4分形维数基本概念
第三章-分形
M (< r ) r θ =( ) M0 r0
dN ∝ r
− D −1
dr
dM ∝ r θ −1 dr
r − D −1 dr ∝ r θ − 4 dr
θ = 3− D
第五节、 第五节、分形理论的应用 1、尾砂碎体分形
第 五 节 分 形 理 论 的 应 用
第五节、 第五节、分形理论的应用 1、尾砂碎体分形 、
第 五 节
分 形 理 论 的 应 用
尾砂分级是采用水力旋流器将细粒尾砂部 分分离，其原理类似于河沙沉降， 分分离，其原理类似于河沙沉降，粗颗粒沉速快 而被保留，细颗粒(细泥 被溢流带走。 细泥)被溢流带走 而被保留，细颗粒 细泥 被溢流带走。实践证明 河沙是一种自相似体， 河沙是一种自相似体，分级尾砂与河沙的形成机 理相似，具有自相似特性， 理相似，具有自相似特性，可采用分形理论研究 其颗粒分布特征。 其颗粒分布特征。 碎体分析中，使用最广泛的是幂指数关系， 碎体分析中，使用最广泛的是幂指数关系，包 含尺度r的颗粒数目与r之间满足如下关系
第五节、 第五节、分形理论的应用
第 五 节 分 形 理 论 的 应 用
2、采空区边界的分形 分形维数定量描述了分形结构自相似程度和 不规则程度。 不规则程度。采空区是地下有用资源被开采后留 下的空硐。 Wijs对成矿模型的研究结果表明 对成矿模型的研究结果表明， 下的空硐。De Wijs对成矿模型的研究结果表明， 矿体品位的赋存状态是分形的， 矿体品位的赋存状态是分形的，即矿体的形态具 有分形特征， 有分形特征，由于采空区的形态是矿体形态的相 似反应，因此采空区形状具有分形特征。 似反应，因此采空区形状具有分形特征。
节理面粗糙度系数与分形维数的关系
节理面粗糙度系数与分形维数的关系研究节理面粗糙度系数与分形维数的关系，对地质工程学、测井、地球物理勘探、地质建模、采矿及探矿等有重要意义。
粗糙度系数反映了节理面的畸变情况，分形维数反映了节理面曲率情况，这两者之间可能存在重要关系。
一、基本概念1、节理面粗糙度系数节理面粗糙度系数是指节理面之间的夹角、长度、宽度相对参数之间的比率，反映了节理面的畸变程度，也反映了节理体的形变程度。
2、分形维数分形维数是长度和周长的比值的指数，也叫分形维数或尺寸维数。
它反映的不是物体的实际尺寸，而是物体本身的分形曲率，即物体在细小尺度上的曲率状态。
二、研究方法1、建立模型将节理面粗糙度系数模型和分形维数模型结合起来，构成一个完整的模型，能够准确反映节理面粗糙度系数和分形维数之间的关系。
2、数据收集采用地质调查技术对节理面进行调查，收集有关节理面粗糙度系数和分形维数的数据。
3、统计分析采用统计分析的方法，根据收集的数据，对节理面粗糙度系数和分形维数进行统计分析，探索它们之间的关系。
三、结果与分析通过统计分析，可以分析出节理面粗糙度系数和分形维数之间的关系，并形成一个完整的模型。
1、统计结果分析统计结果表明，随着节理面粗糙度系数的增加，分形维数也会随之增加。
这一结果表明，节理面粗糙度系数与分形维数有一定的关系，它们之间的关系是密切的。
2、模型分析通过分析模型可以得出，当节理面粗糙度系数较高时，分形维数也会相应增加，反之亦然。
这一结果表明，节理面粗糙度系数与分形维数之间存在重要关系，即当节理面出现畸变或形变时，其分形维数也会随之增加。
四、结论从本研究可以得出结论，节理面粗糙度系数与分形维数之间存在重要关系，当节理面出现畸变或形变时，其分形维数也会随之增加。
本研究的结果可以为地质工程学、测井、地球物理勘探、地质建模、采矿及探矿等领域的研究提供参考，更好地挖掘和利用地质资源。
分形维数简介文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学分形维数简介一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）“世界是非线性的”，分形无处不在.分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界.当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构.Mandelbrot创造“分形”（Fractal）这个词，用来表达“破碎、碎块、不规则”的意思.他明确指出：分形是局部与整体按某种方式相似的集合. 以在形态或结构上具有分形特征的大自然为研究对象的几何学，称为分形几何.自相似性或标度不变性是分形中的核心概念.在数学史上的“病态函数”或“魔鬼曲线”等分形集是严格意义上的自相似，而自然分形则是在统计意义上的自相似.貌似无规的分形图案可以由相应的分形元为基础，用迭代方法生成[]1．维数是几何对象的一个重要特征量.直观地说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目.抽象地讲，它是集合层次结构的一种量值标号，是集合空间复杂程度的一种量度.我们将Koch曲线（科赫曲线Koch曲线是一个数学曲线，同时也是早期被描述的一种分形曲线[]2）想象为可以用介于1维与2维之间的非整数维尺度来测量它可能正合适.这种非整数维数统称分维.分形维数是分形几何中的核心概念[]3．由于自然界的分形是种类繁多的，对不同的对象需用不同的测量方法，因此，分维也具有多种形式的定义.本文对分形维数的多种定义及其它的应用作出初步探索和分析.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）由于计算技术和计算机图形学的进展，分形几何得到了速度的发展.分形这个名词Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文Fractus转化后引入自然科学领域的.在分形名词使用之前的一个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的、不光滑的集合，如Weierstrass 型函数、Cantor 集、Peano 曲线、Koch 曲线、Sierpinski 缕垫和海绵等.