模拟方法(几何概型)、概率的应用
模拟方法
2009------2010学年高一数学必修3导学案 使用时间2010.4. 编制人：阮雪剑 张春鑫 审核人： 领导签字： 班级： 小组 ： 姓名： 组内评价：§3 模拟方法——概率的应用【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高；2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
【重点】几何概型的概念及其概率的求法 【难点】求一些几何概型中事件的概率一、学习目标：1、了解随机数的意义，能用模拟方法估计事件的概率2、了解几何概型的意义3、会求一些简单的与长度，面积，体积相关的几何概型的概率问题 二、问题导学：（阅读课本，回答以下问题） 1、几何概型的概念：向平面上______区域G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G G 1⊆的概率与的1G 面积________，而与1G 的_____,______无关，即：P （点M 落在子区域1G ）=________________ 则称这种模型为____________说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比2、几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无数个 （2）等可能性：每个结果出现的可能性相等3、几何概型与古典概型的异同点：相同点：(1)____________________________(2)求解思路相同，同属于“比例解法” 不同点：_______________________________________________4、几何概型的主要应用： 它主要用来计算基本事件可“连续”发生的有关概率问题，如与时间，温度变化有关的物理问题，与长度，面积，体积有关的实际生产生活问题三.合作探究：例1（A 级）.如图所示：边长为2的正方形中随机撒一把大豆，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形的豆子数之比，并以此估计圆周率π的值.例2、小明家的晚报在下午5：30—6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐。
用几何概型解决隐性点分布概率问题
【 考文献】 参
［］ １ 陈家 鼎 ， 婉 如 ， 仁 宫 ． 率 统 计 讲 义 ． 京 ： 等 刘 汪 概 北 高
教 育 出版 社 ，９ ２（ ） １８ ３ ．
分析
设 Ｍ 表 示 针 的 中点 ， 表
示 针 的 中 点 与 最 近 的 平 行 线 的距
问题 ３ （ 会 问 题 ） 人 约 定 于 约 两
之比： ）：
』 ！： 兰：！型 ！
．
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本 例 提 供 了一 个 求 竹 值 的 方 法 ： 果 能 求 出 Ｐ（ ， 如 Ａ） 那
么 南上 式 可 求 得 盯．
１ 至 １ ２点 ３点 在某 地 会 合 ， 到 者 等 ２ 先 Ｏ
ｉ ｌ ＝
Ｐ，＝ （ ＝∑ ＰＡ ＝∑ 专＝． （ Ｐ ∑Ａ ） ） （） １
ｉ＝ Ｉ ｚ： 】
２ ．与 面 积 有 关 的 几 何 慨 型 问 题
有 些 复 杂 的 实 际 问 题 ， 决 的关 键 是 建 立 模 型 ， 出 随 解 找 机 事件 与 基 本 事 件 所 对 应 的 几 何 区 域 ， 所 要 求 解 的 问 题 把 转 化 为 几何 概 率 问平 线 一 （ ） ≤ 号 一 点 与 行 之 相 ｌ ０ ≤ 针 交 是 投 区 ｇ｛ ，０ ≤， ≤ ｓ ）， ， 点 在 域 ＝（ ） 叮≤ ÷ｉ 上 就 【 ｒ ｎ ≤ ｏ
所 求事 件 Ａ＝｛ 与平 行 线 之 一相 交 ｝ 针 的概 率 为 ｇ与 Ｇ的面 积
上 对应 某 直 角 坐 标 系 （ 已分 为 度 量 单 位 ） 点 ． 有 可 能 结 的 所 果 都 被 一个 边 长 ６ ０的 正 方 形 里 的点 所 表 示 出 ： 表 能 够 会 代 面 的点 都 布列 在用 细 线 表 示 出 的 阴 影 区 域 内 ． 以事 件 Ａ＝ 所
3.3模拟方法--概率的应用课件ppt(北师大版必修三)
提示
关．
无关．从概率公式上看，事件A的概率只与它的几
何度量(长度、面积或体积)成正比，与其位置和形状无
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
对几何概型的理解 1． (1)理解几何概型的概念要注意事件A的概率只与其几何度 量(长度、面积或体积)有关，而与A的位置和形状无关． (2)并不是所有的与几何度量有关的概率都是几何概型， 几何概型有如下两个特点： ①无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数 个； ②等可能性：在每次试验中，每一个基本事件发生的可能 性是均等的． (3)古典概型与几何概型的主要区别与联系：它们都是比 较特殊的概率模型，其共同的特点是试验中的基本事件发 生的可能性都是均等的；它们的区别是古典概型中的基本 事件数是有限的，而几何概型中的基本事件数是无限的．
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自学导引
几何概型 1． (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M， 若点 M 落
子区域G1 G 面积 在_______________的概率与 G1 的_____成正比．而与 G 的 形状 位置 _____、_____无关．即 P(点 M 落在 G1)＝
种概型为几何概型． G1的面积 ，则称这 G的面积
概率； 1 3 (3)求使四棱锥 M－ABCD 的体积小于 a 的概率． 6 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间
的关系，利用相关公式求出其概率． 本题中对几何概型问题的处理要以立体几何的相关知识为
基础，空Байду номын сангаас想象能力为依托．
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[解题流程] 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 利用公式求得概率
步转化，为确定区域的测定问题． 解 由已知|p|≤3，|q|≤3，所以(p，q)
第1部分 第三章 § 3 模拟方法——概率的应用
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解析：此题考查几何概型，正方形面积为 a2，阴影部分面积 a a a2－π22，所以概率为
2
为
a －π22
a2
π ＝1－ . 4
答案：A
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4．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，
以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不 湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观 止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的 正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，求油正好落 入孔中的概率(油滴的大小忽略不计)．
2 答案： 5
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8.如图，在等腰直角三角形ABC中，过
直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，
与线段AB交于点M.
