基于反应谱法的重力坝有限元等效动应力响应分析

游坝面高度; y i 为结点 i 至坝底距离; E 为坝体弹性模量; I 为坝底截面矩; G 为
坝体剪切模量; B 为坝底顺河向厚度; k 为剪应力沿截面分布不均匀而引入的修
正系数, 对矩形截面为 112。
当采用 F. Vogt 公式考虑坝体相对于地基的整体水平位移和转动的影响时,
图 1 悬臂梁法计算简图 Fig. 1 Schematic diagram of
文中以四个在建或拟建的重力坝为例, 比较了有限元和悬臂梁两种离散方法在求解重力坝结构自振特性及 反应谱法动等效应力响应方面的差异, 从而说明了采用有限元法求解结构自振特性, 再用反应谱法求解重力坝动 力响应的必要性。
1 反应谱法等效应力计算基本原理
111 悬臂梁法
在重力坝的悬臂梁法地震动力分析中, 通常只考虑坝体在水平地震作用下
质量矩阵采用集中质量矩阵的形式。结点 i 的质量可按相邻上下两段质量之和的一半取值。当考虑动水压
力影响时, 按规范推荐的韦氏附加质量公式[ 1] 。
实际计算时, 对坝体沿水平方向进行水平方向条块的划分, 得到体系的柔度矩阵和质量矩阵, 求解下式广义
特征方程得到体系的自振特性:
K U = X2 MU
LI Tongchun, HU Jigang, ZHAO Lanhao, ZHANG Liping ( College of Water Conservancy and Hydropower Engineering , Hohai University , Nanjing 210098)
Abstract: This paper presents an equivalent dynamic stress analysis for gravity dams based on the response spectrum method and finite element ( FE) analysis, and proposes a formula to directly calculate the internal forces and equivalent stresses for each vibration mode from the finite element method ( FEM) data of vibration modes. The equivalent stresses of four dams under construct ion or proposed are computed as test cases by the response spectrum method of cantilever model or by FEM, with the equivalent dynamic stresses compared for several typical locations. The results show that the equivalent stress obtained from the FE vibrat ion modes is better than that from cantilever model. The former can reasonably reflect the stress concentration due to the sudden change of dam prof ile. The proposed method of FE equivalent stress analysis is easy to implement . Key words: hydraulic structure; equivalent dynamic stress; response spectrum method; cantilever method; finite element method; gravity dam
作者认为在计算机内存、计算速度及有限元计算分析软件高速发展的当今, 已无必要再采用简化的悬臂梁法 作为重力坝自振特性的基本分析方法。但是目前的应力控制标准主要是针对材料力学方法制定的, 其主要特点 在于控制应力是根据截面内力按等效线性分布假定由材料力学公式计算得到。而常规的由有限元分析直接得到
收稿日期: 2009-04-21 基金项目: 国家自然科学基金委员会资助项目( 90510017) 作者简介: 李同春( 1963) ) , 男, 博士, 教授. E- mail: ltchhu@ 163. com
E 移响应 ui = Gi Bikg UiPX2i ; 振型惯性力 Fi = Mai ; 振型应力 R( j ) i =
Bj 2Ij
N
(
k= j+ 1
yk
-
yj ) F ( k) i ; 振型坝底剪力 Si =
N
E F( k) i。
k= 1
根据5水工建筑物抗震设计规范6的规定, 采用振型分解反应谱法计算地震作用效应时, 可由各阶振型的地震
体体型的影响。
关键词: 水工结构; 等效动应力; 反应谱法; 悬臂梁法; 有限元法; 重力坝
中图分类号: TV312
文献标识码: A
FE equivalent dynamic stress analysis based on response spectrum method for gravity dams
首先用该指定截面将整个有限元模型分为坝体( 记为 Ñ) 与地基( 记为 Ò) 两个子结构, 并对这两个子结构在
该指定截面上施加一组大小相等、方向相反的约束内力, 则可建立与方程( 3) 完全等价的另一组方程:
k ii kic
Ui
- X2 mii mic
Ui
0
=
( 5)
Байду номын сангаас
k k U ci
cc Ñ , Ò
0 前言