这些都属于规则的分形图形，它们是数学家按一定的规则构造出来的、具有严格的自相似性的分形图形，它们都属于自相似分形集.1913年Perrin 对变换无穷的布朗运动轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动轨迹不具有导数.自然界的许多事物也具有不光滑性和不规则性.它们和几何学中的规则图形是不同的，这表现在对它们进行测量时，其被测值的大小一般随测量尺寸的变化而发生着变化，在一定测量范围内两者存在着幂函数关系.为了测量这些集合，1915年豪斯道夫引入了豪斯道夫维数的概念，这类统计自相似性图形和曲线的豪斯道夫维数一般都不是整数，而是一个分数值.20世纪20年代到70年代，维数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数使分形理论初具雏形.但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没有在其他学科中得到应用.Mandelbrot 在1988年出版了《Fractal ： Chance and Dimension 》一书，1982年又出版了《The Fractal Geometry of Nature 》一书.在这两本书中他将分形的理论及应用推动道一个全新的阶段.在这个阶段中分形理论本身得到迅速的发展、并得到科学界的广泛重视，同时在物理学、化学、生物学、地学、材料科学、表面科学、纳米科学乃至经济学等广泛的领域得到了应用[]4．分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.在理解分形维数的概念的基础上，进而来探讨以下分形维数的其他常用定义和一些在各个学科方面的应用.（1） 豪斯道夫（Hausdorff ）维数[]5 对于任意给定的集合F 和1δ<，()p H F δ对于p 来说是非增的，因为当0p =时，只要F 非空，必有()pH F δ=∞.若t p >且{}i U 是F 是δ-覆盖，我们有t p t p p t p i i i i i i i U U U U δ--=≤∑∑∑， 从而有()()t t p p H F H F δδδ-≤令0δ→，若()0p H F <<∞，必有()0()t H F t p =>.同理可证，当t p <时，若0δ→时，()0p H F <<∞，必有()t H F =∞.这说明存在一个临界值p ，在这点上，()p H F 从∞猛降为零，这个临界值称为F 的Hausdorff 维数，记为dim H F ，也称其为Hausdorff-Besicovitch 维.正规的写法应是(){}(){}dim inf :0sup :p p H F p H F p H F ====∞， 于是(),dim ,0,dim .H p H p F H F p F ∞<⎧=⎨>⎩ （2） 计盒维数[]6设F 是n R 上任意非空的有界子集，()N F δ是直径最大为δ，可以覆盖F 的集的最少个数，则F 的下、上计盒维数分别定义为()0log dim lim log B N F F δδδ→=-()0log dim limlog B N F F δδδ→=- 如果这两个值相等，则称这共同的值为F 的计盒维数或盒维数，记为()0log dim lim log B N F F δδδ→=- （3） 自相似集的维数[]7 设E 为对应于压缩比为i c 的相似压缩族{}1i i m S ≤≤的自相似集，那么()1mii E S E ==U .由此式，我们看到，影响E 的维数的一个重要因素是()i S E 的相对位置.进一步，若0E 为紧集，()00i S E E ⊂，则由定理：设1,...,m S S 为d ¡上的压缩，则设k S 为S 的k 次迭代，即对任意()d F ∈l ?，()()()()01:,:, 1.k k S F F SF S S F k -==≥如果F 满足()i S F F ⊂，则 ()1k k E S F ≥=I .E 的结构完全由逐阶迭代()0k S E 决定，从而()i S E 的相对位置亦由()0i S E 的相对位置确定.由()1m i i E S E ==U ，我们有()()1m s si i H E H S E =⎛⎫= ⎪⎝⎭U .如果()i S E 彼此间相交“不多”，由i S 的相似性及豪斯多夫测度的齐次性质，()()()s s s i i H S E c H E =，因此()()1m ss s i i H E c H E =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，如果()s H E 为正有限，则 11m s i i c==∑，从而维数s 由上式确定.注意到使11m s i i c==∑成立的s 是唯一存在的.事实上，令()1mt i i f t c ==∑，则()f t 为+¡上的连续单调函数，注意到()0f m =，()0f ∞=，从而存在唯一的()0,s ∈∞，使得11m s i i c ==∑成立的s 称为E 的相似维数，记为dim S E . （4） 关联维数[]8如果把在空间随机分布的某量坐标X 处中的密度记为()x ρ，则关联函数()C ε可用下式定义()()()C x x ερρε=<+>.这里<>L 表示平均.根据情况，平均可以是全体平均，也可以是空间平均.如果分布各个方向均等，只能用两点间的距离εε=的函数来表示关联函数.如果关联函数是幂型，则两点间的距离便不存在特征长度，关联总是以同样比例衰减.假如关系为()a C εε-∝,则有a d D =-.式中：d —空间维数；D —分形维数.1983年，P. Grassberger 和J. Procassia 给出了关联维数的定义：()20ln limln C D εεε→= 式中 ()()2,11Ni j i j C H x x N εε==--∑. 下面来简单介绍下分形维数的一些在其他方面应用.随着科学技术的不断发展，人类对自然界奥秘的探索和认识也在以前所未有的速度向前迈进.