名师一号必修第一课时 简单的线性规划问题
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线性目标函 数 可行解 可行域 最优解 线性规划问 题
意义 变量x,y满足的一组条件 由x,y的____一__次____不等式(或方程)组成的不 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析 式 目标函数是关于x,y的____一__次____解析式
满足线性约束条件的__解__(_x_,_y_)_ 所有可行解组成的___集__合________ 使目标函数取得最大值或最小值的__可__行__解__ 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值 或最小值问题
第12页 共 47 页
变 式 训 练 1:(2008天 津 )设 变 量 x,y满 足 约 束 条 件 :
xyx≤ 1xy≥ 0 2y≥ 1,则 z5xy的 最 大 值 为
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:作出可行域如下图所示:
由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即 z=5×1+0=5.
数为z=ax+by); (2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或
最小值的点;
第7页 共 47 页
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大 值和最小值;
(4)Βιβλιοθήκη Baidu:给出正确答案.
第8页 共 47 页
典例剖析 (学生用书P71) 题型一 求线性目标函数的最值
3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 简单的线性规划问题
第1页 共 47 页
自学导引 (学生用书P71) 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性规划问题.
第2页 共 47 页
课前热身 (学生用书P71) 线性规划中的基本概念
第3页 共 47 页
名称 约束条件 线性约束条 件 目标函数
距为-z的直线,当z变化时,可以得到一组平行直线,直线l与 该阴影区域的交点满足不等式组.而且当截距-z最大时,z取 最小值;当截距-z最小时,z取得最大值.
第11页 共 47 页
规律技巧:求线性目标函数的最值的步骤:①画出线性约束条 件表示的可行域;②构造直线f(x,y)=0;③平移直线得最优解; ④得出结论.
第20页 共 47 页
解:画出可行域,如图所示. 由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函
数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,直线y=ax+z 过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率, 所以a>1.
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第17页 共 47 页
题型三 已知目标函数的最值求待定系数 例3:已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2,若目标函
数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值 范围. 分析:先画出可行域,利用数形结合求解.
第18页 共 47 页
解:由约束条件画出可行域,如图所示. 点C的坐标为(3,1),z最大时,即平移y=-ax时使直线在y轴上的
答案:D
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题型二 求解非线性目标函数的最值
x y 2≥ 0,
例 2 :已 知
x
y 4≥ 0,
求
:
2 x y 5≤ 0 ,
1 z y 的 最 大 值 和 最 小 值 ;
x
2 z x 2 y 2的 最 大 值 .
分 析 :点 x,y在 可 行 域 内 ,y表 示 可 行 域 内 的 点 与 原 点
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3x 8y 15≥0, 例1:已知x, y满足5x 3y 6≤0,
2x 5y 10≥0. 求z x y的最大值和最小值.
分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于x,y的一次 式,所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解.
第10页 共 47 页
解:作出不等式组表示的可行域,如下图阴影部分. 将目标函数z=x-y变形为直线l:y=x-z.这是斜率为1,在y轴上截
x 连 线 的 斜 率 ,而 x2y2则 表 示 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 也 就 是 利 用 几 何 意 义 解 答 .
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解:作出可行域,如图所示A1,3,B3,1,C7,9.
1z y表示可行域内的点x,y与定点0,0连线的斜率,
x
kOA
3,kOB
1, 3
z y的最大值为3,最小值为1.
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名师讲解 (学生用书P71) 1.线性规划的有关概念
1约束条件:由未知数x,y的不等式(或方程)组成的不等式,
2xy10, 组成为x,y的约束条件,如:不等式组xx≥ 2 0,y2≤1,
y≥0, 就是一个关于x、y的约束条件.
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(5)线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最值 问题.
截距最大,∴y=-ax的斜率要小于直线CD:x+y-4=0的斜率. 即-a<kCD,即-a<-1,∴a>1.
第19页 共 47 页
规律技巧:这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题 必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 取得,运用数形结合的思想方法求解.同时,要注意边界直线 斜率与目标函数斜率关系.
(6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y). (7)可行域:所有可行解组成的集合. (8)最优解:使目标函数取得最值的可行解.
第6页 共 47 页
2.线性规划问题的图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最
优解的步骤概括为“画､移､求､答”,即: (1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函
易错探究 (学生用书P73)
某 公 司 招 聘 男 职 员 x名 ,女 职 员 y名 ,x和 y需 满 足 约 束 条 件
x
3
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(2)z=x2+y2表示可行域内的点到定点(0,0)的距离的平方,因此 最大值为
z=|OC|2=72+92=130. 规律技巧:对于非线性目标函数的最值问题,一般按目标函数
的几何意义求解.
第16页 共 47 页
变 式 训 练 2:已 知 变 量 x,y满 足 3x x 5 y4 y 2 5 ≤ 3 ≤ 0,0 x ,≥ 1 ,设 zx y, 求 z的 最 大 值 和 最 小 值 . 解:可行域如图所示. z为可行域内的点与原点连线的斜率, ∴z在A点取得最大值,在C点取得最小值.