水工建筑物抗震设计规范[1] ( 以下简称规范) 规定, 重力坝分析应以同时计算弯曲和剪切变形的动、静材料力 学方法为基本分析方法, 即悬臂梁法[ 2] 。而随着数值计算技术的发展, 有限单元法作为一种比较成熟的计算离散 方法, 在结构数值计算领域已得到广泛的应用, 能够很方便地模拟重力坝的施工过程、材料分区、孔洞、坝体- 库水 - 地基系统的相互作用以及复杂的地质条件和边界条件, 具有材料力学方法无可比拟的优势。因此, 规范也同时 规定, 对于工程抗震设防类别为甲类, 或结构复杂, 或地基条件复杂的重力坝, 宜补充作有限元法动力分析。目前 规范规定重力坝的动力分析方法主要采用振型分解反应谱法。
由弯曲变形和剪切变形产生的水平振动, 忽略坝体的竖向振动, 也忽略转动惯量 的影响[ 3] 。如图 1 所示, 将重力坝简化为一固结于地基的悬臂梁, 取单位厚度重
力坝坝段为分析对象, 将整个坝段沿高度按任意间距划分成 N - 1 段, 结点号自
下至上为 1 至 N, 结点 1 固定于地基上。取 y 轴向上, 当只考虑坝体由弯曲变形
别为第 i 阶、第 j 阶振型的圆频率。
112 有限元法
有限元反应谱法的分析思路和悬臂梁法基本相同, 其基本方程形式同( 3) , 主要差别在于沿上下游方向有限
元的单元数量可以任意选择。为了和悬臂梁法得到的结果具有可比性, 本文根据有限元内力法[ 5] 的基本原理, 利
用有限元得到的振型, 从有限元的静力平衡原理出发, 直接求解得到不同振型下给定截面上对应的有限元内力。
( 3)
式中: M= M+ Mp ; U为振型向量; X 为圆频率; K 为刚度矩阵, 其逆阵即为柔度矩阵, 即 K - 1= D。
根据反应谱理论, 结构各阶振型的最大地震响应与具有相同振型周期的单自由度体系的最大响应成正比, 最
大绝对加速度和最大相对位移均可以按振型展开。第 i 阶振型的反应为: 绝对加速度响应 ai = Gi BikgUi ; 相对位
作用效应按平方和方根组合。当两个振型的频率差的绝对值与其中一个较小的频率之比小于 011 时, 地震作用
效应宜采用完全二次型方根组合:
mm
E E SE =
Qij S iS j
ij
( 4)
Qij =
( 1-
8
Ni Nj ( Ni +
CXNj )
C3P2 X
C2X ) 2 + 4NiNj CX ( 1+ C2X) + 4( N2i +
c Ñ, Ò
m m U ci
cc Ñ , Ò
c Ñ, Ò
f c Ñ, Ò
式中: 下标 c 代表指定截面上的结点; i 表示非指定截面上的结点; { f c } Ñ , { f c } Ò 分别代表指定截面上 Ñ 、Ò两个
子结构间的约束内力, 由作用力与反作用力的关系有:
{fc} Ñ + {fc} Ò = 0
摘 要: 提出了由有限元法得到的振型求解振型内力及振型等效 应力, 并根据反应 谱法理论 求解重力 坝等效 动应力 响
应的 分析方法。本文对四个在建或拟建的重力坝, 用悬臂梁反应谱 法和有限元等效应力法分别进行了计算, 比较了坝 体
几个 典型部位等效动应力响应。结果表明, 在坝体体型有突变的地 方, 有限元等效应力法相较悬臂梁法所 得值有明显 的 增高 , 更敏锐的反映出了应力集中对坝体垂直动应力的影 响。本文 提出的方法简单易行, 比悬臂梁反应谱 法更能反映 坝
和剪切变形产生的水平振动, 由结构动力学知识[ 4] , 柔度矩阵 D可以表达为:
j
E Dij = Dji =
dy k ( yj - yk ) ( y i - y k ) PEI + kPGB
( 1)
k= 1
式中: Dij 为结点 i 作用单位力时在结点j 引起的水平位移; dy k 为结点 k 控制的上
N2j ) C2X
第 5期
李同春等: 基于反应 谱法的重力坝有限元等效动应力响应分析
21
式中: SE 为地震作用效应; Si 、Sj 分别为第 i 阶、第 j 阶振型的地震作用效应; m 为计算采用的振型数; Qij 为第 i
阶、第 j 阶振型的振型相关系数; Ni , Nj 分别为第 i 阶、第 j 阶振型的阻尼比; CX 为圆频率比, CX = XjPXi ; Xi , Xj 分
cantilever method
对单位宽度坝体, 只需在柔度矩阵元素表达式( 1) 中加上一项:
Dij = Dji + c 1PEf + c 2 ( y i - y1 ) ( yj - y 1 ) PEB 2
( 2)
式中: Ef 为地基岩石的弹性模量, c1 , c2 为常数。当采用秒、米、吨单位制时, c1 = 11785, c2 = 51075[3] 。
第 28 卷 第 5 期 2009 年 10 月
水力发电学报 JOURNAL OF HYDROELECTRIC ENGINEERING
Vol. 28 No. 5 Oct. , 2009
基于反应谱法的重力坝有限元等效动应力响应分析
李同春, 胡继刚, 赵兰浩, 张丽萍
( 河海大学水利水电工程学院, 南京 210098)
20
水力发电学报
2009 年
的应力沿截面呈非线性分布, 在坝踵和坝趾及断面突变处有明显的应力集中现象。 为此, 本文提出了由有限元分析得到的振型求解振型内力及振型等效应力, 并根据反应谱法理论求解重力坝
等效动应力响应的分析方法。这样使得有限元反应谱和悬臂梁反应谱的应力计算方法是一致的, 其主要差异在 于是否对结构进行简化。
( 6)
由于方程( 3) 和( 5) 完全等价, 则由方程( 3) 解出结构振型后, 代入式( 6) 就可直接求解出给定截面上的约束内
力; 其表达式为:
{ f c } = - {f c} = [ kci ] { Ui } + [ kcc ] { Uc } - X2 [ mci ] { Ui } - X2 [ mcc ] { Uc }
= X2 [ mci ] { Ui } + X2 [ mcc ] { Uc } - [ mci ] { Ui } - [ kcc ] { Uc }
( 7)
由此根据( 7) 式可求得第 j 阶振型对应的上下游边缘正应力。
E E Rj, y u =
Wj 6 M j B + B2
( 8)
E E Rj, y d =
Wj 6 M j B - B2
E E 式中: Rj, yu , Rj, yd 分别为上下游边缘正应力; Wj 为计算截面上与第 j 阶振型对应的轴向约束力; Mj 为计算