平面几何轨迹问题分类例析
求轨迹方程题型全归纳
求轨迹方程的六种常用方法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM yk x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM yk x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+-化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得230203BG CG +=⨯=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点，所以点G 的轨迹为以,B C为焦点的椭圆。
一类轨迹问题的解法探讨
一类轨迹问题的解法探讨严立芳——洞口二中轨迹问题是平面解析几何中非常重要的一类问题，在高考中经常出现。
求轨迹方程的方法比较多，但从宏观上说不外乎两个途径：一是利用平面几何知识和圆锥曲线的定义，这类题目对计算的要求不高，主要考查观察、联想的能力；二是利用代数的方法，通过消参数得出轨迹方程，计算、对式子的变形是解决问题的关键。
在众多的与轨迹有关的数学题目中，有一类涉及垂直或直角三角形的题目很具有代表性，下面我们就对这类问题的解法进行深入探索，同时也对题目形式上的变化加以分析。
【问题1】．已知B 为圆122=+y x 上的一个动点，A （2，0），△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形（A ，B ，C 按顺时针排列），如图，求点C 的轨迹方程。
分析：根据求轨迹方程的一般步骤，求C 设C （y x ,），B 是所谓的相关点，设为（11,y x ）和|AB|＝|AC|和12121=+y x 可以得到如下解法。
解：设C （y x ,），B （11,y x ），则12121=+y x ，∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴12211-=-⨯-x yx y ① ∴222121)2()2(y x y x +-=+- ② 由①得yx x y )2)(2(11---= ③ 把③代入②得221)2(y x =-，∵0,21><y x ，∴y x -=-21，21+-=y x ，把21+-=y x 代入①得21-=x y ，从而所求的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ． 解题过程看上去不太麻烦， 确定的，例如，有人可能把②展开，出1x ，这种方法虽然可行，但求1y 时计算量比较大。
上述方法是把1y 和21-x 看成两个未知数，应当说是比较简单的。
这是一种基本方法，考试中可能最先想到它，要是计算、变形能力差，中途放弃也有可能，但无论如何是我们必须掌握的一种方法。
请看下面的解法： 解法2：如图2，作PA ⊥x 轴于A ，且|PA|＝2，连结OB ，则|OA|＝|PA|， 由∠BAC ＝∠PAO ＝900，得∠PAC ＝∠OAB ，又|BA|＝|CA|，于是△OAB ≌△PAC ，从而|PC|＝|OB|＝1，故C 点轨迹是以P 为圆心，1为半径的圆， 由于P 点坐标为（2，2），因此点C 的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ．这种方法显然简单！ 这是有一点，这种方法是如何想到的呢？实际上，有了第一种方法的结论，我们会根据结论去寻找方法，解法2就是这样产生的！因此我们说，解法1是根本，解法2具有启发性。
高中数学动点轨迹问题专题讲解
动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF AE =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且3k ≠±． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0M N A F =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得k =． 故存在直线l：3y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x y x y x841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x t y t y t y y t y y =++=+++ 2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11(,)5A x x，22(,)5B x x -． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（y x =） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：||1010AB =⇒=，又11y x =，22y x =，则1221()3y y x x +=-，2112)3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l的距离为d ，已知||2PF =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +b k0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)22-∞-+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
轨迹问题
轨迹问题一．考点梳理常见的轨迹:(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线．(2)在平面内，到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆．(4)在平面内，到定直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条定直线平行且距离等于定长的两条直线．(5)圆锥曲线的统一定义：在平面内，到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线．其中，当常数大于1时，表示双曲线；当常数等于1时，表示抛物线；当常数大于0而小于1时表示椭圆．定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线． 椭圆第一定义：到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹．双曲线第一定义：到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹．二．考点突破类型一 直接法求轨迹方法：建系、设点(,)M x y 、列式、代换、化简、证明(可省略)，并注意是否需要 “挖点”或“补点”，若题设求轨迹还需文字说明方程的轨迹图形。
适用于题目中的条件有明显的等量关系或可以利用平面几何知识推出等量关系，即易于列式表述成含有,x y 的等式，是求轨迹方程最基本最常用的方法。
例1.在平面直角坐标系中，点(2,0)Q ，圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹．变式训练1：给定抛物线28(2)y x =+，其焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴端点的轨迹方程.类型二 定义法求轨迹方法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，可直接由曲线定义写出轨迹方程；或用待定系数法设出相应的曲线方程并求出所需参数。
定义法要充分联想定义，灵活运用定义。
例2.如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP 、BP 运到P 处.其中100AP m =，150BP m =，60APB ∠= ，问怎样运土才能最省工？变式训练2:已知(6,0)A -，点M 为圆O ：22100x y +=上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的轨迹方程.类型三 相关点法求轨迹方法：若动点(,)P x y 的变动依赖于另一动点00(,)Q x y ，而00(,)Q x y 在某已知曲线(,)0f x y =上，则可先写出方程00(,)0f x y =，再找到两点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩形式，最后代入方程00(,)0f x y =将00,x y 换为,x y 后即可得到点(,)P x y 的轨迹方程。
立体几何中的轨迹问题(原卷版)
第20讲 立体几何中的轨迹问题6类【题型一】由动点保持平行性求轨迹【典例分析】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（ ）A 3B 2C 3aD 2a【变式演练】 1.在三棱台111A B C ABC -中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（ ）A ．三角形111ABC 边界的一部分B ．一个点C ．线段的一部分D ．圆的一部分2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A 21B 5C 32D 63.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点（含边界），若//AP 平面BDEF ，则Р点的轨迹长为（ ）A ．1B 2C ．2D ．22 【题型二】动点保持垂直性求轨迹【典例分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（ ） A ．点1B B ．线段1B C C ．线段11B C D ．平面11B BCC【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 A ．线段1CBB ．线段1BC C ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段2.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥．给出下列说法：∥点P 可以是棱1BB 的中点；∥线段MP 的最大值为34； ∥点P 的轨迹是正方形；∥点P 轨迹的长度为25其中所有正确说法的序号是________．3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A ．1A F 与1D E 不可能平行B ．1A F 与BE 是异面直线C ．