对于我们无法直接用实验观察和测量的自然现象，可以将其放大（微观领域）和缩小（宏观领域），研究同其具有相似维数的自然现象以寻找其规律.事实上，只要两种自然现象的绝对分形一直，那么就有预测的价值，自相似性和分形维数的无标度性正式我们将固体“类流态”研究同地震研究联系起来的理论基础. 固体“类流态”其实指的是固体材料中所存在的具有流体特征的活动胞区，是一种具有明显的自组织性、耗散结构和非线性特征的一种状态.具有类流态特征的胞区在I 临界点附近具有流体的一些特性，出现波动并且没有固定的形状，同时又具有典型的晶体特征——各向异性[]9.它对的地震的研究起到了重要的作用，也为另外一些无法直接观察和实验的自然现象的研究提供了一种新的思路.当然在人文地理学各分支学科（城市地理学、经济地理学、交通地理学）的应用也是非常的广泛.分形理论在我国城市地理学中广泛应用还是90年代.其中艾南山、李后强、李继生、陈彦光等人在此方面都做过有力的探讨，取得了显著的成果.城镇体系是目前城市地理学研究中的一个主要内容，将分形理论应用于城市体系研究是目前分形理论在人文地理学应用中一个比较成熟的方面[10].目前研究表明城镇体系的空间结构和等级结构都存在无标度性，具有分形特征.在国内，分形理论在地理学中的应用自20世纪90年代以来渐渐活跃起来，但就分形理论在地理学中的现有应用和研究现状而言，研究多集中于自然地理学和人文地理学方向，而在新兴的地理信息科学方面的应用则相对较少.地理信息科学主要是研究应用计算机技术对信息的处理、存储、提取，以及管理和分析过程中所提出的一系列基本理论问题和技术问题[]11.分形理论在对地理信息的模拟上具有独特的方法，将给地理信息科学带来全新的描述方法和分析工具.因此，分形理论在地理信息科学的综合应用将为未来地理信息科学的发展提供基础.分形理论还被引入到了材料研究中，其中炭在气体分离、脱硫、除臭、净化和催化过程中得到广泛使用，对活性炭的有效使用需要了解其恐径分布和表面不规则性，在一定尺寸范围内表现出自相似性，而分形维数是不规则性的一个度量[]12.随着分形理论的发展，对分维的进一步的研究，对活性炭的研究越来越方便.分形维数除了在这些学科上的应用，还在图像分析中得到了应用.自然物体和人工物体的图像在分形维数上存在着一定的差异，正是这个差异，使得分形理论和技术在图像分析中的应用成为可能[]13.在图像分类[]14中、在图像分割中、在图像边缘检测中，分形维数很好地作为参数.分形维数的应用还有很多很多，在实际生活中叶越来越重要.这也就需要一些分形维数的计算方法来辅助，如根据分布函数求维数、根据测度关系求维数、根据关联函数求维等等.当然、计算维数也有许多的技巧，除了基本方法、还有有限测度子集、位势理论方法、傅里叶变换法[]15等等.三、总结部分（将全文主题进行简要总结，提出自己的见解并对进一步发展方向作出预测）分形作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.而分形维数是描述分形最主要的参量.它反映了复杂形体占有空间的有效性和复杂形体不规则性的量度.它不仅在理论上，而且在实际上都具有着重要的价值.这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等.分形维数的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人.我们拥有的这个新几何，甚至可以描述变化的宇宙.站在这个巨人的肩膀上，我们可以实现许多原来被我们视为奇异或是不可能实现的东西，不觉中人们感叹原来世界可以这样.四、参考资料（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]龚礼华. 客观世界种普遍存在的分形与分维[J]. 达县师范高等专科学校学报（自然科学版）. 2004,14(5): 22-32.[2]Claude Tricot. 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基于分形维数的图像纹理分析方法
基于分形维数的图像纹理分析方法一、分形维数理论基础分形维数是描述复杂几何形状的一种度量，它超越了传统的欧几里得维数概念。
分形理论由曼德布罗特在1975年提出，它揭示了自然界中普遍存在的自相似性特征。
分形维数的概念不仅在数学上具有重要意义，而且在物理学、生物学、地球科学等多个领域都有广泛的应用。
1.1 分形维数的定义分形维数是衡量一个分形集合的复杂性或不规则性的量度。
与整数维数不同，分形维数可以是分数，甚至是无理数。
它通过自相似性来定义，即一个分形集合可以被无限分割成与其自身相似的更小部分。
1.2 分形维数的计算方法计算分形维数的方法有多种，其中最著名的是盒计数法（Box-counting method）。
盒计数法的基本思想是将研究对象划分为许多小盒子，然后统计覆盖整个对象所需的最小盒子数量。
随着盒子尺寸的减小，所需盒子数的变化率与盒子尺寸的幂次相关，这个幂次即为分形维数。
1.3 分形维数的数学特性分形维数具有一些独特的数学特性。
例如，它不是整数，可以是任意实数；它不依赖于观察尺度，具有尺度不变性；分形维数与对象的几何形状和复杂性密切相关。
二、图像纹理分析的重要性图像纹理分析是图像处理和计算机视觉领域的一个重要分支。
纹理是图像中重复出现的局部模式，它反映了图像的表面特性和结构信息。
通过分析图像纹理，可以提取出图像的重要特征，用于图像识别、分类、分割等多种应用。
2.1 图像纹理分析的应用领域图像纹理分析在多个领域都有应用，包括但不限于：- 医学图像分析：通过分析组织纹理，辅助疾病诊断。
- 遥感图像处理：分析地表纹理，用于环境监测和资源勘探。
- 工业检测：识别产品表面的缺陷和纹理异常。
- 计算机视觉：在图像识别和场景理解中提取纹理特征。
2.2 图像纹理分析的挑战尽管图像纹理分析非常重要，但它也面临着一些挑战：- 纹理的多样性：不同的纹理具有不同的特征，需要不同的分析方法。
- 光照和噪声的影响：光照变化和图像噪声可能会影响纹理分析的准确性。
分形维数的定义
