角函数及其导数积分公式的六边形记忆法
高一数学三角函数公式推倒及口诀
一、高一数学三角函数诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→c ot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
三角函数的正六边形记忆法(初高中均适用)
【
同角异名 三角函数关系呢？
正六边形法
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小试牛刀
小试牛刀
三角函数赋
三角函数莫惊慌，正六边形来帮忙。 上弦中切下边割，倒三角形平方和。 中心对角元素积，互为倒数结果一。 再说非中心对角，元素乘积顶点撂。 间隔顶点连三角，三元相乘中心跑。 自此三角函数毕，记清关系没问题。
三角函数与正六边形
制作人：Encyclopedia
讲 述 思 路
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
• 回顾三角函数的定义
• 正六边形记忆法
• 小试牛刀
• 总结——三角函数赋
三角函数定义
A
正弦（sine）
余割（cosecant）
余弦（cosine）
正割（secant）
正切（tangent）
余切（cotangent）
B
C
三角函数及其导数积分公式六边形记忆法
三⾓函数及其导数积分公式六边形记忆法从俞诗秋的⽂章修改⽽来，原来的⼝诀不太好记原⽂：三⾓函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法三⾓函数及其导数积分公式的六边形记忆法2. 三⾓函数的定义1. 三⾓函数的记忆：●对⾓线倒数:对⾓线互为倒数sinx=1/cscx，指在三⾓函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1.●倒三⾓形平⽅和:指在三⾓函数六边形中,每个有阴影的三⾓形下顶处函数的平⽅等于上⾯两个顶处函数平⽅的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x.●邻点积:指在三⾓函数六边形中,任何⼀个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三⾓函数求导数图中左⾯“+”号表⽰六边形左⾯三个顶⾓处函数的导数为正值，右⾯“-”号表⽰六边形右⾯三个顶⾓处函数的导数为负值。
●上互换:指在三⾓函数求导六边形中，上顶⾓处函数的导数为另⼀上顶⾓处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。
●中下2:指在三⾓函数求导六边形中,中间顶⾓处函数的导数为对应边下顶⾓处函数导数的平⽅.即:(tanx)’=sec2x，(cotx)’=-csc2x。
●下中下:指在三⾓函数求导六边形中,下顶⾓处函数的导数为对应边中间顶⾓处函数的导数与下顶⾓处函数的导数之乘积。
即:(secx)’=tanxsecx，(cscx)’=-cotxcscx。
3.三⾓函数求积分由于积分是导数的逆运算,我们⽴即可以有求积分记忆⼝诀:上互换，下2中，中下下。
注:原函数的符号视其在相应六边形的位置⽽定。
例如:例1求.步骤:(a)与secx有关的积分⼝诀是“下2中”,(b)通过调整以及从六边形中可知,===ln+c= ln+c。
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数【2 】引诱公式及记忆办法一.同角三角函数的根本关系式（一）根本关系1.倒数关系tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=12.商的关系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3.平方关系sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α（二）同角三角函数关系六角形记忆法结构以"上弦.中切.下割;左正.右余.中央1"的正六边形为模子.1.倒数关系对角线上两个函数互为倒数;2.商数关系六边形随意率性一极点上的函数值等于与它相邻的两个极点上函数值的乘积.（主如果两条虚线两头的三角函数值的乘积,下面4个也消失这种关系.）.由此,可得商数关系式.3.平方关系在带有暗影线的三角形中,上面两个极点上的三角函数值的平方和等于下面极点上的三角函数值的平方.二.引诱公式的本质所谓三角函数引诱公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数.（一）常用的引诱公式1.公式一： 设α为随意率性角,终边雷同的角的统一三角函数的值相等： sin （2kπ+α）=sinα, k∈z cos（2kπ+α）=cosα, k∈ztan （2kπ+α）=tanα, k∈z cot（2kπ+α）=cotα, k∈zsec （2kπ+α）=secα, k∈z csc（2kπ+α）=cscα, k∈z2.公式二：α为随意率性角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosαtan （π+α）=tanα cot（π+α）=cotαsec(π+α)=—secα csc(π+α)=—cscα3.公式三：随意率性角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （－α）=－sinα cos（－α）=cosαtan （－α）=－tanα cot（－α）=－cotαsec(—α)=secα csc(—α)=—cscα4.公式四：应用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sinα cos（π－α）=－cosαtan （π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotαsec(π—α)=—secα csc(π—α)=cscα5.