记：lim n n x a →=∞⇔0,N n N ε∀>∃>正整数，当时，有n x a ε-<例：证明数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的极限是0.证：对∀0ε>，要使1110n x n n -=-=ε<，即1n ε>，只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，有10nε-<.即1lim 0n n →=∞例：证明数列1(1)n n n -⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的极限是1.证：对∀0ε>，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，即1n ε>，只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当例：设1q <，证明等比数列211,,,,,n q q q -的极限是0.证：对∀0ε>（设1ε<），要使1100n n n x q q ε---=-=<，即ln 1ln n qε>+，只要取ln 1ln N q ε⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，有10n q ε--<.即1lim 0n nq -→=∞. 二、收敛数列的性质定理1（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一. 证：用反证法 假设lim n n x a →=∞，lim n n x b →=∞，且a b <，取2b aε-=由lim n n x a →=∞得，1N ∃ ，当1n N >时，不等式2n b a x a --<成立， 即22n b a b a a x a ---<<+即322n a b a bx -+<<① 同理，由lim n nx b →=∞得，2N ∃ ，当2n N >时，不等式2n b a x b --<成立， 即22n b a b a b x b ---<<+即322n a b b ax +-<<② 取{}12,N max N N =，则当n N >时，①②同时成立，矛盾.得证. 注：逆否命题成立，即收敛于两个不同的极限的数列是发散的. 例：证明数列1(1)(1,2,)n n x n +=-=是发散的.证：反证法 假设此数列收敛，则它有唯一的极限，设lim n nx a →=∞. 由极限定义，对于11,22n N n N x a ε=∃>-<，当时，成立，即n N >当时，n x 都在开区间11,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内，这是不可能的，因为n x 无休止地重复1 和1- 这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为1 的开区间11,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因此这数列发散. 定义：对于数列{}n x ，如果存在着正数M ，使得对于一切n x 都满足不等式n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，就说数列{}n x 是无界的.例：数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界，数列{}2n无界定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界.证：设lim n n x a →=∞，则对于1,1n N n N x a ε=∃>-<，当时，成立 当n N >时，()1n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ ， 取{}12,,,,1N M max x x x a =+，那么数列{}n x 中的一切n x 都满足不等式n x M ≤，这就说明了数列{}n x 是一定有界.注：①逆否命题成立，即数列无界则数列一定发散.②逆命题不一定成立，例如数列{}1(1)n +-，虽然有界但是不一定收敛.定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →=∞，且0a >（或0a <），那么存在正整数0N > ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）.证：当0a >时，由数列极限的定义， 对于0,22n a a N n N x a ε=>∃>-<，当时，成立，从而022n a ax a >-=>同理可证0a <的情形.推论：如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →=∞，那么0a ≥（或0a ≤） 证： 设数列{}n x 从1N 项起，即当1n N >时，有0n x ≥①反证法 若lim 0n nx a →=<∞，则由定理3，220n N n N x ∃><，当时，有② 取{}12,N max N N =，则当n N >时，①②同时成立，矛盾.得证. 同理可证0n x ≤时的情形.第三节函数的极限一、函数极限的定义1.自变量趋于有限值时的函数的极限定义：设函数()f x在点x的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0x xδ<-<时，对应的函数值()f x都满足不等式()f x Aε-<，那么常数A就叫做函数()f x当x x→时的极限，记作0lim()x xf x A→=或0()f x A x x→→（当）．