高三数学第一轮复习幂函数

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高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2

因此
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3

第3章第4节幂函数对勾函数及一次分式函数课件——2025届高考数学一轮总复习

则a的取值范围是( D )
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.[1,2)
解析由于y=
D.[-1,2)
4+
3
=1+ ,所以函数在区间(-∞,-1)上单调递减且y<1,在
+1
+1
(-1,+∞)上单调递减且y>1,又因为当y=2时x=2,因此要使函数在(a,b]上的最
小值为2,应有b=2且-1≤a<2,即a的取值范围是[-1,2),故选D.
R
R
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
非奇非
偶函数
单调
性
在(-∞,0)上单调
在(-∞,0)和
在R上单
在R上单调在[0,+∞)上
递减,在(0,+∞)
(0,+∞)上单
调递增
递增
单调递增
上单调递增
调递减Βιβλιοθήκη 偶函数y=y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
C )
D.4
1+x=t,因为 x∈[2,5],所以 t∈[3,6],
3,+∞)上单调递增,所以函数
区间[3,6]上单调递增,因此函数在 t=3 时取最小值
3
3+3-1=3,故选
3
y=t+ -1
C.
在
(2)(2024·山东潍坊模拟)函数
+

f(x)= 2+5 在[0,2 ]上的值域为
y=
1
2

(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数

∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)

幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习

标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
⁠
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2，，－，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3

3.3-幂函数课件-2025届高三数学一轮复习

•
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函
数，否则就不是幂函数．
•
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常
数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②
底数为自变量，③底数系数为1.
知识点2 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
5
6
5
∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
6
5
例12 (2024·湖南省长沙市期末)已知幂函数y =
m2
+m−5
2 −2m−3
m
x
,当
2
x ∈ 0, +∞ 时，y随x的增大而减小，则实数m的值为___.
【解析】∵ y
=（m2
+m
2 −2m−3
m
− 5）x
是幂函数，
(x α 的系数为1，注意该隐含条件)
高中数学人教版必修第一册A版
第三章函数的概念与性质
3.3-幂函数
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中
x是自变量，α是常数．
y＝xα
基础过关
例1-1 在函数y = x −4 ,y = 3x 2 ,y = x 2 + 2x,y = 1中,幂函数的个数为(
A.0
B.1
C.2
对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确；
对于D，幂函数y = x与y = x 3 的图象的交点为(−1, −1)， 0,0 ， 1,1 ，共3个，故D
错误.

高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确．【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2，因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．（3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2）令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点．当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点．当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是．【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________．【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0，解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去；当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）．【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4；（2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12，又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1），又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0；当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)，令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减；因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]，由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]，因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围；（2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立，所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)，所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