公式五：应用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosαtan （2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotαsec(2π—α)=secα csc(2π—α)=—cscα6.公式六：2π+α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）=cosα cos（2π+α）=－sinαtan （2π+α）=－cotα cot（2π+α）=－tanα sec(2π+α)=—cscα csc(2π+α)=secα7.公式七：2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π－α）=cosα cos（2π－α）=sinαtan （2π－α）=cotα cot（2π－α）=tanα sec(2π—α)=cscα csc(2π—α)=secα8.推算公式：23π+α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）=－cosα cos（23π+α）=sinα tan （23π+α）=－cotα cot（23π+α）=－tanα sec(23π+α)=cscα csc(23π+α)=—secα9.推算公式：23π—α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π－α）=－cosα cos （23π－α）=－sinα tan （23π－α）=cotα cot（23π－α）=tanαsec （23π-α)=—cscα csc（23π—α)=—secα引诱公式记忆口诀：“奇变偶不变,符号看象限”.“奇.偶”指的是2π的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是斧正弦变余弦,正切变余切.（反之亦然成立）“符号看象限”的寄义是：把角α看做锐角,不斟酌α角地点象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号照样负号.符号断定口诀：“一全正;二正弦;三两切;四余弦”.这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全体是“－”;第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全体是“－”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全体是“－”.“ASCT”意即为“all(全体)”.“sin”.“tan ”.“cos ”（二）其他三角函数常识1.两角和差公式sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβcos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα·tanβ)tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)2.二倍角的正弦.余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α tan2α=αα2tan -12tan 3.半角的正弦.余弦和正切公式sin 22α=2cos -1αcos 22α=2cos 1α+ tan 22α=ααcos 1cos -1+tan 2α=ααsin cos -1=ααcos 1sin + 4.全能公式 sinα=2tan 122tan 2αα+cosα=2tan 12tan -122αα+tanα=2tan -122tan 2αα 5.三倍角的正弦.余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sin 3αcos3α=4cos 3α－3cosα tan3α=α—α—α233tan 1tan 3tan 6.三角函数的和差化积公式sinα+sinβ=2sin 2βα+·cos 2β—αsinα－sinβ=2cos 2βα+·sin 2β—α cosα+cosβ=2cos 2βα+·cos 2β—αcosα－cosβ=－2sin 2βα+·sin 2β—α7.三角函数的积化和差公式sinα·cosβ=21[sin(α+β)+sin(α－β)]cosα·sinβ=21[sin(α+β)－sin(α－β)]cosα·cosβ=21[cos(α+β)+cos(α－β)]sinα·sinβ=－21[cos(α+β)－cos(α－β)]三.公式推导进程（一）全能公式推导 sin2α=2sinαcosα=αααα22sin cos cos sin 2+（因为cos 2α+sin 2α=1）再把上面的分式高低同除cos 2α,可得sin2α=2tan 122tan 2αα+然后用2α代替α即可.同理可推导余弦的全能公式.正切的全能公式可经由过程正弦比余弦得到.（二）三倍角公式推导 tan3α=ααcos3sin3=αα—ααααααcos sin2sin cos2sin 2cos cos sin2+=αα—αα—αα—ααααcos sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin 22222+ 高低同除以cos 3α,得：tan3α=α—α—α233tan 1tan 3tan sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos 2α+(1－2sin 2α)sinα=2sinα－2sin 3α+sinα－2sin 3α=3sinα－4sin 3αcos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=(2cos 2α－1)cosα－2cosαsin 2α=2cos 3α－cosα+(2cosα－2cos 3α)=4cos 3α－3cosα即 sin3α=3sinα－4sin 3αcos3α=4cos 3α－3cosα（三）和差化积公式推导起首,我们知道sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β我们把两式相加就得到sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β所以,sin