《简单的线性规划问题》(第一课时)教学设计
“简单的线性规划问题（一）”教学设计
“简单的线性规划问题（一）”教学设计胡晓翠嵊州中学 312400 摘要:线性规划是数学规划问题中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它解决了科学研究、工程设计、经济管理等许多实际问题.线性规划应用的“数形结合”思想方法，将数学核心素养落实到课堂教学中. 关键词：线性规划；数形结合；核心素养；课堂教学学情分析本节课是学生在学习了不等式、直线与方程的基础上，又通过实例理解了平面区域的意义，并会画满足不等式（组）的平面区域，将一些简单的实际问题转化成数学问题 .从数学方法上来分析，学生对图解法的认识有限，数形结合的思想方法还处于入门阶段，这都成了本节课学习的难点. 教学目标知识与技能了解线性规划的意义，线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解. 过程与方法在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力. 在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力. 在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力. 情感、态度与价值观让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣. 让学生学会运用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辩证关系，渗透辩证唯物主义认知论的思想. 教学重难点重点：画可行域；在可行域内，用图解法准确求得线性规划问题的最优解. 难点：在可行域内，用图解法准确求得线性规划问题的最优解. 教学过程 4.1 问题导入(教师：可以看成关于，的直线方程，即表示斜率为，与轴的截距为的一组直线系，求的最大值实际上就是找这组满足要求的直线系中与轴交点纵坐标的最大值.在点，最大值为 .设计意图该问题旨在帮助学生复习上节课内容，并引出本节课将要学习的重点，充分发挥了学生的主观能动性，以学生为主体，教师为主导的教学理念.4.2应用举例4.2.1求线性目标函数的最值问题2 已知变量，满足，求的最值.设计意图问题1和问题2属于同种题型.由问题1的提示,学生可以独立完成问题2，并发现问题1问题2的异同点.该问题不仅加强了学生对线性规划求最值问题的理解,而且通过这一问题的创设,激发学生解决这一问题的心理需求.变式1 在问题2的条件下，求的取值范围.分析由问题2知,目标函数的最大值最 , 最小值 ,即.变式1的设计旨在以不同的角度暴露问题的本质特征, 揭示不同知识点间的内在联系, 有利于发展学生的创新能力, 培养学生观察、分析、归纳的思维能力.4.2.2 求非线性目标函数的最值问题3 在问题2的条件下，求的取值范围.分析该问题不同于问题2，的最值(范围)不再是通过简单的平移目标函数就可以得到的.但可以考察表示的几何意义,它表示可行域中的点与原点所在直线的斜率.设计意图问题3和问题2有相同的可行域,但所求目标函数不一样,通过引导学生思考我们在必修2直线与方程中经常出现与比的形式,进而联想到直线的斜率,则知该问题的实质就是求可行域中的点到原点的直线斜率的取值范围.由此问题让学生对数形结合有更深刻的了解,激发学生产生更大的解题兴趣.变式在问题2的条件下，求的最值.分析问题3几何意义的给出,变式2就比较好处理了.表示为可行域中的点到到原点距离的平方.设计意图非线性目标函数最值问题求解的方法,分析目标函数的几何意义,将目标函数化归成具有明显几何意义的函数.由问题1到问题3,步步为”赢”、环环紧扣、层层深入、题题结”果”.4.3 巩固提高,夯实基础问题4 已知，满足不等式组，求(1)的最值.(2)的取值范围.(3)的最值.分析问题4中既有线性目标函数,又有非线性目标函数求最值(范围)问题.第(1)问简单的线性规划问题,通过平移目标函数找最优解.第(2)(3)问考察目标函数的几何意义.第(2)问,实质上是求可行域中的点到点的直线斜率的取值范围,在问题3的基础上进行变式,旨在加强学生对其几何意义的理解和运用;第(3)问则是可行域中点到点距离平方的最值.设计意图问题4为课堂训练题,学生独立自主完成,并阐述解题思路,学生先行教师断后的教学理念.培养学生知识迁移能力和应用所学知识独立解决问题能力,同时也检验了这堂课的课堂效率.4.4课堂小结,提升认识归纳总结线性目标函数求最值的一般步骤?非线性目标函数求最值(范围)的一般方法?线性规划问题主要的数学思想方法是什么?线性规划帮助我们解决了哪些数学问题?适用于哪些题型?设计意图反思归纳总结,形成知识体系.培养学生概括整理知识的能力,充分体现学生为主体的课堂教学.1.教学反思本节课的设计思路:问题 1(抛砖引玉)——总结概念——问题 2（加强基础,总结方法.线性目标函数最值求解的一般步骤:第一步:画可行域,第二步:作线性目标函数,第三步:平移目标函数,第四步:求目标函数的最值(范围)）——问题3(问题深化,求非线性目标函数最值的一般方法.首先,分析目标函数的几何意义;其次,将目标函数化归成具有明显几何意义的函数,再进行求值.)——问题 4(巩固提高,夯实基础.既检验课堂效果,又培养学生独立自主解决问题的能力)——最后,以学生为主体,教师主导,归纳梳理,提升素质.。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
江苏省泰兴市第一高级中学苏教版必修五数学《3.3.3 简单的线性规划问题(1)》教学设计
3.3。
3简单的线性规划问题（1）江苏省泰兴市第一高级中学陈燕教学目标：1．让学生了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．2．让学生掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值．教学重点:用图解法求线性规划问题的最优解．教学难点:对用图解法求解简单线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．教学方法：1．在学生的独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法—-图解法．2．渗透数形结合的思想，培养分析问题、解决问题的能力．教学过程:一、问题情境1．情境：我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影）某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t 、B 种原料12t,产生的利润为2万元;生产1t 乙种产品需要A 种原料1t 、B 种原料9t ，产生的利润为1万元．现有库存A 种原料10t ，B 种原料60t ，问如何安排才能使利润最大？为理解题意,可以将已知数据整理成下表:（投影)x 、y ，根据题意，A 、B 两种原料分别不得超过10t 和60t ，即41012960x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，，，即4104320x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，．．这是一个二元一次不等式组，此外,产量不可能是负数，所以0,0≥≥y x ③于是上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．④下,求出x ，y ,使利润（万元）y x P +=2达到最大．2．问题:上述问题如何解决？ 二、学生活动①①让学生探究解决这个问题分几个步骤；②让学生分组讨论：如何在不等式组确定的区域中找到y=2取P+x得最大值的数对（x，y)；③由学生整理解决这个问题的思路．（投影）首先，作出约束条件所表示的区域．其次，考虑yP+=2变x=2的几何意义,将yxP+形为P=2,它表示斜率为－2，在y轴上截距为P-y+x的一条直线．平移直线P34=x与20+yx的-xy+=2，当它经过两直线104=+y交点A(1.25,5）时，直线在y轴上的截距P最大．因此,当5x=2取得最大值5.7x时，yP+=y25,.1=+⨯，即甲、乙两2=525.1种产品分别生产1.25t和5t时，可获得最大利润7。
简单的线性规划问题(第1课时)学案设计