求AM<AC的概率．
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解：在 AB 上取 AC′＝AC， 180° －45° 则∠ACC′＝ ＝67.5° . 2 设事件 A＝{在∠ACB 内作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度为 90° ，事件 A 的 区域角度为 67.5° ， 67.5 3 ∴P(A)＝ ＝ . 90 4
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3.如图所示， 墙上挂有一边长为 a 的正方形木板， 它的四个角的空白部分是以正方形的顶点为 a 圆心，半径为 的圆弧．某人向此板投镖，假 2 设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一 样，则击中阴影部分的概率是 π A．1－ 4 π C．1－ 8 π B. 4 D．与 a 的取值有关 ( )
知识点一 §3 模 拟 方 法 — 概 率 的 应 用 理解教材新知 知识点二
第 三
考点一
考点二 把握热点考向
章
考点三
考点四
概 率
54高考数学总复习经典测试题解析版12.3-模拟方法---概率的应用54
模拟方法---概率的应用 (附参考答案)一、选择题1．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是( )．A.14B.13C.12D.23解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P ＝24＝12. 答案 C2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．A.14B.13C.427D.415解析 面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9，∴P ＝9－612＝312＝14. 答案 A3、如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？ A. 62596B.98625C. 529625D. 68625解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。
设A ＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×两个等腰直角三角形的面积为：2×21×23×23＝529带形区域的面积为：625－529＝96∴ P （A ）＝ 62596答案 A4.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )A.14B.13C.15D. 12 解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的41123 ，故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是13答案 B5．在面积为S 的△ABC 的边上AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )．A.14B.12C.34D.23解析 由△ABC ，△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，这是一个几何概型，∴P ＝AE AB ＝34. 答案 C6．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )． A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4. 答案 B7．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 答案 B二、填空题8.如图，四边形ABCD 为矩形，， BC=1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．解析 连接AC 交弧DE 于P ，则tan ∠=所以∠CAB=30°，当直线AP 在∠CAB 内时AP 与BC 相交，所以概率P=301903︒=︒ 答案 139．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 解析 设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－122π－142ππ＝1316.答案13 1610．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．解析依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知S U＝18，S A＝4，则点P落入区域A的概率为P＝SASU＝29.[来源:学#科#网] 答案2911．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________．解析由题意得Δ＝4a2－4b2≥0，∵a，b∈ [0,1]，∴a≥b.∴⎩⎨⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案1212．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60360＝16. 答案 16三、解答题13. 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？解析 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A) ==取出的种子体积所有种子的体积100.011000= 所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.14．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17. 15．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．思路分析 由题意画出图象可求面积之比．解析 如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16. 【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.16．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：⎩⎨⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥－1内(含边界)的概率．解析 (1)记“以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上”为事件A ，则基本事件总数为6.因落在圆x 2＋y 2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P (A )＝26＝13. (2)记“以(x ，y )为坐标的点位于区域内”为事件B ，则基本事件总数为6，由图知位于区域D 内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，共4个，即B 包含的基本事件数为4，故P (B )＝46＝23.。