αcos β=2sin sin β）—（αβ）（α++同理,若把两式相减,就得到cos αsin β=2sin sin β）—（α—β）（α+ 同样的,我们还知道cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β所以,把两式相加,我们就可以得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β所以我们就得到,cos αcos β=2cos cos β）—（αβ）（α++同理,两式相减我们就得到sin αsin β=—2cos cos β）—（α—β）（α+如许,我们就得到了积化和差的四个公式:sin αcos β=2sin sin β）—（αβ）（α++cos αsin β=2sin sin β）—（α—β）（α+cos αcos β=2cos cos β）—（αβ）（α++sin αsin β=-2cos cos β）—（α—β）（α+好,有了积化和差的四个公式今后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+b 设为x,α-β设为y,那么α=2y x +,β=2yx - 把α,β分离用x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin2yx+cos2yx-sinx-siny=2cos2yx+sin2yx-cosx+cosy=2cos2yx+cos2yx-cosx-cosy=—2sin2yx+sin2yx-。
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数诱导公式及记忆方法一、同角三角函数的基本关系式（一）基本关系1、倒数关系tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=12、商的关系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3、平方关系sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α（二）同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
1、倒数关系对角线上两个函数互为倒数；2、商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。
）。
由此，可得商数关系式。
3、平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
二、诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
（一）常用的诱导公式1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα，k∈z cos（2kπ+α）=cosα，k∈ztan（2kπ+α）=tanα，k∈z cot（2kπ+α）=cotα，k∈zsec（2kπ+α）=secα，k∈z csc（2kπ+α）=cscα，k∈z2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosαtan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotαsec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα3、公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinα cos（－α）= cosαtan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotαsec (—α) = secα csc (—α) =—cscα4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）= sinα cos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotαsec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）= cosαtan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotαsec (2π—α) = secαcsc (2π—α) =—cscα6、公式六：2π+α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）=－sinαtan （2π+α）=－cotαcot （2π+α）=－tanαsec (2π+α) =—cscαcsc (2π+α) = secα7、公式七：2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π－α）= cosα cos （2π－α）= sinα tan （2π－α）= cotα cot （2π－α）= tanαsec (2π—α) = cscα csc (2π—α) = secα8、推算公式：23π+α与α的三角函数值之间的关系：sin （23π+α）=－cosα cos （23π+α）= sinαtan （23π+α）=－cotα cot （23π+α）=－tanα sec (23π+α) = cscα csc (23π+α) =—secα 9、推算公式：23π—α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π－α）=－cosα cos （23π－α）=－sinα tan （23π－α）= cotα cot （23π－α）= tanαsec （23π-α) =—cscα csc （23π—α) =—secα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