第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)学习目标1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念.3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.合作学习一、设计问题,创设情境问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如,某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下表:该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,怎样安排生产才能使利润最大?问题1:利润由哪些量来决定?有哪些数量关系?根据这些数量关系,可以设出几个未知数?请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系.问题2:有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题?问题3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么,怎样获取符合条件的x,y的值呢?二、信息交流,揭示规律问题4:若把不等式组改变为{x+2y≤8,x≤4,y≤3,x≥0,y≥0.求z=2x+3y的最大值,这种方法还可以用吗?那样如何求解呢?问题5:大家在刚才的代入法求解中,有没有发现点A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都为9,也就是使2x+3y=9成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的点吗?点(4,1)会对应着类似的直线吗?问题6:如何从几何角度认识z=2x+3y?它对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行直线?那么,怎样求z的最大值呢?请大家自己探究一下.三、运用规律,解决问题【例题】设z=2x+y,式中变量x,y满足条件{x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,求z的最大值和最小值.问题7:请大家反思一下,解答线性规划问题的一般步骤是什么.四、变式训练,深化提高变式训练1:设z=6x+10y,式中x,y满足条件{x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,求z的最大值和最小值.变式训练2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的哪个点?问题8:目标函数z=ax+by中,z与纵截距的关系主要由哪个字母决定?问题9:刚才有的同学得出目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的点C 和点B,这是什么原因造成的呢?五、反思小结,观点提炼问题10:目标函数z=ax+by中有几个自变量?我们这节课学习的线性规划问题,体现了什么数学思想?那么我们在四个步骤中应该注意什么问题?参考答案一、设计问题,创设情境问题情境:问题1:生产的甲、乙产品的数量.等量关系:使用的A 配件数量=甲产品数量×4; 使用的B 配件数量=乙产品数量×4; 利润=2×甲产品数量+3×乙产品数量.不等关系:生产甲产品总耗时+生产乙产品总耗时≤8; 使用的A 配件数量≤16; 使用的B 配件数量≤12;甲、乙产品的数量都是自然数.甲产品数量x 、乙产品数量y 、利润z.{x +2y ≤8,4x ≤16,4y ≤12,x ,y ∈N .即{ x +2y ≤8,x ≤4,y ≤3,x ,y ∈N . 问题2:已知实数x ,y 满足{x +2y ≤8,x ≤4,y ≤3,x ,y ∈N .求z=2x+3y 的最大值.问题3:碰到过;用函数求最值、几何法求最值;不能,因为没有关于x ,y 的等式,不能消元;可以画出不等式组表示的平面区域,然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出,代入z=2x+3y ,通过比较求得最大值.二、信息交流,揭示规律学生探究1:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 可以求得平面区域内满足x ,y ∈N 的点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2).将坐标代入,比较知道,当x=4,y=2时,z 最大为14. 问题4:不能,点有无数个,不可能一一验证.问题5:2x+3y=9表示一条直线,而点A (0,3),B (3,1)都在直线2x+3y=9上,所以都能使得2x+3y=9成立;有,如图所示的平面区域内位于线段AC 上的所有的点,都使2x+3y=9,即z 的值等于9;对应着直线2x+3y=11.问题6:当z 变化时,它表示一族平行直线.将z=2x+3y 化为斜截式为y=-23x+z3,所以直线的斜率确定;而且这组直线必须和平面区域有公共点.因为当纵截距z 3最大时,z 就最大.所以,只需作出平行直线后,找到与y 轴的交点最靠上的那条直线所经过的一个点就可以求z 的最大值了.学生动手操作后,得出结论:当直线平移经过点P 时,位置最靠上,也就是纵截距最大,从而z 最大.把点P (4,2)代入z=2x+3y 后,得到z max =14.三、运用规律,解决问题【例题】解:由题意,变量x ,y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当x=0,y=0时,z=2x+y=0,即点(0,0)在直线l 0:2x+y=0上,作一组平行于l 0的直线l :2x+y=t ,t ∈R ,可知:当l 在l 0的右上方时,直线l 上的点(x ,y )满足2x+y>0, 即t>0,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大.由图象可知,当直线l 经过点A (5,2)时,对应的t 最大, 当直线l 经过点B (1,1)时,对应的t 最小, 所以,z max =2×5+2=12,z min =2×1+1=3.问题7:一画(可行域);二移(直线);三求(最优解);四答(最大值).四、变式训练,深化提高变式训练1:解:由引例可知:直线l 0与AC 所在直线平行,则由引例的解题过程知,当l 与AC 所在直线3x+5y-25=0重合时z 最大,此时满足条件的最优解有无数多个,当l 经过点B (1,1)时,对应z 最小,将AC 所在直线上任意一点,如A (5,2),代入z=6x+10y ,得z max =6×5+2×10=50,z min =6×1+10×1=16.变式训练2:分别对应可行域中的点C 和点A.问题8: b 的符号,当b>0时,直线l 在最上(下)面时z 最大(小);当b<0时,直线l 在最上(下)面时z 最小(大).问题9:目标函数对应直线的斜率13比可行域中直线x-4y+4=0的斜率14大,但是在平移直线时,所作直线没有与直线x-4y=0保持平行而是发生偏斜,使平行后所得到的直线斜率小于14.五、反思小结,观点提炼问题10:两个;数形结合;一画要准;二移直线斜率要相对准确;三求最优解位置要准确.。
《简单的线性规划问题》教学设计
《简洁的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产支配等问题，它是一种重要的数学模型。
简洁的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
与其它部分学问的联系，表现在：二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简洁的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。
从数学学问上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的相识还很少，数形结合的思想方法的驾驭还需时日，这都成了学生学习的困难。
所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。
三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学试验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、视察思索、猜想探究的爱好。
留意引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从详细到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培育学生的学会分析问题、解决问题的实力。
四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题4.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的实力5.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简洁的线性规划问题教学难点：精确求得线性规划问题的最优解。
简单的线性规划问题 教学设计