简述概率的四种确定方法
简述概率的四种确定方法
概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件发生的可能性大小。
在实际应用中，我们需要确定概率的大小，这就需要使用概率的
四种确定方法。
第一种方法是古典概型法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是有
限的情况。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
在古典概型法中，我们可以通过
样本空间中有利事件的个数除以样本空间中总事件的个数来确定概率。
第二种方法是几何概型法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是连
续的情况。
例如，一个圆形的面积为πr²，那么一个随机点落在圆形内的概率就是圆形面积与总面积的比值。
第三种方法是频率概率法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是无
限的情况。
例如，我们可以通过大量的实验来确定一个事件发生的概率。
在频率概率法中，我们可以通过事件发生的次数除以实验总次数
来确定概率。
第四种方法是主观概率法。
这种方法适用于随机事件的概率无法通过
实验或计算得到的情况。
例如，一个人对于某个事件发生的可能性的
主观判断。
在主观概率法中，我们可以通过个人的主观判断来确定概率。
总之，概率的四种确定方法分别是古典概型法、几何概型法、频率概率法和主观概率法。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来确定概率的大小。
3.模拟方法-概率应用
一种方法就是概率的方法，向图中的长方形中随机地撒 一粒芝麻，这个试验具有以下特点： （1）长方形有有限的面积，一次试验是向长方形内随机 投一点，试验的所有可能结果就是长方形内的所有点， 因此有无限个 （2） 长方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所 投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成 正比，而与A在正方形中的位置、形状无关
30 60 2 87.5%. P ( A) 602
2 2
y
y>x
x
小结：对于复杂的实际问题, 解题的关键是要建立概率模型, 找出随机事件与所有基本事件 相对应的几何区域,把问题转化 为几何问题,利用几何模型概率 公式求解.
我们可以大量重复进行向长方形中随机撒一粒芝麻的试 验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在长方形内的 芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)， 从而求出区域A的面积的近似值．
P(芝麻落在A内)=区域A的面积/长方形的面积.
说明： 1.这种模拟是利用古典概型的思想，用几何的方式 来估计概率。 2.概率计算抽象出数学模型——几何概型
子洲中学高一数学备课组
模拟方法
模拟的方法被广泛应用在现实中，下面我们来通过实 例来看看模拟的基本思想
面积估计：
如何估计不规则土地的面积？
试验1： 求规则图形的面积
如图1所示，向该图形撒100粒芝麻，这些芝麻 均匀地落在长方体内，如果落在区域B中的芝麻 数为20粒，那么B的面积约是整个长方形面积的 20%．
P ( A) 构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
1.几何概型中事件A的概率是否与构成事件A的区域形状有关？ 提示：无关.从概率公式上看，事件A的概率只与 它的几何度量（长度、面积或体积）成正比，与 其位置和形状无关. 2.在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)=0，则A一定为不可能事件吗？ 提示：不一定.如果随机事件A所在的区域是一个 单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则 它出现的概率为0，显然它不是不可能事件.源自试验2：求不规则图形的面积
3.3模拟方法-概率的应用 课件(北师大版必修3)
1.下列概率模型中，是几何概型的有（
）
①从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到1的概率；②
从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到绝对值不大于1
的数的概率；③从区间［-10，10］内任取出一个整数，求取 到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形 内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率. （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.某人午觉醒来发现自己的表停了，他打开收音机想听电台的 整点报时，则他等待的时间不超过10分钟的概率是（ ）
1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 12 72 60 6 【解析】选A.在1小时内，等待的时间不超过10分钟，应在距
整点10分钟内打开收音机.∴ P 10 1 60 6
在区域为∠BAD内部任一位置，易得
∠BAC=75°,∠BAD=30°,故“BM<1”的概率为
2 答案： 5
30 2 . 75 5
3.（5分）在给定区域内任取一点， 规则如算法框图所示，则能输出数 对（x,y）的概率是_______.
