第一章 布尔表达式及其描述
布尔表达式的翻译
例如，对于条件语句 if A∨B<C then S1 else S2 经翻译后，可得四元式序列： (1) (jnz, A, -, 5) (2) (j, - ,- , 3) (3) (j<, B, C, 5) (4) (j, -, -, p+1) (5) S1相应的四元式序列 (p) (j, -, -, q) (p+1) S2相应的四元式序列 (q)… 其中，表达式A的真出口为5（也是整个表达式的真出 口），假出口为3（即表达式B<C的第一四元式）； B<C的真、假出口也分别是整个表达式的真、假出口。
10. 语义变量及辅助语义函数
1.NXQ全局变量，用于指示所要产生的下一四元式的 序号； 2.GEN（…）其意义同前,每次调用,NXQ++； 3.int Merge(int p1,int p2)将链首“指针”分别为 p1和p2的两条链合并为一条，并返回新链的链首 “指针”（此处的“指针”实际上是四元式的序号， 应为整型值）我们假定四元式是以一结构形式表示 （存储）的： struct _Quadruple{ int Op, arg1, arg2, Result; } QuadrupleList[]; 4.void BackPatch(int p,int t)用四元式序号t回填 以p为首的链，将链中每个四元式的Result域改写为t 的值。 函数Merge )及BackPatch )的程序见书 Merge( BackPatch(
4. 布尔表达式的出口
对于布尔表达式A 对于布尔表达式A∨（B∧（┑C∨D）)，其等价的表述是 A ？ 1 ：（B ？（（C ？ 0 ：1）？ 1 ： D ）： 0 ） ：（B ？（（C 显然，采用此种结构可产生更为有效的中间代码。这里需假 定原布尔表达式的计算过程中不含有任何的副作用 定原布尔表达式的计算过程中不含有任何的副作用。 副作用。 在上式的计算中，根据A 在上式的计算中，根据A、B、C、D的取值不同，计算的结 果以及运算的终止点亦不同。例如，当A=1（真）时，结 果以及运算的终止点亦不同。例如，当A=1（真）时，结 果为1且终止于左边第一个‘1’处。 果为1且终止于左边第一个‘1’处。 这样终止的点我们称为该布尔表达式的出口，同时，把使布 这样终止的点我们称为该布尔表达式的出口，同时，把使布 尔表达式取值为真 出口称为真出口 尔表达式取值为真的出口称为真出口，反之称为假出口。 真出口，反之称为假出口 假出口。 对一个布尔表达式而言，它至少有一个真出口 对一个布尔表达式而言，它至少有一个真出口和一个假出口 真出口和一个假出口 （当然可以有多个）。在用于控制流程的布尔表达式E （当然可以有多个）。在用于控制流程的布尔表达式E的 计算中，这些出口 计算中，这些出口分别指出当E值为真和假时，控制所应 出口分别指出当E值为真 时，控制所应 转向的目标（即某一四元式的序号）。 转向的目标（即某一四元式的序号）。
布尔表达式
可见，对于三种常见逻辑运算，可作如下等价的解释： A∧B —(A) ? B : 0 (5.2) A∨B —(A) ? 1 : B (5.3) ﹃A (A) ? 0 : 1 (5.4)
出口
对于布尔表达式A∨（B∧（┑C∨D）)，其等价的表述是
A ？1 ：（B ？（（C ？0 ：1）？ 1 ：D ）：0 ）
显然，采用此种结构可产生更为有效的中间代码。这里需假定原布尔表达式的计算过程中不含有任何的副作 用。
在上式的计算中，根据A、B、C、D的取值不同，计算的结果以及运算的终止点亦不同。例如，当A=1（真） 时，结果为1且终止于左边第一个‘1’处。
布尔表达式
代码术语
01 介绍
03 出口 05 确定
目录
02 过程角度 04 表达式 06 译结果
07 拉链回填
09 语义函数 011 例子
目录
08 拆分 010 属性文法
布尔表达式（Boolean expression）是一段代码声明，它最终只有true（真）和false（假）两个取值。最 简单的布尔表达式是等式（equality），这种布尔表达式用来测试一个值是否与另一个值相同。
第一章(逻辑运算及描述)
上次课内容及要求：1、熟练掌握常用数制及常用数制之间的转换。
2、熟悉常用的BCD 码及奇偶校验码、ASCII 码。
本次上课内容（2学时） §1-2 逻辑函数及运算1-2-1 逻辑函数中的三种基本运算逻辑代数，又叫布尔代数。
逻辑代数中的变量叫逻辑变量，取值只有0和1两种，分别用来表示客观世界中存在的既完全对立又相互依存的两个逻辑状态。