点F 的轨迹是一条线段D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹【典例分析】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【变式演练】1.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为正方形ABCD 内（包括边界）的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在棱长为4的正方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别是AD 、A D ''的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A B C D ''''上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）A ．43π B ．23π C ．6π D ．3π 3.四棱锥P ﹣OABC 中，底面OABC 是正方形，OP ∥OA ，OA ＝OP ＝a ．D 是棱OP 上的一动点，E 是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE ＝a 时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（ ）A ．23B ．26C ．336D ．6【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹【典例分析】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【变式演练】 1.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支2.如图所示，1111ABCD A B C D -为长方体，且AB =BC =2，1AA =4，点P 为平面1111A B C D 上一动点，若11PBC BC C ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆3.在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的侧面11DCC D 的交线长等于___________.【题型五】 投影求轨迹【典例分析】1822年，比利时数学家 Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）A．23B．45C．13D．25【变式演练】1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O'，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，4OE=．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e=__________．【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）【典例分析】如图，将四边形ABCD中，ADC沿着AC翻折到1AD C，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段C．双曲线的一段D．一段圆弧【变式演练】1.已知∥ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将∥BCD折起，使平面BCD∥平面AC D．在平面BCD内过点B作BP∥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．π2.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD BC ==，AB CD >，沿着AC 把ACD △折起至1ACD △，使1D 在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上．当边长CD 变化时，点1D 的轨迹长度为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 3.已知矩形ABCD 中，1AB =，2AE ABE △沿着BE 进行翻折，使得点A 与点S 重合，若点S 在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内部（包含边界），则动点S 的轨迹长度是（ ）A 3πB 6πC ．6π18D 3π【课后练习】1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为112,,M DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )A ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线B ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πC ．若1D N 与AB 所成的角为60，则N 的轨迹为双曲线D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为60，则N 的轨迹为椭圆2.（多选题）（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）如图的正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动.以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上不存在点F ，使得11B F CD ⊥B ．点D 到面1A BE 的距离与点1C 到面1A BE 的距离之比为13C ．若点F 满足1//B F 平面1A BE ，则动点F 的轨迹长度为25D ．若点F 到点A 221F 的轨迹长度为3π3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 在线段1AD 上运动，G 为底面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（ ）A ．11C F CB ⊥B ．若1//FG CD ，则点G 在线段AC 上C ．当点F 从A 向1D 运动时，三棱锥1D BFC -的体积由小变大D ．若1GD ，GE 与底面ABCD 所成角相等，则动点G 的轨迹为圆的一部分4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1AA ，1CC 的中点，O 为底面ABCD 的中心，点P 在正方体的表面上运动，且满足NP MO ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段NP 的最大值为22C ．点P 的轨迹是平行四边形D ．点P 轨迹的长度为12 5.（广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则F 在侧面CDD 1C 1上的轨迹的长度是（ ）A ．aB ．2aC 2aD 2a 6.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥S ABC -中，D 为线段AB 的中点，点E 在SBC △(含边界位置)内，则满足//DE 平面SAC 的点E 的轨迹为（ ）A ．线段SB ，BC 的中点连接而成的线段B ．线段SB 的中点与线段BC 靠近点B 的三等分点连接而成的线段C ．线段BC 的中点与线段SB 靠近点B 的三等分点连接而成的线段D ．线段BC 靠近点B 的三等分点与线段SB 靠近点B 的三等分点连接而成的线段7.（辽宁省实验中学上学期联考）已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -3P 在棱1AA 上运动，点Q 在底面ABCDEF 内运动，2PQ =R 为PQ 的中点，则动点R 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）A 2πB 2πC 2πD 2π8.四棱锥P OABC -中，底面OABC 是正方形，OP OA ⊥，OA OP a ==．D 是棱OP 上的一动点，E 是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE a =时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（ ）A ．23B ．26C ．336D ．69.棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在平面．．1111D C B A 内运动，点1B 到直线DP 的距离为定值，若动点P 的轨迹为椭圆，则此定值可能．．为（ ） A 3 B 3a C 6a D 610.（上海市建平中学期中）已知菱形ABCD 边长为2，60ABC ∠=︒，沿对角线AC 折叠成三棱锥B ACD '-，使得二面角B AC D '--为60°，设E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上动点，且总满足AC EF ⊥，则点F 轨迹的长度为（ ）A ．23B ．33C 3D 33 11.（河南省郸城县第一高级中学高三第一次模拟）在三棱锥D ABC -中，G 是ABC 的重心，P 是面BCD 内一点，且//PG 平面ABD .（1）画出点P 的轨迹，并说明理由；（2）CD ⊥平面ABC ，2AC CD ==，1BC =，60ACB ∠=︒，当GP 最短时，求二面角P AD C --的余弦值.。
与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
高中数学 轨迹问题专题