正六边形记忆法1
只要我们记住tan和cot在中间，其他什么的都就好办了，不信？
看下面：
如上图所示哈，非常好记忆
除了以上三点之外，还有：
4、对于导数，则有：左面的sin,tan,sec为正
右面的cos,cot,csc为负
所以对tanx求导，为底层的平方，即secx的平方
同理可得对cotx求导为-（cscx的平方）（记住右面的符号为负哦）
然后：
对底层的求导那该怎么办呢？其实就是六边形的中间乘以底层
例如对secx求导，为中间乘以底层，所以是：tanx乘以secx
同理对cscx求导为-（cotx乘以csc）（记住右面的符号为负哦）
5、同理积分公式也可以用这个图来记忆：
∫secx dx =In|secx+tanx|+c
∫cscx dx =In|cscx+cotx|+c
可以理解为底层的积分为In|底层+中间层|+常数c。
文档 22
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”刘邦临终之前写给儿子的话，今天为人父亲的多读读没坏处原创孔家老大 2017-07-01 15:17西汉初年，汉高祖刘邦病危时，写了一份手诏给太子刘盈，正式确定他为皇位继承人。
这份手诏，名为《手敕太子书》，除了政治意义外，刘邦真情流露，对自己的儿子，用心至深。
下面，就一起来赏析一下这份颇为特别的传位诏书。
原文：吾遭乱世，当秦禁学，自喜，谓读书无益。
洎践阼以来，时方省书，乃使人知作者之意。
追思昔所行，多不是。
翻译：我年轻时遭逢动乱不安的时代，正赶上秦皇焚书坑儒，禁止求学，我很高兴，认为读书没有什么用处。
直到登基，我才明白了读书的重要，于是让别人讲解，了解作者的意思。
回想以前的所作所为，实在有很多不对的地方。
赏析：刘邦年轻时候喜欢游侠之行，不务正业，也不喜欢读书，常被父亲训斥。
起兵后，刘邦虽然重视人才，但一开始并不喜欢儒生，许多人头戴儒生的帽子来见他，他就立刻把他们的帽子摘下来，在里边撒尿。
在和人谈话的时候，动不动就破口大骂。
不过，当了皇帝以后，刘邦认识到读书少的坏处，这份诏书中就表现出了反省之意。
原文：尧舜不以天子与子而与他人，此非为不惜天下，但子不中立耳。
人有好牛马尚惜，况天下耶？吾以尔是元子，早有立意。
群臣咸称汝友四皓，吾所不能致，而为汝来，为可任大事也。
今定汝为嗣。
翻译：尧舜不把天下传给自己的儿子，却传给给别人，并不是他们不珍视天下，而是因为他们的儿子不足以担当大任。
人们有好牛马，还都很珍惜，何况是天下呢？你是我的谪传长子，我早就有意确立你为我的继承人。
大臣们都称赞你的朋友商山四皓，我曾经想邀请他们没有成功，现在却为了你而来，由此看来你可以承担重任。
所以我决定立你为我的继承人。
三角函数公式及其记忆方法.doc
三角函数公式及 其记忆方式一、同角三角函数的基本关系式（一）基本关系1、倒数关系2、商的关系3、平方关系（二）同角三角函数关系六角形记忆法结构以 " 上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1" 的正六边形为模子。
1、倒数关系对角线上两个函数互为倒数；2、商数关系六边形肆意一极点上的函数值等于与它相邻的两个极点上函数值的乘积。
（首假如两条虚线两头的三角函数值的乘积，下边 4 个也存在这类关系。
）。
由此，可得商数关系式。
3、平方关系在带有暗影线的三角形中，上头两个极点上的三角函数值的平方和等于下边极点上的三角函数值的平方。
二、引诱公式的实质所谓三角函数引诱公式，就是将角n ·( π/2) ±α的三角函数转变为角α 的三角函数。
（一）经常使用的引诱公式1、公式一：设 α 为肆意角，终边相同的角的一致三角函数的值相称 ：2、公式二：α 为肆意角，π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系 ：3、公式三：肆意角 α 与 - α 的三角函数值之间的关系：4、公式四：利用公式二和公式三能够获得 π - α 与 α 的三角函数值之间的关系：5、公式五：利用公式一和公式三能够得2π - α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin （2π－α） =－sin αcos （2π－α） =cos α tan （2π－α） =－tan αcot （2π－α） =－cot α sec(2 π—α )=sec αcsc(2 π—α )= —csc α6、公式六： π+α 与 α 的三角函数值之间的关系：2sin （ π+α） =cos αcos （π+α） =－sin α22 ππtan （ 2 +α） =－cot αcot （ 2 +α） =－tan αsec( π+α)=—csc α csc(π+α)=sec α2 27、公式七：π- α 与 α的三角函数值之间的关系： 2sin （ π－α） =cos αcos （π －α） =sinα 22tan （ π－α） =cot αcot （π－α）=tanα22 sec( π —α )=csc αcsc( π —α )=sec α28、计算公式：sin （ 3π2 +α） tan （ 3π +α） 223π+α 与 α 的三角函数值之间的关系：23π=－cos αcos （+α） =sin α2=－cot αcot （ 3π +α） =－tan α23πsec(+α)=csc α csc(3π+α)=—sec α229、计算公式： 3π—α 与 α 的三角函数值之间的关系：2sin （tan （ 3π23π－α） =－ cos α cos （ 3π－α） =－sin α2－α） =cot αcot （3π－α） =tan α22sec （3π- α)= —csc α csc （ 3π —α )= —sec α22引诱公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数诱导公式及记忆方法一、同角三角函数的根本关系式〔一〕根本关系1、倒数关系tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=12、商的关系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3、平方关系sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α〔二〕同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