简记：lim()x xf x A→=⇔00,00x xεδδ∀>∃><-<，当时，有()f x Aε-<左极限：()lim()x xf x f x A--→==⇔000,0x x xεδδ∀>∃>-<<，当时，有()f x Aε-<右极限：()lim()x xf x f x A++→==⇔000,0x x xεδδ∀>∃><<+，当时，有()f x Aε-<左极限与右极限统称为单侧极限注：lim()x xf x A→=⇔0()f x-，()f x+存在且相等几何解释：Ay=f(x)x0A-εA+εx0-δx0+δ例：证明0lim x x c c →=，此处c 为一常数.证：对∀0ε>，要使()0f x A c c ε-=-=<，任取000x x δδ><-<，当时，c c ε-<成立，所以0lim x x c c →=.例：证明00lim x x x x →=证：对∀0ε>，要使0()f x A x x ε-=-<，取00x x δεδ=<-<，当时，0x x ε-<成立，所以00lim x x x x →=.例：证明1lim(21)1x x →-= 证：对∀0ε>，要使()(21)121f x A x x ε-=--<-<，取002x x εδδ=<-<，当时，(21)1x ε--<成立，所以1lim(21)1x x →-=.注：00lim(a )a x x x b x b →+=+例：证明211lim 21x x x →-=-证：对∀0ε>，要使21()211x f x A x x ε--=-<-<-，取00x x δεδ=<-<，当时， 2121x x ε--<-成立，所以211lim 21x x x →-=-.例：证明当00x >时，0lim x x →=证：对∀0ε>，要使0()f x A x ε-=≤-<，而0x >可用00x x x -≤保证，取{}00min 0x x x δδ=<-<，当时，ε<成立，所以0lim x x→=例：证明函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f 当0x →时的极限不存在.证：左极限0()f x -=1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x , 右极限00()lim ()lim(1)1x x f x f x x +++→→==+=, 因为)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠所以函数极限不存在.2．自变量趋于无穷大时函数的极限定义：设函数()f x 当||x 大于某一正数时有定义.如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X ，使得当x 满足不等式||x X>时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →=∞或()()f x A x →→当∞几何解释：简记：lim ()x f x A →=∞⇔0,0X x X ε∀>∃>>，当时，有()f x A ε-<同理：lim ()x f x A →-=∞⇔0,0X x X ε∀>∃><-，当时，有()f x A ε-<lim ()x f x A→+=∞⇔0,0X x X ε∀>∃>>，当时，有()f x A ε-<例：证明1lim 0x x→=∞ 证：对∀0ε>，要使11()0f x A x xε-=-=<，取1X ε=，当x X >时，10xε-<成立，所以1lim 0x x →=∞.注：①0=∞常数“”②直线0y = 是函数xy 1=的水平渐近线.一般地, 如果()lim ()x x x f x c →∞→-∞→+∞=, 则直线y c =称为函数()y f x =的图形的水平渐近线.二、函数极限的性质 以0lim ()x x f x A →=为例定理1（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一.定理2（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤.定理3（函数极限的局部保号性）如果0lim ()x x f x A →=,且0A >(或0A <)，那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0()0f x f x ><（或）. 推论：如果在0x 的某去心邻域内()0()0f x f x ≥≤（或），而且0lim ()x x f x A →=，那么0A ≥(或0A ≤).第四节 无穷小与无穷大一、无穷小定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小.即0lim ()0x x f x →=⇔对0ε∀>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，有()f x ε<例：因1lim0x x →=∞，则1y x=为x →∞时的无穷小. 注：无穷小不是很小很小的数. 定理（无穷小与函数极限的关系定理）在自变量的同一变化过程0x x →（或x →∞）中，函数()f x 的极限为A 的充分必要条件是()f x A α=+，其中α是同一极限过程中的无穷小.证：必要性 设0lim ()x x f x A →=，则对00,00x x εδδ∀>∃><-<，当时，有()f x A ε-<，令()f x A α=-，α是当0x x →时的无穷小，且()f x A α=+，这就证明()f x 等于它的极限A 与无穷小之和.充分性 设()f x A α=+，其中A 是常数，α是当0x x →时的无穷小，于是()f x A α-= 因α是当0x x →时的无穷小，所以对0ε∀>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，有αε<， 即()f x A ε-<，这就证明了A 是()f x 当0x x →时的极限.