【解析】由题意知输出数对（x,y）的概率为满足 x 2 y 2 1 2 的区域与 - 1 x 1 表示的区域的面积之比，如图所示，则 - 1 y 1
线OC分布在阴影区域内，由几何概型的概率
计算公式得P= 30 1 . 90 3 1 答案： 3
5.设有一个正方形网格，其边长为6 cm，现用直径等于2 cm
的硬币掷到此网格上，则硬币落下后与格线有交点的概率是
_________.
【解析】在一个小正方形内作一边长为4 cm的正方形（中心同
小正方形中心），则当硬币中心落在这个边长为4 cm
几何概型概率
几何概型概率（实用版）目录1.几何概型概率的定义与性质2.几何概型概率的计算方法3.几何概型概率的应用举例正文一、几何概型概率的定义与性质几何概型概率是概率论中的一种概率类型，它是研究随机现象在几何空间中的分布规律。
几何概型概率具有以下性质：1.有限性：试验结果的数量是有限的。
2.等可能性：每个试验结果发生的可能性相等。
二、几何概型概率的计算方法几何概型概率的计算方法通常使用概率公式：P(A) = 满足条件 A 的试验结果数 / 所有可能的试验结果数。
例如，从 n 个不同元素中任选 2 个进行组合，可以得到的组合数为C(n, 2)，那么组合的概率为 P(C(n, 2)) = C(n, 2) / C(n, n) = (n*(n-1)) / (2*1) = n*(n-1) / 2。
三、几何概型概率的应用举例几何概型概率在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.投针问题：在平面上随机投掷一根针，求针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率。
解答：假设针的长度为 1，投针点距离 x 轴正半轴的距离为 d，则根据三角函数的性质，有 d = 2 * sin(θ/2)。
因为针的长度为 1，所以投针点在以原点为圆心、半径为 1 的圆内。
因此，针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率为θ/2。
2.随机分割问题：将一个边长为 1 的正方形随机分割成两个三角形，求分割后两个三角形的面积比值小于等于 k 的概率。
解答：假设分割线段的长度为 x，其中一个三角形的面积为 S1 = (1-x)^2/2，另一个三角形的面积为 S2 = x^2/2。
因此，S1/S2 = (1-x)^2 / x^2 = (1-2x+x^2) / x^2 = 1 - 2x/x^2 + x^2/x^2 = 1 - 2/x + 1/x^2。
要求S1/S2 <= k，即 1 - 2/x + 1/x^2 <= k，解得 x >= 2/sqrt(k) 或x <= -2/sqrt(k)。
数学教案：模拟方法——概率的应用
§3模拟方法-—概率的应用错误!教学分析这部分是新增加的内容．介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的．随机模拟部分是本节的重点内容．几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子．本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1，但它不是必然事件．三维目标1．通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P（A）＝错误!，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．2．本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识．重点难点教学重点:理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率．教学难点:等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别．课时安排1课时错误!导入新课思路1。
复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的．那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型．思路2。
高三数学第十章第3课时好课件
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 例1 与长度、角度有关的几何概型
点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点． 若在该圆
周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 __________．
目录
【解析】
如图所示，可设 AM＝1，AN＝1，根据题意只要点 B 在优 弧 MAN 上，劣弧 AB 的长度就小于 1，故这个概率是优弧 2 MAN 的长度与圆的周长之比，即这个概率是 . 3
目录
跟踪训练
3．在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但 是如果在加工过程中气泡不暴露在表面，对产品就不会造 成影响，否则产品就会不合格．在一个棱长为 4 cm 的正方 体铸件中不小心混入一个半径为 0.1 cm 的球形气泡，在加 工这个铸件的过程中，如果将铸件去掉 0.5 cm 的厚度后产 品外皮没有麻眼(即没有露出气泡)，产品就合格，问产品合 格的概率是多少？
1 答案： 3
目录
5.
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是横坐标与纵坐标 的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， 是到原点的距离不 E 大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中 的概率为________．
解析： 如题图所示， 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含 π×12 π 边界)，区域 E 表示单位圆及其内部，因此 P＝ ＝ . 4×4 16 π 答案： 16
2 2
π 2 π 以输出的有序实数对(x，y)的概率 P＝ ＝ . 2 4
目录
考点3 与体积有关的几何概型 例3 有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为这
个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________．
《模拟方法――概率的应用》导学案设计
1主备人：李斌 审核：高一备课组 使用日期： 负责人签字:《模拟方法——概率的应用》导学案设计班级 小组 姓名 小组评价: 教师评价:学习目标：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习几何概型的必要性；2、学生通过讨论、类比，能说出古典概型和几何概型的区别和联系；3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几何概型概率公式求简单问题的概率.学习重点：几何概型的意义.学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解.【使用说明及学法指导】试验、交流、归纳等方法的综合应用.先由学生认真阅读教材，按照学习目标提出的要求，完成：“自主学习”，再去完成：“合作交流”部分，学习组长做好督导、检查。
【知识链接】古典概型概率公式学习过程：Ⅰ、自主学习情境一、甲、乙二人玩转盘游戏.如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜. 分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果；2、能否用古典概型公式求甲获胜的概率，为什么？情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少?归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？Ⅱ合作交流阅读课本P135～P136，回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？举例说明：举一个几何概型的实例.比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？Ⅲ 拓展交流阅读课本P136例1.思考：若等待时间不超过20分钟，则概率是多少？例2 如图，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm 、4cm 、6cm.某人站在3m 外向此板投镖，设镖击中线上或没有击中都不算，可重投.问：(Ⅰ)投中大圆的概率是多少？(Ⅱ)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (Ⅲ)投中大圆之外的概率是多少？（图2）（图3）（图1）2【规律方法小结】Ⅳ、自我总结:我学到了什么?我有哪些问题与老师交流?Ⅴ、达标检测1、如图，在三角形ABC 中，M 是BC 的中点.向三角形ABC 内随机投一粒米，则米粒落在三角形ABM 内的概率是多少？2、在边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边中点，将米粒随机撒在正方形中，若米粒落在下列3个图中阴影部分区域的概率分别是P1、P2、P3 .则其大小关系是________3、 在100ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放在显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？如果取5ml 水样观察呢？4、在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？Ⅵ、延伸拓广你了解祖冲之对圆周率π的计算方法吗？请讲一讲.用几何概型也可以估算π的值.如图，在正方形中有一个内切圆，向正方形内撒一把豆子，只要数出落在圆内和正方形内的豆子数.就可以估算，想一想为什么？怎样估算？Ⅶ、作业布置课本P142 A 组1、2 .ⅦI 课后反思C A B A B CD GE H C GE H B CF E。