轨迹问题专题一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M （x ,y ）的坐标.⒉写出点M 的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f (x ,y )=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲 破解规律例1. 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明为定值，并写出点E 的轨迹方程.分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E 的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.222150x y x ++-=EA EB +EA EB+点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.(3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程；规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N 、M ,且点N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M 的运动是由N 的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M 的轨迹方程.基本方法是设M 的坐标,再反解出N 的坐标,然后带入N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.现学现用2: 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 做x 轴ABCD ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D --,AM AD DN DC λλ==[]0,1,AN λ∈BM Q Q P P x y P AB B ()6,5A ()()221:434C x y -+-=AB P 2C 2212x y +=的垂线，垂足为N ，点P 满足.求点P 的轨迹方程；例3: 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.点评:本题考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系、轨迹求法规律总结: 当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x 、y 与某一变量(或多个)的关系,再消去参变量,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法现学现用3: 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时， 的内心的轨迹方程为__________．三.课堂练习 强化技巧 2NP NM =C 22y x =F x 12,l l C A B ，C P Q ，F AB R PQ AR FQ ∥PQF △ABF △AB 12,F F 22:143x y C +=P C 12PF F ∆I1. 已知|| =3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点， ，则点P 的轨迹方程为( )．A .B .C .D .2. 若动圆与圆和圆都外切，则动圆的圆心的轨迹（ ） A . 是椭圆 B . 是一条直线 C . 是双曲线的一支 D . 与的值有关3. 已知直线过抛物线： 的焦点， 与交于， 两点，过点， 分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为________.四.课后作业 巩固内化1. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称， 为原点，若为的中点，且，则点的轨迹方程为__________．2. 已知A(1,14),B(−1,14)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是12，则点M 的轨迹C 的方程是___________．3. ．点P 是圆C:(x +2)2+y 2=4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是___． AB 12OP OA OB 33=+22y x 14+=22x y 14+=22x y 19+=22y x 19+=P ()22:21M x y ++=()()22:314N x y λλ++=≤≤P λl C 24y x =l C A B A B C P P (),P x y x y A B Q P y O P AB 1OQ AB ⋅=P4. 如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分即为，区域中动点到的距离之积为1.求点的轨迹的方程；5. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.求动圆的圆心点的轨迹方程；6. 在平面直角坐标系中，设动点到两定点， 的距离的比值为的轨迹为曲线．求曲线的方程；7. 已知动点E 到点A 与点B 的直线斜率之积为，点E 的轨迹为曲线C ．求C 的方程；8. 平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.求点的轨迹方程；9. 设M,N,T 是椭圆x 216+y 212=1上三个点，M,N 在直线x =8上的射影分别为xOy 1:l y x =2:l y x =-W W (),P x y 12,l l PC G ()4,0F y 8G G xOy P ()2,0M -()1,0N 2C C ()2,0()2,0-14-xOy 222150x y x ++-=M ()1,0N T M TN TM P PM1,N1．（1）若直线MN过原点O，直线MT,NT斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值；（2）若M,N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为(3,0)，ΔM1N1L与ΔMNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．10. 已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A在椭圆Γ上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值；（3）设点C在椭圆Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数√3，求动点D 的轨迹方程．轨迹问题专题答案一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M （x ,y ）的坐标.⒉写出点M 的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f (x ,y )=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲 破解规律例1. 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明为定值，并写出点E 的轨迹方程.分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E 的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.222150x y x ++-=EA EB +EA EB +答案:（） 解析:因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. 点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.(3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.13422=+y x 0≠y ||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13422=+y x 0≠y ABCD ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D --,AM AD DN DC λλ==[]0,1,AN λ∈BM Q Q P P x y P解析：设，由,求得, ∵,∴, ∴，整理得. 可知点的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为. 例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程；分析：设点的坐标为，点的坐标为，根据点坐标，和点是线段的中点，得， ，再由点在圆上运动，求得点的轨迹方程，进而可求得点的轨迹的方程；答案:解析：设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为， 且点是线段的中点，所以， 于是有， ①因为点在圆上运动，所以点的坐标满足的方程 即： ②把①代入②，得整理，得所以点的轨迹的方程为.(),Q x y ,AM AD DN DC λλ==()()2,2,42,2M N λλ--1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭1224y y x x ⋅=-+-()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤Q 14P 2214x y +=AB B ()6,5A ()()221:434C x y -+-=AB P 2C P (),x y A ()00,x y B P AB 026x x =-025y y =-A 1C A P 2C ()()22541x y -+-=P (),x y A ()00,x y B ()6,5P AB 062x x +=052y y +=026x x =-025y y =-A 1C A 1C ()()22434x y -+-=()()2200434x y -+-=()()222642534x y --+--=()()22541x y -+-=P 2C ()()22541x y -+-=规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N 、M ,且点N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M 的运动是由N 的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M 的轨迹方程.基本方法是设M 的坐标,再反解出N 的坐标,然后带入N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.现学现用2: 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足.求点P 的轨迹方程；解析:设，，即 代入椭圆方程，得到 ∴点的轨迹方程。
让一类轨迹问题之“圆”形毕露
这类题
目往往要求学生具有较好 的 数 学 素 养,即 在 面 对 复 杂
的、不确定的新情境时,能 综 合 运 用 已 知 的 数 学 思 想、
知识与方法解决数学问题所表现出来的关键能力与
必备品质 ．
