模拟方法(几何概型)、概率的应用

无关，即P(点M落在G1)=
G1的面积 G的面积
,则称这种模型为几何概型.
（2）几何概型中的G也可以是_空__间__中__或_直__线__上__的有限区域,
相应的概率是_体__积__之__比__或_长__度__之__比__.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等 的.( ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( )
8
【解析】如图，将细绳八等分，C,D分别是第一个和最后一个
等分点，则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大
于 1米.由几何概型的计算公式，两截的长度都大于 米1的概
86
8
率为 P＝ 8 ＝3 .
14
答案：3
4
考向 1 与长度、角度有关的几何概型
【典例1】(1)（2012·辽宁高考）在长为12 cm的线段AB上任
两种不同的度量手段.
【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出, 而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.
【变式备选】设f(x)＝x2-2x-3(x∈R)，则在区间［-π，π］
上随机取一个数x，使f(x)＜0的概率为_______.
【解析】本题属于几何概型.由x2-2x-3＜0得：
-1＜x＜3.又∵x∈［-π，π］,
AB的长度 2 2
【拓展提升】
1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概
率的计算公式为 P（A）
构成事件A的区域长度
.
试验的全部结果所构成的区域长度
2.与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大
小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是
的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是____.
【解析】如图，区域F表示边长为4的 正方形ABCD的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此 P＝12 ＝ .
4 4 16
答案：
16
5.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两
截的长度都大于 1 米的概率为________.
2
使AE＝AC，则
67.5＝可3 .看成事件构成的区域，
90 4
所以满3足条件的概率为
4
【互动探究】在例题(2)中“过直角顶点C在∠ACB内作一条射 线CD与线段AB交于点D”改为“在线段AB上找一点D”，则结果 如何？ 【解析】由于本题是在线段AB上找一点D，使得AD＜AC，可 先找到AD＝AC时AD的长度，则所求P概＝率AD的长度＝ 1 ＝ 2 .
【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长为
(12-x)cm，其中0＜x<12，由题意x(12-x)＜32得，0＜x＜4
或
8 ＝2.
12 3
8＜x<12，则可选取的长度为4+4＝8(cm)，故概率为
（2）射线CD在∠ACB内是均匀分布的，
故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果
构成的区域，在线AC段E＝A1B8上0－取4一5点＝6E7，.5
第六节 模拟方法（几何概型）、 概率的应用
1.模拟方法 对于某些无法确切知道概率的问题,常借助_模__拟__方__法__来估计某 些随机事件发生的概率.用_模__拟__方__法__可以在短时间内完成大量 的重复试验.
2.几何概型
（1）向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在
子__区__域__G_1___G_的概率与G1的_面__积__成正比，而与G的_形__状__、_位__置__
∴所求概率 答案：2

P＝ 4 ＝2 . 2
考向 2 与面积、体积有关的几何概型
【典例2】(1)（2012·北京高考）设不等式组
0 0

x y

2, 2
表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于2的概率是( )
(A)
1．在区间［20,80］内随机取一实数a，则实数a属于区间
［50,75］的概率是( )
(A) 1
4
(B) 3
4
(C) 5
12
(D) 7
12
【解析】选C.由几何概型概率计算公式可知
P＝ 构成事件的区间长 ＝75－50＝ 5 . 试验全部结果的区间长 80－20 12
百度文库 2．有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中 取0.1升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是( ) (A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1 【解析】选C.试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事 件的区域体积为0.1升，故所求概率为 P＝0.1＝ 1 ＝0.05.
2 20
3.在区间［-1,2］上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为_____.
【解析】∵在区间［-1,2］上随机取一个数x，则|x|≤1的区间
长度为2，∴|x|≤1的概率为 2 .
3
答案：2
3
4.在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均
不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成
取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该
矩形面积小于32 cm2的概率为( )
(A) 1
6
(B) 1
3
(C) 2
3
(D) 4
5
（2）在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD
与线段AB交于点D，则AD<AC的概率为______.
【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率. (2)过点C在∠ACB内作射线CD与角度有关，利用几何概型的 概率公式求解.
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形.( ) （5）在区间［-1，1］内任取一个数，求取到的数是正数的概 率，该问题中的概率模型为几何概型.( )
【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正 确. (2)错误.虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的 频率，所以结果不一定相等. (3)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. (4)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. (5)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ （5）√