算法设计与分析 期末复习部分题目

设(y1,y2,…,yn)是所给0/1背包问题的一个最优解，则(y1,…,yn-1) 是下列相应子问题的一个最优解。
max ∑ vi xi
i =1
n −1
n −1 ∑ wi xi ≤ C − wn yn i =1 x ∈ {0,1},1 ≤ i ≤ n − 1 i
0/1背包问题 背包问题
所有点对的最短路径问题
•问题 问题
设G=(V,E)是一个有向图，其中的每条边(i,j)有一个非负的长度 l[i,j]，如果顶点i到顶点j没有边，则l[i,j]=∞ 。 问题：找出从每个顶点到其他所有顶点的距离。这里从顶点x到 顶点y的距离是指从x到y的最短路径的长度。 为了简便，假定V={1,2,…,n}，设i和j是V中两个不同的顶点，定 dik, j 是从i到j，并且不经过{k+1,k+2,…,n}中任何顶点的最短路 义 径的长度。
•求解递归关系 求解递归关系
设 V[i,j]表示从前i项{u1,u2,…,ui}中取出来的装入体积为j的背包 的物品的最大价值。i的范围是从0到n，j的范围是从0到C。 0/1背包要求的是V[n,C]。V[0,j]=0，V[i,0]=0。 当i和j都大于0时，V[i,j]是下面两个量的最大值。 V[i-1,j]：仅用最优的方法取自{u1,u2,…,ui-1}的物品去装入体 积为j的背包所得到的价值最大值 V[i-1,j-wi]+vi：用最优的方法取自{u1,u2,…,ui-1}的物品去装入 体积为j-wi 的背包所得到的价值最大值加上物品ui的价值。
所有点对的最短路径问题
算法（Floyd算法） 算法（Floyd算法）
输入：n×n维矩阵l[1..n,1..n]，以便对于有向图G=({1,2,…,n},E) 输入 中的边(i,j)的长度为l[i,j] 输出：矩阵D，使得D[i,j]等于i到j的距离。 输出
所有点对的最短路径问题
1. D=l 2. for k=1 to n 3. for i=1 to n 4. for j=1 to n 5. D[i,j]=min{D[i,j],D[i,k]+D[k,j]}; 6. end for 7. end for 8. end for
∑a
k =2
k
= 11 + (− 4) + 13 = 20
1. 一个简单算法
一个简单算法：
int MaxSum(int n, a, &besti, &bestj) { int sum=0; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++){ int thissum=0; for(k=i;k<=j;k++)thissum+=a[ k]; if(thissum>sum){ sum=thissum; besti=i; Bestj=j; } } return sum; }
• 算法
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. for i=0 to n V[i,0]=0 end for for j=0 to C V[0,j]=0 end for for i=1 to n for j=1 to C
9. {If j< wi V[i,j]=V[i-1,j] 10. else V[i,j]=max{V[i,j],V[i-1,j-wi]+vi} 11. } 12. end for 13. End for 14. Return V[n,C]
所有点对的最短路径问题
•分析最优解的结构 分析最优解的结构
如果k是从i到j的最短路径上的节点，则从i到k以及从k到j的这两 部分子路径也一定是最短的。 即所有点对的最短路径问题满足最优子结构性质 最优子结构性质。 最优子结构性质
所有点对的最短路径问题
建立递归关系
d
k i, j
k =0 l[i, j ] = k −1 k −1 k −1 min{di , j , di ,k + d k , j } 1 ≤ k ≤ n
所有点对的最短路径问题
示例
所有点对的最短路径问题
0/1背包问题 背包问题
•问题 问题
设U={u1,u2,…,un}是一个准备放入容量为C的背包中的n个物品 的集合，对于1<=j<=n，令wj和vj分别为第j项物品的体积和价 值。这里C，wj，vj都是正整数。问题是：用U中的一些物品 来装背包，这些物品的总体积不超过C，然后要使他们的总价 值最大。 要求：背包不可以包含一个以上的同类物品。
最大子段和问题
问题描述： 给定由n个整数（包含负整数）组成的序列a1,a2,...,an， 求该序列子段和的最大值。当所有整数均为负值时定 义其最大子段和为0。 依此定义，所求的最优值为：
j max 0, max ∑ ak 1≤i ≤ j ≤ n k =i
例如，当(a1,a2, a3, a4, a5,a6)=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子 段和为： 4
问题提出
