地位量数

分数 25 24 22 21 20 17 总数
次数 1 2 2 2 1 2 10
向下 9 7 5 3 2 0
相对 0.90 0.70 0.50 0.30 0.20 0.00
PR 90 70 50 30 20 0
♦ 反映出没有低于17分的，90%的分数 反映出没有低于17分的，90%的分数 17分的
9 2 -9 0 z 1 = 4 .2 0 = 0 .4 8 8 0 -6 8 z 2 = 5 .4 0 = 2 .2 2 Q z 1 < z 2 ∴ 外语成绩较好。
计算不同质的观测值的总和或平均值， 2、计算不同质的观测值的总和或平均值， 以表示在团体中的相对位置。 以表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时， 当研究需要合成不同质的数据时，如果已 知这些不同质的观测值的次数分布为正态， 知这些不同质的观测值的次数分布为正态， 这时可采用Ｚ 这时可采用Ｚ分数来计算不同质的观测值的 总和或平均值。 总和或平均值。
合计
2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1
52 50 48 45 40 32 21 12 7 3 1
100 f ( Xi − Lb) PR = × Fb + N i
N为总次数 Lb为该分数所在组的精确下限 Lb为该分数所在组的精确下限 Fb为小于Lb组的累积次数 Fb为小于Lb组的累积次数 为小于Lb Xi为该分数 Xi为该分数 f为该分数所在组的次数
第五章
地位量数
思
考
同样身高1.65米的男女在各自 同样身高1.65米的男女在各自 1.65 群体中的位置是否一样？ 群体中的位置是否一样？
♦ 描述数据次数分布中各数据所处地位
的统计量称为地位量数。 的统计量称为地位量数。
♦ 常用的地位量数有标准分数、百分等 常用的地位量数有标准分数、
级、百分位数等。 百分位数等。
一、标准分数
（一）标准分数的定义 标准分数又称为基分数或Ｚ分数， 标准分数又称为基分数或Ｚ分数，是指次数分 布中， 标准差为单位，每个数据距离平均数的 布中，以标准差为单位，每个数据距离平均数的 为单位 平均数 位置的量数。通常用Z表示。 位置的量数。通常用Z表示。 标准分数的计算公式 （二）标准分数的计算公式
(三)标准分数的性质
♦ Ｚ分数无实际单位，只表明原始分数在以平均数为中 分数无实际单位 无实际单位，
心的相对位置，因此称为相对位置量数 相对位置量数。 心的相对位置，因此称为相对位置量数。原始分数转换 成Ｚ分数，就把单位不等距的和缺乏明确参照点的分数 分数， 转换成以标准差为单位、以平均数为参照点的分数。 转换成以标准差为单位、以平均数为参照点的分数。 以标准差为单位 的分数
还是体重在各自的分布中较高？ 还是体重在各自的分布中较高？ 已知Z身高1.70=0.5， 体重65 已知Z身高1.70=0.5，Z体重65=1.2 1.2〉0.5 所以
体重离平均数的距离比身高离平均数的距离远， 体重离平均数的距离比身高离平均数的距离远，即 该人在团体中身高稍微偏高，体重更偏重些。 该人在团体中身高稍微偏高，体重更偏重些。
准差为单位，因而具有可比性。 准差为单位，因而具有可比性。
♦
可加性： 可加性：标准分数使不同的原始分数具有相同的
参照点，因而具有可加性。 参照点，因而具有可加性。
♦ ♦
明确性：标准分数较原始分数的意义更为明确。 明确性：标准分数较原始分数的意义更为明确。 合理性： 合理性：标准分数保证了不同性质的分数在总分
♦ 一组原始分数得到的Ｚ分数既有正值，也有负值和零。 一组原始分数得到的Ｚ分数既有正值，也有负值和零。
正值表示原始分数在平均数以上， 正值表示原始分数在平均数以上，负值表示原始分数在 平均数以下，零表示原始分数与平均数相等。 平均数以下，零表示原始分数与平均数相等。所有原始 数据的Ｚ分数之和为零。 数据的Ｚ分数之和为零。即
♦ (三)应用