分形维数的定义
哎呀，啥是分形维数呀？这可真是个让人头疼的问题呢！
我记得有一次上数学课，老师突然就讲到了分形维数。
我当时一脸懵，心里想：这到底是个啥玩意儿？难道是从外太空来的神秘概念？
老师在黑板上画了好多奇奇怪怪的图形，一边画一边说：“同学们，分形维数可不是那么容易理解的哦！” 我瞅瞅同桌，他也是皱着眉头，好像在说：“这也太难了吧！”
老师说：“就好比一棵大树，它的树枝不断分叉，越分越细，看起来杂乱无章，但其实是有规律的。
这个规律就和分形维数有关系。
” 我心里嘀咕：这能有啥关系呀？大树的树枝和分形维数，难道它们是好朋友？
又比如说一片雪花，它的形状那么精美复杂，每一个小分支都相似又不完全相同。
这不就像一个神秘的密码，而分形维数就是解开这个密码的钥匙！
再想想我们的指纹，每个人的指纹都不一样，那一道道弯弯绕绕的线条，难道也藏着分形维数的秘密？
经过老师的一番讲解，我好像有点明白了。
分形维数就是用来描述那些看起来不规则、复杂，但又有着某种内在规律和相似性的图形或者现象的一个工具。
哎呀，我觉得分形维数就像是一个隐藏在数学世界里的小精灵，等着我们去发现它、了解它！虽然现在我对它的认识还只是一点点，但我相信，只要我努力学习，总有一天能把这个小精灵彻底搞清楚！你们是不是也觉得分形维数很神秘很有趣呢？。
分形几何中的分形维数和分形几何的应用
分形几何是一种研究具有自相似性质的几何形状的数学分支，而分形维数是用来描述这些分形形状的维度的概念。
分形几何的应用涵盖很多领域，比如自然科学、工程技术、金融等。
在这篇文章中，我们将探讨分形维数以及分形几何的应用。
首先，我们来了解一下分形维数的概念。
在传统的几何学中，维度是用来描述几何图形的尺寸的性质。
比如，平面图形的维度是2，立体图形的维度是3。
但是分形几何中的图形具有自相似性质，即图形的一部分与整体具有相似的形状，因此无法用传统的整数维度来描述。
为了解决这个问题，引入了分形维数的概念。
分形维数是一种用来描述具有自相似性质的图形的尺寸的数学工具。
具体来说，分形维数分为Hausdorff维数和盒维数两种。
Hausdorff维数是一种用来描述图形的粗糙度的维度，而盒维数是一种用来描述图形的分形特性的维度。
通过计算分形维数，我们可以量化和比较不同的分形形状，进而深入研究它们的数学性质和物理特性。
分形几何的应用非常广泛。
在自然科学领域，分形几何可以用来描述和研究自然界中的复杂结构，比如云雾、河流、树木等。
通过分析和计算它们的分形维数，我们可以揭示它们的自相似性质和分形特征，进而深入理解自然界的复杂性。
在工程技术领域，分形几何可以应用于图像处理、信号处理、网络设计等方面。
例如，分形压缩算法可以利用图像的自相似性压缩图像数据，从而实现图像的高效传输和存储。
此外，分形天线设计可以通过利用分形几何的自相似性，实现较宽带、较小体积的天线性能。
在金融领域，分形几何可以应用于股票价格的预测和分析。
通过分析股票价格的分形结构和分形维数，可以揭示市场的复杂性和非线性特性，进而辅助制定投资策略和风险管理。
除此之外，分形几何还可以应用于人工智能、生物学、城市规划等领域。
例如，分形模型可以用来生成逼真的自然景观和虚拟世界。
另外，分形几何的概念也可以用来研究生物系统的形态和发育过程。
在城市规划中，分形几何可以用来研究城市的空间分布和交通网络的优化。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
分形维数浅释
分形维数（Fractal Dimension）浅释笔者: 喻麟佑博士（美国亚利桑那大学物理学博士）2012年3月于广州前言：最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。
简化以后，大意可以由下图描述：三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那么，1 + 1不就等于了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。
其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。
现在，我们来了解一下分形的原理。
正文：分形 (Fractal) ，又称“碎形” 或“残形”。
这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。
自从20世纪80年代开始 [注一] ，“混沌(chaos)”，“奇异吸引子(strange attractors)”，“分形(fractal)”, 还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。
无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。
分形几何，有若干特性，例如“自相似性（self-similarity）”等等。
本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数（Fractal Dimension）。
并且，也借此讨论过程，得以对分形（碎形）有更深入的了解。
首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度 (Dimension) 是整数，如一个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为3维。
然而，分形，却具有非整数的维数。
这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们先看看一条线段（如图一）：图一如果我们把此线段分割一次，则，，式中 L 是一个常数，n是分割的次数，乃分割n 次后的总碎片数，是分割n 次后的每一碎片的长度第二次分割（每个线段再分割一次）：，，第三次分割（每个线段再分割一次）：，，因此，我们不难知道，分割 n 次后，总碎片数：，每一碎片大小：现在，让我们来定义一个维数D：(式一)式中，L 的D次方（即维数）等于，分割n 次后的总碎片数，乘上每一碎片长度的D次方。