简单的线性规划问题（第1课时）湖北省公安县第二中学袁泽军教材：人教A版数学必修5第三章第3.3.2节第87页教学目标：1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的图解法，会借助几何直观解决简单线性规划问题．3.充分借助信息技术，经历探索线性规划最优解的过程，体会线性规划的基本思想，逐步建立数形结合的思想，初步发展学生识图、读图和画图的能力．教学重点：线性规划问题的图解法教学难点：如何寻找线性规划问题的最优解教学方法：启发引导探究式教学方法教学手段：多媒体辅助教学教学过程：一、复习引入导出新课〖问题〗某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t；每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1 000元．现库存的A种矿石有300t、B种矿石有200t、煤有360t．问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？（1）列出二维表格表示图中的数据信息．（2）用不等式表示上述问题中的不等关系．设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，则：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x（3）画出上述不等式组表示的平面区域．（线定界，点定域）（4）如果用z （元）表示利润总额，你能用x 、y 表示z 吗？（z ＝600x ＋1 000y ．）（5）如何求z 的最大值呢？（引入新课）二、师生互动 概括总结（1）引导学生探索线性目标函数z 何时取得最大值．将目标函数z ＝600x ＋1 000y 变形为z x y 001.06.0+-=，它表示一组斜率为－0.6的平行直线，0.001z 为y 轴上的截距，当截距0.001z 最大时，目标函数z 取得最大值．故只需作出z x y 001.06.0+-=的一个初始位置x y 6.0-=，再将这条直线上述平面区域内平移，容易知道在点⎪⎭⎫ ⎝⎛291000,29360处（大约在点（12.4，34.4）处）取得最大值，此时291216000max =z ≈41931（元）． （2）指导学生阅读自学线性规划相关概念（教材第99页最后一段：约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行域、可行解、最优解等）．（3）借助几何画板直观理解最优解及求解线性规划问题的过程．（4）求解线性规划问题的主要步骤概括：○设——设立未知数 ○列——列出线性约束条件及线性目标函数 ○画——画出可行域 ○移——平行移动目标函数表示的直线 ○求——求出目标函数的最值及最优解 ○答——回答题目的结论 （5）学法指导：代数问题用几何图形求解，体现了什么数学思想方法？（数形结合）三、整合技术 如虎添翼（1）用计算机中的Excel 解决线性规划问题．（2）用专门的软件求解线性规划问题．借助“简单线性规划解题系统”（江西省景德镇市教研所严剑老师开发）求解线性规划问题，让学生看到现代技术的功能．四、深入探究 拓展思维〖问题变式〗（1）在〖问题〗中，若每1t 甲种产品的利润是1 000元，每1t 乙种产品的利润是600元，问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？（2）在〖问题〗中，若每1t 甲种产品的利润是1 000元，每1t 乙种产品的利润是800元，问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？（3）在〖问题〗的数学模型中，若将线性目标函数改为y x z 1000600-=，则线性规划问题的最优解是多少？（线性约束条件不变，但目标函数发生了变化，引导学生观察最优解的变化．）五、回顾反思 课堂小结1. 本节课我们学到了哪些知识？（线性规划问题有关的概念；线性规划问题的图解法及解题步骤；线性目标函数和线性约束条件的改变对最优解的影响；计算机在求解线性规划问题中的辅助作用．）2.在求解线性规划问题过程中，运用了什么数学思想方法？（数形结合的思想方法）六、布置作业拓展延伸1.教材第91页练习第2题，第93页习题3.3A组第3题2.思考题：（1）（规划迟到引起的焦虑）假若A君和B君互订以下的约会协议：（1）双方必须在约会时间过后的30分钟内到达约会地点；（2）若一方到达时不见对方，最多只会等候10分钟．若x、y（分钟）分别表示A和B在约会时间后到达约会地点所需的时间，焦虑指标I＝2x＋3y表示两人共同承担的焦虑，问x、y分别为多少时，两人承担的焦虑最大？（2）如果不用图解法，你能求出线性规划问题的最优解吗？附：教学设计几点简要说明1.本节课的重点是用图解法求解线性规划问题，难点是如何寻找线性规划问题的最优解．因此，我想借助一个简单的例子作为载体，让学生理解求解线性规划问题的步骤及要点．简单的含义有两层：一是可行域最好为封闭的图形；二是不涉及到整数解问题．教材中所有的例习题均不符合这个要求，我只好撇开教材另外取材．一开始，我选取了“规划焦虑”（选自上海远东出版社出版、罗浩源编著的《生活中的数学》第49页）作为引例，但其中的焦虑指标不好理解，而且不适合后面教学的继续使用．最终，我将它作为课后思考（因为有趣），而选取了一个普通的产品安排问题作为引例和贯穿整个课堂的母例（因为恰当）．2.高中阶段所研究的线性规划问题仅限于二元线性规划问题，多元线性规划问题便无法用图解法求解了．较为复杂的线性规划问题常常需要工具、软件的辅助．本节课我充分借助现代信息技术整合课堂教学（用几何画板动态演示目标函数值的变化过程，用Excel解决线性规划问题，用专门的软件求解线性规划问题），目的是让学生增强用现代信息技术的意识，培养学生初步的用现代信息技术的能力．3.线性规划问题的最优解因线性约束条件的不同而不变，随线性目标函数的改变而改变，因此，我设计了一组变式问题，在线性约束条件相同的情况下改变线性目标函数，看最优解的求解过程究竟发生了哪些变化．从而让学生了解求解线性规划问题最优解应注意的两个关键点：一是随着线性目标函数的直线从原点向右上方平移，其函数值是逐渐变大还是逐渐变小；二是线性目标函数何时取得最大值或最小值，尤其要注意其斜率与边界直线的斜率之间的关系．4.新课程改革要求教师的教学方式和学生的学习方式也要发生相应的变革．课标指出：“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，……，阅读自学等都是学习数学的重要方式．”课标还指出：“在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与、师生互动．”因此，我采用启发引导探究式教学方法，在教学中努力启迪学生思维、引导学生思考、指导学生阅读，让学生养成良好的学习习惯和一点终生有用的学习方法．。
《简单的线性规划问题》(第一课时)经典版
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
x 2y 8
4 4
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 3
0
M（4，2）
4
8
x
1
y x4
2
y2x z 33
Z ma 4 x22314
相关概念
目标函数：欲求最大值或求最小值的的函数。若目标函 数是关于变量x、y的一次解析式，则
05 04 001
性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件：变量x、y所满足的一次不等式组或一次 方程。
C
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解
B
可行域：由所有可行解组成的集合
A
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）
变式：求利润z=x+3y的最大值.
x 2y 8
4 4
x y
x y
16 12
y 6
x 0 y 0
y=6
Y
8
6
C
D
目标函数： Z=3x+y
x-y=7
B（9,2）
当目标函数
O
Z=3x+
y经过点B（9,2）
-7
A7
12 X
2x+3y=24 l1
时，此时Z取最大， Zmax=3*9+2=2 9
l0:3x+y=0
小结
本节主要学习了线性约束下如何求目
标函数的最值问题 1. 正确列出变量的不等关系式, 准确作
都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
把z=2x+3y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,
（简单的线性规划问题）说课稿
（简单的线性规划问题）说课稿说课稿课题：简单的线性规划问题第一课时选自：普通高中课程标准实验教科书数学（必修五）学校：西吉中学蒙彦强课题：简单的线性规划问题尊敬的各位专家、各位评委下午好：我是来自西吉中学的数学老师蒙彦强，今天我说课的课题是《简单的线性规划问题》第1课时。
我本节课尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正！一、教材分析：1、教材的地位与作用：线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。
本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。
通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
2、学情分析在本节课之前学生已经有了直线的方程和用不等式（组）表示平面区域的理论基础，并掌握了“直线定界，特殊点定域”的方法画平面区域，具备了将二元一次方程和二元一次不等式转化为直线和平面区域的意识，但学生初次接触线性规划问题，缺乏数形转化的意识和数学建模的能力。
因此在教材处理上有一定难度，老师必须通过得当的诱导，学生才能突破将实际问题转化为数学问题的“瓶颈”，让学生体会到探究的快乐，培养学生的实际应用能力。
3、教学重点与难点：依据新课程标准和本课内容学生的学情以及知识构成的特点，我确定了以下的教学重点和难点：教学重点：1、用二元一次不等式组表示平面区域，建立数学模型，用图解法确定最优解；2、只有掌握了目标函数的几何意义，才能正确掌握用图解法求解最优化问题；教学难点：如何建模和如何定最优解；数学建模思想较为抽象；学生没有这方面的基础知识。
《简单的线性规划(第1课时)》教学设计
