北航自动控制原理-Chapter05_频率分析法

传递函数 频率特性
G(s) 1 Ts 1
G( j) 1 Tj 1
1）幅频特性A()和相频特性()
A() G( j) 1 1 T ( j) 1 T 2 2 1
() G( j) arctan(T)
曲线：
A(0) 1, A() 0
(0)
0,
()
2
1 T
时,
A(
1 T
)
1
2
0.707,
引入对数坐标优点：
• 十倍频程对应一个单位长度，可以表示更大频率范围的频率特性 • 幅值乘除转化为加减运算 • 可近似绘制止对数幅频曲线
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函 数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lg
0
0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1
c(t) Ac1 sin(t 1)
r(t) Ar sint
Ar=1, =1
c(t) Ac2 sin(t 2 )
r(t) Ar sint
Ar=1, =10
c(t) Ac3 sin(t 3)
r(t) Ar sint
Ar=1, =50
c(t) Ac4 sin(t 4 )
r(t) Ar sint
2）对数坐标图(Logarithmic plot)（Bode plot） • 表达式
- 对数幅频特性(Logarithmic magnitude)L()
L() 20log A() 20log 1 20log 1
Tj 1
T 2 2 1
20lg1 20lg T 2 2 1
20lg T 2 2 1
角频率—横坐标，纵坐标—振幅比
相频特性(Phase-Frequency)()：
角频率—横坐标，纵坐标—相位差角
5.1.2 频率特性的数学意义(Mathematical meaning of frequency response)
系统传递函数
(s)
C(s) R(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
II）对数渐近幅频曲线
1 T
,即T
1时
20lg A() 20lg T 2 2 1 20lg 1 0
1 T
,即T
1时
20lg A() 20lg T 2 2 1 20lg(T)
1 T
,20 lg T
20 lg1
0db
10 T
,20
lg
T
20 lg10
20db
10 T
0
,20
lg
T
20 lg102
bm1s bm an1s an
正弦输入： r(t) Ar sint
R(s)
Ar s2 2
R(s)
(s)
C(s)
C(s)
(s)R(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
Ar s2 2
n
Ai (
B
C
)
i1 s si s j s j
系统响应： 稳态分量：
相频特性：
纵坐标()，横坐标 为，坐标轴均采用 线性分度
2）极坐标图
( j) A()e j() ( j) ( j) A
频率特性可以表示成模为A和相角为（按反时针方向为正） 的矢量。
极坐标图(又称为幅相特性 图、奈奎斯特图、Nyquist 图)：
:0 ∞，模值A和相 角随之变化，矢量端点在 复平面的轨迹。
Sine Wave
Sum
1000 s(s+34.5)
Zero-Pole
Mux
Scope
Step
Scope1
二阶系统对正弦输入响应的仿真（SIMULINK 仿真）
不同频率正弦输入下的输出响应
1) Ar=1,1=1.0, (T1=2/1=6.28) 2) Ar=1,2=10, (T2=2/2=0.628) 3) Ar=1,3=50, (T3=2/3=0.1256) 4) Ar=1,4=100, (T4=2/4=0.0628)
Experiment and Simulation
‖—‖----Experimental,―*‖----Theoretical)
5.1 频率特性(Frequency Response) 5.1.1 频率特性的概念(Basis of Frequency Responቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe)
r(t)
(s)
c(t)
r(t) Ar sint 系统的响应输出为c(t)
惯性环节的幅相特性曲线
j
0
M()
1
()
0
0
-90
1
O
3）对数坐标图（波德图、伯德图、Bode图）
对数幅频特性：
纵坐标L()，坐标轴采用线性分度，单位：分贝(dB)；
L() 20log A()
横坐标为，坐标轴采用对数分度，单位:1/s
相频特性：
纵坐标()，坐标轴采用线性分度,单位：度()或弧度(rad) 横坐标为，坐标轴采用对数分度，单位:1/s
40db
即增加10倍，则L()下降20db，故L()是一条斜率为
[-20db/10倍频程]的直线。
L()的曲线可以近似为两段直线（对数渐近幅频曲线）：
以=1/T为转折频率， <1/T——0分贝水平线 >1/T——斜率为[-20db/10倍频程]的直线
3）幅相特性曲线（极坐标图polar plot）
L() 20lg G j 20lg 2 1
对数相频特性：() arctan
特征点： 1 , L() 3dB, 45
一阶微分环节的伯德图 幅相曲线
5.2.6 振荡环节（二阶环节)
1）幅频特性A()和相频特性()
A()
()
二阶系统的幅相曲线(极坐标图) 二阶系统的幅频曲线和相频曲线
n
c(t) Aiesit Be jt Ce jt
i 1
cs (t) Be jt Ce jt
B
(s)
Ar s2 2
(s
j )
s j
(
j )
Ar s j
s j
( j )
2
j[( j ) ]
Ar e
2
C
( j)
2
j[( j ) ]
Ar e
2
cs (t)
( j)
2
Ar
曲线特点：
0 , A() 1 0 () 0
存在谐振峰值
n时
谐振频率和谐振峰值： 令 dA() 0， 可得： d
e j[t( j )]
e j[t( j )]
(
j )
Ar
cos[t
(
j)
2
]
( j) Ar sin[t ( j)] Ac sin(t )
