2016届高三数学综合练习

2016届高三数学（理科）综合练习（95）

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．

． 1．已知全集{}12345U =，

，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么(

)U

A B = ▲ ．

2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．

3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162， 159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．

4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．

5．若双曲线221x my +=

过点()

2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．

6．函数()

2ln 2()1

x x f x x -=

-的定义域为 ▲ ．

7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ．

8．若1tan 2α=，1

tan()3

αβ-=-，则tan(2)βα-=

▲ ． 9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公

共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．

10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，

1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为

2V ，2S ，若12

3

=V V ，则12S S 的值为 ▲ ．

11．已知函数3

()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0a

f f +>（0

a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．

12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}

n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．

13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，

，若不等式2

(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最

大值是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ． （1）求cos C 的值；

（2

）若c =，△ABC

的面积S ，求a b ，的值．

16．（本小题满分14分）

在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =

，1AA =，D 是AB 的中点．

（1）求证：1BC ∥平面1

ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且11

4

BP BB =，

求证：AP ⊥平面1

ACD ． （第7

x ← 2x n ← n

C B 1

A 1

P

D

C

B

A

17．（本小题满分14分）

某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，

则1260

()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤

时，()q x a =-a ，

b 为实常数）

． （1）求函数()q x 的表达式；

（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，

右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒

（1）若椭圆C

C 的方程；

（2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒

19．（本小题满分16分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其

中常数0λ>．设3

n

n n a b = ()n *∈N ﹒

（1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式；

（2）若1≠λ且3λ≠，设2

33

n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；

（3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围． 20．（本小题满分16分）

已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．

（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；

（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否

存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2

x m

f x f x m n +'=-+成立证明你的结论．