平面几何轨迹问题分类例析

平面几何轨迹问题分类例析

近年来，在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题，由于较难确定动点轨迹的形状，往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例，就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析，供读者参考. 一、直线型动点轨迹

事实上，要说明一动点轨迹为直线型(直线、射线或线段)，必须证明两点:第一、该轨迹恒过一定点(确定位置);第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行(明确方向).

例1 (2013年湖州)如图1，已知点A

是第一象限内横坐标为AN x ⊥轴于点M ，交直线y x =-于点N .若点P 是线段ON 上的一个动点，30APB ∠=︒,

BA PA ⊥,则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动.求当点P 从点O 运动到

点N 时，点B 运动的路径长是___.

图1

解析 如图2，由点P 位于O 、N 时，点B 所对应的位置0B 、n B 以及点P 在线段OC 上运动，可猜想点B 的轨迹是线段0n B B .如何证明呢?

显然，点B 的轨迹已经过0B 点，下面只需证明0AB B ∠为定值，即证明它与某一个定角相等即可.

观察可得，APN ∠就是与0AB B ∠相等的 定角，再由两角的位置特征和题设条件，不难 想到用三角形相似来证明两角相等.

由0tan30,tan30AB AO AB AP =︒=︒，得0::tan30AB AO AB AP ==︒ 又易知0OAC B AB ∠=∠ ,得0AB B ∆∽AOP ∆, 所以0AB B AOP ∠=∠为定值. 故点B 在线段0n B B 上，

即线段0n B B 就是点B 运动的路径(或轨迹). 同理可证

0n A B B

∆∽AON ∆，且相似比为

t a n 3︒，

则

0t a n 22

n B B O N =

⋅=

图2

注 例1利用角来确定动点的运动方向，还可用与定直线平行确定动点的运动方向. 例2 (2010年桂林)如图3，已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上，且2AC DB ==.

P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边AEP ∆和等边PFB ∆，连结EF ，设EF 的中点为G .当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动路径的长

是 .

图3

解析 如图4，分别延长AE 、BF 交于点H ，由60EAP FBP ∠=∠=︒可知，当点P 在线段CD 上移动时，点E 、F 分别在线段AH 、BH 上移动.

图4 由60A FPB ∠=∠=︒，知AH //PF , 同理BH //PE

.

所以四边形EPFH 为平行四边形，得EF 与HP 互相平分.

又G 为EF 的中点，故G 为PH 中点.

连结CH 、DH ，设其中点分别为M 、N ，则MN //CD ，且MG //CD ,

所以MN 与MG 所在的直线重合，故点G 的运动轨迹HCD ∆的中位线MN ，长度为3.

二、圆弧型动点轨迹

根据圆的定义可知，要确定动点的轨迹为圆弧型，只需证明动点到某一定点的距离为定值.

例3 (2011年湖州)如图5，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y

轴的正半轴上，M 是BC 的中点.P (0,m )是线段OC 上一动点(C 点除外)，直线PM 交AB

的延长线于点D .

(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示); (2)当APD ∆是等腰三角形时，求m 的值;

(3)设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H (如图6)，当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动.请直接写出点H 所经过的路径长.

图5 解析 (1) (2,4)D m -;

(2)分,AP DP PD AD ==和AP AD =三种情况讨论，可求得m 的值为于32，43和2

3

; (3)动点H 到哪个定点的距离为定值呢?

由OH ME ⊥和O 、M 为定点，联想到连结OM ,取其中点N ，则动点H 到定点N 的距离为定值，即H 点的轨迹是以点N 为圆心、

1

2

OM 为半径的圆上的一段圆弧. 显然，当点P 无限接近点C 时，点E 趋向无穷远，ME 与x 轴接近于平行，所以点H

无限接近于点C ;当点P 与点O 重合时，H 对应的位置点为轨迹的另一个端点，此时，可求得抛物线的解析式为2

3y x x =-+,得点E 的坐标为(3,0).

图6

过M 点作y 轴的垂线于F 点，可得45FME ∠=︒，得135CME ∠=︒. 又90OCM MHO ∠=∠=︒，45COH ∴∠=︒.

连结CN ，由CN ON HN ==，知

2,2,90CNM COM HNM HOM HNC ∠=∠∠=∠∴∠=︒.

由勾股定理，得122HN OM =

=,故H

点的轨迹长为4

.

三、图象型动点轨迹

建立适当的坐标系，求出动点坐标所满足的函数关系式，依据函数图象判定动点轨迹的形状.

例4 (2012年福州)如图7，在R t A B C ∆

中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以

每秒2个单位长度的速度运动.过点P 作PD //BC ,交AB 于点D ，连结PQ 分别从点A 、

C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(0t ≥). (1)直接用含t 的代数式分别表示:QB = ，P

D = .

(2)是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形?若存在，求出t 的值;若不存在，说明理由.并探究如何改变Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度. (3)在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.

图7

解析 (1)4

,823

PD t BQ t =

=-;