百分等级可以提供各个数据在其次数 分布中的位置信息。 分布中的位置信息。对心理与教育测验 中分数解释以及我国高考分数制度改革 中有着重要的应用。 中有着重要的应用。
三、百分位数
（一）定义 百分位数是指在次数分布中， 百分位数是指在次数分布中，位于特定百分等 级位置上的那个数。 级位置上的那个数。 它是次数分布中的一个原始数。 它是次数分布中的一个原始数。 表示。读作第p百分位数。 通常用Pp表示。读作第p百分位数。 百分位数和百分等级是同一操作定义的两端。 百分位数和百分等级是同一操作定义的两端。 一个百分等级对应一个原始分数， 一个百分等级对应一个原始分数，每一原始分数 对应一个百分等级。 对应一个百分等级。 例如：PR=35对应的百分位数为60， 对应的百分位数为60 例如：PR=35对应的百分位数为60，记作 =60，读作第35百分位数为60 表明比60 35百分位数为60。 60分低 P35=60，读作第35百分位数为60。表明比60分低 的分数占总次数的35% 或者说35%的分数比60分 35%。 35%的分数比 的分数占总次数的35%。或者说35%的分数比 分 低。
低于25分 50%的分数在22分以下，22分 低于25分，50%的分数在22分以下，22分 25 的分数在22分以下 为该分布的中位数，分数最高的是25分 为该分布的中位数，分数最高的是25分， 25 只有一个25分。 只有一个25分 25
•2、分组数据求法 2
分数 次数
向下 累积
95～ 90 ～ 85 ～ 80 ～ 75 ～ 70 ～ 65 ～ 60 ～ 55 ～ 50 ～ 45 ～
2、某地12岁女孩身高平均为148.8厘米， 某地12岁女孩身高平均为148.8厘米， 12岁女孩身高平均为148.8厘米 标准差为11.25厘米；体重平均数为37.06公 标准差为11.25厘米；体重平均数为37.06公 11.25厘米 37.06 斤，标准差为1.72公斤。8岁女孩身高平均为 标准差为1.72公斤。 1.72公斤 125.64厘米，标准差为10.76厘米。现有一12 125.64厘米，标准差为10.76厘米。现有一12 厘米 10.76厘米 岁女孩，身高156厘米，体重39公斤， 岁女孩，身高156厘米，体重39公斤，是身高 156厘米 39公斤 还是体重发育得更好？有一8岁女孩， 还是体重发育得更好？有一8岁女孩，身高 135厘米，他的身高发育情况比12岁女孩体重 135厘米，他的身高发育情况比12岁女孩体重 厘米 12 发育更好吗？ 发育更好吗？
–
例2：A、B两个学生在三种考试中的分数见下 表，试比较二人的分数是否有差别。
考试
X
70
S
Xa
Xb
1
8
70
90
2
55
4
57
51
3
42
5
45
40
♦
解：依题意分别求每次考试的Z分数，依公式 依题意分别求每次考试的Z分数，
Xi − X Z= S
♦
求得 Za3=0.6
Za1=0 Za2=0.5
Zb2=Zb3=Zb1=2.5 Zb2=-1 Zb3=-0.4
∑Z = 0
。
♦
一组原始数据，转化成Ｚ分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后， 一组原始数据，转化成Ｚ分数后，Z分
数的标准差为１ 平均数为0 数的标准差为１，平均数为0. 即
♦
Sz = 1
Z
。 =0
平均值为０，标准差为１的分布为标 平均值为０ 标准差为１
准正态分布。 准正态分布。
（四）、标准分数的优点
♦
可比性：标准分数以团体的平均数为基准， 可比性：标准分数以团体的平均数为基准，以标
数中的权重相同，使分数更合理地反映事实。 数中的权重相同，使分数更合理地反映事实。
(五)、标准分数的应用
♦ 1、用于比较几个分属性质不同的观测值在各
自数据分布中相对位置的高低。 自数据分布中相对位置的高低。
♦ 例如：一个人身高1.70m,体重65kg,究竟身高 例如：一个人身高1.70m,体重65kg, 1.70m,体重65kg,究竟身高
（二）计算公式
PR × N − Fb Pp = Lb + 100 ×i f