要注意，逻辑值“1”和“0”与二进制数字“1”和“0”是完全不同的概念，它们并不表示数量的大小。
一、三种基本逻辑运算1、与运算AB L A BL 断断 不亮 0 0 0 断合 不亮 0 1 0 合断 不亮 1 0 0 合合亮111(d ）逻辑符号(a ）例图(b)状态表 (c)真值表图1 与逻辑只有决定某事件的所有条件全部满足（具备）时，该事件才会发生，这种因果关系我们称它为与逻辑关系，简称与逻辑。
例银行金库的门按规定必须有关人员如金库经理、金库保管、财务会计等都到场时，门才能被打开，缺少任何一方皆不可。
又如图1(a)所示，只有当开关A、B 都合上时，灯L 才亮，情况列于状态表（b）中。
我们用1表示开关合上和灯亮，用0表示开关断开和灯不亮，则（b）成（c）。
这种表示输入变量（条件）的所有取值组合和其对应的输出变量（结果）取值的关系表叫逻辑真值表，简称真值表。
常用数学的方法来表示逻辑关系，与逻辑的逻辑表达式为：L=A ·B=AB（或者A∧B）；与逻辑的常量和常量之间的运算有：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1。
逻辑关系还可用符号来表示，图1（d）中列出了新、旧两种与逻辑符号。
由于与逻辑关系常用数字电路中的与门实现，所以与逻辑符号也用来表示与门，而略去了实际的电路。
2、或运算只要决定某事件的条件中有一个或几个满足，该事件就会发生；只有当条件全部不满足时，事件才不会发生， 这种因果关系即为或逻辑关系，简称或逻辑。
4.7.2布尔表达式的计算方法
布尔表达式4.7.1 布尔表达式的作用与结构布尔表达式的应用：<1> 逻辑运算，如x := a or b；<2> 控制语句的控制条件，如if C then ...，while C do ...等。
布尔表达式与其他表达式的关系（优先级与结合性）：BE → BE or BE | BE and BE | not BE | (BE) | RE | true | false RE → RE relop RE | (RE) | EE → E op E | -E | (E) | id | num简化的布尔表达式文法：E → E or E | E and E | not E | (E) | id relop id | id | true | false4.7.2 布尔表达式的计算方法数值表示的直接计算：1代表true，0代表false。
or、and、not与+、*、-(一元减运算)对应：T1 := not CT2 := B and T1T3 := A or T2对于关系运算的表达式a < b的计算，可以翻译成如下固定的三地址码序列。
(1) if a<b goto (4)(2) t1 := 0(3) goto (5)(4) t1 := 1(5) ...逻辑表示的短路计算：短路计算是以if-then-else的方式解释布尔表达式，具体控制逻辑如下：A orB ：if A then true else BA andB ：if A then B else false (4.7)not A ：if A then false else true对布尔表达式A or B and not C采用短路计算，则等价于下述解释： if A then trueelse if Bthen if C then false else trueelse false短路计算的必要性：while ptr<>nil and ptr^.data=x do ...短路计算可以回避对ptr^.data=x的判断，从而避免程序运行时错误。
第五课布尔表达式IF语句
第五课
布尔表达式、IF语句
var y,x,a:real; begin writeln('Input a and x: '); readln(a, x); if x<a then y:=a; if x=a then y:=1; if x>a then y:=x; writeln('y=',y) end. 程序运行结果如下： Input a and x: 1 4 (从键盘输入a=1，x=4) y=4.0000000000E+00
第五课
布尔表达式、IF语句
例 4-3 读入一个小写字母。如果这个字母在字母表的前半部，则 输出其后继字母；否则输出其前趋字母。
var letter : char; begin readln(letter); if letter <= ’m’ then writeln(Succ(letter)) else writeln(Pred(letter)); readln; end.