分形
（2）地震。
地震是地球内部的岩石突然断裂而引起的地 球表面的动荡。地震具有多种分形性质，其中地 震的次数在时间上的分布就是一种。地震研究者 采取了分形几何的方法来研究地震在时间上的分 布。其中就运用到了康托尔三分集。在用于地震 时，研究者对康托尔三分集进行了改造，仍是把 一条单位长度的直线段进行三等分，但去掉的不 是中间的三分之一，而是随机地任意去掉三个线 段中的一个。这样产生了无规则的康托尔三分集。 利用康托尔集是为了说明地震的群集现象，并且 分割不是无限次进行下去的，因为在有限的时间 间隔内，地震并不是无限次的。由此计算出的分 形维数可以用来描述群集的程度：群集的程度越 高，分形维的值就越大。
（1）康托尔集（Cantor set）。 假设一条为单位长 度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点 分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留 下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度 为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。接下去我们再 把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部 分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用 集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。如 此不断地循环操作，最终得到的点的集合就是康托尔三 分集。
云不是球形的，山不是锥形的， 海岸不是圆形的
纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古 琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星 际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹， 人体复杂的血管分布，如此等等。像如此不 定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析 的。因此“分形”应运而生。
分形的定义
曼德布罗:分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。
或电就的的生多胶污态又 生波连走星长须状染物如 活分我向云；须物的质在 常布们，分宏毛，一，某 见都人树布观毛不些以些 的是体枝，世的断流不电 分分血的等界枝因水规化 形形液分等中条新中则学 现的循叉；太状的，的反 象。环以曲阳。沉粘树应 。下系及折黑还积在枝中 面统地绵子有而藻形， 具中震延的微生类状电 体血震的活观长植向极 介管级海动世，物外附 绍的的岸，界成上增近 几分分线奇中为的长沉 种支布，形晶带颗。积 自和等河怪体有粒受的 然脑；流状的许和到固
分形几何中的分形维数和分形拓扑
分形几何是一门研究自相似性和自恶化性质的数学分支。
分形几何的基本思想是运用递归和迭代方法来构造并研究具有特殊性质的几何对象，这些几何对象被称为分形。
在分形几何中，分形维数和分形拓扑是两个重要的概念。
分形维数描述了分形对象的尺度特征和空间填充性质。
对于一般的几何图形，维数可以用整数来描述，比如点的维数是0，线的维数是1，平面的维数是2。
然而，对于分形对象来说，用整数维度来描述是不合适的，因为分形对象通常具有非整数维的特点。
分形维数是一种介于整数维和分数维之间的维数概念，它可以帮助我们理解和揭示分形对象的尺度特性。
常见的分形维数包括Hausdorff维数、盒维数等。
Hausdorff维数描述了分形对象的自相似性，而盒维数则描述了分形对象的空间填充性。
分形拓扑研究的是分形对象如何在拓扑空间中进行组合和分解。
传统的拓扑学主要研究整体性质和连续性，无法很好地描述分形对象的自相似性和分布特点。
分形拓扑通过引入分形维度和分形结构等概念，对分形对象进行了全面而深入的研究。
在分形拓扑中，分形对象可以通过分形维度和分形结构来分解成多个部分，并且这些部分之间仍然表现出自相似性。
通过分形拓扑的方法，人们可以更好地理解分形对象的组合特性、变换特性以及拓扑空间中的分形结构。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在纯数学领域中具有重要意义，而且在物理学、生物学、地理学、经济学等多个学科中也有广泛的应用。
在物理学中，分形维数被用来描述复杂系统的几何特征，如分形海岸线、分形粉末的填充性等；在生物学中，分形维数被用来研究生物体的形态特征和生存策略；在地理学中，分形维数被用来描述地形形状的复杂性和多样性；在经济学中，分形拓扑可以用于模拟金融市场的波动性和奇异性。
总之，分形维数和分形拓扑是分形几何中的两个重要概念，它们描述了分形对象的尺度特性和空间组织特性。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在其他学科中也发挥着重要作用。
通过对分形维数和分形拓扑的深入研究，我们可以更好地理解和揭示自然界和人类社会中的复杂系统的结构和行为规律。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
分形与分形维数