3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)(名师：陈庚生)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务 1 阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.2．预习自测1．不等式组36020.x yx y≥⎧⎨<⎩－＋，－＋表示的平面区域是( )【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B2．不等式组210.y xy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，－，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D3．若满足条件20x yx yy a-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C（二）课堂设计1．知识回顾在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：0=++CByAx；（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0>++CByAx；（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0Ax By C++<.即二元一次不等式0Ax By C++>或0Ax By C++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2．问题探究问题探究一线性规划的含义观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x想一想：在前一节二元一次不等式（组）与平面区域的学习中，如何将上述不等式组表示成平面区域？探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？想一想：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？将 变形为 ，这时直线斜率为 ，在轴上的截距为 . 当变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.由于直线的斜率是确定的，说明截距13z 平面内的点的坐标唯一确定．又因为斜率为23-，因此当截距13z 最大时，z 取 . 因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z 最大. 由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线与直线的交点M （4,2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.想一想：什么是线性规划？在上述问题中，我们将由变量组成的不等式(组)成为线性约束条件；将要求最值的函数，如，称为 .一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值，统称为 .满足线性约束条件的解叫做 ，由可行解组成的集合叫做 ，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 .如上述问题中可行解为最优解.问题探究二 不等式组表示的平面区域例1 画出不等式组5003.x y x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋，＋，表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解：在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计．解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组503.x yx yx≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋，＋，表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈5[,3]2-，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知523.x y xx x-≤≤⎧⎨≤≤∈⎩Z＋，－，且当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．变式迁移1：在平面直角坐标系中，有两个区域M、N，M是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1(0≤t≤1)所确定．设M、N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)＝______________.解：作出由不等式组0,,2.yy xy x≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩－组成的平面区域M，即△AOE表示的平面区域，当t＝0时，f(0)＝12×1×1＝12，当t＝1时，f(1)＝12×1×1＝12，当0<t<1时，如图所示，所求面积为f(t)＝S△AOE －S△OBC－S△FDE＝12×2×1－12t2－12[2－(t＋1)]2＝－t2＋t＋12，即f(t)＝－t2＋t＋12，此时f(0)＝12，f(1)＝12，综上可知f (t )＝－t 2＋t ＋12. 问题探究三 线性规划的解决方法活动一：求by ax z +=型最值问题例1、设y x z +=2，式中变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求z 的最值.思路导析：解线性规划问题关键是准确的做出可行域，准确地理解z 的几何意义.对于目标函数为by ax z +=型时，要把目标函数等价转化成z b x b a y 1+-=形式，这时z 可以看成是直线z b x b a y 1+-=在y 轴上截距的b1倍，当0>b 时，截距越大z 的值越大，截距越小z 的值越小；当0<b 时，截距越大z 的值越小，截距越小z 的值越大.解：作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示把y x z +=2变形为z x y +-=2，得到斜率为2-，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一组平行直线，由图可以看出，当直线z x y +-=2经过可行域上的点A 时，截距z 最大；经过点B 时，截距z 最小.解方程组⎩⎨⎧=-+=+-02553034y x y x 得A 点坐标（5,2） 解方程组⎩⎨⎧=+-=0341y x x 得B 点坐标（1,1）所以max min 25212,211 3.z z =⨯+==⨯+=规律总结：由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地做出可行域，并且准确的理解z 的几何意义，本题目标函数在y 轴上的截距的最大值与z 的最大值是相对应的.变式练习1、求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x 解析：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点917(,)88的直线所对应的t 最大.所以min 3(-2)5(-1)-11Z =⨯+⨯=， max 9173 5 1488Z =⨯+⨯=. 活动二 求by ax z -=型最值问题例2、求y x z 23-=的最大值与最小值，使式中的y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-07207302154y x y x y x .思路导析：确定目标函数y x z 23-=去最大值和最小值的几何意义.z 的值随目标函数直线在y 轴上的截距的增大而减小.解析：做出不等式组所表示的可行域，如图所示阴影部分把目标函数y x z 23-=变形为z x y 2123-=，得到斜率为23，在y 轴上的截距为z 21-，随z 变化的一组平行直线，令x y l 23:0=，平移直线时，z 的值随直线在y 轴上的截距z 21-的增大而减小. 由图可知，当直线经过可行域上的点B 时，z 21-最大，此时z 最小；经过C 点时z 21-最小，此时z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+-=+-07302154y x y x 得B 点坐标（-4,1），所1412)4(3min -=⨯--⨯=z . 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-072073y x y x 得C 点坐标（2,3），所以03223max =⨯-⨯=z . 规律总结：上面解法是解线性规划问题的标准格式，关键是找准可行域，确定目标函数y x z 23-=的最大值和最小值的几何意义.本题中的目标函数随目标函数线在y 轴上截距的增大而减小.因为目标函数值一般都在可行域的顶点上取的，所以有时可求出各顶点坐标代入目标函数检验即可.但要注意线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有可能有无数多个．