高考数学一轮复习 第10章 概率 第3节 模拟方法—概率的应用教学案 文(含解析)北师大版-北师大版
第三节 模拟方法—概率的应用[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[常用结论] 几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (3)在一个正方形区域内任取一点的概率为0． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A ．12B ．134B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．]4．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为________．12 [在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设M ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD×h ＝16.又S四边形ABCD＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )63C ．23D ．45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.] 2．(2017·某某高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.]3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠A 内时，AM ＜AC ．又∠A ＝45°，所以∠A ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.] [规律方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14 B ．π8C ．12D ．π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.]►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】 在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A ．14B ．12C ．23D ．34A [依题意作出图像如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．(1)已知实数m ∈[0,1]，n ∈[0,2]，则关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n2＋2n ＝0有实数根的概率是( )A ．1－π4B ．π4C ．π－32D ．π2－1(2)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0－2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A ．14 B ．34 C ．13D ．23(1)A (2)B [(1)方程有实数根，即Δ＝16m 2－16(－n 2＋2n )≥0，m 2＋n 2－2n ≥0，m 2＋(n －1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.]与体积有关的几何概型1．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC＜12V S ABC 的概率是( ) A ．78 B ．34 C ．12D ．14A [当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD 内的概率为( )A ．34B ．23 C ．13D ．12D [由题图可知V F AMCD ＝13×S四边形AMCD×DF ＝14a 3，V ADF BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F AMCD内的概率为14a 312a 3＝12.][规律方法] 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34B [如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A ．710B ．58C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.]六概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1. 统计与概率是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的数学建模及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心. 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，统计与概率内容相互渗透，背景新颖．统计与统计案例以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的分析、抽象概括，作出估计、判断. 常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识．【例1】已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005 x0 2.706 3.841 6.6357.879χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.[解](1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧10×0.035＋0.025＋c ＋2b ＋a ＝1，2b ＝a ＋c ，解得b ＝0.01.因为成绩在[90,100]内的有6人， 所以n ＝60.01×10＝60.(2)由于2b ＝a ＋c ，而b ＝0.01，可得a ＋c ＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，设及格的人中，女生有x 人，则男生有x －4人，于是x ＋x －4＝48，解得x ＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：及格 不及格 总计 男 22 8 30 女 26 4 30 总计481260所以χ2＝60×22×4－8×26230×30×48×12＝1.667＜2.706，故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”．[规律方法] 独立性检验的方法 (1)构造2×2列联表； (2)计算χ2；(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．易错提示：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的临界值与求得的χ2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1－p .近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．患三高疾病 不患三高疾病总计 男630女 总计36下面的临界值表供参考：P (χ2≥x 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：患三高疾病不患三高疾病总计 男 24 6 30 女 12 18 30 总计362460在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人)．(2)根据2×2列联表，则 χ2＝60×24×18－6×12230×30×36×24＝10＞7.879.所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．常见概率模型的概率概率. 解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或对立事件的概率求解．【例2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.[规律方法] 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖．(1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．[解] (1)记“中二等奖”为事件A ．从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，故P (x ＝5)＝210＝15；事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝110.所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝310.(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)．