笔者整理 了 新 教 材 及 近 年 来 高 考 或 联 考 真
为直角,则点 N 的横坐标的取值集合是 ．
轨迹为以原点为圆心,
a 为半径的圆 ．
联考真题 (
２０２１ 年 武 昌 区 元 调)在 平 面 直 角 坐
标系 xOy 中,
A,
B 是 圆 C１ :
x２ ＋y２ ＝４ 上 的 动 点,
２
２
|AB|＝２ ３,
P 是 圆 C２ :(
x－３)
＋(
y－４) ＝４ 上 的
(
D．
９,
０)
解析:设点 P (
x０ ,
A,
P,
B 共 圆,圆
y０ ),四 点 O ,
æçx０ y０ ö÷ ,对 应 圆 的 方 程 为
,
è２ ２ ø
２
æ x０ ２ ＋y０ ２ ö
y０ ö ２
x０ ö ２
æç
æ
÷ ,化 简 得
x－ ÷ ＋ çy－ ÷ ＝ ç
è
è
２ø
２ø
è
ø
２
又点 A ,
x２ －x０x＋y２ －y０y＝０．
→
动点,则|P→
A ＋PB|的取值范围是 ．
→
→
→
解析:取 AB 中点 D ,则P→
A ＋PB ＝２PD ,
|PA ＋
４２
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轨迹问题解析几何
图2
思维感悟 ：
数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高
考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、 习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新 的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因 此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习 时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引 入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方 法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研 究，使之与高考试题接近。
2 3
2
∴重心G的轨迹方程为
y = 3x +
2 3
思维感悟 ：
1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵 活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。 2. 用参数法求轨迹方程的基本步骤： 建系 设标 引参 求参数方程 消参 检验
3 . 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，
x
2
81
+
y
2
72
=1
(y
≠0)
变式:（2005山东卷）已知动圆过定点 ， 且与直线 x = - p 相切，其中p>0. 求动圆圆心的轨迹的 2 方程.
p ,0 2
解：如图，设M为动圆圆心， 记为 F，过点M作直线 x = - p 的垂线，垂足 2 为Ｎ，由题意知： |MF|=|MN| 即动点M到定点F与定直线 x = - p 的距离 2 相等，由抛物线的定义知，点M的轨 迹为抛物线，其中 F p ,0 为焦点， 2 p x = -准 线 ， 为 2 所 以 轨 迹 方 程 2 为 2 px p 0 . y
例 1
已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说 明它表示什么曲线。
轨迹问题
解析几何中的轨迹问题 一、定义法：1．已知M 是直线l ：x =−1上的动点，点F 的坐标是(1,0)，过M 的直线l′与l 垂直，并且l′与线段MF 的垂直平分线相交于点N ． （Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程； 试题解析：（Ⅰ）依题意，|NM|=|NF|，即曲线C 为抛物线，其焦点为F(1,0)，准线方程为l ：x =−1，所以曲线C 的方程为y 2=4x ．2．已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆ρ与圆M 外切并与圆N 内切，圆心ρ的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；试题解析：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =，设圆ρ的圆心为(),P x y ，半径为R .（1）因为圆ρ与圆M 外切并且与圆N 内切，所以由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为顶点除外）……5分 3．动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .（1）求轨迹E 的方程；试题解析： （1所以圆内切于圆，所以点的轨迹为椭圆，，所以1b =，所以轨迹的方程为 4．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P 满足条件|PM|－|PN|＝P 的轨迹为W ． ⑴求W 的方程； 【解析】 试题分析：（1）利用双曲线的定义，可求W 的方程；（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，N M N E试题解析：(1)P 的轨迹是以M,N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长，半焦距2c =，故徐半轴长W5．已知圆()22:116E x y ++=，点()1,0,F P 是圆E 上任意一点，线段PE 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹P 的方程； 【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆方程；（2）通过设而不求法，列方程，解得2λ=.试题解析：（1）连结，故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆可知2,1a c ==，则所以点Q 的轨迹Γ的方程为 6．已知椭圆的左、右焦点分别为21F F 、，过点作垂直于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点． （1）求点的轨迹的方程；试题解析：解：（1）∵，∴点到定直线：的距离等于它到定点的距离，∴点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线． ∴点的轨迹的方程为．7．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点QF 1C 1F x 1l 2l 1l P 2PF 2l M M 2C ||||2MF MP =M 1l 2-=x )0,2(2F M 2C 1l 2F M 2C x y 82=()1,0A 和AP 上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （1）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以，所以点Q 的轨迹是以点,CA 为焦点，焦距为28．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F的距离比它到轴的距离多1. (Ⅰ)求点的轨迹的方程；试题解析：（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P 的轨迹E 是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为24yx =；9、已知点M(-3,0)，N （3,0），B （1,0），动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相较于点P ，则P 点轨迹方程是 。
专题：解析几何中的动点轨迹问题 - 学生版
专题：解析几何中的动点轨迹问题Part 1 几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。
例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程.二、两条动直线的交点问题例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x =AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程例4 已知12A A 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，线段MN 为垂直于实轴的弦，求直线1MA 与2NA 的交点P 的轨迹三、动圆圆心轨迹问题例5 已知动圆M 与定圆2216x y +=相切，并且与x 轴也相切，求动圆圆心M 的轨迹例6 已知圆221:(3)4C x y ++=，222:(3)100C x y -+=，圆M 与圆1C 和圆2C 都相切，求动圆圆心M 的轨迹例7 已知双曲线过(3,0)A -和(3,0)B ，它的一个焦点是1(0,4)F -，求它的另一个焦点2F 的轨迹例8 已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -和(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F 的轨迹方程Part 2 求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。
例1 已知动点M 到定点A （1，0）与到定直线L ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？例2 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C 的切线长与MQ的比等于常数()0>λλ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．二、定义法圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。
第1讲 轨迹问题(解析版)