第五课
布尔表达式、IF语句
FALSE 布尔表达式 布尔表达式
FALSE
TRUE
TRUE
பைடு நூலகம்
语句1
语句1
语句2
第五课
布尔表达式、IF语句
例4-1 输出两个整数中的较小数。
program example4_1_1; var x,y:integer; begin readln(x,y); if x<y then writeln(x) else writeln(y) end.
本例也可以用两条if语句来实现，程序如下。
program example4_1_2; var x,y: integer; begin readln(x,y); if x<y then writeln(x); if y<=x then writeln(y) end.
布尔正则表达式教程_概述说明以及解释
布尔正则表达式教程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述布尔正则表达式是一种用于处理字符串模式匹配的强大工具。
它能够根据用户定义的规则，对输入的文本进行搜索、替换和验证操作。
不同于传统的正则表达式，布尔正则表达式具有更丰富的逻辑运算符和特殊字符，使得匹配过程更加灵活和精确。
1.2 布尔正则表达式简介布尔正则表达式是由布尔运算符、特殊字符和普通字符组成的字符串模式。
布尔运算符包括与(&&)、或(||)、非(!)等，用于实现多条件的逻辑判断。
特殊字符主要用于表示一些通用或特定格式的文本模式，如数字、字母、空格等。
普通字符则是指除了特殊字符外的其他文本内容。
1.3 目的本篇教程旨在帮助读者全面理解并掌握布尔正则表达式，并通过详细解释和示例说明来讲解其基础知识、使用方法以及高级应用技巧。
同时，我们还将探讨布尔正则表达式在实际场景中的应用，并给出相应的建议和展望。
以上是“1. 引言”部分的内容，它主要对布尔正则表达式进行了概述、简介以及阐明了本篇文章的目的。
2. 布尔正则表达式基础知识2.1 什么是布尔正则表达式布尔正则表达式，又称为布尔模式匹配，是一种用于字符串匹配和处理的工具。
它通过使用特定的语法规则来定义一个模式，并通过该模式来判断目标字符串是否与之匹配。
其中，"布尔"表示结果只有两种可能性：匹配或不匹配。
2.2 基本语法规则- 字符匹配：普通字符可以直接用于匹配相同的字符。
- 单个字符通配符：点号（`.`）表示可以匹配除换行符外的任何单个字符。
- 字符类：方括号（`[]`）内可列出多个字符，表示可以匹配其中任意一个字符。
- 字符范围：在字符类中可以使用连字符（`-`）指定范围，如`[a-z]` 表示小写字母。
- 反义字符类：在方括号内插入`^` 表示反义，即需要排除的字符集合。
- 重复次数控制：- `*` 表示前一个元素可以出现0次或更多次；- `+` 表示前一个元素可以出现1次或更多次；- `?` 表示前一个元素可以出现0次或1次；- `{m}` 表示前一个元素必须出现m次；- `{m,}` 表示前一个元素至少出现m次；- `{m,n}` 表示前一个元素至少出现m次，最多出现n次。
运算符、布尔运算、表达式、标准函数
运算符、布尔运算、表达式、标准函数hb007 发表于 2006-3-22 19:24:26一、运算符1、算术运算符例如：4 +5 = 9 8 - 3 = 52 *3 = 6 12 * 24 = 4085 / 2 = 2.5 34 / 12 = 2.83 5 div 2 = 2 123 div 4 = 30 5 mod 2 = 1 12 mod 5 = 22、逻辑运算符它们的运算真值表如下：3、关系运算符例如：设a,b为标准数据类型的变量，则：a=b 如果a等于b结果为真，否则为假。
a<>b 如果a不等于b结果为真，否则为假。
a<b 如果a小于b结果为真，否则为假。
a>b 如果a大于b结果为真，否则为假。
a<=b 如果a小于等于b结果为真，否则为假。
a>=b 如果a在于等于b结果为真，否则为假。
例如：5=5 结果为真。
5=10 结果为假。
false<true 结果为真。
false>true 结果为假。
'A'<'C' 结果为真。
12.5>-8 结果为真。
24>=21 结果为真。
10.3<10 结果为假。
二、运算符的优先级三、布尔运算要判断“X>Y”是否成立，其结果不是一个算术量（即数值），而是“成立”或“不成立”，也可以用“真”表示“成立”，用“假”表示“不成立”，也就是说，它的结果是一个逻辑值（“真”或者“假”）。
逻辑运算又叫布尔运算。
布尔(Bool)是英国数学家的名字，他首先提出对二值变量进行逻辑运算的代数，称为布尔代数。
1、布尔常量Pascal语言中“真”用true表示，“假”用False表示。