事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (x ＝7)＝110；事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，故P (x ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A )＝110＋15＋310＝35.所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝25.统计与概率的综合应用统计和概率知识相结合命题统计概率解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计知识初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算．【例3】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数13249265日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)频数151310165(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[信息提取]看到作频率分布直方图，想到作频率分布直方图的作图规则； 看到求概率，想到利用频率分布直方图求概率的方法； 看到估计节水量，想到求使用节水龙头前后的用水量． [规X 解答] (1)如图所示．4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，6分因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.7分 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.11分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3).12分 [易错与防X] 作频率分布直方图时注意纵轴单位是“f iΔx i”，计算平均数时运算要准确，避免“会而不对”的失误．[通性通法] 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．[解] (1)A 班样本数据的平均值为15(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；B 班样本数据的平均值为15(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B 班学生每周平均上网时间为19小时． 所以B 班学生上网时间较长．(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a >b 的情况有(14,11)，(14,12)，2种，故a >b 的概率P ＝29.[大题增分专训]1．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数 段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 总计 频数b 频率 a0.25(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)X 围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)X 围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．[解] (1)由茎叶图知成绩在[50,70)X 围内的有2人，在[110,130)X 围内的有3人，∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)X 围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)X 围内的样本数为20×0.4＝8. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个，∴P (A )＝1021.2．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x (℃)101113128程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .)[解] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以P (A )＝1－410＝35，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为35. (2)由数据，求得x ＝13×(11＋13＋12)＝12，y ＝13×(25＋30＋26)＝27，∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434，所以b ＝∑3i ＝1x i y i －3x y∑3i ＝1x 2i －3x2＝977－3×12×27434－3×122＝52，a ＝27－52×12＝－3. 所以回归直线方程为y ＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ＝22，|22－23|＜2，同理当x ＝8时，y ＝17，|17－16|<2. 所以该研究得到的线性回归方程是可靠的．。
高考理科第一轮复习课件(10.6模拟方法、概率的应用)
【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率.
(2)过点C在∠ACB内作射线CD与角度有关，利用几何概型的概
率公式求解.
【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长为 (12-x)cm，其中0＜x<12，由题意x(12-x)＜32得，0＜x＜4或
8 2 8＜x<12，则可选取的长度为4+4＝8(cm)，故概率为 ＝ . 12 3
无关，即P(点M落在G1)= G1的面积 ,则称这种模型为几何概型.
G的面积
空间中 直线上 （2）几何概型中的G也可以是_______或_______的有限区域,
体积之比 长度之比 相应的概率是_________或_________.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(
3
答案：2
3
4.在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均 不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成 的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是____. 【解析】如图，区域F表示边长为4的 正方形ABCD的内部(含边界)，区域E
12 表示单位圆及其内部，因此 P＝ ＝ . 4 4 16 答案： 16
)
(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等
的.(
)
(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形.( )
（5）在区间［-1，1］内任取一个数，求取到的数是正数的概 率，该问题中的概率模型为几何概型.( )
模拟方法--概率的应用(成形的课件)
例题讲解： 例题讲解： 某人午觉醒来，发现表停了， 例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打
开收音机，想听电台报时， 开收音机，想听电台报时，求他等待的 时间不多于10分钟的概率。 10分钟的概率 时间不多于10分钟的概率。
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰 A={等待的时间不多于10分钟 等待的时间不多于10分钟} 事件A 好是打开收音机的时刻位于[50 60]时间段内 [50， 时间段内， 好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内， 因此由几何概型的求概率公式得 60-50） P（A）=（60-50）/60=1/6 “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6 等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6 10分钟
AC AC ′ AC 2 P( A) = = = = AB AB 2 2 AC 2 答：AM＜AC的概率等于 ＜ 的概率等于 2
C
A
M
C’
B
构成事件A的区域长度 结 ( )= P A 论 试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度
有一杯1升的水 其中含有1个细菌 升的水， 个细菌， 例3. 有一杯 升的水，其中含有 个细菌，用一个 小杯从这杯水中取出0.1升 小杯从这杯水中取出 升，求小杯水中含有这个 细菌的概率. 细菌的概率 分析： 分析：细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的，取得0.1 可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。 升水可作为事件的区域。
（3）符合古典概型的特点吗？ 符合古典概型的特点吗？
问题6: 有一杯1升的水， 问题6: 有一杯1升的水，其中漂浮 个微生物， 有1个微生物，用一个小杯从这杯 水中取出0.1升 水中取出0.1升，求小杯水中含有这 个微生物的概率. 个微生物的概率.