变式练习2、已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，求目标函数z=x-2y 的最小值.解析：画出满足不等式组的可行域如图，目标函数化为：x y 21=－z ，画直线x y 21=及其平行线， 当此直线经过点A 时，－z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6），所以z 的最小值为：3－2×6＝－93．课堂总结【知识梳理】图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．【重难点突破】对线性目标函数的求法，分by ax z +=型与by ax z -=型两类分别阐述，深刻理解线性规划的含义.(1)利用线性规划解题时，应严格分清直线的倾斜角度，根据线性目标函数的斜率与约束条件中直线的斜率的大小，正确画出图形，利用图形求解．(2)解线性规划问题的一般步骤是：第一，由线性约束条件画出可行域；第二，令目标函数中的z 为0得直线l 0，平移l 0；第三，求出最优解；第四，把最优解代入目标函数，求出z 的最值作答．4．随堂检测1.目标函数z＝－2x＋3y，将其看成直线方程时，z的意义是( ) A．该直线的纵截距B．该直线的纵截距的3倍C．该直线的横截距D．该直线的横截距的3倍【知识点：简单的线性规划】解：B2.设变量满足约束条件1,0,20,yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则的最大值为( )A．-1 B．1 C．7 D．8 【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C3.若变量x，y满足约束条件1,10.x yxy≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋，则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B 画出可行域如下图阴影部分所示．画出直线2x＋y＝0，并向可行域方向移动，当直线经过点(1,0)时，z取最小值．当直线经过点(2,0)时，z取最大值．故z max＝2×2＋0＝4，z min＝2×1＋0＝2.4.若x，y满足约束条件232 3.xx yx y≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，＋，＋则z＝x－y的最大值是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】 解：0作出约束条件0,23,2 3.x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩＋＋表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线z ＝x －y过点A (1，1)时，目标函数z ＝x －y 取得最大值0.5.若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：[－3,0] 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3. （三）课后作业 基础型 自主突破1.若变量x ，y 满足约束条件1020.y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，＋，－－则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】答案：B 如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数z＝x－2y经过x＋y＝0与x－y－2＝0的交点A(1，－1)时，取到最大值3.2．变量x、y满足下列条件2122936232400.x yx yx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨⎪⎪≥≥⎩＋，＋，＋＝，，则使z＝3x＋2y最小的(x，y)是( )A．(4.5,3) B．(3,6) C．(9,2) D．(6,4) 【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】答案：B3.如图中阴影部分的点满足不等式组52600.x yx yx y≤⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩＋，＋，，在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】答案：(0,5)4.设变量x，y满足约束条件203603.x yx yy≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－－，＋－，则z＝－2x＋y的最小值为( )A．－7 B．－6 C．－1 D．2【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：A.可行域如图，平移直线y＝2x至过点(5，3)时，z取得最小值－7.5.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( ) A．－6 B．－2 C．0 D．2【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：A设z＝2x－y，可行域如图阴影部分所示，当直线y＝2x－z过点A时，截距－z 最大，即z最小，所以最优解为(－2,2)，z min＝2×(－2)－2＝－6.6.若实数x，y满足100.x yx yx≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋，＋，则z＝3x＋2y的值域是________．【知识点：简单的线性规划，指数函数；数学思想：数形结合，转化与化归】解：[1，9]令t＝x＋2y，则y＝－12x＋2t，作出可行域，平移直线y＝－12x，由图象知当直线经过O 点时，t 最小，当经过点D (0，1)时，t 最大， 所以0≤t ≤2，所以1≤z ≤9，即z ＝3x ＋2y 的值域是[1，9]． 能力型 师生共研7.设x ，y 满足约束条件320000.x y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪≥≥⎩－－，－，，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为4，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解析：选 C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1，1)时取最大值，所以a ＋b ＝4.8.设实数x ，y 满足条件410028000.x y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪≥≥⎩－－，－＋，，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则23a b+的最小值为( ) A ．256B ．83C ．113D ．4【知识点：简单的线性规划，基本不等式；数学思想：数形结合】解：A 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即32a b +＝1.∴23a b +＝23()a b +·()32a b +＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.9.若x，y满足条件3560231500.x yx yy≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，＋－，当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：23(,)35-画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3，3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则23 35a-＜＜.10.线性目标函数z＝3x＋2y，在线性约束条件3020.x yx yy a≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩＋－，－，下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：[2，＋∞)作出线性约束条件3020.x yx yy a≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩＋－，－，所表示的可行域如图所示，因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形及直线斜率可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．探究型多维突破11.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．