意义 变量x,y满足的一组条件 由x,y的____一__次____不等式(或方程)组成的不 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析 式 目标函数是关于x,y的____一__次____解析式
满足线性约束条件的__解__(_x_,_y_)_ 所有可行解组成的___集__合________ 使目标函数取得最大值或最小值的__可__行__解__ 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值 或最小值问题
第12页 共 47 页
变 式 训 练 1:(2008天 津 )设 变 量 x,y满 足 约 束 条 件 :
xyx≤ 1xy≥ 0 2y≥ 1,则 z5xy的 最 大 值 为
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:作出可行域如下图所示:
由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即 z=5×1+0=5.
数为z=ax+by); (2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或
最小值的点;
第7页 共 47 页
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大 值和最小值;
(4)Βιβλιοθήκη Baidu:给出正确答案.
第8页 共 47 页
典例剖析 (学生用书P71) 题型一 求线性目标函数的最值
3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 简单的线性规划问题
第1页 共 47 页
自学导引 (学生用书P71) 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性规划问题.
第2页 共 47 页
课前热身 (学生用书P71) 线性规划中的基本概念
第3页 共 47 页
名称 约束条件 线性约束条 件 目标函数
距为-z的直线,当z变化时,可以得到一组平行直线,直线l与 该阴影区域的交点满足不等式组.而且当截距-z最大时,z取 最小值;当截距-z最小时,z取得最大值.
第11页 共 47 页
规律技巧:求线性目标函数的最值的步骤:①画出线性约束条 件表示的可行域;②构造直线f(x,y)=0;③平移直线得最优解; ④得出结论.
第20页 共 47 页
解:画出可行域,如图所示. 由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函
数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,直线y=ax+z 过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率, 所以a>1.
第21页 共 47 页
第17页 共 47 页
题型三 已知目标函数的最值求待定系数 例3:已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2,若目标函
数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值 范围. 分析:先画出可行域,利用数形结合求解.
第18页 共 47 页
解:由约束条件画出可行域,如图所示. 点C的坐标为(3,1),z最大时,即平移y=-ax时使直线在y轴上的
答案:D
第13页 共 47 页
题型二 求解非线性目标函数的最值
x y 2≥ 0,
例 2 :已 知
x
y 4≥ 0,
求
:
2 x y 5≤ 0 ,
1 z y 的 最 大 值 和 最 小 值 ;
x
2 z x 2 y 2的 最 大 值 .
分 析 :点 x,y在 可 行 域 内 ,y表 示 可 行 域 内 的 点 与 原 点
第9页 共 47 页
3x 8y 15≥0, 例1:已知x, y满足5x 3y 6≤0,
2x 5y 10≥0. 求z x y的最大值和最小值.
分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于x,y的一次 式,所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解.
第10页 共 47 页
解:作出不等式组表示的可行域,如下图阴影部分. 将目标函数z=x-y变形为直线l:y=x-z.这是斜率为1,在y轴上截
x 连 线 的 斜 率 ,而 x2y2则 表 示 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 也 就 是 利 用 几 何 意 义 解 答 .
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解:作出可行域,如图所示A1,3,B3,1,C7,9.
1z y表示可行域内的点x,y与定点0,0连线的斜率,
x
kOA
3,kOB
1, 3
z y的最大值为3,最小值为1.
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名师讲解 (学生用书P71) 1.线性规划的有关概念
1约束条件:由未知数x,y的不等式(或方程)组成的不等式,
2xy10, 组成为x,y的约束条件,如:不等式组xx≥ 2 0,y2≤1,
y≥0, 就是一个关于x、y的约束条件.
第5页 共 47 页
(5)线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最值 问题.
截距最大,∴y=-ax的斜率要小于直线CD:x+y-4=0的斜率. 即-a<kCD,即-a<-1,∴a>1.
第19页 共 47 页
规律技巧:这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题 必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 取得,运用数形结合的思想方法求解.同时,要注意边界直线 斜率与目标函数斜率关系.
(6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y). (7)可行域:所有可行解组成的集合. (8)最优解:使目标函数取得最值的可行解.
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2.线性规划问题的图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最
优解的步骤概括为“画､移､求､答”,即: (1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函
易错探究 (学生用书P73)
某 公 司 招 聘 男 职 员 x名 ,女 职 员 y名 ,x和 y需 满 足 约 束 条 件
x
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(2)z=x2+y2表示可行域内的点到定点(0,0)的距离的平方,因此 最大值为
z=|OC|2=72+92=130. 规律技巧:对于非线性目标函数的最值问题,一般按目标函数
的几何意义求解.
第16页 共 47 页
变 式 训 练 2:已 知 变 量 x,y满 足 3x x 5 y4 y 2 5 ≤ 3 ≤ 0,0 x ,≥ 1 ,设 zx y, 求 z的 最 大 值 和 最 小 值 . 解:可行域如图所示. z为可行域内的点与原点连线的斜率, ∴z在A点取得最大值,在C点取得最小值.