§3模拟方法—概率的应用hypo
例题讲解
例1 判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率
（1）在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中任取一个
元素 a ,则 a 3 的概率为
（2）已知点O（0，0），点M（60，0），在线段OM上任取一 点P ，则 PM 10 的概率为
（1）为古典概率模型, P（ a 3 ）=7/10 （2）为几何概率模型, P（ PM 10 ） =1/6
问题3：有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯 从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.
分微析生：物细出菌现在的这每升一水个中位的置分都布是可一以个基本事 看件作,微是生随物机出的现，位取置得可0以.1升是水1升可水作中为的任意 事一件点的. 区域.
解： “取出的0.1升水中含有这个细菌”这一事件记为A,则
解：“豆子落在圆内”记作事件A，
P( A)
圆的面积 正方形面积
落入圆的豆子数 总豆子数
a2
4a2
4
2a
答：豆子落入圆内的数量约为250 .
用模拟方法估计圆周率的值
y 1
-1
0
1
-1
基本思想: 先作出圆的外切正 方形,再向正方形中随机地撒 芝麻,数出落在圆内的芝麻数 和落在正方形中的芝麻数,用 x 芝麻落在圆内的频率来估计圆 与正方形的面积比,由此得出 π的近似值.
几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P(
A)
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型高中数学中，概率是一个重要的概念。
它用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
下面将逐个介绍这六种概率模型。
一、等可能概型：等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。
比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。
再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
二、几何概型：几何概型是指在几何空间中进行概率计算。
比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。
在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。
三、排列概型：排列概型是指在排列问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。
在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
四、组合概型：组合概型是指在组合问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。
在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
五、条件概型：条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。
比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。
在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。
六、分布概型：分布概型是指在统计分布中的概率计算。
比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。
在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。
高中数学中的概率有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
每种概率模型都有其独特的应用场景和计算方法。
熟练掌握这些概率模型，有助于我们更好地理解和应用概率论的知识，解决实际生活和工作中的问题。
模拟方法——概率的应用
• 1．计算几何概型的基本思路 • (1) 适当选择观察角度，把问题转化为几何 概型求解． • (2) 把基本事件转化为与之对应的总体区域 D. • (3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d. • (4)利用几何概型概率公式计算．
(2009· 辽宁卷)ABCD 为长方形， AB＝2， BC＝1， O 为 AB 的中点． 在 长方形 ABCD 内随机取一点， 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 4 π C. 8 π B．1－ 4 π D．1－ 8 )
结果(即基本事件)为无穷多的情况,且这无穷多个基本事件
保持这古典概型的“等可能性”.这时用大量试验的方法很 难获得一个符合要求的概率,也不能用古典概型的方法求 解.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任 何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方
格中的任何一点„„这些试验可能出现的结果都是无限多
（3）符合古典概型的特点吗？
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个 小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生
物的概率.
（1）试验中的基本事件是什么？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事 件,微生物出现位置可以是1升水中的任意 一点. （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
解析： 1 升＝1 000 毫升，记事件 A 为“取出 10 毫升种子含有这粒带 麦锈病的种子”． 10 则 P(A)＝ ＝0.01， 即取出 10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概 1 000 率为 0.01. 记事件 B 为“取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子”． 30 则 P(B)＝ ＝0.03， 即取出 30 毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为 1 000 0.03.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开
3.3模拟方法——概率的应用(导学案)
模拟方法——概率的应用（导学案）使用说明： 1．先精读教材，勾画出本节内容的基本概念，找出问题并进行标注，然后再精读教材150-152页完成本学案；2.要求独立完成预习案. 〖学习目标〗1.了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义。
2.能够运用模拟方法估计概率。
3.通过模拟实验的过程，掌握用产生随机数模拟试验的方法，并能利用这种方法估计概率。
重点与难点：几何概型的概念、公式及应用. 【预习案】相关知识古典概型的两个基本特点：（1） （2）教材助读模拟方法的基本思想1：取一个正方形，在面积为四分之一的部分画上阴影，随机地向矩形中撒一把芝麻（以数100粒为例），假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等.统计落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数，观察它们有怎样的比例关系？ 通过计算机做模拟试验,不难得出下面的结论: 落在正方形内的芝麻数内的芝麻数落在区域A反之，向如图长方形中随机撒一把芝麻，例如，散了50粒，这些芝麻均匀地落在长方形中，如果落在区域B 中的芝麻数是10 ，那么区域B 的面积近似地是整个长方形的面积的 。
2. 一般地,在向几何区域D 中随机地投一点,记事件A 为“该点落在其内部一个区域d内”,则事件A 发生的概率为:P(A)= 注:利用这个定理可以求出不规则图形的面积、 体积.预习自测1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.182．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．3.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( ) A.14 B.13 C.12 D.23【探究案】基础知识探究1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．综合应用探究AB d D小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？ （2）求晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?当堂检测1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.122.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.。
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【解析】如图，区域F表示边长为4的 正方形ABCD的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此 P＝12 ＝ .