1、倒数关系对角线上两个函数互为倒数；2、商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
〔主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。
〕。
由此，可得商数关系式。
3、平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
二、诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
〔一〕常用的诱导公式1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin〔2kπ+α〕=sinα，k∈z cos〔2kπ+α〕=cosα，k∈ztan〔2kπ+α〕=tanα，k∈z cot〔2kπ+α〕=cotα，k∈zsec〔2kπ+α〕=secα，k∈z csc〔2kπ+α〕=cscα，k∈z2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin〔π+α〕=－sinα cos〔π+α〕=－cosαtan〔π+α〕= tanα cot〔π+α〕= cotαsec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin〔－α〕=－sinα cos〔－α〕= cosαtan〔－α〕=－tanα cot〔－α〕=－cotαsec (—α) = secα csc (—α) =—cscα4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π－α〕= sinα cos〔π－α〕=－cosα tan〔π－α〕=－tanα cot〔π－α〕=－cotαsec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔2π－α〕=－sinα cos〔2π－α〕= cosαtan〔2π－α〕=－tanα cot〔2π－α〕=－cotαsec (2π—α) = secα csc (2π—α) =—cscα 6、公式六：2π+α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔2π+α〕= cosα cos 〔2π+α〕=－sinα tan 〔2π+α〕=－cotα cot 〔2π+α〕=－tanαsec (2π+α) =—cscα csc (2π+α) = secα7、公式七：2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔2π－α〕= cosα cos 〔2π－α〕= sinα tan 〔2π－α〕= cotα cot 〔2π－α〕= tanαsec (2π—α) = cscα csc (2π—α) = secα8、推算公式：23π+α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔23π+α〕=－cosα cos 〔23π+α〕= sinα tan 〔23π+α〕=－cotα cot 〔23π+α〕=－tanα sec (23π+α) = cscα csc (23π+α) =—secα9、推算公式：23π—α与α的三角函数值之间的关系：sin 〔23π－α〕=－cosα cos 〔23π－α〕=－sinα tan 〔23π－α〕= cotα cot 〔23π－α〕= tanα sec 〔23π-α) =—cscα csc 〔23π—α) =—secα 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限〞。
三角函数记忆口诀
三角函数记忆口诀
三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割; 中心记上数字一，连结顶点三角形。
向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
pi的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用; 一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范; 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围; 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
三角函数的正六边形记忆法(初高中均适用)
构建正六边形
学生可以在纸上画一个正六 边形，并标记好每个顶点的 角度，例如0°、60°、120° 、180°、240°和300°。
关联函数图像
总结图像规律
将正弦、余弦、正切等函数 的图像与正六边形的各个顶 点对应起来。例如，在0°顶 点处标上函数y=sin(x)在 x=0处的值，即y=0；在60° 顶点处标上函数y=sin(x)在 x=60°处的值，即 y=sin(60°)=√3/2；同理， 在120°、180°、240°和 300°顶点处分别标上 y=sin(x)在x=120°、180°、 240°和300°处的值。
CHAPTER 04
记忆三角函数的正六边形技 巧
结合图形记忆法
总结词：直观理解
详细描述：通过画出正六边形，理解正弦、 余弦、正切等函数在六个顶点的取值规律， 有助于直观地记忆三角函数的周期性和对称
性。
归纳总结记忆法
总结词：规律记忆
详细描述：从正六边形的性质出发，归纳出三角函数 在各象限的符号、周期等规律，有助于系统地记忆三 角函数的性质。
实际应用记忆法
总结词：实践记忆
详细描述：通过解决实际问题，如解三角形、振动问 题等，实际应用中加深对三角函数的理解和记忆。
CHAPTER 05
正六边形记忆法的应用范围 与优势
应用范围
初高中数学