所以布尔类型只有true与false两个常量。
2、布尔型符号常量（boolean）在程序的说明部分，可以定义布尔符号常量。
如：constt=true;f=false;执行部分就可以用t代表true，用f 代表false。
布尔代数基础
布尔代数基础和布尔函数的化简和实现布尔代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
因此这里从应用的角度向读者介绍布尔代数，而不是从数学的角度去研究布尔代数。
一、布尔代数的基本概念1、布尔代数的定义域和值域都只有“0”和“1”。
布尔代数的运算只有三种就是“或”(用＋表示)，“与”(用·表示)和“非”(用￣表示，以后用’表示)。
因此布尔代数是封闭的代数系统，可记为B=(k，＋，·，￣，0，1)，其中k表示变量的集合。
2、布尔函数有三种表示方法。
其一是布尔表达式，用布尔变量和“或”、“与”和“非”三种运算符所构成的式子。
其二是用真值表，输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。
其三是卡诺图，由表示逻辑变量所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
3、布尔函数的相等可以有两种证明方法，一种是从布尔表达式经过演绎和归纳来证明。
另一种就是通过列出真值表来证明，如两个函数的真值表相同，则两个函数就相等。
二、布尔代数的公式、定理和规则1、基本公式有交换律、结合律、分配律、0—1律、互补律、重叠律、吸收律、对合律和德·摩根律。
值得注意的是分配律有两个是：A·(B+C)=A·B+A·C和A+B·C=(A+B)·(A+C)，另外就是吸收律，A+AB=A；A+A’B=A+B它们是代数法化简的基本公式。
2、布尔代数的主要定理是展开定理(教材中称为附加公式)。
3、布尔代数的重要规则有对偶规则和反演规则。
三、基本逻辑电路1、与门F=A·B2、或门F=A+B3、非门F=A’(为了打字的方便，以后用单引号“’”表示非运算，不再用上划线表示非运算)4、与非门F=（A·B）’5、或非门F=（A+B）’6、与或非门F=（A·B+C·D）’7、异或门F=A’B+AB’=A⊕B8、同或门F=A’B’+AB=A⊙B四、布尔函数的公式法化简同一个布尔函数可以有许多种布尔表达式来表示它，一个布尔表达式就相应于一种逻辑电路。
java布尔表达式
java布尔表达式布尔表达式是程序中常用的一种逻辑表达式，用于判断某一条件是否满足，从而决定程序的执行路径。
在Java中，布尔表达式是一个返回结果为true或false的表达式。
在本文中，我们将从以下几个方面介绍Java布尔表达式的相关知识。
一、布尔类型在Java中，布尔类型有两个值：true和false。
它们用于表示真和假这两种可能性。
布尔类型用于表示一个条件是否成立，通常用于判断语句和循环语句中。
二、布尔运算符在Java中，用于连接布尔表达式的运算符称为布尔运算符。
Java中的布尔运算符包括以下几种：1. 与运算符（&&）：当且仅当两个布尔表达式都为真时，才返回true，否则返回false。
2. 或运算符（||）：当且仅当两个布尔表达式至少一个为真时，才返回true，否则返回false。
3. 非运算符（！）：将一个布尔表达式取反，即，如果该表达式为真，则返回false，反之亦然。
三、比较运算符在Java中，用于比较两个值的运算符称为比较运算符。
比较运算符返回的结果为true或false，用于判断某一条件是否成立。
Java 中的比较运算符包括以下几种：1. 等于运算符（==）：当且仅当两个值相等时，返回true，否则返回false。
2. 不等于运算符（!=）：当且仅当两个值不相等时，返回true，否则返回false。
3. 大于运算符（>）：当且仅当左边的值大于右边的值时，返回true，否则返回false。
4. 小于运算符（<）：当且仅当左边的值小于右边的值时，返回true，否则返回false。
5. 大于等于运算符（>=）：当且仅当左边的值大于或等于右边的值时，返回true，否则返回false。
6. 小于等于运算符（<=）：当且仅当左边的值小于或等于右边的值时，返回true，否则返回false。
四、条件语句条件语句用于在满足某一条件时执行一组语句，否则执行另外一组语句。
布尔代数表达式
AB
0 01 ；1 0 11
Y 最大项 最大项名称
MQ
0 A+B ）
1 A + B"
0 A+B 1 A+
M2 ）
M3
*=（，+■）（月 + 8） =Mr\M2 =n（o, 2）
Y = AB + AB
=mi + mo
【例1】宁宁正在野餐，如果天气下雨或者那儿有蚂蚁的话， 宁宁将不能继续野餐，请设计一个电路，使得在宁宁能够野餐 的时候输出为真。