高考数学一轮总复习考点规范练8 幂函数

考点规范练幂函数一、基础巩固1.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)的单调递增区间为( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.(1,+∞)f(x)=x α,由图象经过点(4,2),得4α=2,即22α=2,得α=12,所以f(x)=x 12,单调递增区间为[0,+∞).2.下面四个幂函数的图象中,是函数y=x -23的大致图象的是( ),函数y=x -23的图象在区间(0,+∞)内单调递减,则AC 错误;令f(x)=x -23=(1x2)13,x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=[1(-x )2]13=(1x2)13=f(x),所以函数y=x -23为偶函数,则D 错误.3.已知幂函数f(∈N)的图象关于y 轴对称,且与的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,3m-7<0,解得m<73,且3m-7为偶数,m ∈N,故m=1.4.若a<0,则0.5a ,5a ,5-a 的大小关系是( ) A.5-a <5a <0.5a B.5a <0.5a <5-a C.0.5a <5-a <5a D.5a <5-a <0.5a5-a=(15)a.因为a<0,所以函数y=x a 在区间(0,+∞)内单调递减.又15<0.5<5,所以5a <0.5a <5-a .5.如图,函数y=1x,y=x 的图象和直线y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是( )A.f(x)=x 2B.f(x)=√xC.f(x)=x 12D.f(x)=x -2,幂函数f(x)的定义域为(0,+∞). 当0<x<1时,f(x)>1,且f(x)<1x ;当x>1时,0<f(x)<1,且f(x)>1x ; 所以f(x)可能是f(x)=√x .6.已知函数f(x)=x 2+(2a-1)x-3,当a=2,x ∈[-2,3]时,函数f(x)的值域为 ;若函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是 .-214,15] a≥32当a=2时,f(x)=x 2+3x-3,其图象的对称轴为直线ain =f (-32)=-214,故函数f(x)的值域为[-214,15].(2)因为函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,所以-2a -12≤-1,故a≥32.7.已知函数f(x)同时满足:①f(0)=0;②在区间[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x).该函数的表达式可以是f(x)= .2(答案:不唯一)f(1+x)=f(1-x)可知,y=f(x)的图象关于直线x=1对称;可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在区间[1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x 2,符合题意.二、综合应用8.已知f(x)=x 3,若当x ∈[1,2]时,f(x 2-ax)+f(1-x)≤0,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[32,+∞]D.(-∞,32]f(-x)=-f(x),f'(x)=3x 2≥0, ∴f(x)在R 上为奇函数且单调递增. 由f(x 2-ax)+f(1-x)≤0, 得f(x 2-ax)≤f(x -1),∴x 2-ax≤x -1,即x 2-(a+1)x+1≤0. 设g(x)=x 2-(a+1)x+1, 则有{g (1)=1-a ≤0,g (2)=3-2a ≤0,解得a≥32,即实数a 的取值范围为32,+∞.故选C.9.若x 2>x 13成立,则x 的取值范围是 .∞,0)∪(1,+∞),分别作出函数y=x 2与y=x 13的图象,由于两函数的图象都过点(1,1),由图象可知不等式x 2>x 13的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).10.已知幂函数f(x)=x -12,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a 的取值范围是 .f(x)=x-12=√x(x>0),∴f(x)是定义在区间(0,+∞)内的减函数. 又f(a+1)<f(10-2a),∴{a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,解得{a >-1,a <5,a >3,∴3<a<5. 11.设二次函数f(x)=ax 2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a 的值为 .-3f(x)的图象的对称轴为直线x=-1. 当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.可知f(2)>f(-3),即f(x)maax=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.综上所或a=-3.述,a=38三、探究创新12.已知函数f(-1)x m2+m-1是幂函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )A.恒等于0B.恒小于0C.恒大于0D.无法判断f(-1)x m2+m-1是幂函数,则m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=-1时,f(x)==2时,f(x)=x5,在(0,+∞)内单调递增,符合题意;即函数f(x)=x5,为奇函数且在R上单调递增.a+b>0,故a>-b,f(a)>f(-b)=-f(b),故f(a)+f(b)>0.。

高考数学第一轮复习幂函数图像与性质

幂函数的性质与图像幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x= （3）2y x= （4）1y x-= （5）3yx=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。

3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数，在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。

例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。

4、高三一轮复习：幂指对函数

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =；（2）4x y =；（3）31x y =；（4）3-=x y ；（5）32x y =；（6）2-=x y ；（7）21-=x y ；（8）23x y =；（9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×）（2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√）（3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×）（4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×）（5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；（8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意；当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意；当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2，结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误；对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞，所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =，即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________．【答案】1，1-（答案不唯一）【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立；当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一）【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数，当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =，当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=，所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+，故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+．由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩，若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求．综上，②③符合题意，故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<，综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+；当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-；要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥；且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)，又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项，令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =，要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =，又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1，当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误；显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<，综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