【知识点：简单的线性规划，平面向量；数学思想：数形结合，转化与化归，方程思想】解：(1)法一：法二：(2)因为OP mAB nAC＝＋，所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，所以22. x m n y m n ⎧⎨⎩＝＋，＝＋两式相减得，m－n＝y－x.令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________． 【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】 解：15因为 x 2＋y 2≤1，所以2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y . 令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，所以直线OA 的方程为y ＝43x . 联立22431.y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，＋得A (－35，－45)， 所以当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，z max ＝10－3×(－35)－4×(－45)＝15. 自助餐1.已知不等式组，则目标函数z=2y ﹣x 的最大值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣5D ．4 【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】 解：A2.若变量x ，y 满足约束条件11.y x x y y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，＋，－且的最大值和最小值分别为m 和n ，则等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B3.若变量x，y满足约束条件3212,212,0,0.x yx yx yxy≥⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩－－,＋＋则z＝3x＋4y的最大值是（）A．12 B．26 C．28 D．33【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C 作出可行域如图五边形OABCD边界及其内部，作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值．由212212.x yx y⎧⎨⎩＋＝，＋＝得B(4,4)．于是z max＝3×4＋4×4＝28，故选C项．4.已知O为坐标原点，点M的坐标为(－2，1)，在平面区域20.xx yy≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，＋，上取一点N，则使|MN|取得最小值时，点N的坐标是( )A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(2，0) 【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B. 作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，当MN⊥y轴时，|MN|取到最小值，即N(0，1)．5.已知平面区域如图所示，z＝mx＋y(m>0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为( )A．－720B．720C．12D．不存在【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B 当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．∵k AC＝223551--＝－720，∴－m＝－720，即m＝720.6.实数x，y满足1,1),0.xy a ax y≥⎧⎪≤>⎨⎪≤⎩－(若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为( )A．4 B．3 C．2 D.3 2【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.7.若x，y满足约束条件1030330.x yx yx y≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，＋－，＋－则z＝3x－y的最小值为________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：－1 画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min＝3×0－1＝－1.8.设变量x，y满足52180,20,30.x yx yx y≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋－－＋－若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：19.线性目标函数z＝3x＋2y，在线性约束条件30,20,.x yx yy a≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩＋－－下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：[2，＋∞)作出线性约束条件30,20,.x yx yy a≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩＋－－所表示的可行域如图所示，因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形及直线斜率可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．10．设x，y满足约束条件3,4,4312, 4336. xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩－－－＋＋(1)求目标函数z＝2x＋3y的最小值与最大值；(2)求目标函数z＝3x－y的最小值与最大值．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：作出可行域如图．(1)z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋3z ，得到斜率为－23，在y 轴上的截距为3z ，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线经过可行域上的点D 时，截距3z 最大，即z 最大． 解方程组43124336.x y x y ⎧⎨⎩－＋＝，＋＝得D 点坐标x ＝3，y ＝8. ∴z max ＝2×3＋3×8＝30.当直线经过可行域上点B (－3、－4)时，截距3z 最小，即z 最小． ∴z min ＝2x ＋3y ＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18.(2)同理可求z max ＝40，z min ＝－9.11.若x ，y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩＋－－－(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值； (2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－2a <2， 解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)． 12.已知220,240,330.x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩＋－－＋－－求z ＝|2x ＋y ＋5|的最大值与最小值．【知识点：简单的线性规划，点到直线的距离；数学思想：数形结合】解：由约束条件画出可行域，设点P (x ，y )为可行域上任意一点，则z ＝|2x ＋y ＋5|＝22|25|521x y ++⋅+表示点P 到直线2x ＋y ＋5＝0的距离的5倍．因为直线2x＋y ＋5＝0平行于直线2x ＋y －2＝0，结合图形可得，当点P 位于图中点B (2,3)处时，目标函数取最大值；当点P 位于线段AC 时，目标函数取最小值，所以z max ＝12，z min ＝7.。
【课后作业】~3.3.2简单的线性规划问题(第一课时)教学设计
《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计授课教师：龙鑫教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。
主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。
教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用。
本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想。