动态规划是解决多阶段决策最优化问题的一种方法。 动态规划是解决多阶段决策最优化问题的一种方法。 多阶段决策最优化问题的一种方法 如图所示的一个线路网络， 如图所示的一个线路网络，两点之间的连线上的数字 表示两个点之间的距离，要求求出一条从A到 的路 表示两个点之间的距离，要求求出一条从 到E的路 使得总距离最小。 径，使得总距离最小。
0/1背包问题 背包问题
•算法分析 算法分析
由以上算法可以得出该算法的时间复杂性恰好是表的大小 O(nC)。对算法进行改进可以得到空间复杂性为O(C)
0/1背包问题 背包问题
•示例 示例
假设有容量为9的背包，要入4种体积为2，3，4和5的物品， 它们的价值分别为3，4，5和7。
算法背包问题的贪心算法 void KNAPSACK(int n, float c, float v[], float w[], float x[]) //v[], W[]分别含有按V[i]/W[i]≥V[i+1]/w[i+1]排序的n件物品的// //效益值和重量；c是背包的容量，x[]是解向量// { 算法knapsack 算法knapsack int i; 的主要计算时间在 于将各种物品依其 for(i=1; i<=n; i++) x[i]=0; //将解向量初始化为0// 单位重量的价值从 float cu=c; //cu //cu是背包剩余容量// // 大到小排序。因此， 大到小排序。因此， for(i=1; i<=n; i++) 算法的计算时间上 界为 { nlogn）。当然， ）。当然 O（nlogn）。当然， if(w[i]>cu) break; 为了证明算法的正 x[i]=1; 确性， 确性，还必须证明 背包问题具有贪心 cu= cu- w[i]; 选择性质。 选择性质 } if(i<=n) x[i]=cu/w[i]; }
由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以， 由于多段图将顶点划分为 个互不相交的子集，所以，多 个互不相交的子集 段图划分为k段 每一段包含顶点的一个子集。 段图划分为 段，每一段包含顶点的一个子集。不失一般 将多段图的顶点按照段的顺序进行编号， 性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段内 顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为n， 顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为 ， 则源点s的编号为 的编号为0，终点t的编号为 的编号为n-1，并且， 则源点 的编号为 ，终点 的编号为 ，并且，对图中的 任何一条边(u, ，顶点u的编号小于顶点 的编号。 的编号小于顶点v的编号 任何一条边 v)，顶点 的编号小于顶点 的编号。
1 4 0 2 3 3 2 4 6 8 7 9 8 7 4 6 5 8 6 6 6 5 8 3 5 7 7 9
一个多段图
下面考虑多段图的最短路径问题的填表形式。 下面考虑多段图的最短路径问题的填表形式。 用一个数组cost[n]作为存储子问题解的表格，cost[i]表 作为存储子问题解的表格， 用一个数组 作为存储子问题解的表格 表 示从顶点i到终点 的最短路径，数组path[n]存储状态， 示从顶点 到终点n-1的最短路径，数组 存储状态， 到终点 的最短路径 存储状态 path[i]表示从顶点 到终点 的路径上顶点 的下一个顶点。 表示从顶点i到终点 的路径上顶点i的下一个顶点 表示从顶点 到终点n-1的路径上顶点 的下一个顶点。 则： cost[i]=min{cij+cost[j]} (i≤j≤n-1且顶点 是顶点 的邻接点 且顶点j是顶点 的邻接点) 且顶点 是顶点i的邻接点 （1） ） path[i]=使cij+cost[j]最小的 使 最小的j 最小的 （2） ）
多段图的最短路径问题
设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把 是一个带权有向连通图， 设图 是一个带权有向连通图 顶点集合V划分成 个互不相交的子集V 划分成k个互不相交的子集 顶点集合 划分成 个互不相交的子集 i（2≤k≤n, ≤ ≤ 1≤i≤k ） ， 使 得 E 中 的 任 何 一 条 边 (u, v) ， 必 有 ≤≤ u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称图G ∈ ∈ ≤＜ ＜ ≤ ） 则称图 为多段图， ∈ 为源点， ∈ 为终点。 为多段图 ， 称 s∈V1为源点 ， t∈Vk为终点 。 多段图 的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。 的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。
0/1背包问题 背包问题
由以上分析可以得到如下的递推式：
i = 0或j = 0 0 V [i, j ] = V [i − 1, j ] j < wi max{V [i − 1, j ], V [i − 1, j − w ] + v } i > 0和j ≥ w i i i