第1讲 轨迹问题1．方程|1|x -=( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x - 得22(1)(1)1x y -+-=，其中02x ，02y ．因此方程|1|x -=(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x -=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y -=-， 化简得22(||1)(1)1x y -+-=，由||10x -得||1x ，即1x 或1x -， 当1x 时，方程为22(1)(1)1x y -+-=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x -时，方程为22(1)(1)1x y ++-=， 表示圆心为(1,1)-且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x -= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)-，(0,1)，(0,1)-，(1,1)，(1,1)-，(1,1)-，(1,1)--，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)--均在曲线C 上，而这两点间的距离为2>，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y -+-=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay -；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =，将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( ) ①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =-∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +-=（原点除外）B ．2220x y py +-=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=-， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=， 由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得23||2OP ==． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x 且0y 时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+，即22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=，圆心(1,1)C ，半径R =，则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+，故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y ---+=B ．( 22)(1)0x y -+=C ．2(||1)(10x y x ---+=D ．(2)(10x -+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y --=或2210x y -+=，表示折线||1y x =-的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩，或||10x y --=，||10x y --=表示折线||1y x =-的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或2210x y -+=，22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示折线||1y x =-在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y -+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩， 22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示表示折线||1y x =-在双曲线的外部（包括有原点）的一部分， 22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)1}M x y y xy =-，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( )A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy 时，只需要满足21x ，21y 即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x -，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y -，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y -，y 换为x -，可得方程不变，则曲线关于直线y x =-对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==y x ==，即有曲线C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +， 则223223()8()x y x y xy +=，即18xy ，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为()（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x -+=，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x -代替x ，y -代替y 22(2)16x --=成立，16=也成立， 即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=<，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在-到同理y 的取值只可能在-所以曲线C 在一个面积为 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a -，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a -的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．故点0(P x ，0)y 2a =，点(M x -，0)y -代入2a =，得到2a =，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a -+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误；对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +-+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=，所以2PO 的最大值为22a ，22PO a -的最大值为2a ，故D 错误． 故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--+C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++，去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y -+-=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；令2214x y +=中的0y =，解得2x =，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x -，故选项B 错误；令2214x y +=中的0x =，解得1y =，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32， 曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=， 所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；令22(1)1()142x y -+-=中的0x =，可得12y =1(0,)2，故选项D 正确． 故选：ACD ．个结论：①曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“花形”区域的面积小于4． 其中，所有正确结论的序号是 ② ．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+，方程化为：||1xy ，∴曲线C 上任意一点到原点的距离|11d xy =+=C ，可知正确．③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y -替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x 时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++，可得222x y +，所以曲线经过点(0,1)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)-，(1,1)-，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x 时，222x y +，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)-，(1,0)，(1,1)，(1,1)-围成的矩形面积122⨯=，在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)-，(1,0)，(0,1)-围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y+=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限．其中正确结论的序号是②④．【解答】解：22 223222 ()16()2x yx y x y++=，224x y∴+（当且仅当222x y==时取等号），则②正确；将224x y+=和22322()16x y x y+=联立，解得222x y==，即圆224x y+=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy<，得方程22322()16x y x y+=表示的曲线C在第二象限和第四象限，故④正确．