定义
•乘积项（蕴涵）:一个或多个项的“与”，如：ABC. C. BC •最小项：包含全部输入项的乘积，如：ABC. ABC •求和项：一个或多个项的"或”，如：A+C, A +5+C •最大项：包括全部输入项的和，如：A+ B +C, A+B+C
最小项表达式
•每行都对应一个最小项
-每个最小项对该行值为真（并且成等式，成为最小项表达 式
A B Y 最小项 最小项名称
000
m0
d 1 1 AB
1 0 0 A百
m2
(1 1
1 AB
)
Y = AB +AB =m1 + m3
=£(1, 3)
最大项表达式
•每一行有一个最大项 -每一行对应了为假的一个最大项（并且只有该行） •将每一个输出为假的最大项相与
【解】 ① 定义输入和输出
输入是•和R,它们分别表示有蚂蚁和下雨
输出为表示宁宁享受野餐 ② 列真值表
ARE
0
0
1
0
1
0
③由真值表写出逻辑函数表达式（最小项表达式或最大 项表达式）
布尔运算表达式
布尔运算表达式
布尔运算表达式是用于进行逻辑运算的表达式，其结果为布尔值（真或假）。
常见的布尔运算表达式包括逻辑与（&&）、逻辑或（||）和逻辑非（!）。
逻辑与（&&）运算符用于比较两个条件，只有当两个条件都为真时，结果才为真。
例如：
```scss
(a > b) && (b < c)
```
这个表达式检查a是否大于b，并且b是否小于c。
只有当两个条件都满足时，整个表达式的结果才为真。
逻辑或（||）运算符用于比较两个条件，只要其中一个条件为真，结果就为真。
例如：
```scss
(a > b) || (b == c)
```
这个表达式检查a是否大于b，或者b是否等于c。
只要有一个条件满足，整个表达式的结果就为真。
逻辑非（!）运算符用于取反，将一个条件的结果取反。
例如：```scss
!(a > b)
```
这个表达式检查a是否大于b，并将结果取反。
如果a大于b，则结果为假；如果a不大于b，则结果为真。
布尔运算表达式在编程中经常用于控制流程，如条件语句、循环语句等。
通过使用布尔运算表达式，可以根据不同的条件执行不同的代码块，从而实现程序的控制流程。
解析布尔表达式
解析布尔表达式布尔表达式是由变量、运算符和常量组成的逻辑表达式，用于描述逻辑关系和判断条件。
在计算机科学中，布尔表达式广泛应用于条件判断、循环控制和逻辑运算等方面。
本文将以解析布尔表达式为标题，对布尔表达式的概念、语法和求值过程进行详细解析。
一、布尔表达式的概念布尔表达式由布尔变量、布尔运算符和布尔常量组成，用于描述逻辑关系和判断条件的真假情况。
布尔变量只有两个取值，分别为真和假，用True和False表示。
布尔运算符包括与（and）、或（or）和非（not），用于组合布尔变量和布尔常量，形成复杂的逻辑表达式。
二、布尔表达式的语法布尔表达式的语法规则如下：1. 变量：布尔表达式中的变量可以是任何可以被判定为真或假的条件，如比较运算符（等于、不等于、大于、小于等）的结果、逻辑运算符的结果等。
2. 常量：布尔表达式中的常量有两个取值，分别为True和False。
3. 运算符：布尔表达式中的运算符包括与（and）、或（or）和非（not）。
4. 括号：布尔表达式中可以使用括号改变运算的优先级。
布尔表达式的求值过程遵循一定的优先级规则，首先计算括号中的表达式，然后按照非、与、或的顺序依次计算。
具体求值过程如下：1. 非运算：如果布尔表达式中有非运算符（not），则先计算非运算符后面的表达式，将表达式的真假值取反。
2. 与运算：如果布尔表达式中有与运算符（and），则先计算与运算符前后的表达式，如果前后两个表达式都为真，则整个与运算的结果为真；否则，结果为假。
3. 或运算：如果布尔表达式中有或运算符（or），则先计算或运算符前后的表达式，如果前后两个表达式至少有一个为真，则整个或运算的结果为真；否则，结果为假。
四、布尔表达式的应用场景布尔表达式在编程中有广泛应用，特别是在条件判断和循环控制方面。
通过使用布尔表达式，可以根据不同的条件执行不同的代码块，从而实现程序的灵活性和可扩展性。
常见的应用场景包括：1. 条件判断：通过布尔表达式判断某个条件是否满足，从而决定是否执行相应的代码块。
布尔函数
广州大学数学与信息科学学院
裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example . .. n 固定 w，让 x 跑遍 F2 ，w · x 中有多少次取 1，多少次取 0? . .. . . . 若 w = 0，则 w · x 总为 0； . . 1 . 当 w = 0 时，考虑加法群 Fn 到 F2 上的映射 2 .