分类号O469 学校代码10495ＵＤＣ530 学号0145023006武汉科技学院硕士学位论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：田志华指导教师：田巨平教授学科门类：工学专业：机械设计及理论研究方向：分形与多孔介质完成日期：二零零七年四月Wuhan University of Science and EngineeringM. S. DissertationThe study of fractal growthin disorder systemByTIAN Zhi-huaDirected byProfessor TIAN Ju-pingApril 2007独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。
特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。
同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。
（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。
简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。
本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。
分形现象与分形维数
第一章分形现象与分形维数1.分形现象（Natural Fractals ）Construction of the Koch curve (Koch Helge Von,1904,瑞典数学家。
)Ө=60o •局部几何性质很难描述，处处连续但不可微；•无特征尺度（长度及面积）；•永远看不清的“精细结构”，传统几何学很难研究(妖魔曲线)；•具有自相似性。
Koch 魔线（海岸线）(2)(1cos )()n n D nn b t w t b =+∞−=−∞−=∑Weierstrass 函数（1872）b=1.5 ,D=1.1b=1.5 ,D=1.12()()Dw bt bw t −=自相似结构处处连续处处不可微函数b=2 ,D=1.5b=2 ,D=1.1(2)(1cos )()n n D nn b t w t b =+∞−=−∞−=∑Weierstrass 函数（1872）处处连续处处不可微函数The Lorenz Attractor as Viewed from Eight Different AnglesA geometric figure of this sort with an infinite level of detail is called a fractal. Chaos always results in the formation of a fractal, but not all fractalsare associated with chaos.最近几十年无（却有自相似性）适合自然界形状（递推公式）大于2000年有适合人造物体（公式）年代特征尺度形状分形(Fractal)欧几里德形状（Euclidean Geometry)分形与欧几里德形状区别2.分形概念（Fractal）FractalsA set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimensionFractalsA shape made of parts similar to the whole in some way3.分形维数（Fractal Dimension ）(1). Similarity Dimension（相似维数）22114.43331114.163993.............1433nnr L r L r L ⎛⎞⎛⎞=⎯⎯→==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎯⎯→==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=⎯⎯→=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠10.2618:()4ln 14ln 4ln 3ln 43:11133ln1ln 3ln 3ln 3ln 4: 1.2618ln 3:()()ln ()1ln :"",nnD Let L r N r rThen D where D Then L r r r L N r D r µµµ−−==⋅⎛⎞⎜⎟⎡⎤−⎛⎞⎛⎞⎝⎠=⎯⎯→===−=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟−⎛⎞⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎜⎟⎝⎠====⎯⎯→↓→↑=→⎛⎞⎜⎟⎝⎠分形维数意义用边长为r的小立方块去覆盖客体量出N(r)的小立方块的最小个数是13r =r =213r ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠①②相似维数Ds适用范围：主要用于自相似性质的规则图形，对于自然界广泛存在的随机图形的分形，还需另外的维数定义。
分形维数浅释
图一
如果我们把此线段分割一次，则
， ，
式中L是一个常数，
n是分割的次数，
乃分割n次后的总碎片数，
是分割n次后的每一碎片的长度
第二次分割（每个线段再分割一次）：
， ，
第三次分割（每个线段再分割一次）：
， ，
因此，我们不难知道，分割n次后，
图十
一些很单纯的分形，我们可以直接计算出来它们的维数，但是许多较复杂的分形，则是常用的盒计数法(Box-Counting Method)。此方法十分简易且有效。步骤如下，随着n的增加，计算方形“盒子（boxes）”的数目（如图十一），可以估计出分形的维数（而n不需很大）。用这个方法可以有效地估计出相当复杂、或不规则形状的分形之维数，这一方面，限于篇幅，不详谈了。
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以分割n次后，
，
由式二，
在此，我们得到了一个非整数的维数D= 0.631。这是一介于0和1之间的维数。
让我们进一步看看介于1和2之间的维数。它是一个碎形（如图四）。