4 4 16
答案：
16
5.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两
截的长度都大于 1 米的概率为________.
无关，即P(点M落在G1)=
G1的面积 G的面积
,则称这种模型为几何概型.
（2）几何概型中的G也可以是_空__间__中__或_直__线__上__的有限区域,
相应的概率是_体__积__之__比__或_长__度__之__比__.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等 的.( ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( )
两种不同的度量手段.
【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出, 而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.
【变式备选】设f(x)＝x2-2x-3(x∈R)，则在区间［-π，π］
上随机取一个数x，使f(x)＜0的概率为_______.
【解析】本题属于几何概型.由x2-2x-3＜0得：
-1＜x＜3.又∵x∈［-π，π］,
AB的长度 2 2
【拓展提升】
1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概
率的计算公式为 P（A）
构成事件A的区域长度
.
试验的全部结果所构成的区域长度
2.与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大
小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是
1．在区间［20,80］内随机取一实数a，则实数a属于区间
［50,75］的概率是( )
(A) 1
4
(B) 3
4
(C) 5
12
(D) 7
12
【解析】选C.由几何概型概率计算公式可知
P＝ 构成事件的区间长 ＝75－50＝ 5 . 试验全部结果的区间长 80－20 12
2．有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中 取0.1升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是( ) (A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1 【解析】选C.试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事 件的区域体积为0.1升，故所求概率为 P＝0.1＝ 1 ＝0.05.
取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该
矩形面积小于32 cm2的概率为( )
(A) 1
6
(B) 1
3
(C) 2
3
(D) 4
5
（2）在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD
与线段AB交于点D，则AD<AC的概率为______.
【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率. (2)过点C在∠ACB内作射线CD与角度有关，利用几何概型的 概率公式求解.
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形.( ) （5）在区间［-1，1］内任取一个数，求取到的数是正数的概 率，该问题中的概率模型为几何概型.( )
【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正 确. (2)错误.虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的 频率，所以结果不一定相等. (3)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. (4)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. (5)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ （5）√
2 20
3.在区间［-1,2］上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为_____.
【解析】∵在区间［-1,2］上随机取一个数x，则|x|≤1的区间
长度为2，∴|x|≤1的概率为 2 .
3
答案：2
3
4.在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均
不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成
第六节 模拟方法（几何概型）、 概率的应用
1.模拟方法 对于某些无法确切知道概率的问题,常借助_模__拟__方__法__来估计某 些随机事件发生的概率.用_模__拟__方__法__可以在短时间内完成大量 的重复试验.
2.几何概型
（1）向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在
子__区__域__G_1___G_的概率与G1的_面__积__成正比，而与G的_形__状__、_位__置__
【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长为
(12-x)cm，其中0＜x<12，由题意x(12-x)＜32得，0＜x＜4
或
8 ＝2.
12 3
8＜x<12，则可选取的长度为4+4＝8(cm)，故概率为
（2）射线CD在∠ACB内是均匀分布的，
故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果
构成的区域，在线AC段E＝A1B8上0－取4一5点＝6E7，.5
2
使AE＝AC，则
67.5＝可3 .看成事件构成的区域，
90 4
所以满3足条件的概率为
4
【互动探究】在例题(2)中“过直角顶点C在∠ACB内作一条射 线CD与线段AB交于点D”改为“在线段AB上找一点D”，则结果 如何？ 【解析】由于本题是在线段AB上找一点D，使得AD＜AC，可 先找到AD＝AC时AD的长度，则所求P概＝率AD的长度＝ 1 ＝ 2 .
8
【解析】如图，将细绳八等分，C,D分别是第一个和最后一个
等分点，则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大
于 1米.由几何概型的计算公式，两截的长度都大于 米1的概
86
8
率为 P＝ 8 ＝3 .
14
答案：3
4
考向 1 与长度、角度有关的几何概型
【典例1】(1)（2012·辽宁高考）在长为12 cm的线段AB上任
∴所求概率 答案：2
P＝ 4 ＝2 . 2
考向 2 与面积、体积有关的几何概型
【典例2】(1)（2012·北京高考）设不等式组
0 0
x y Nhomakorabea2, 2
表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于2的概率是( )
(A)