高三数学一轮复习讲义幂函数与双曲线函数

高三第一轮复习讲义幂函数与双曲线函数一、知识梳理： 1. 幂的有关概念(1) 正整数指数幂: ()n n a a a a n *=⋅⋅⋅∈L ?14243个; (2) 零指数幂: 0a =_____________(其中__________);(3) 负整数指数幂: p a -=_______________(其中0a ≠, p *∈¥);(4) 分数指数幂: nma =______________(其中,m n *∈¥, 且m , n 既约).2. 幂的运算性质(1) m n a a ⋅=_____________(0a >, ,m n ∈¡); (2) ()m n a =_____________(0a >, ,m n ∈¡); (3) ()m ab =_____________(0, 0a b >>, m ∈¡).3. 幂函数的概念、图像与性质幂函数的定义形如k y x =, k 为常数, k 为有理数的函数叫做幂函数.幂函数2y x -= 1y x -=12y x -=13y x =图像幂函数12y x =y x =2y x = 3y x = 图像10a ≠1pa m n a m na +mn a m m a b4. 函数(0)ay x a x=+>的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域:________________; (2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在(0,)+∞中, 在区间上单调递减, 上单调递增;(4) 值域与最值: 在(0,)+∞上时, 函数值的取值范围是当时, 取到5. 函数(0)ay x a x=+<的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域: ________________;(2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在_________________________单调递增; (4) 值域与最值: _________________________________; (5) 零点二、基础检测：1. 幂函数()y f x =的图像经过点, 则(8)f =_________.2. 下列函数中, 既是偶函数又是(0,)+∞上的增函数的是答 [ ] A. 43y x =B. 32y x =C. 2y x -= D. 14y x -= 3. 下列命题中, 正确的是答 [ ]A. 当0k =时, 函数k y x =的图像是一条直线奇函数奇函数(,0)-∞与(0,)+∞上分别值域为¡, 无最值 (,0)(0,)-∞⋃+∞(,0)(0,)-∞⋃+∞)+∞)+∞x =x =B. 幂函数的图像都经过点(0,0)和(1,1)C. 当0k <时且k y x =是奇函数时, k y x =是减函数D. 幂函数的图像不可能过第四象限4. 函数2, [1,2]y x x x=+∈的值域是______________.5. 函数21y x x =+-在定义域(1,]a 上的最小值是22+1, 则实数a 的取值范围是_______________.6. 函数(0)cy x c x=+≠在[2,)+∞上单调递增, 则实数c 的取值范围是________________.三、例题精讲：【例1】将下列函数图像的标号, 填入相应函数后面的横线上.(1)32y x =: _________; (2)43y x =: _________; (3)53y x =: _________; (4)23y x -=:_________.【例2】已知函数221()m my m x ---=∈¢在区间(,0)-∞上是减函数, 求m 的最大值.解: 即考虑函数22(0)mm y x x +-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减, 则有220(2,1)m m m +-<⇒∈-,当1m =-时, 222m m +-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增, 则有220(,2)(1,)m m m +->⇒∈-∞-⋃+∞, 当3m =-时, 224m m +-=, 是偶函数, 符合题意; 综上所述, m 的最大负整数值为3-.A B C D【例3】已知函数23y x -=．（1）画出它的图像；（2）判断它的奇偶性；（3）写出它的单调区间．解：（1）(2) ()f x 是偶函数； (3) 23y x -=在(),0-∞是增函数，()0,+∞是减函数．【例4】已知幂函数()()21322p p Z f x xp -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数．解：因为()()21322p p f x xp Z -++=∈在()0,+∞是增函数，所以213022p p -++>，即2230p p --<，解得13p -<<，所以p =0、1、2．当p =0时，32y x =不是偶函数，故p =0舍去；当p =1时，2y x =是偶函数，故p =1符合题意；当p =2时，32y x =不是偶函数，故p =2舍去．综上p =1，()2y f x x ==．【例5】已知()()22k k x k Z f x -++=∈满足()()23f f <．（1）求k 的值；（2）是否存在正数m ，使()()()[]121,1,2g x mf x m x x =-+-∈-的值域为174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由．解：（1）由()21924k f x x⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=且()()23ff <，知()f x在()0,+∞上单调递增，故220k k -++>，12k -<<因此1k =或0；（2）()2f x x =，()()[]2222141121,1,224m m g x mx m x m x x m m -+⎛⎫=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭，对称轴为112x m =-，则1122m-≥，得12m ≤-，与0m >矛盾，所以m 不存在．【例6】设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1m n k r 之间的大小关系为________________。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章 §2.6 二次函数与幂函数

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6　二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一　幂函数的图象与性质例1　(1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1　(1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二　二次函数的解析式例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三　(利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三　二次函数的图象与性质命题点1　二次函数的图象例3　(多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2　二次函数的单调性与最值例4　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3　(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 10 幂函数与二次函数