1 2 3 4
中每一处的关系。 . 5 S (w) 就是重合点个数减去不重合点的个数。 f . . .. . . 问题 . .. 若知道布尔函数 f 在每一处的取值，则可以用小项表示求出 f 的代数表达式。如果知道了 f 的 Walsh 谱，是否存在某种形式 的反转公式，通过它，能得到 f 的代数式呢？答案是肯定的。 . .. .
ci
.
=
1 xi = ci ; ，有 0 xi = ci .
cn 1 c2 xc = xc 1 x2 · · · xn 。
f(x) 的小项表示具有形式 ∑ ∑ cn 1 c2 f(c)xc f(x) = f(c)xc = 1 x2 · · · xn 。 n n c∈ F2 c∈ F2 . ..
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
.
广州大学数学与信息科学学院
裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
.
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. . 在 f(x) 的代数标准型中，非零单项的最大次数称为 f(x) . 1 的次数，记为 deg f(x). . 一次布尔函数称为仿射函数; . 2
布尔表达式.ppt
引理6-4.1 设在一个布尔格中,b∧c=0当且仅当b ≤c。
证明：(1)先证 b∧c=0 b ≤ c
若 b∧c=0， 因为 0∨c=c ，
则 (b∧c)∨c=c
根据分配性，就有
(b∨c) ∧ (c∨c) =c
即 (b∨c) ∧1 =c
所以
b∨c =c
又因为 b ≤ b∨c
所以
b ≤c
(2)再证 b ≤ c b∧c=0
当S={a,b}时的运算表如表6-4.1所示。P-253页的
任意两个元素a，b，必定有
( a )=a
a∨b= a∧b
a∧b= a∨b
证明：只证第(2)个等式
先证互补的两个式子相并等于全上界“1”。
(a∨b)∨(a∧b)= ((a∨b)∨a)∧((a∨b)∨b)
(1)构造一个映射，并证明它是双射（既是入射又是满 射）；
(2)描述代数系统<A,∨,∧,- >和<(S), ∪,∩,~>
同构并证明之； (3)总结概括结论。
10
第(1)部分证明：对于任意非0aA,必有的唯一表示：
其中aia
a=a1∨a2∨…∨ ak （i=1,2,…,k）,作映射
（引理6-4.2a的原子表示）
原子：与0相邻且比0“大”
定理6-4.2 设<A, ≤ > 是一个具有全下界0的有限格， 则对于任何一个非零元素b（即不等于全下界0的元素） 至少存在一个原子a ，使得a ≤ b 。 证明：若b是原子，则有b ≤ b ，若b不是原子，则必 有b1存在，使得0b1b
若0b1是b2原子b1，则b 定理得证，否则，必存在b2使得 由于<A, ≤ >是一个有下界的有限格，所以通过有限不骤 总可以找到一个原子bi ，使得0bi... b2b1b5
布尔表达式与布尔函数
8.2.1 布尔表达式与布尔函数
定义8.4 设 < B, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 是布尔代数, B上的 布尔表达式递归定义如下 (1) 布尔常元和布尔变元 (取值于布尔代数B的常元和 变元)是布尔表达式. 通常布尔常元用a, b, c表示, 布尔 变元用x, y, z表示. (2) 如果e1, e2为布尔表达式, 那么(e1’), ( e1∨e2), ( e1∧e2) 也都是布尔表达式.