在初高中的数学课程中，正六 边形记忆法可以应用于与三角 函数相关的知识点记忆，如角
度转换、函数图像等。
01
02
03
提高学习效率
通过使用记忆法，学生可 以更快地记住三角函数的 知识点，提高学习学生对三角函数的兴趣 ，从而更好地学习和理解 。
培养数学思维
通过使用记忆法，学生可 以更好地理解数学概念和 知识点，培养数学思维。
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数诱导公式及记忆方法之相礼和热创作一、同角三角函数的基本关系式（一）基本关系1、倒数关系tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=12、商的关系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3、平方关系sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α（二）同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、两头1"的正六边形为模型.1、倒数关系对角线上两个函数互为倒数；2、商数关系六边形恣意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积.（次要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系.）.由此，可得商数关系式.3、平方关系在带有暗影线的三角形中，下面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方.二、诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数.（一）经常运用的诱导公式1、公式一：设α为恣意角，终边相反的角的同一三角函数的值相称：sin（2kπ+α）=sinα， k∈z cos（2kπ+α）=cosα， k∈ztan（2kπ+α）=tanα， k∈z cot（2kπ+α）=cotα， k∈zsec（2kπ+α）=secα， k∈z csc（2kπ+α）=cscα， k∈z2、公式二：α为恣意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosαtan （π+α）=tanα cot （π+α）=cotαsec(π+α)=—secα csc(π+α)=—cscα3、公式三：恣意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）=－sinα cos （－α）=cosαtan （－α）=－tanα cot （－α）=－cotαsec(—α)=secα csc(—α)=—cscα4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π－α）=sinα cos （π－α）=－cosαtan （π－α）=－tanα cot （π－α）=－cotαsec(π—α)=—secα csc(π—α)=cscα5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）=cosαtan （2π－α）=－tanα cot （2π－α）=－cotαsec(2π—α)=secα csc(2π—α)=—cscα6、公式六：2π+α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）=cosα cos （2π+α）=－sinαtan （2π+α）=－cotα cot （2π+α）=－tanα sec(2π+α)=—cscα csc(2π+α)=secα7、公式七：2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=cosα cos （2π－α）=sinαtan （2π－α）=cotα cot （2π－α）=tanα sec(2π—α)=cscα csc(2π—α)=secα8、推算公式：23π+α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）=－cosα cos （23π+α）=sinα tan （23π+α）=－cotα cot （23π+α）=－tanα sec(23π+α)=cscα csc(23π+α)=—secα 9、推算公式：23π—α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π－α）=－cosα cos （23π－α）=－sinαtan （23π－α）=cotα cot （23π－α）=tanα sec （23π-α)=—cscα csc （23π—α)=—secα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. “奇、偶”指的是2π的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的称号的变更：“变”是指正弦变余弦，正切变余切.（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式左边是正号还是负号.符号判别口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”.这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只要正弦是“+”，别的全部是“－”；第三象限内只要正切和余切是“+”，别的全部是“－”； 第四象限内只要余弦是“+”，别的全部是“－”.