故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是 (0,3) ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y 22(1)|1|3x y x -+++=， ①当4x <-时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x --22(1)4x y x -+=+，化为231015(1)2y x x =+--，与y 轴无交点；③当1x >-22(1)2x y x -+=-，化为223y x =-+，3(1)2x -<． 令0x =，解得3y =综上①②③可知：曲线C 与y 轴的交点为(0,3)； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+--⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x -+=，解得1.4x =-或1．①当 1.4a -或1a 时，||||||PA PB AB +，d ∴（a ）22||(1)122AB a a a ==-+-+；②当11a -<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =-+-<相交时的交点P 满足||||PA PB +||2QB a ==-取得最小值，此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）； ③当 1.41a -<-时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+--相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =-，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q -，此时d （a ）||4QB a ==+． 综上可知：d （a ）222, 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a a a ⎧-+-⎪⎪=+-<-⎨⎪--<<⎪⎩或19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ．【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==， 所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+-，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=为定值且大于||AB ，所以可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a c =2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b --=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =-③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b -+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+；设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+．22．已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y -是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x，1(A 0)，2A 0)， 直线1A P的斜率为1k =，∴直线1A P的方程为y x =+，⋯① 同理可得直线2A Q的方程为y x =．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =--．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y -=上， ∴221112x y -=，可得22211111(2)22x y x =-=-，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x -=-=--，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y -+=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)，由题意得：12||2||2CF CF +=-或21||2||2CF CF +=-，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴-==<==， 可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c 2221b c a =-=，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10F Q =．点P是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =．（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=-===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)-在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；。
高考数学难点：轨迹方程的求法
高考数学难点：轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk4=－22kb ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
圆轨迹问题
轨迹问题几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.初中的此类轨迹问题，轨迹只有两种：线段（直线）和圆弧（圆）第一大类：轨迹为圆一、圆的概念———到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.关键词“定点”和“定长”是我们发现“隐形圆”的关键.具体分类如下：①定点为圆心，相等距离为半径例1、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________例2、如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______②动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例一、木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）例二、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.③过定点做折叠的可用圆（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）例一、如图，在Rt△ABC中，∠B=60∘，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.二、圆周角及其推论类①圆周角1———直径所对的圆周角等于90°关键词：90°，是我们发现“隐形圆的关键.方法提炼：动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径.例一：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为__________.例二、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若AD=2，线段CP的最小值是__________.例三、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________.②圆周角2————同弧所对的圆周角相等. 推论:同弦所对的圆周角相等关键词：“同弧”“同弦“”角等“（也称”定弦定张角”）例1：已知在△ABC中，AC=2，∠ABC=45°，求△ABC的最大面积为____________.例2：如图，边长为3的等边△ABC，D、E为AB、BC上的点，且BD=CE，AD与BE交于点P，连接CP，则CP的最小值为__________:③圆周角3——同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.例：平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是___________三、圆内接四边形，对角互补.例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，BD 分别与AE、AF交于点G、H．若5CE=12CF，AG=13，则HF的长度为___________．第二大类：轨迹为线段平移：轨迹为线段例、如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A 16cm B18cm C20cm D 22c角为定值例：如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．到直线的距离相等的点的轨迹例1：如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是。
平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结
平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结在平面几何的世界里，轨迹问题是一个既有趣又具有挑战性的领域。
它不仅要求我们对几何图形的性质有深入的理解，还需要我们具备灵活的思维和解题技巧。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨平面几何中的轨迹问题，并对相关的知识点进行总结。
一、轨迹问题的基本概念轨迹，简单来说，就是一个动点在平面内按照一定的条件运动所形成的图形。
要确定一个轨迹，需要明确两个关键要素：动点满足的条件和动点运动的范围。
例如，一个点到定点的距离等于定长，那么这个点的轨迹就是一个圆。
这就是根据点的运动条件来确定轨迹的典型例子。
二、常见的轨迹类型1、直线型轨迹到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆（当定值大于两定点间的距离时）。
