角函数及其导数积分公式的六边形记忆法

从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记

原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法

三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法

2. 三角函数的定义

名称 正弦

余弦

正切 余切

正割 余割

定 义

r

y

==斜边对边αsin

r

x ==斜边邻边αcos

x

y

==

邻边对边αtan

y

x ==对边邻边αcot

x

r ==邻边斜边αsec

y

r ==对边斜边αcsc

符 号 与

增 减 变 化

Ⅰ +↑ +↓ +↑ +↓ +↑ +↓ Ⅱ +↓ -↓ -↑ -↓ -↑ +↑ Ⅲ -↓ -↑ +↑ +↓ -↓ -↑ Ⅳ

-↑

+↑

-↑

-↓

+↓

-↓

1

sinx

cosx

cscx

cotx

secx

tanx

+

-

1. 三角函数的记忆：

对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1.

倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x.

邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx.

2.三角函数求导数

图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。

上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。

中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x，(cotx)’=-csc2x。

下中下:指在三角函数求导六边形中,下顶角处函数的导数为对应边中间顶角处函数的导数与下顶角处函数的导数之乘积。

即:(secx)’=tanxsecx，(cscx)’=-cotxcscx。

3.三角函数求积分

由于积分是导数的逆运算,我们立即可以有求积分记忆口诀:上互换，下2中，中下下。

注:原函数的符号视其在相应六边形的位置而定。例如:

例1 求.

步骤:(a)与secx有关的积分口诀是“下2中”,

(b)通过调整以及从六边形中可知,

= = =ln +c= ln +c