定义8.5 布尔表达式 f (x1, x2,…, xn)所定义的函数 n f : B B 称为布尔函数. 例8.5 设 < {0, 1, a, b}, ∨, ∧, ’, 0, 1> 是一个布尔 代数, （a,b互为补元）其上有表达式 f(x1, x2)=( x1’∨a)∧x2 f(x1, x2, x3)=( x1∧x2∧x3)’∨(x1∧x2’ ∧x3’) 则: f(1, b)= (1’∨a)∧b= a∧b= 0 f(a, b, 0)= (a∧b∧0)’∨(a∧b’ ∧0’) = 0’∨(a∧a)= 1
(a0 m 0 ) (a1 m1 ) (a 2 n 1 m 2 n 1 ) (a0 M 0 ) (a1 M 1 ) (a 2n 1 M 2 n 1 )
其中: ai为布尔常元, mi和Mi分别是极小项与极 大项, 且两式对x1, x2, …, xn的一切取值均与 f(x1, x2, …, xn)等值.
例8.6 求布尔代数 <{0, 1, a, b}, ∨, ∧, ’, 0, 1>上布 尔函数 f(x1, x2)= [ (a∧x1)∨(b∨x1)’ ]∧(x1∨x2)的主析 取范式和主合取范式. 解: 主析取范式为 f(x1, x2)= [ (a∧x1)∨(b∨x1)’ ]∧(x1∨x2) = [(a∧x1)∧(x1∨x2) ]∨[ (b’∧x1’)∧(x1∨x2) ] = [(a∧x1 ∧x1)∨(a∧x1∧x2)]∨ [(b’∧x1’∧x1)∨(b’∧x1’∧x2)] = (a∧x1 )∨(a∧x1∧x2)∨(b’∧x1’∧x1)∨(b’∧x1’∧x2)
或非门布尔表达式
或非门布尔表达式
逻辑电路是现代电子技术中的重要组成部分。
早期的计算机就是依赖于逻辑电路完成运算的。
而其中最基本的逻辑门就是或非门。
或非门英文名称为NOR门，是非门的一个变形。
它是一种布尔逻辑门电路，具有两个或多个输入和一个输出。
下面我们将详细介绍或非门及其布尔表达式。
1. 或非门
或非门是一种逻辑门电路，它的输出信号在所有输入信号都为零时为1，只要有一个输入信号为1，则输出电信号为0。
它的功能与其名称相同，即就是或门的输出再取反。
2. 布尔表达式
布尔表达式是数学和计算机科学中表示值为真或假的符号逻辑表达式。
布尔表达式只能为真或假，不能为其他值。
而或非门的布尔表达式如下：
Y = ~(A+B)
其中，Y为输出信号，A和B为输入信号，符号“~”表示取反。
3. 布尔运算
布尔运算是基于布尔代数的逻辑运算，它通常是用来描述逻辑条件下的计算机程序语言的基础。
布尔运算符号有三种，分别是逻辑或（或者）、逻辑与（并且）和逻辑非（取反）。
或非门是一种基本的逻辑门，可以使用其他逻辑门电路来实现它。
对于或非门电路可以实现的不同的业务逻辑如计数器、存储器、触发器等功能。
在现代电子技术中，或非门被广泛地应用在计算机、电子电路以及信息处理领域。
可见它在现代科技中的地位不可替代。
布尔方程式
布尔方程式【最新版】目录1.布尔方程式的定义2.布尔方程式的基本运算符3.布尔方程式的解法4.布尔方程式在实际问题中的应用正文一、布尔方程式的定义布尔方程式，又称为逻辑方程式，是表示逻辑关系的数学方程式。
它以英国数学家乔治·布尔（George Boole）的名字命名，他在 19 世纪提出了这种表示方法。
布尔方程式主要用来描述两个或多个命题之间的逻辑关系，例如：并且、或者、非等关系。
二、布尔方程式的基本运算符布尔方程式包含三种基本运算符，分别是：1.与（∧）：表示逻辑与，当两个命题都为真时，结果为真。
2.或（∨）：表示逻辑或，当两个命题中至少有一个为真时，结果为真。
3.非（）：表示逻辑非，当命题为真时，结果为假；当命题为假时，结果为真。
三、布尔方程式的解法布尔方程式的解法主要包括以下步骤：1.根据题目要求，确定需要求解的变量。