到两定点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线（当定值小于两定点间的距离时）。
到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行于该直线且与直线距离为定长的直线。
2、圆型轨迹到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
3、抛物线型轨迹到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
三、例题解析例 1：已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 P 满足｜PA| ｜PB| ＝ 2，求点 P 的轨迹方程。
解：因为｜PA| ｜PB| ＝ 2 ＜｜AB| ＝ 4，所以点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支。
2a ＝ 2，a ＝ 1，c ＝ 2，b²＝ c² a²＝ 3所以点 P 的轨迹方程为 x² y²/3 ＝ 1（x ≥ 1）例 2：一动点到直线 x ＝ 4 的距离等于它到点 A(1,0)的距离，求动点的轨迹方程。
解：设动点坐标为（x,y)，则动点到直线 x ＝ 4 的距离为｜x 4|，动点到点 A(1,0)的距离为√（x 1)²＋ y²由题意可得：｜x 4| ＝√（x 1)²＋ y²两边平方得：（x 4)²＝（x 1)²＋ y²展开化简得：y²＝ 6x 15所以动点的轨迹方程为 y²＝ 6x 15例 3：在平面直角坐标系中，点 P 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1，求点 P 的轨迹方程。
盘点动点轨迹问题的基本图形
盘点动点轨迹问题的基本图形动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述，动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.归纳一下，动点轨迹为直线型的有:①平面内到定直线的距离等于定长的点的轨迹是直线(线段);②平面内与定直线的夹角为定角的点的轨迹是直线(线段).动点轨迹是圆弧型的有:①平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆(圆弧);②平面内与两定点的张角是定角的点的轨迹是圆一、直线型类型一例1 如图1，已知半圆⊙O 的半径为2，初始位置与直线l 相切于点C ，直径AB 与直线l 平行，将半圆⊙O 在直线l 上无滑动地滚动至直径AB 与直线l 垂直，求圆心O 在此过程中形成的轨迹的长.简解 ∵在滚动过程中⊙O 与直线l 相切，∴圆心O 与直线l 的距离为半径长2，∴圆心O 的轨迹是一线段，长度为14圆弧长， 即弧长122 4BC ππ=⨯⨯=. 小结 此例因动点O 到定直线l 的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一.这是动点轨迹入门级题目.例2 如图2，已知线段6AB =，P 为线段AB 上一动点，分别以AP 、BP 为边在线段AB 的同侧作等边APC ∆和等边BPD ∆，连结CD ，取CD 得中点Q ，在点P 从A 点到B 点运动的过程中，求点Q 运动路径的长.简解 过点C 作CM AB ⊥于M 点，过点D 作DN AB ⊥于N 点;过点Q 作QG AB ⊥于G 点，则////QG CM DN .则四边形CMND 是梯形，且QG 是中位线， ∴1()2QG CM DN =+1)2AP =)AP BP =+6QG ==(定值). ∴点Q 运动路径是AB 上侧与AB 平行的一条线段.通过点P 分别与点A 、点B 重合，运用极端法可知点Q 运动路径是以AB 为边的等边三角形的中位线，∴Q 点轨迹的长度为132AB =. 小结 此例因动点Q 到定直线AB 的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一因动点较多，需抓住主动点P 对从动点Q 的制约作用以确定动点Q 的轨迹，继而运用极端法求得轨迹的长度.二、直线型类型二例3 如图3，已知ABC ∆是边长为6的等边三角形，角平分线AD 交BC 于D 点，P 是直线AD 上一动点，连结CP ，以CP 为边向下作等边三角形PCQ ∆，连结DQ ，求DQ 长度的最小值.简解 连结BQ ，过点D 作DH BQ ⊥于H 点.∵60ACB PCQ ∠=∠=︒，∴ACP BCQ ∠=∠.又∵CA CB =，CP CQ =，∴ACP BCQ ∆≅∆，∴30CBQ CAP ∠=∠=︒，即点Q 的轨迹为过B 点且与BC 成30°角的直线.∴当DH BQ ⊥时的垂线段DH 即为所求的DQ 长度的最小，∴在Rt BDH ∆中求得min 1322DQ DH BD ===. 小结 此例因动点Q 与定直线BC 的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知当动点轨迹为直线时，定点与动点连线的最短距离为垂线段的长度.例4 如图4，已知Rt ABC ∆中点P 是边AC 所在直线上一动点，连结BP ，以BP 为斜边作等腰直角BPQ ∆，点F 为边AC 上一定点且2CF =，连结FQ ，求FQ 长度的最小值.简解 过点Q 作直线AC 的垂线，交AC 延长线于点N ，过点B 作BM NQ ⊥于点M .易证得QMB PNQ ∆≅∆，∴BM NQ CN ==.连结CQ ，则45QCN ∠=︒即点Q 的轨迹为过C 点且与CN 成45°角的直线，∴当FH CQ ⊥时的FH 的长度即为所求FQ 最小值，即min 22FQ FH ===. 小结 此例因动点Q 与定直线AC 的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知图形中有等腰直角三角形存在时可运用构造全等三角形转移等量这一基本方法.三、圆弧形类型一例5 如图5，已知正方形ABCD 的边长为4，P 、Q 分别是边AB 、BC 上的动点，且4PQ =，M 是PQ 的中点，求DM 的最小值.简解 连结BM . ∵114222BM PQ ==⨯=(定值)， ∴M 在以B 为圆心2BM =为半径的圆上， ∴当,,B M D 三点共线时DM 取最小值，即最小值为2DM BD BM =-=.小结 此例因动点M 与定点B 的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知圆外一点与圆上动点的最大距离为d r +，最小距离为d r -.例6 如图6，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动.求顶点D 到原点O 的距离的最大值和最小值.简解 取AB 中点P ，连结OP ，DP . ∵112OP AB ==(定值)， ∴点P 是在以O 为圆心，112r AB ==为半径的圆上.又由Rt DBP ∆，求得PD ==(定值)，∴PD OP OD PD OP -≤≤+.①当,,O P D 三点共线且P 在线段OD 上时，OD PD OP =+1;②当,,O P D 三点共线且P 在线段DO 延长线上时，OD PD OP =-1. 小结 此例因动点P 与定点O 的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知两定长线段在共线时可求得折线最大长度为12d d +，最小值为12d d -.四、圆弧型类型二例7 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE DF =，连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，求线段DH 长度的最小值.简解 易证得BAE CDF ∆≅∆，∴ABE DCF ∠=∠.又GAD GCD ∆≅∆，∴GAD DCF ∠=∠，∴ABE GAD ∠=∠.∵90GAD BAH ∠+∠=︒，∴90ABE BAH ∠+∠=︒，即90BHA ∠=︒(定角)，∴点H 在以AB 的中点(设为O )为圆心，AB 为半径的圆(四分之一圆弧)上. 连结OD ，交⊙O 于P 点，当点H 运动到点P 时，DH 取得最小值1OD OP -=.小结 此例因动点H 与两定点A 、B 的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例5的方法可求得圆外一点与圆上动点的最小距离.例8 如图8，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于点F ，求当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长.简解 ∵90AFC ∠=︒ (定角)，∴点F 在以AC 的中点(设为M )为圆心，12AC 为半径的圆上. 当点E 在B 点时，点F 在O 点; 当点E 在D 点时，点F 在A 点，∴点F 所经过的路径为弧OA .∵在Rt AOC ∆中30ACO ∠=︒，∴260AMO ACO ∠=∠=︒，∴弧长602360OA π=⨯=. 小结 此例因动点F 与两定点A 、C 的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例2的极端法确定圆弧的起点和终点，从而求得路径圆弧长.结束语构建基本图形形成解决问题的思维模式是初中几何教学的重要方法.本文就动点轨迹的基本图形作了比较系统的分类，为学生解决此类问题提供了一个可行的途径.但在实际教学中要注意防止过于固化而禁锢学生的思维，阻碍学生创造性思维、发散性思维的形成.。
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平面几何轨迹问题分类例析
近年来，在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题，由于较难确定动点轨迹的形状，往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例，就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析，供读者参考. 一、直线型动点轨迹
事实上，要说明一动点轨迹为直线型(直线、射线或线段)，必须证明两点:第一、该轨迹恒过一定点(确定位置);第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行(明确方向).
例1 (2013年湖州)如图1，已知点A
是第一象限内横坐标为AN x ⊥轴于点M ，交直线y x =-于点N .若点P 是线段ON 上的一个动点，30APB ∠=︒,
BA PA ⊥,则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动.求当点P 从点O 运动到
点N 时，点B 运动的路径长是___.