图四
我们可以由以下方法得到这个分形（图五）：
图五
观察图五，我们可以得到：
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以操作n次后，
图八
这个特殊的H碎形可由以下的运作得到（图九）：
图九
观察图九，我们可以归纳出：
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以，运作n次后，
，
读者不难算出，其“豪斯多夫”维数恰好等于2。留给读者当家庭作业吧。
以下四个分形树（Tree Fractal），分支夹角各为120度，140度，160度，和180度，它们都有完全一样的分形维数： 。
分形维数_Fractaldimension_及其测量方法
把全体分成 1/ 2 的相似形组成 。2 、4 、8 数字还可以写成 21 、
22 、23 ,显然这里的指数与其图形的经验维数相一致 。推而广
之 ,若某图形是由把全体缩小成 1/ a 的 b 个相似形所组成 ,由
于 b = aD ,则有
D = log b/ log a 。
(1)
此 D 便是几何图形的维数 , 由于它是通过相似变换得来的 ,
1983 年 ,P. Grassberger 和 J . Procassia 给出了关联维数
的定义[1 ] :
D2
= lim ε→0
ln C (ε) lnε
。
(9)
式中
C (ε)
=
1 N2
i
,
N
∑
j=1
H
(ε-
0 xi
-
xj 0) 。
(10)
1. 6 广义维数
H. G. E. Hentschel 等提出了广义维数的概念 ,其定义
可证 Dq| q = 0 = D0 ;当 q = 1 时 , 利用罗必塔法取极限可得 D1
=
lim
ε→0
Dq
;
且
Dq| q = 2 =
D2 ,即
q = 2 时 ,广义维数
Dq 就是关键
维数 D2 。
2 分形维数的基本测量方法
2. 1 改变粗视化程度求维数的方法 这是基于盒子维数和信息维数的定义设计的一种测量分
是
Dq =
-
lim
ε→0
S q (ε) lnε
。
(11)
式中
S q (ε)
=
1
1 -
N (ε)
ln[ ∑ Piq ] q i=1
分形维数文档
分形维数分形维数是描述分形结构复杂度和自相似性的一个重要指标。
在数学和物理学中，分形维数是用于度量非整数维度对象的一种方法。
分形维数具有广泛的应用，在图像处理、数据压缩、地理信息系统等领域都有着重要的作用。
本文将介绍分形维数的定义、计算方法以及一些常见的分形维数模型。
定义分形维数最初由法国数学家Benoit Mandelbrot于1975年提出。
它是描述自相似结构复杂性的一个指标。
自相似是指对象的不同部分具有相似的结构，通常通过缩放和旋转来得到。
分形维数可以用来描述分形对象的维度特征。
设分形对象的尺寸为L，将对象分成N个大小相同的小区域。
对每个小区域计算它的尺寸D，然后将L除以N，得到每个小区域的尺寸缩放比例。
计算这个缩放比例的对数值，并除以小区域的对数尺寸D，得到分形维数的近似值。
如果 N 越小，得到的分形维数越接近对象的真实维度。
计算方法计算分形维数有多种方法，下面介绍两种常用的计算方法。
盒计数法盒计数法是一种直观且简单的计算方法。
首先，在分形对象中放置一个固定大小的盒子，然后统计盒子中包含的分形结构的数量。
然后，改变盒子的大小，重复计算，得到一系列盒子的数量。
最后，用这些盒子的数量和尺寸的对数关系来计算分形维数。
盒计数法可以通过生成分形对象的图像来实现计算。
分形维数D的计算公式：D = log(N)/log(1/r)其中，N表示盒子的数量，r表示盒子的尺寸缩放比例。
程序计算法另一种计算分形维数的常用方法是使用计算机程序。
通过对分形对象进行迭代、缩放和测量，然后利用计算机程序计算出分形维数。
程序计算法可以应用于各种形状的分形对象，例如分形曲线、分形图像等。
常见分形维数模型分形维数模型是用来表示具有分形特征的对象的数学模型。
下面介绍一些常见的分形维数模型。
1. 分形线段分形线段是由一系列具有自相似性质的线段组成的。
分形线段的维数在1到2之间变化。
分形线段的一个著名例子是康托集。
2. 分形曲线分形曲线是由一系列具有自相似性质的曲线组成的。
分形维数范围
分形维数范围分形是一种数学概念，它描述了自相似性和无限细节的特征。
而分形维数则是用来衡量分形对象复杂度的一种指标。
在分形维数的研究中，我们可以观察到不同的分形对象具有不同的维数范围。
1. 0维分形：0维分形是一种极为简单的分形对象，它只包含一个点。
这种分形对象的维数范围为0，因为它在空间中没有任何延展或曲线。
0维分形在数学上没有太多的实际应用，但在理论研究中有其重要性。
2. 1维分形：1维分形是一种具有长度但没有宽度的分形对象。
它可以是一条直线、一条曲线或者一个曲线的集合。
1维分形的维数范围通常在1到2之间，取决于分形对象的形状和复杂度。
例如，一条直线的维数为1，而一条曲线的维数可能介于1和2之间。
3. 2维分形：2维分形是具有长度和宽度的分形对象，通常在平面上进行观察和研究。
2维分形的维数范围通常在2到3之间，取决于分形对象的形状和复杂度。
例如，一个正方形的维数为2，而一个具有复杂边界的图形的维数可能介于2和3之间。
4. 3维分形：3维分形是具有长度、宽度和高度的分形对象，通常在立体空间中进行观察和研究。
3维分形的维数范围通常在3到4之间，取决于分形对象的形状和复杂度。
例如，一个立方体的维数为3，而一个具有复杂表面的立体图形的维数可能介于3和4之间。
除了以上几种常见的分形维数范围，还存在一些更高维度的分形。
例如，4维分形具有长度、宽度、高度和时间的特征，它在动力系统和混沌理论中具有重要的应用。
而更高维度的分形则在数学研究和理论物理中发挥着重要作用。
分形维数的研究不仅仅是对分形对象形态的描述，它还涉及到分形对象的生成和演化过程。
通过分析分形维数的变化规律，我们可以更好地理解分形对象的特性和行为。
此外，分形维数在图像处理、数据压缩和模式识别等领域也有广泛的应用。