例：求21lim x x x→+∞解：因为2112x x x +=+，而1x 是x →∞时的无穷小，所以21lim 2x x x→+=∞.例：求201lim 1x x x →--解：20001lim lim(1)1lim 11x x x x x x x →→→-=+=+=-.二、无穷大定义：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）.如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x为当0x x →（或x →∞）时的无穷大.记作0lim ()x x f x →=∞或lim ()x f x →∞=∞简记：0lim ()x x f x →=∞⇔对0M ∀>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，有()f x M >或lim ()x f x →∞=∞⇔对0M ∀>，0X ∃>，当x X >时，有()f x M >注：无穷大不是很大很大的数.正无穷大：0lim ()x x f x →=+∞⇔对0M ∀>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，有()f x M >或lim ()x f x →∞=+∞⇔对0M ∀>，0X ∃>，当x X >时，有()f x M > lim ()x f x →+∞=+∞⇔对0M ∀>，0X ∃>，当x X >时，有()f x M > lim ()x f x →-∞=+∞⇔对0M ∀>，0X ∃>，当x X <-时，有()f x M >负无穷大：0lim ()x x f x →=-∞⇔对0M ∀>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，有()f x M <-或lim ()x f x →∞=-∞⇔对0M ∀>，0X ∃>，当x X >时，有()f x M <- lim ()x f x →+∞=-∞⇔对0M ∀>，0X ∃>，当x X >时，有()f x M <- lim ()x f x →-∞=-∞⇔对0M ∀>，0X ∃>，当x X <-时，有()f x M <-例：证明11lim1x x →=∞-证：对0M ∀>，要使11M x >-，只要11x M -<，取1Mδ=，当101x M δ<-<=时，有11M x >-，即11lim 1x x →=∞-.注：① 01lim x x →=∞，0=∞非零常数“”②直线1y =是函数11y x =-的图形的铅直渐近线. 一般地说，如果0()lim ()x x f x -∞→+∞=∞，则直线0x x =是函数()y f x =的图形的铅直渐近线. 定理（无穷小与无穷大的关系定理）：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小，且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大. 证明：设0lim ()x x f x →=∞，则对10,0M εε∀>=>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，有反之，0lim ()0x x f x →=，且()0f x ≠，则对10,0M Mε∀>=>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，有1()f x M ε<=，即1()M f x >，所以1()f x 为0x x →时的无穷大. 例：计算11lim1x x →-解：因为1lim(1)0x x →-=，由无穷小与无穷大的关系定理，所以11lim1x x →=∞-.补充：42P 6.函数cos y x x =在(,)-∞+∞内是否有界？这个函数是否为x →+∞时的无穷大？为什么？ 解：①0M ∀>，总有0(,)x M ∈+∞，使0cos 1x =，从而000cos y x x x M ==>∴ cos y x x =在(,)-∞+∞内无界.②另取2(0,1,2,)2n x n n ππ=+=，()(2)cos(2)022n y x n n ππππ=++= 所以当n →+∞时，n x →+∞，y 不是无穷大.注：lim(0)0n n →∞⋅=用罗比达法则算不出，需要用定义去证明.7.证明：函数11sin y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大. 证：①对M ∀正整数，取012(0,1]x M π=⋅∈4+1使得0()()2f x M M π=⋅>4+1,∴11sin y x x=在区间(0,1]上无界.②取1(0,1,2,)2n x n n π==，则当n →+∞时，0n x →，()2sin 20n y x n n ππ==，所以这函数不是0x +→时的无穷大.第五节 极限运算法则定理1：有限个无穷小的和也是无穷小.证：考虑两个无穷小的和，设αβ及是当0x x →时的两个无穷小，而γαβ=+ 由0lim 0x x α→=，所以对于02ε∀>，10δ∃>，当010x x δ<-<时，2εα<又0lim 0x x β→=，所以对于02ε∀>，20δ∃>，当020x x δ<-<时，2εβ<取12min{,}δδδ=，则当00x x δ<-<时，2εα<及2εβ<同时成立，从而22εεγαβαβε=+≤+<+=这就说明了γ也是当0x x →时的无穷小. 推广到有限个无穷小仍然成立. 例：11lim()01x x x →∞+=- 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证：设函数u 在0x 的某一去心邻域01(,)U x δ。