“ASCT”意即为“all(全部)”、“sin”、“tan ”、“cos ”（二）其他三角函数学问1、两角和差公式sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβcos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα·tanβ)tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)2、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α tan2α=αα2tan -12tan 3、半角的正弦、余弦和正切公式sin 22α=2cos -1αcos 22α=2cos 1α+tan 22α=ααcos 1cos -1+tan 2α=ααsin cos -1=ααcos 1sin +4、万能公式sinα=2t an 122t an 2αα+cosα=2tan 12tan -122αα+tanα=2tan -122tan 2αα 5、三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sin 3αcos3α=4cos 3α－3cosαt an3α=α—α—α233tan 1tan 3tan6、三角函数的和差化积公式sinα+sinβ=2sin2βα+·cos 2β—αsinα－sinβ=2cos 2βα+·sin 2β—α cosα+cosβ=2cos 2βα+·cos 2β—αcos α－cosβ=－2sin 2βα+·sin 2β—α7、三角函数的积化和差公式 sinα·cosβ=21[sin(α+β)+sin(α－β)]cosα·sinβ=21[sin(α+β)－sin(α－β)]cosα·cosβ=21[cos(α+β)+cos(α－β)] sinα·sinβ=－21[cos(α+β)－cos(α－β)]三、公式推导过程（一）万能公式推导 sin2α=2sinαcosα=αααα22sin cos cos sin 2+（由于cos 2α+sin 2α=1）再把下面的分式上下同除cos 2α，可得sin2α=2t an 122t an 2αα+然后用2α代替α即可.同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可经过正弦比余弦得到.（二）三倍角公式推导 tan3α=ααcos3sin3=αα—ααααααcos sin2sin cos2sin 2cos cos sin2+=αα—αα—αα—ααααcos sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin 22222+ 上下同除以cos 3α，得：tan3α=α—α—α233tan 1tan 3tansin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos 2α+(1－2sin 2α)sinα=2sinα－2sin 3α+sinα－2sin 3α=3sinα－4sin 3αcos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=(2cos 2α－1)cosα－2cosαsin 2α=2cos 3α－cosα+(2cosα－2cos 3α)=4cos 3α－3cosα即 sin3α=3sinα－4sin 3αcos3α=4cos 3α－3cosα（三）和差化积公式推导首先,我们晓得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β我们把两式相加就得到sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β以是,sin αcos β=2sin sin β）—（αβ）（α++同理,若把两式相减,就得到cos αsin β=2sin sin β）—（α—β）（α+ 异样的,我们还晓得cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β以是,把两式相加,我们就可以得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β以是我们就得到,cos αcos β=2cos cos β）—（αβ）（α++同理,两式相减我们就得到sin αsin β=—2cos cos β）—（α—β）（α+这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sin αcos β=2sin sin β）—（αβ）（α++cos αsin β=2sin sin β）—（α—β）（α+cos αcos β=2cos cos β）—（αβ）（α++ sin αsin β=-2cos cos β）—（α—β）（α+好,有了积化和差的四个公式当前,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+b设为x,α-β设为y,那么α=2yx+,β=2yx-把α,β分别用x,y暗示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin2yx+cos2yx-sinx-siny=2cos2yx+sin2yx-cosx+cosy=2cos2yx+cos2yx-cosx-cosy=—2sin2yx+sin2yx-。
高中数学三角函数公式定理记忆口诀总结
高中数学三角函数公式定理记忆口诀总
结
三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割;
中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，
顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成税角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用;
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;。
三角函数的正六边形记忆法(初高中均适用)
研究目的和意义
通过正六边形记忆法，帮助学生更好地掌握三角函数的基 本概念和应用。
提高学生的学习效率和学习成果，培养学生的数学思维和 解决问题的能力。
ห้องสมุดไป่ตู้
研究方法和内容
采用文献综述和实证研究相结合的方法，对正六边形记忆法 进行深入探讨。
通过对比实验和问卷调查，收集和分析数据，评估正六边形 记忆法的有效性和可行性。