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结10 幂函数与二次函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解幂函数的概念2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c 答案 D解析因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .2．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f (0)＝－4，则f (x )( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3 D ．有最大值－3 答案 D解析由a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，得⎩⎨⎧c ＝－4，b 2＝ac .显然a <0，故f (x )有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c4＝－3.故选D.3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋m ，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m 答案 C解析由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (1)＝m －1.故选C.4.幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<1<mC ．－1<m <0<1<nD ．－1<n <0<m <1 答案 D解析在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0，1)内作直线x ＝x 0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域都是[1，b ]，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，它在[1，b ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （b ）＝b 2－2b ＋2＝b ，b >1，解得b ＝2.故选C.6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上单调递增，则实数k 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案 A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的图象的对称轴为直线x ＝2k ，当k >0时，要使y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时二次函数图象的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上递减，不符合要求．综上可得，实数k 的取值范围是[2，＋∞).7．已知幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (x )的图象关于y 轴对称，则f (－2)的值为( )A ．16B ．8C ．－16D ．－8 答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，又幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3是偶数，且－m 2＋2m ＋3>0，∵m ∈Z ，∴m ＝1，∴幂函数f (x )＝x 4，f (－2)＝16.故选A.8．已知二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 通过点(α，0)，(β，0).若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14 D ．不能确定，与n 的具体取值有关答案 B解析由二次函数通过点(α，0)，(β，0)，有恒等式f (x )＝(x －α)(x －β) ①.取x ＝n ，n ＋1(n <α<β<n ＋1)代入①，有f (n )＝(n －α)(n －β)>0，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)>0.两式相乘得0<f (n )f (n ＋1)＝(n －α)(n －β)·(n ＋1－α)(n ＋1－β)＝(α－n )(n ＋1－α)(β－n )(n ＋1－β)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－n ）＋（n ＋1－α）22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（β－n ）＋（n ＋1－β）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142，当且仅当⎩⎨⎧α－n ＝n ＋1－α，β－n ＝n ＋1－β，即⎩⎪⎨⎪⎧α＝2n ＋12，β＝2n ＋12时取等号，又α≠β，∴0＜f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142.令min{f (n )，f (n ＋1)}＝k ，则0＜k ≤f (n )，0＜k ≤f (n ＋1)，∴k 2≤f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即k ＜14.从而，min{f (n )，f (n ＋1)}<14.故选B.9．(多选)已知幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，则下列结论正确的有( )A ．f (－32)＝116 B ．f (x )的定义域是RC ．f (x )是偶函数D ．不等式f (x －1)≥f (2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 答案 ACD解析由幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，∴m ＋95＝1，∴m ＝－45，∴f (x )＝x－45，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B 错误；f (－32)＝(－32)－45＝116，故A 正确；f (x )＝x －45＝15x 4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝15（－x ）4＝15x 4＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故C 正确；∵f (x )＝x－45，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f (x －1)≥f (2)等价于f (|x －1|)≥f (2)，∴⎩⎨⎧x －1≠0，|x －1|≤2，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤3，故D 正确．故选ACD.10．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小值为－4B ．函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增C ．函数f (|x |)为偶函数D ．若方程f (|x －1|)＝a 在R 上有4个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4答案 ACD解析二次函数f (x )在对称轴x ＝1处取得最小值，且最小值f (1)＝－4，故A 正确；二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B 错误；f (|x |)＝|x |2－2|x |－3，显然f (|x |)为偶函数，故C 正确；令h (x )＝f (|x －1|)＝|x －1|2－2|x －1|－3，方程f (|x －1|)＝a 的零点转化为y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 的交点，作出h (x )的图象如图所示，图象关于x ＝1对称，当y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点时，两两分别关于x ＝1对称，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4，故D 正确．故选ACD.11．已知幂函数f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且满足f (a 2＋1)＋f (－5)>0，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2，2)解析设幂函数y ＝f (x )＝x α，其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫8，12，所以8α＝12，即23α＝2－1，解得α＝－13，所以f (x )＝x －13.因为f (－x )＝(－x )－13＝－f (x )，所以f (x )＝x－13为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以f (a 2＋1)＋f (－5)>0可化为f (a 2＋1)>－f (－5)＝f (5)，可得a 2＋1<5，解得－2<a <2，所以实数a 的取值范围为(－2，2).12．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝______．答案 x 2－4x ＋3解析因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又因为y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3，所以二次函数f (x )的图象与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f (x )＝a (x －1)(x －3).又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.二、高考小题13．(2022·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x答案 A解析 y ＝x 12＝x ，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝x 12在(0，＋∞)上单调递增．