学情分析：本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
教学目标：知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
简单线性规划问题教案
课题名称：简单的线性规划问题(教课设计 )高一数学备课组（潘洪存）三维教课目的知识与技术：①认识线性规划的意义以及拘束条件、线性目标函数、可行域、最优解等有关的基本观点；②在稳固二元一次不等式（组）所表示的平面地区的基础上，能从实质优化问题中抽象出拘束条件和目标函数，并依照目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实质优化问题成立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培育学生的形象思想能力、绘图能力和研究能力；②加强数形联合的数学思想方法；③提高学生建立（不等关系）数学模型、解决简单实质优化问题的能力。
感情、态度与价值观：①在感觉现实生产、生活中的各样优化、决议问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感觉动向几何的魅力；③在研究性练习中，感觉多角度思虑、探究问题并收获研究成就的乐趣。
教课要点及应付策略1、教课要点：依据实质优化问题正确成立目标函数，并依照目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；教课难点：①借助线性目标函数的几何含义正确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z 最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
教课过程设计教课教课内容师生活动设计企图环节复习回首，引入本节课要研究的数师生共同回首前面所学内容，在作唤起学生对直线地点一、学识题出 5 条直线的图像的基础上，剖析关系的回想，为本节（1）出它们之间的关系结论：课利用数形联合的方指引学生在同向来角坐标系复下作出以下直线，并找出它们之间①形如 2 x y t 的直线与法解决线性规划问题习回顾二、创设的关系：l1 : 2 x y 0 平行打下础。
l1 : 2x y 0;l 2 : 2x y1;l3 : 2x y 3②k<0 时，k 越大，直线的倾斜角l4 : x y 0;l5 : x 3 y 0越大指引学生作出以下不等式组第一由学生回答前两个问题，在小让学生产生进一步学（2）x4y3组议论后请一位学生代表回答第三习的欲念，即怎样能所表示的平面地区3x 5 y25，解决这类最值问题。
【教学设计】《简单的线性规划问题》(人教)
《简单的线性规划问题》1、知识与技能（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
2、过程与方法本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性。
3、情感态度与价值观渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。
【教学重点】线性规划的图解法。
【教学难点】寻求线性规划问题的最优解。
（一）新课导入某工厂用A，B两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元，生产1 件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大?把问题1的有关数据列表表示如下:设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知条件可得到哪些不等式呢？（二）新课讲授设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知条件可得:⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0，将上面不等式组表示成平面上的区域，区域内所有坐标为整数的点P(x，y)，安排生产任务x，y都是有意义的。
问题：求利润2x+3y的最大值。
若设利润为z ，则z=2x+3y ，这样上述问题转化为:当x ，y 在满足上述约束条件时，z 的最大值为多少?把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，在y 轴上的截距为z3，当点P 在可允许的取值范围变化时，求截距z3的最值，即可得z 的最值。
如图：由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4，2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14。
简单的线性规划问题(一) 设计
“简单的线性规划”的设计说明
本节课是“简单的线性规划”第二课时，为实现本课时的教学目标，抓住重点，突破难点，在设计这堂课时，考虑了如下方面：
1.从实际出发，引出线性规划问题，在数学概念的引入过程中，教学的主要方式是在学生已经获得的感性认识的基础上，再给数学概念下定义。
本节课首先从创设一个实际问题情境出发，然后将一个实际问题抽象概括为一个数学问题，从而引出线性规划问题。
2.变方法的传授过程为问题的解决过程
本节课主要通过问题1说明线性规划的意义及有关概念，介绍了线性规划问题的图解法。
因此，问题的教学是本节的重点。
在讲解问题1 时，教师主要采用启发式教学方法引导学生在对问题的观察、联想、分析、化归的尝试过程中，紧紧抓住数形结合的思想方法，通过学生的积极参与及多媒体手段的运用，再达到使一个平淡的方法传授过程变为生动有趣的问题的解决过程的目的。
3．通过变式训练，促进知识的深化。
为使学生将所学的知识转化为技能，本节课的练习设计力求由浅入深，由易到难，同时又有利于教师及时反馈、及时调节，使学生对线性规划的知识在认识上得到深化、升华。
4.重视小结的“画龙点睛”作用。
课堂小结主要帮助学生对线性规划问题进行再认识，并将本节内容纳入原有知识体系，使其达到举一反三、灵活运用的目的。
《简单的线性规划问题》教案12新人教A版
《简单的线性规划问题》教案12（新人教A版必修5）3．3简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题（一）一、教学目标(1)知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(2)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(3)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生"数形结合"的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣二、教学重点、教学难点教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解三、教学过程（一）复习引入1、某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有的日生产安排是什么？（1）设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可的二元一次不等式组：※（2）将上述不等式组表示成平面上的区域，如图3.3-9中阴影部分的整点。
（3）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x、y满足不等式※并且为非负整数时，z的最大值是多少？变形：把，这是斜率为，在轴上的截距为的直线，当z变化时，可以得到一组互相平行的直线；的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经点P时截距最大平移--通过平移找到满足上述条件的直线表述--找到给M（4，2）后，求出对应的截距及z的值（二）新课讲授1、概念引入（1）若，式中变量x、y满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x、y的约束条件，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.二、目标和目标解析（一）教学目标1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.（二）教学目标解析1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量(,)x y表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答.3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础, 使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法.4. 在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力.三、教学问题诊断分析本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：（1）将实际问题抽象成线性规划问题；（2）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？