2.根据已知条件，列出布尔方程式。
3.通过变换、化简方程式，使其变得更容易求解。
4.运用布尔运算规则，逐步推导出各个变量的取值。
5.将求得的变量代入原方程式，验证解的正确性。
四、布尔方程式在实际问题中的应用布尔方程式在实际问题中有广泛应用，例如：1.电子电路设计：布尔方程式可以用来表示电路中的逻辑关系，通过求解方程式，可以得到电路的输出结果。
2.计算机编程：在计算机编程中，逻辑运算是常用到的，通过布尔方程式可以清晰地表示程序中的逻辑关系。
3.数据库查询：在数据库查询中，布尔方程式可以用来表示查询条件，从而帮助我们筛选出符合要求的数据。
总之，布尔方程式作为一种表示逻辑关系的数学工具，在多个领域具有广泛的应用价值。
c++布尔表达式
C++中的布尔表达式是用于判断条件是否为真的表达式。
在C++中，布尔表达式的结果只能是true或false。
以下是一些常见的布尔表达式示例：
1.等于或不等于：使用“==”或“!=”运算符来比较两个值是否相等或不相
等。
例如，a == b表示a等于b，a != b表示a不等于b。
2.大于、小于或等于、大于或等于：使用“>”、“<”、“<=”或“>=”运算
符来比较两个值的大小关系。
例如，a > b表示a大于b，a < b表示a小
于b，a <= b表示a小于或等于b，a >= b表示a大于或等于b。
3.逻辑运算符：使用“&&”（逻辑与）、“||”（逻辑或）和“!”（逻辑
非）运算符来组合或否定布尔表达式。
例如，a && b表示a和b都为true 时结果为true，a || b表示a和b中至少有一个为true时结果为
true，!a表示a为false时结果为true。
4.条件运算符：使用“?:”运算符来根据条件返回不同的值。
例如，a ? b :
c表示如果a为true则结果为b，否则结果为c。
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第一章布尔表达式及其描述
布尔表达式是布尔代数上的按照一定规则形成的符号串。
他是逻辑演算、逻辑电路总何等的有效形式化
符号描述。
本章对布尔表达式相关的布尔代数、布尔函数以及布尔函数的规范式进行讨论；同时，讨论了
命题公式、逻辑电路和布尔表达式之间的联系，以及描述布尔表达式的真值表，决策树和二叉决策树。
1.1 布尔函数
布尔代数是英国数学家George Boole(乔治·布尔)19世纪提出来的将古典逻辑推理转化为符号数计算的技术。
布尔代数是计算技术的自动化技术中逻辑技术的数学基础，因此布尔代数也成为逻辑代数。
布尔函数是定义在布尔代数上的一类函数。
1.1.1 布尔代数
定义1.1.1 对于非空集合B(B中至少包含两个不同元素)，以及集合B上的二元运算“·”、“+”、一元代数“’”，集合B中的元素a，b，c∈B，称满足下述条件的多元组（B,+,·,’）为一个布尔代数：
交换律对任意a,b∈B，有:
①a·b = b·a
②a + b = b + a
分配律对任意a,b,c∈B，有:
③a·( b +c ) = (a·c)+(a·c)
④a + (b·c) = (a + b)+(a + c)
同一律
⑤二元运算“+”存在单位元，称为布尔代数的零元，即存在0∈B，使得任意a∈B，有a+0=a;
⑥二元运算“·”存在单位元，称为布尔代数的单位元，即存在1∈B，使得任意a∈B，有a·1 = a
互补律对任意a∈B，存在a’∈B，满足：
⑦a·a’ = 0
⑧a + a’ = 1
在上述定义中，元素a∈B所对应的a’∈B称为元素a的补元。
为了简便起见，布尔代数（B，+，·，’）可简称为布尔代数B。
在布尔代数B中，用来表示B中任意元素的符号称为布尔变量或者变元，而B中确定的元素称为布尔变量或常远。
定理1.1.1布尔代数B中的零元唯一。