故选A.14．(2022·全国Ⅱ卷)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83答案 B解析 ∵当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)，∴当x ∈(0，1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0；∵f (x＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0；当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1，0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，0；…；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0；当x ∈(2，3]时，x －1∈(1，2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1，0]；….f (x )的图象如图所示．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，设f (m )＝－89，则4(m －2)(m －3)＝－89，∴m ＝73或m ＝83.结合图象可知，当m ≤73时，符合题意．故选B.15．(2022·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.16．(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以425<423，即b <a ，所以b <a <c .故选A.17．(2022·上海高考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．答案－1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.三、模拟小题18．(2022·四川省宜宾市第四中学模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2 答案 D解析函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝f(5－12)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 答案C解析由2f(2)＝f(16)可得2·2α＝24α，∴1＋α＝4α，∴α＝13，即f(x)＝x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增．而由换底公式可得log42＝log22log24＝12，ln 2＝log22log2e，5－12＝15，∵1<log2e<2，∴log22log24<log22log2e，于是log42<ln 2，又15<12，∴5－12<log42，故a，b，c的大小关系是b>a>c.故选C.20．(2022·北京交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是()A．f(－1) B．f(1)C．f(2) D．f(5)答案 B解析∵对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝2，当a>0时，自变量取值离对称轴距离越近，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个是f(2).当a<0时，自变量取值离对称轴距离越远，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).故选B.21．(2022·湖北荆州质量检查)若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．(－∞，0] D．[0，＋∞)答案 B解析因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].故选B.22．(多选)(2022·河北省邢台市质量检测)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是()A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称D．方程f(x)＝0最多有两个实根答案ABC解析由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x·|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－c，B正确；∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0，0)对称，∴f (x )＝x |x |＋bx ＋c 的图象关于点(0，c )对称，C 正确；f (x )的图象可能如图，方程f (x )＝0有三个实根，D 不正确．故选ABC.23．(多选)(2022·江苏扬州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列结论成立的是( )A ．f (x )在R 上为偶函数B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x )有最小值－1D ．f (x 1)－f (x 2)<0 答案 ACD解析函数f (x )的图象如图中实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而f (x )是偶函数，有最小值－1，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.故选ACD.24．(2022·湖南岳阳模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a .若a ＝0，则f (x )的最大值为________；若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 0 (－∞，0)解析若a ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0，当x ≤0时，f (x )＝x 3，此时函数为增函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x ，此时函数为减函数，故当x ＝0时，f (x )的最大值为f (0)＝0.当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图1所示，由图可知存在最大值；图1 图2当a ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图2所示，由图可知此时不存在最大值；已证当a ＝0时，函数f (x )有最大值．综上所述，若f (x )无最大值，则a ＜0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·四川绵阳高三阶段测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2. 则F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. 故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0].2．(2022·广东汕头质检)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要条件，求实数k 的取值范围．解 (1)依题意得，(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，即B ＝[2－k ，4－k )，由于p 是q 的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围为[0，1].3．(2022·辽宁大连模拟)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值. 解 (1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0，得a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞，1]. (2)f (x )＝(x －2)2＋a －1.当|a －2|≥|a ＋1－2|，即a ≤32时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3，解得a ＝0或a ＝3(舍去)；当|a －2|<|a ＋1－2|，即a >32时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3，解得a ＝1＋132或a ＝1－132(舍去).综上，a ＝0或a ＝1＋132.4．(2022·甘肃甘谷第一中学第一次检测)已知函数g (x )＝x 2－(m －1)x ＋m －7. (1)若函数g (x )在[2，4]上具有单调性，求实数m 的取值范围；(2)若在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方，求实数m 的取值范围．解 (1)g (x )图象的对称轴为直线x ＝m －12，因为函数g (x )在[2，4]上具有单调性，所以有m －12≤2或m －12≥4，所以实数m 的取值范围为(－∞，5]∪[9，＋∞). (2)因为在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方，则x 2－(m －1)x ＋m －7>2x －9在[－1，1]上恒成立，即x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2>0在[－1，1]上恒成立，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2，x ∈[－1，1]，则f (x )min >0，当m ＋12≤－1，即m ≤－3时，f (x )min ＝f (－1)＝2m ＋4>0，解得m >－2，无解；当－1<m ＋12<1，即－3<m <1时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12＝－m 24＋12m ＋74>0，此时1－22<m <1；当m ＋12≥1，即m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝2>0，此时m ≥1. 综上，实数m 的取值范围为(1－22，＋∞).。