系统对正弦响应输入作用的响应的稳态输出是与输入
同频率的正弦振荡。
振幅
Ac | ( j) | Ar
相位
t t ( j)
幅频特性——输出与输入稳态振荡的振幅比
(
1 T
)
arct
an
1
4
频域性能分析： I) A(0)=1，零频时的振幅比，反映系统稳态精度，ess=0；
II) A()无谐振峰值，平稳性好；
III) b=1/T； T越大--> b越小，系统响应的快速性差。 在频率特性上的反映：A()随 的增加很快衰减。
ts 3T bts 3
时域与频域指标关系 频带宽则调节时间短
1）峰值(Resonance Peak)Am：幅频特性A()的最大值。 2）零频幅比A(0)：幅频特性A()在=0时的取值。 3 ） 频 带 (Bandwidth) b ： 幅 频 特 性 A() 的 数 值 衰 减 到
0.707A(0)所对应的频率。
4）相频宽(Phase bandwidth)b：相频特性()等于-/2时
圆心：（1/2，j0) 半径：1/2
1 时, G 1 , 45
T
2
幅相曲线
5.2.5 一阶微分环节 传递函数： G(s) s 1
频率特性： G j j 1
幅频特性： A() G( j) ( j) 1 22 1 相频特性： () G( j) arctan()
对数幅频特性：
惯性环节的伯德图
特征点：
1 ,
L() 3 dB,
45
T
• 特点
I）频带b
1 T
时,
20lg A() 20lg T 2 2 1 20lg 2 3db
() arctan T arctan1 4
b 等 于 L() 曲 线 衰 减 至 -3db 时 的 角 频 率 ， 或 等 于 ()=-/4时对应的值。；
A()和 ()反映了系统在正弦信号作用下的稳态响应的情况。
频率特性(Frequency Response)：
以信号的角频率为横坐标，以系统稳态输出对输入 的振幅比A(=Ac/Ar)和相位差角为纵坐标，绘出两条曲线： A()、()，即为系统的频率特性。
幅频特性(Magnitude-Frequency) A()：
频率特性: G(j)=K
幅频特性： M( ) G(j ) K
相频特性： () G(j) 0 对数幅频特性： L() 20lg M() 20lg K
幅相曲线
伯德图
5.2.2 积分环节
传递函数： G(s) 1
s
频率特性：G(j ) 1
j
幅频特性： M( ) G(j ) 1
相频特性： () G(j) 90
对数幅频和对数相频特性曲线
Bode Diagrams
From: U(1) 0
-5
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
-10
-15 0
-20
-40
-60
-80
100
101
102
Frequency (rad/sec)
5.1.4 重要频域性能指标(Frequency-domain Specifications)
L()的单位：dB分贝(Decibel)，从通讯工程中借用的术语，因|G(j)|
具有类似放大器输出输入信息的比值含义(gain or attenuation)。
- 相频特性()
() G( j) arctan(T)
• 曲线
纵坐标L(), ()：等分刻度(Equidistant scale) 横坐标(或T)：常用对数刻度(logarithmic scale)
所对应的频率。
总结：
频率特性包括幅频特性A()和相频特性 ()，幅频特性 A()为正弦输入下输出、输入稳态振荡的振幅比Ac/Ar；相 频特性()为正弦输入下输出、输入稳态振荡的相位差。其
数学上的定义分别为：
A() ( j) (s) s j
() ( j) (s) |s j
若以A()为模、 ()为幅角，则频率特性可以用模幅式
第五章 频率分析法
Chapter 5 Frequency Response Methods
ASM XY-Stage动态建模与参数化分析
对Y轴模型25个参数、X轴模型38个参数进行了全面仿真分析， 结果已成功应用于ASM新型22g/1m的XY-Stage的改进设计！
ASM XY-Stage动态建模与参数化分析 ——刘强、齐畅提出“宽频多模态运动耦合分析建模方法”
系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应 The response of a linear system to a sinusoidal input is referred to as the system’s frequency response.
Example 5-1 二阶系统对正弦输入信号的响应 Response of second-order system to sinusoidal input
Ar=1, =100
r(t) 系统 c(t)
Ar=Const.，= 1,2, 3…,测得： Ac1,Ac2, Ac3,... 1, 2, 3... 作曲线：A()——Ac/Ar-， ()
振幅频率曲线(幅频曲线) (Magnitude-Frequency)
0.707A(0)
相位频率曲线(相频曲线) (Phase angle-Frequency)
表示为复数函数：
A()e j ()
称上式为振幅相位频率特性，简称幅相特性，并有下列关系：
(s) |s j ( j) A()e j()
5.2 典型环节的频率特性 Frequency responses of typical transfer functions
5.2.1 放大环节
传递函数： G(s)=K
对数幅频特性： L() 20lg M() 20lg 1 20lg
幅相曲线
伯德图
5.2.3 微分环节
传递函数： G(s) s 频率特性： G(j) j
对数幅频特性：L() 20lg G j 20lg 对数相频特性： 90
幅相曲线 伯德图
5.2.4 惯性环节(一阶环节)
A() Ac ( j) (s)
Ar
s j
相频特性——输出与输入稳态振荡的相位差角
() [t ( j)] t ( j) (s) |s j
动态数学模型
频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图
5.1.3 频率特性图示法
1）直角坐标图
幅频特性：
纵坐标A()，横坐标 为，坐标轴均采用
线性分度