正六边形的对角线
正六边形的对角线将正六边形分成6个全等的等边三角形，每 个等边三角形的边长为a。
正六边形的面积和周长计算
正六边形的面积计算
正六边形的面积等于其所有三角形的面积之和，即(3√3/2)a^2。
正六边形的周长计算
正六边形的周长等于其所有边的长度之和，即6a。
03
三角函数与正六边形的联系
02
正六边形的基础知识
正六边形的定义和性质
正六边形的定义
正六边形是指有6条边相等，并且6个内角也相等的多边形。
正六边形的性质
正六边形具有轴对称性，对称轴为正六边形的中心和三条对角线。此外，正六边 形的所有内角均为120度，所有外角均为60度。
正六边形的几何参数和公式
正六边形的边长
设正六边形的边长为a，则正六边形的周长为6a，面积等于 (3√3/2)a^2。
利用几何方法绘制正六边形
通过使用圆规、直尺等工具，依据正六边形的性质和特点，可以逐步绘制出正六 边形。
利用三角函数计算正六边形的边长
通过使用三角函数和已知的边长，可以计算出正六边形的边长。
04
正六边形的记忆法及应用
正六边形的记忆法原理和要点
记忆法原理
正六边形记忆法是一种利用正六边形的几何性质帮助记忆三 角函数的方法。
三角函数的正六边形记忆法(初高中均适用)
根据需要，可以在正六边形的各个边上标注相应的三角函数值，便于记 忆和理解。
使用示例
计算正弦值
已知正六边形的边长为1，对边 长度为0.5，则sin=对边/斜边
=0.5/1=0.5。
利用正六边形可以直观地展示三角函数在直角三角形中的定 义和表示方法
03
正六边形记忆法的原理
原理概述
正六边形记忆法是一种利用正六边形几何图形来记忆三角 函数值的技巧，可以帮助学生们更加轻松地掌握和记忆三 角函数的相关知识。
该方法基于三角函数的基本定义和几何性质，将常见的三 角函数值与正六边形的几何特征相联系，从而使得记忆和 理解更加容易。
同时，探讨如何将正六边形记忆法与其他学习方 法或教学理论相结合，形成更为完善和高效的学 习策略也是值得未来研究的重要课题。
THANKS
谢谢您的观看
原理细节
正六边形记忆法的基本原理是：将正六边形的每条边按照一定的比例关系对应于 三角函数值的绝对值，并将正六边形的内角表示为三角函数的角度。
通过将三角函数值与正六边形的边长和角度联系起来，学生们可以更加直观地理 解和记忆三角函数的相关知识。
记忆法应用
正六边形记忆法可以广泛应用于初高中的数学教育和考试中，特别是对于三角函 数部分的考察。
正六边形记忆法的提出
针对传统方法的不足，提出一种基于正六边形和三角函数内 在联系的记忆方法，旨在帮助学生深刻理解并掌握三角函数 。
目的与目标
目的
通过正六边形记忆法，使学生能够更好地理解和记忆三角函数公式，提高学 习效率和成绩。
目标
高三数学三角函数复习口诀
高三数学三角函数复习口诀
高三数学三角函数复习口诀
三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割;
中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，
变成税角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意构造函数名，保持根本量不变，繁难向着简易变。
逆反原那么作指导，升幂降次和差积。
条件等式的.证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用;
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;
高三数学复习口诀：三角函数由数学网提供，望各位考生能够努力奋斗，成绩更上一层楼。
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从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记
原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法
三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法
2. 三角函数的定义
名称 正弦
余弦
正切 余切
正割 余割
定 义
r
y
==斜边对边αsin
r
x ==斜边邻边αcos
x
y
==
邻边对边αtan
y
x ==对边邻边αcot
x
r ==邻边斜边αsec
y
r ==对边斜边αcsc
符 号 与
增 减 变 化
Ⅰ +↑ +↓ +↑ +↓ +↑ +↓ Ⅱ +↓ -↓ -↑ -↓ -↑ +↑ Ⅲ -↓ -↑ +↑ +↓ -↓ -↑ Ⅳ
-↑
+↑
-↑
-↓
+↓
-↓
1
sinx
cosx
cscx
cotx
secx
tanx
+
-
1. 三角函数的记忆：
对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1.
倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x.
邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx.
2.三角函数求导数
图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。
上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。
中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x，(cotx)’=-csc2x。
下中下:指在三角函数求导六边形中,下顶角处函数的导数为对应边中间顶角处函数的导数与下顶角处函数的导数之乘积。
即:(secx)’=tanxsecx，(cscx)’=-cotxcscx。
3.三角函数求积分
由于积分是导数的逆运算,我们立即可以有求积分记忆口诀:上互换，下2中，中下下。
注:原函数的符号视其在相应六边形的位置而定。
例如:
例1 求.
步骤:(a)与secx有关的积分口诀是“下2中”,
(b)通过调整以及从六边形中可知,
= = =ln +c= ln +c。