（3）数形结合思想的深入理解.为此教学中教师要千方百计地为学生创设探究情境，并作合理适度的引导，通过学生的积极主动思考，运用由特殊到一般的研究方法，借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系四、教法分析新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.（3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.五、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．六、教学过程（一）创设情境，激发探究欲望组织学生做选盒子的游戏活动.在下图的方格中,每列(x)与每行(y)的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关,且每次的关系式在变化,你会选哪个盒子?例如: 第一次:分值=x y+ (即: 列数+行数)第二次:分值=2- (即: 行数-列数×2)y x师生活动：教师组织学生做选盒子得分的游戏，学生用“运算—比较”的方法容易解决老师提出的问题.之后，给出图3，让学生在图中找目标函数2b x y =+的最大值，学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”.引出课题,提出何为线性（即为一次的）？怎么规划（即求函数的最值）？是本节课的研究重点.【设计意图】数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.（二）独思共议，引导探究方法x y 0 1 2 3 4 5 1 2 4 3 y 0 1 2 3 4 5 x 1 2 4 3图1 图2 x1 45 2 3 7 9 10 11 8 12O 图3引导学生由特殊到一般分析目标函数的函数值.问题1：当6b=时，求x，y的值.师生活动：学生通过计算找到三个点的坐标，并观察出三点共线，求出直线方程26y x=-+，教师引导学生观察6b=所对应的直线的纵截距.【设计意图】通过特殊问题，帮助学生理解问题的实质：求x，y的值即求不定方程的解.数形结合，将求变量x，y转化成求点的坐标(,)x y.观察6b=时三个盒子所在点的位置关系及直线的方程，使学生体会b值就是直线的纵截距.问题2．在图3中，求2b x y=+的最大值.师生活动：学生在教师的引导下分组讨论，求b的最大值.通过之前教师的引导及学生对上一节“二元一次不等式表示的平面区域”的学习,对学生的讨论结果有两种预案：预案1:学生通过由特殊到一般的分析，将目标函数2b x y=+转化成2y x b=-+，x，y在取得每个可行解时，b的取值就是直线2y x b=-+过(,)x y这个点时的纵截距，而所有这些直线都是平行的，因此只需平移直线看纵截距的最大值即可.预案2：根据上一节“二元一次不等式（组）所表示的平面区域”的知识，学生认为b取最大值时x、y的取值一定在直线26y x=-+的右上方的位置，为此就依次在这些位置上画平行于26y x=-+的直线，只要上面有点就不停的画，直至最后一点.师生活动：学生展示讨论结果，教师借助几何画板作演示、分析，渗透转化和数形结合的数学思想.并对学生的结论作出总结，先作直线2y x=-，再作平移，观察直线的纵截距.【设计意图】由特殊到一般，利用数形结合，寻求解题思路.（三）变式思考，深化探究思路1．将目标函数变成34b x y=+，求b的最大值.师生活动：通过学生将34b x y=+化成344by x=-+的形式，做直线34y x=-并进行平移，观察纵截距的最大值的回答过程，教师强调解题步骤:画、作、移、求.【设计意图】规范方法并检验学生对方法的理解程度，使学生感受由直线斜率的变化引起使b 取最大值的过程中点的变化.2．将目标函数变成34b x y =-，求b 的最大值.师生活动：教师引导学生比较此题和上题的区别，学生发现平移直线时若按上题的方法找纵截距的最大值便会出现问题，通过思考、讨论，找到本题需取截距最小的原因.【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，提高课堂效率，建立精准的数形联系．（四）规范格式，应用探究成果1．例1：(习题3.3A 组第3题)电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80min ，其中广告时间为1min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min ，广告时间为1min ，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min 的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？解:设甲播放x 次，乙播放y 次，收视观众z 万人次则6020z x y =+.8040320,6,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 用如下步骤求z 的最大值：（1）画出可行域；（2）作出直线0l ：3y x =-（3）平移0l 至点A 处纵截距最大，即z 最大；（4）解方程组：80403206x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩，因此max 200z =.答：甲播放2次，乙播放4次，收视观众最多为200万人次.师生活动：教师引领学生理解题意，让学生继续领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题.通过学生板演，教师规范写法，然后借助解题的过程介绍线性目标函数、线性约束条件、可行解、可行域、最优解及线性规划的数学概念.【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.2．反思例1解题过程，深入体会数形结合思想师生活动：教师引导学生纵观解题过程，体会在解题中“数”与“形”是怎样结合的，并加以总结.代数几何 线性目标函数6020z x y =+直线320z y x =-+ 线性目标函数的函数值 直线的纵截距线性约束条件(二元一次不等式（组）的解集)可行域 线性目标函数的最值直线的纵截距的最值 【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构.3．例2：(课本例2)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪.1kg 食物A 含有0.105kg 的碳水化合物，0.07kg 的蛋白质，0.14kg 的脂肪,花费28元； 1kg 食物B 含有0.105kg 的碳水化合物，0.14kg 的蛋白质，0.07kg 的脂肪,花费21元.为了满足饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg?转化 图４师生活动：学生独自完成此题，由一位同学生展示自己的解题过程和结果.规范解题步骤和格式.解：设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩① 目标函数为2821z x y =+二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩二元一次不等式组所表示的平面区域（图5），即可行域．考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+. 这里4321z y x =-+是斜率为43-，随z 变化的一组平行直线，21z 是直线在y 轴上的截距，当21z 取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图5可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z 最小，即z 最小． 解方程组775,147 6.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标为17x =,47y =. 所以282116z x y =+=．答：每天食用食物A 为17kg ，食物B 为47kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.4．反思例2的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.（五）归纳梳理，体会探究价值由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与数形结合思想得到方法，以及如何通过数学建模解决实际问题.再有教师介绍数学是有用的，通过本节课看到了时间如何合理分配收获最大的问题,如何使消费最少保证饮食健康的问题,还有很多实际应用由学生自己查资料作为拓展作业.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.（六）目标检测题1．在线性约束条件5315153x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩下，求①目标函数35z x y=+的最大值和最小值；②目标函数310z x y=-的最大值和最小值；2．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.。