新高考数学一轮复习知识点解析8---幂函数

新高考数学一轮复习知识点解析1．了解幂函数的概念，熟悉幂函数的图象与性质，并且能够利用幂函数的图象与性质解决相关问题．1．幂函数的定义一般地，形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．常见的幂函数的图象与性质函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=图象性质定义域 R RR {}0x x ≥ {}0x x ≠ 值域 R{}0y y ≥R{}0y y ≥{}0y y ≠奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上在(],0-∞上在R 上单在[)0,+∞在(),0-∞幂函数【例1】已知幂函数()f x 的图象经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(4)f 的值等于（）A ．12B ．2C ．4D ．14【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，幂函数()f x 的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1(2)22fα==，解得1α=-，所以1()f x x -=，则11(4)44f -==，故选D ．【变式1．1】已知幂函数()y f x =图象过点(，则该幂函数的解析式是___________．【答案】12y x =【解析】设()f x x α=，因为(2)2f α==12α=，所以函数的解析式是12y x =，故答案为12y x =．【例2】函数2()(1)f x a x =-是幂函数，则a 的值为（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】因为函数2()(1)f x a x =-是幂函数，所以11a -=，解得2a =，故选D ．【变式2．1】“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x =-m +值域为[)0,+∞”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”等价于2331m m -+=，即2320m m -+=，故1m =或2m =，即取值集合为{}1,2A =；“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0,+∞”等价于：()2223()2g x mx m x m m x m m m =-+=-+-中，0m >且30m m -=，即()()110m m m +-=，故1m =，即取值集合为{}1B =．故B 是A 的真子集，“1m =或2m =”是“1m =”的必要不充分条件，即“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”的必要不充分条件，故选B ．【例3】已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =______．【答案】1-【解析】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =．若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意；若1m =-，则函数为1y x=，满足题意，故答案为1-．【变式3．1】若函数()222433mm y m m x+-=-+为幂函数，则实数m 的值为________；当此幂函数在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________．【答案】1或2，1【解析】由幂函数定义知2331m m -+=，解得1m =或2．当1m =时，2241m m +-=-，此时幂函数在()0,∞+单调递减；当2m =时，2244m m +-=，此时幂函数在()0,∞+单调递增，∴当幂函数在()0,∞+单调递减时，1m =．故答案为1或2，1．【例4】已知幂函数2()(1)m f x m m x =--的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________．【答案】2【解析】由于()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()2f x x =，图象关于y 轴对称，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，图象关于原点对称，不符合题意，所以m 的值为2，故答案为2．【变式4．1】已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．【答案】1【解析】因为幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数，∴223m m --为偶数，∴22m m -为奇数，故1m =．【例5】若幂函数()222=33mm y m xm ---+的图象不经过坐标轴，则实数m 的值为___________．【答案】1或2【解析】由题意得2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得1m =或2，故答案为1或2．【变式5．1】已知幂函数223m m y x --=（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．【答案】0m =或2m =．【解析】∵幂函数223mm y x --=（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m -≤-，∴13m -≤≤；∵m ∈Z ，1,0,1,2,3m ∴=-，∴2(23)m m --∈Z ，又函数图象关于原点对称，∴223m m --是奇数， ∴0m =或2m =．【例6】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得1a =，则2()g x x =；函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠，当x b =时，11()22b b f b m -=-=，故()f x 的图象所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()2g b =，即212b =，解得b =，故选B ．【变式6．1】幂函数()f x 的图象过点(，则函数()()3g x af x =-+()1,0a a ∈≠R 的图象经过定点_________．【答案】()3,1【解析】因为幂函数()f x x α=过点(，可解得12α=，所以()12f x x =，故12()(3)1g x a x =-+，当3x =时，(3)011g a =⨯+=，故()g x 恒过定点(3,1)，故答案为()3,1．【例7】已知函数41x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，若点P 在幂函数()f x 的图象上，则幂函数()f x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由40x -=，得4x =，2y =，即定点为(4,2)，设()f x x α=，则42α=，12α=，所以12()f x x =，图象为B ，故选B ．【变式7．1】函数()12f x x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得()12f x x-==，所以函数的定义域为{}0x x >，因为102-<，根据幂函数的性质，可知函数()12f x x -=在第一象限为单调递减函数，故选A ．【例8】已知幂函数()()2242(1)mm f x m x m -+=-∈R ，在()0,∞+上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系是（）A ．()()()f b f a c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】A【解析】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =．当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增；当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上单调递减，不合题意，所以2()f x x =．因为5log 4(0,1)a =∈，0.200.50.51c -=>=，155log 3log 3(0,1)b -=-=∈，且a b >-，所以b a c -<<，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()f b f a f c -<<，又因为2()f x x =为偶函数，所以()()f b f b -=，所以()()()f b f a c <<，故选A ．【变式8．1】已知幂函数()()22644mm f x m m x--=-+，()m ∈R ，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()3f -，()1f -，()πf 的大小关系是（） A ．()()()π31f f f <-<- B ．()()()13πf f f -<-< C ．()()()31πf f f -<-< D ．()()()3π1f f f -<<-【答案】A【解析】对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，即()f x 在0,上单调递减，又()f x 是幂函数，知2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =或3m =（舍去），∴6()f x x -=，()f x 是偶函数， ∴(1)(1)f f -=，(3)(3)f f -=，而(1)(3)(π)f f f >>，即(1)(3)(π)f f f ->->，故选A ．【例9】设134a =，252b =，c =a 、b 、c 的大小关系为_______．（用“<”连接）【答案】b a c <<【解析】122335422a b ==>=，131394c a ==>=，因此b a c <<，故答案为b a c <<．【变式9．1】设2343a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3432c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】C【解析】因为函数43xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<，故选C ．