图1
解析 如图2，由点P 位于O 、N 时，点B 所对应的位置0B 、n B 以及点P 在线段OC 上运动，可猜想点B 的轨迹是线段0n B B .如何证明呢?
显然，点B 的轨迹已经过0B 点，下面只需证明0AB B ∠为定值，即证明它与某一个定角相等即可.
观察可得，APN ∠就是与0AB B ∠相等的 定角，再由两角的位置特征和题设条件，不难 想到用三角形相似来证明两角相等.
由0tan30,tan30AB AO AB AP =︒=︒，得0::tan30AB AO AB AP ==︒ 又易知0OAC B AB ∠=∠ ,得0AB B ∆∽AOP ∆, 所以0AB B AOP ∠=∠为定值. 故点B 在线段0n B B 上，
即线段0n B B 就是点B 运动的路径(或轨迹). 同理可证
0n A B B
∆∽AON ∆，且相似比为
t a n 3︒，
则
0t a n 22
n B B O N =
⋅=
图2
注 例1利用角来确定动点的运动方向，还可用与定直线平行确定动点的运动方向. 例2 (2010年桂林)如图3，已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上，且2AC DB ==.
P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边AEP ∆和等边PFB ∆，连结EF ，设EF 的中点为G .当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动路径的长
是 .
图3
解析 如图4，分别延长AE 、BF 交于点H ，由60EAP FBP ∠=∠=︒可知，当点P 在线段CD 上移动时，点E 、F 分别在线段AH 、BH 上移动.
图4 由60A FPB ∠=∠=︒，知AH //PF , 同理BH //PE
.
所以四边形EPFH 为平行四边形，得EF 与HP 互相平分.
又G 为EF 的中点，故G 为PH 中点.
连结CH 、DH ，设其中点分别为M 、N ，则MN //CD ，且MG //CD ,
所以MN 与MG 所在的直线重合，故点G 的运动轨迹HCD ∆的中位线MN ，长度为3.
二、圆弧型动点轨迹
根据圆的定义可知，要确定动点的轨迹为圆弧型，只需证明动点到某一定点的距离为定值.
例3 (2011年湖州)如图5，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y
轴的正半轴上，M 是BC 的中点.P (0,m )是线段OC 上一动点(C 点除外)，直线PM 交AB
的延长线于点D .
(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示); (2)当APD ∆是等腰三角形时，求m 的值;
(3)设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H (如图6)，当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动.请直接写出点H 所经过的路径长.
图5 解析 (1) (2,4)D m -;
(2)分,AP DP PD AD ==和AP AD =三种情况讨论，可求得m 的值为于32，43和2
3
; (3)动点H 到哪个定点的距离为定值呢?
由OH ME ⊥和O 、M 为定点，联想到连结OM ,取其中点N ，则动点H 到定点N 的距离为定值，即H 点的轨迹是以点N 为圆心、
1
2
OM 为半径的圆上的一段圆弧. 显然，当点P 无限接近点C 时，点E 趋向无穷远，ME 与x 轴接近于平行，所以点H
无限接近于点C ;当点P 与点O 重合时，H 对应的位置点为轨迹的另一个端点，此时，可求得抛物线的解析式为2
3y x x =-+,得点E 的坐标为(3,0).
图6
过M 点作y 轴的垂线于F 点，可得45FME ∠=︒，得135CME ∠=︒. 又90OCM MHO ∠=∠=︒，45COH ∴∠=︒.
连结CN ，由CN ON HN ==，知
2,2,90CNM COM HNM HOM HNC ∠=∠∠=∠∴∠=︒.
由勾股定理，得122HN OM =
=,故H
点的轨迹长为4
.
三、图象型动点轨迹
建立适当的坐标系，求出动点坐标所满足的函数关系式，依据函数图象判定动点轨迹的形状.
例4 (2012年福州)如图7，在R t A B C ∆
中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以
每秒2个单位长度的速度运动.过点P 作PD //BC ,交AB 于点D ，连结PQ 分别从点A 、
C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(0t ≥). (1)直接用含t 的代数式分别表示:QB = ，P
D = .
(2)是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形?若存在，求出t 的值;若不存在，说明理由.并探究如何改变Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度. (3)在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.
图7
解析 (1)4
,823
PD t BQ t =
=-;
(2)四边形PDBQ 不可能为菱形.
当Q 在CB 上运动的速度为每秒
1615个单位时，存在103
t =秒时，四边形PDBQ 为菱形; (3)如图7，以点C 为原点，直线CA 为x 轴建立平面直角坐标系，
设M 点的坐标为(,x y )，过M 点作MN x ⊥轴于N 点，则MN //QC , P M N ∴∆∽PQC ∆,得
1
2
PN MN PM PC QC PQ ===. 又6,2PC t CQ t =-=, 得1,32MN t PN t ==-
, 故132
CN CP PN t =-=-, 1
3,2
x t y t ∴=-=.
消去t ，得26y x =-+. 又由04t ≤≤，得13x ≤≤.
所以M 点的轨迹是以E (3,0),F (1,4)为端点的线段EF ,
由两点之间距离公式得M 经过的路径长EF = 注 本题也可直接求解:
当P 位于点A 处(即t =0)时,M 与AC 的中点E 重合，所以M 的轨迹必经过点E .
当0t ≠时，由图7，可知1,3,2
MN t CN t ==- 则12
NE CE CN t =-=. 故tan 2MN
MEN NE
∠=
=, 即MEN ∠为定值， 所以点M 的轨迹就是线段EF .。