PR为百分位数对应的百分等级 PR为百分位数对应的百分等级 N为总次数 Lb为百分位数所在组的精确下限 Lb为百分位数所在组的精确下限 Fb为小于Lb组的累积次数 为小于Lb Fb为小于Lb组的累积次数 i为组距 f为百分位数所在组的次数
Xi − X Z= S
例1：某班平均成绩为90分，标准差为3分， ：某班平均成绩为90分，标准差为3 甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲乙二学 甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲乙二学 生的Z分数各是多少? 生的Z分数各是多少? ♦ 解：已知 S=3 =90 X甲=94.2 X乙=89.1 X 依公式
Xi − X Z= S
甲
求得
z
甲
X =
−X
−X
S
乙
94.2 - 90 4.2 = = = 1.4 3 3
89.1 - 90 - 0.9 = = = -0.3 3 3
Z
乙
=X
S
答:甲生的Z分数为1.4，乙生的Z分数为-0.3。 甲生的Z分数为1.4，乙生的Z分数为-0.3。 1.4
练
习
某年高考理科数学平均成绩65分， 某年高考理科数学平均成绩65分， 标准差为12.5分，考生A 标准差为12.5分，考生A、B、C三人 的数学原始分数是50分、65分、85 的数学原始分数是50分、65分、85 分，求他们的标准分数是多少？
作 业
1、某次考试人数为10000人，其中有 某次考试人数为10000人 10000 6895人得成绩低于80分 试确定80分这个成 6895人得成绩低于80分，试确定80分这个成 人得成绩低于80 80 绩的百分等级PR。另问，卷面80分是一个什 绩的百分等级PR。另问，卷面80分是一个什 PR 80 么地位的量数，怎么读？其含义是什么？ 么地位的量数，怎么读？其含义是什么？
52
求72分的百分等级？ 72分的百分等级？ 分的百分等级
解：由次数分布表可知 f=11 i=5 Fb=21 Lb=69.5 72分的百分等级为 分的百分等级为 100 f ( Xi − Lb) PR = × Fb + N i
100 11× (72 − 69.5) = × 21 + 5 52 100 = × [21 + 5.5] 表明在该次数分布中 52 72分低的分数个数 比72分低的分数个数 = 50.96 占总个数的50.96% 50.96%。 占总个数的50.96%。
♦ ♦ ♦
Za=0+0.5+0.6=1.1 Zb=2.5Zb=2.5-1-0.4=1.1 答：AB两学生成绩总分没差别。 AB两学生成绩总分没差别。 两学生成绩总分没差别
二、百分等级
（一） 定义 百分等级是指在次数分布中低于某分数的数据个数占 数据总个数比例的百分数。 数据总个数比例的百分数。 反映某个分数以下（不包括该分数） 反映某个分数以下（不包括该分数）的数据个数占数 据总个数的百分比。 100之间取值 PR表示 据总个数的百分比。在0—100之间取值，通常用PR表示。 100之间取值，通常用PR表示。 （二）求法 1、未分组数据的求法 （1）把数据从大到小依次排列 按不同数据逐个的统计次数， （2）按不同数据逐个的统计次数，并列表记录 从低分向高分方向， （3）从低分向高分方向，计算各个数据以下的累积次数 不包括该数据的次数）。 （不包括该数据的次数）。 （4）计算各数据的以下累积相对次数。 计算各数据的以下累积相对次数。 确定各数据的百分等级。 （5）确定各数据的百分等级。用各数据的以下累积相对 次数城上100既得。 既得。 次数城上 既得
９０分 例2：某年级数学平均分９０分，标准差 ：某年级数学平均分９０ ２０分 外语平均分６８ ６８分 ４．２０分；外语平均分６８分，标准差 ４０分 ５．４０分； 该生数学９２分 外语８０分 该生数学９２分，外语８０分，哪科成绩比 ９２ ８０ 较好？ 较好？ 解：依题意求各科的Z分数 依题意求各科的Z分数