【例10】已知幂函数()f x 的图象经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为________；关于a 的不等式()()13222a a f f +-<的解集为________．【答案】13()f x x -=，2(,)3+∞【解析】（1）设幂函数的解析式为()m f x x =，1273m ∴=，1333m -∴=，31m ∴=-，13m ∴=-，所以函数的解析式为13()f x x -=．（2）由题得函数13()f x x -=的定义域为{|0}x x ≠，在(0,)+∞是减函数，因为13220,20a a +->>，所以132222132,3a aa a a +->∴+>-∴>，．所以不等式的解集为2(,)3+∞．故答案为13()f x x -=，2(,)3+∞．【变式10．1】已知()()22132a a --+>-，则实数a 的取值范围为________．【答案】()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据幂函数2y x 是定义域()(),00,-∞+∞上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，()()22132a a --∴+>-等价于0132a a <+<-，()()221132a a a ≠-⎧⎪⎨+<-⎪⎩，解得23<a 或4a >， ∴实数a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，故答案为()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．1．幂函数的定义是形式定义，它的解析式必须满足的条件：①指数为常数；②底数为自变量；③x α的系数为1．2．幂函数在()0,+∞都有定义，当幂函数与坐标轴相交时，则交点一定是坐标原点． 3．当0α>时，幂函数的图象都过点()1,1和()0,0；当0α<时，幂函数的图象都过()1,1，幂函数图象一定出现在第一象限内，一定不出现在第四象限． 4．在直线1x =右侧，幂函数的指数由下向上逐渐增大． 5．当0α<时，幂函数在第一象限内单调递减；当0α>时，幂函数在第一象限内单调递增，且当1α>图象增长速度先慢后快，当01α<<时，图象增长速度先快后慢．一、选择题．1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A ．2yxB ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数2y x 、y =2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数，故选D ．2．若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】D【解析】设()af x x =，则由()()432f f =，得432a a =，所以23a =，故111223af ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．3．已知函数log ()a y x b =-的大致图象如下图，则幂函数b ay x =在第一象限的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由log ()a y x b =-的图象可知，1log (1)0log (2)0a a a b b >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，所以101121a b b >⎧⎪<-<⎨⎪->⎩，得1a >，01b <<，所以01ba<<，所以幂函数ba y x =在第一象限的图象可能为B ，故选B ．4．若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x =1()f x x =满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++≤>>的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D【解析】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足，故选D ．5．已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由1a y ax b =-+-是幂函数，知1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上， ∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+，故选D ． 6．设1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【解析】因为1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则63015a ⎛⎫== ⎪⎝⎭103013b ⎛⎫== ⎪⎝⎭153012c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由于在被开方数中，a 的被开方数大于c 的被开方数，c 的被开方数大于b 的被开方数，故有a c b >>，故选D ．7．已知()()421m f x m m x +=--是幂函数，且1x ∀、2x ∈R ，12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则不等式()2log 8f x <的解集为（） A ．()0,4 B ．()4,+∞C ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为()()421m f x m m x +=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-．又因为1x ∀、2x ∈R ，12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，可设12x x <，则()()12f x f x <，所以，函数()y f x =是单调递增函数，当2m =时，()6f x x =，该函数在R 上不单调，不合乎题意；当1m =-时，()3f x x =，该函数在R 上为增函数．所以()2log 8f x <等价于()()2log 2f x f <，所以2log 2x <，解得04x <<，故答案为()0,4．8．已知定义在R 上的幂函数()mf x x =（m 为实数）过点(2,8)A ，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】由题得3382,22,3,()m m m f x x =∴=∴=∴=．函数3()f x x =是R 上的增函数．因为0.50.5log 3log 10<=，220log 5log 83m <<==，所以20.5log 5log 3m >>，所以20.5()(log 5)(log 3)f m f f >>，所以a b c <<，故选A ．9．（多选）已知实数x ，y 满足1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是（） A ．sin sin x y > B ．2121x y e e ++>C ．11x y< D ．33x y >【答案】BD【解析】因为1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以x y >．A ：当π,0x y ==时，显然符合x y >，但是sin sin x y >不成立，故本关系式不恒成立；B ：x y e =在R 上是增函数，故2121x y e e ++>，故本关系恒成立；C ：当π,0x y ==时，显然符合x y >，但是1y没有意义，故本关系式不恒成立； D ：因为3y x =在R 上是增函数，所以33x y >，故本关系恒成立，故选BD ．10．（多选）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【解析】由图可得12a =，即2a =，12xxy a -⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减过点()1,2-，故A 正确； 2a y x x --==为偶函数，在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增，故B 正确；2,022,0x xxx x y a x -⎧≥===⎨<⎩为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；2log log a y x x ==，根据“上不动、下翻上”可知D 正确，故选ABD ．二、填空题． 11．已知112,1,,,1,2,322α，若幂函数f x x α为奇函数，且在0,上递减，则α_____．【答案】1【解析】因为幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，所以α为负数，因为112,1,,1,,2,3,422α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，所以1α=-，故答案为1-．12．已知幂函数()()()12*m m f x xm ∈N －＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围___________．【答案】312a ≤<【解析】∵()f x 的图象过点()122m m -+=，∴22m m +=，又m *∈N ，∴1m =．即12()f x x =，其定义域为{|0}x x ≥，且在定义域上函数为增函数， ∴由(2)(1)f a f a ->-，得012a a ≤-<-，解得312a ≤<，故答案为312a ≤<． 13．如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么b a的取值范围为________．【答案】34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过定点(1,2)-，又直线()21400,0ax by a b -+=>>过定点(1,2)-，所以7a b +=①，又定点(1,2)-在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，所以2225a b +≤②，由①②解得34a ≤≤，11143a ∴≤≤，77341,43b a a a a -⎡⎤∴==-∈⎢⎥⎣⎦，所以答案应填34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质