总结起来，分形维数范围描述了不同类型分形对象的复杂度。
从0维到高维，分形维数的变化展示了分形对象形态的多样性和复杂性。
通过深入研究分形维数的范围和变化规律，我们可以更好地理解分形结构的特性，并将其应用于各个领域的实际问题中。
分形维数计算方法
分形维数计算方法
1分形维数计算方法
分形维数是指描述分形几何特征的数量。
它被应用于研究天然形状和复杂物理现象，也可以用于描述分形几何结构，如河流、海岸线和中央Town和区域。
在统计学中，分形维数也被用于估计数据中的分形特性。
分形维数表示形状的复杂性，它介于1和2之间的数值，其中1描述的是线型的形状，而2描述的是不规则的形状。
获取分形维数的一种方法是用Box Counting方法，它把图形放大或缩小到盒子大小来评估其分形维数。
在此过程中，图形中黑色区域计数为1，白色区域计数为0。
然后根据每个大小的盒子中被计数的像素总数来确定分形维数。
最后，可以计算出一个估计的分形维数值。
一些分形形状例如Bézier曲线，分形维数等于1.Allsun否则，例如像水滴或者像雪花的凹角线，它的分形维数等于不同的数字，例如1.75或者1.89。
分形维数值是常见变量中的一个有用信息，它可以评估实体的复杂性并和其他观测变量进行相关性分析。
它可以被用于诸如土壤水源、金属磨损、地面植被覆盖度等领域。
另外，还可以用分形维数作为分类变量，来区分不同类别的分形物体。
总之，使用Box Counting方法可以有效地计算图形的分形维数，这可以被用于研究不同分形结构及其特性，从而提高分析的准确性和可靠性。
分维、分形
分维、分形分维的概念（一）我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2、4、8个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
（线段一分为二；正方形一分为四；立方体一分为八）一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
（二）当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。
那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1Koch曲线整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。
Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714…Koch雪花线的维数是1.26分形的定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：（1）满足条件Dim(A)>dim(A) 的集合A，称为分形集。
其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。
一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。
实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，人们通常是列出分形的一系列特性来加以说明分形的特性（i）分形集具有精细的结构，“精细结构”指放大任意小的部分，里面总有更细小的结构。
4分形维数基本概念
DH=LnN(r)／Ln(1/f) DH 为豪斯多夫维数， 分形维数种类：
1.Hausdorff 维数（最基本）
2.相似维数
3.盒维数
4.容量维数
5.关联维数
6.信息维数
计算分形维数的具体方法：
（1）基于二值图像的 BC 算法
1.计盒算法（简易性和可计算性）（2）基于灰度图像的 DBC 算法
（3）基于三维图像的 3D 分形维数算
分形维数基本概念：
形维数是分形几何理论及应用中最为重要的概念和内容,它是度量物体或分
形体复杂性和不规则性的最主要的指标,是定量描述分形自相似性程度大小的参
数。
欧氏几何中,维数一般有两种含义:
(1)欧氏空间中的 4 个维数(D=0、1、2、3);
(2)—个动力系统所含的变量的个数。
整数维数是被包含在分数维数中的。相对于整数维数反映对象的静态特征,
分数维数则表征的是对象动态的变化过程。将其扩展到自然界的动态行为和现象
中,那么分数维数就是自然现象中由细小局部特征构成整体系统行为的相关性的
一种表征,即:对于一个对象,只有通过使用非整数数值的维数尺度去度量它,才
能准确地反映其所具有的不规则性和复杂程度,那么这个非整数数值的维数就
称为分形维数。
公式：N(r)面积测量法
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2.分形布朗运动方法
3.面积测量法
分数维数则表征的是对象动态的变化过程。将其扩展到自然界的动态行为和现象
中,那么分数维数就是自然现象中由细小局部特征构成整体系统行为的相关性的
一种表征,即:对于一个对象,只有通过使用非整数数值的维数尺度去度量它,才
能准确地反映其所具有的不规则性和复杂程度,那么这个非整数数值的维数就
称为分形维数。
公式：N(r)～r-DH
DH=LnN(r)／Ln(1/f) DH 为豪斯多夫维数， 分形维数种类：
1.Hausdorff 维数（最基本）
2.相似维数
3.盒维数
4.容量维数
5.关联维数
6.信息维数
计算分形维数的具体方法：
（1）基于二值图像的 BC 算法
1.计盒算法（简易性和可计算性）（2）基于灰度图像的 DBC 算法
（3）基于三维图像的 3D 分形维数算
分形维数基本概念：
形维数是分形几何理论及应用中最为重要的概念和内容,它是度量物体或分
形体复杂性和不规则性的最主要的指标,是定量描述分形自相似性程度大小的参
数。
欧氏几何中,维数一般有两种含义:
(1)欧氏空间中的 4 个维数(D=0、1、2、3);
(2)—个动力系统所含的变量的个数。
整数维数是被包含ห้องสมุดไป่ตู้分数维数中的。相对于整数维数反映对象的静态特征,