总结归纳
及时总结归纳学习过程中的重点和难点，形成自己的学习笔记和心得体会，便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食，保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己能够通过努力取得好成绩。遇到困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方面的学习目标，例如掌握基本概念、理解图像特征、熟练运用性质等。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。

高考数学一轮复习幂函数课件理

二、填空题(每小题4分，共12分) 6．幂函数f(x)=(m2－5m+7)xm－2为奇函数，则m=____. 【解析】由f(x)=(m2－5m+7)xm－2为幂函数得： m2－5m+7=1，解得：m=2或m=3，又因为该函数为奇函数，所以m=3．答案:3
7．设a=(
2 3
)m，b=
m
3 2
，c=
【解析】选C.∵0<a<b<1，
∴0<a<b<11< <1 ，
ba
又∵f(x)= x在12 (0，+∞)上为增函数，
∴f(a)<f(b)<f(
)1b<f(
)．1
a
4．若幂函数f(x)的图象经过点(3，1 )，则其定义域为___.
9
【解析】设幂函数为y=xα，∵函数过点(3，1)，
9
∴ 1=3α，解得α=-2，f(x)=x-2，
象，如图所示：
x－2，
则有：h(x)=
x
2，
x－2，
x －1，－1 x＜0或0＜x 1，
x 1．
根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是
(－∞，－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和
(1，+∞).
【规律方法】解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.
1
1
∴ x 3 ，y即3 D选项错误.
【方法技巧】比值大小的类型及方法 (1)关于同底数幂的大小比较，一般从指数函数的单调性方面考虑； (2)关于相同指数幂的大小比较，一般从幂函数的单调性方面考虑； (3)关于同底数的对数值的大小比较，一般从对数函数的单调性方面考虑； (4)关于同真数的对数值的大小比较，一般先应用换底公式，转换为同底数的对数值，从对数函数的单调性方面考虑.

高三数学一轮复习幂函数与幂函数的图象变换课件新人教B版

• (文)f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
• 解析：由图可知，当b>x>a时，f ′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为增函数．且曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选 D. • 答案：D
• (理)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)式知，当m＝1时，为偶函数，∴选C.
分析：观察两个数的特征可以发现，指数相同，都是
1 1 －－，底数不同，故可视作幂函数y＝x 3 的两个函数值，利 3 用幂函数的性质求解．
解析：幂函数y＝x
－
1
3 在(0，＋∞)上为减函数，函数值
y>0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y<0. a＋1<0 ∴有a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或，∴ 3－2a>0 2 3 <a< 或a<－1 3 2 2 3 即a的取值范围为( ， )∪(－∞，－1)． 3 2 2 3 答案：( ， )∪(－∞，－1) 3 2
• 已知P为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(原点O除外)，直线OP的倾斜角为θ弧度，记d＝|OP|.在图中的坐标系中，画出以(θ， d)为坐标的点的轨迹大致图形．
• 解析：依题意，设圆与y轴的另一交点为D，则 D(0,2)．从而|OP|＝ |OD|·sinθ，∴d＝ 2sinθ(θ∈(0，π))．其图象为正弦曲线一段．故作简图如右图．
• 5．有关结论 • 若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝ f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形． • 误区警示 • 1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y 轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y ＝sin|x|.