第九讲连续自然数解答[五竞]

第五讲连续自然数

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在数字问题中，连续自然数（包括连续偶数、连续质数）是一类特殊的数列。它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系，可以提出很多问题，是课外活动及数学竞赛中常见的题目。

从1开始的连续自然数的和=个数×（个数+1）÷2：1+2+3+…+n=n(n+1)÷2

从1开始的连续奇数的和=个数×个数：1+3+5+…+2n-1=n×n

从2开始的连续偶数的和=个数×（个数+1）：2+4+6+…+2n=n(n+1)

精典例题

例1：在1~1999这1999个数中，有多少个数与4567相加时，至少有一个数位上发生进位？

例2：三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么，符合条件的最小的三个自然数分别是多少？

例3：（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？

（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字和能被4整除？

例4：有15个同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号同学说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除。1号作了一一验证，只有编号相邻的两个同学说得不对。问：（1）说得不对的两位同学，他们编号是哪两个连续自然数。（2）如果告诉你，1号写的是五位数，请求出这个数。

例5：在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？

例6：用1到9这9个数字组成3个三位数（每个数字都要用到），每个数都是4的倍数，这三个三位数中最小的那个三位数最大是多少？

家庭作业

1.有四个学生，他们年龄是四个连续自然数，这四个数相乘得3024.这四个学生中年龄最大的是多少岁？

[分析与解]乘积是3024，则3024包含四个连续自然数的全部质因数。将3024分解质因数，再用质因数组合成连续自然数。

3024=2×2×2×2×3×3×3×7=（2×3）×7×（2×2×2）×（3×3）=6×7×8×9。

这四个学生分别是6岁，7岁，8岁和9岁，其中，年龄最大的是9岁。

2.用1、2、3、4、5、6、7七个数组成三个两位数，一个一位数，并且使这四个数的和等于100，我们要求最大的两位数尽可能小，那么其中最大的两位数是多少？

[分析与解]七个数字之和为：1+2+3+4+5+6+7=28，和的数字和为：1+0+0=1；

数字和减少：28-1=27；加法中，进位一次，数字和减少一个9，共进位：27÷9=3次。

则个位进位2，十位进位1，则十位数字的和为8，1+3+4=1+2+5，要使最大的数尽可能小，则十位最大是4，个位进位2，为：2+5+6+7=20，最大的两位数最小为42。

答：最大的两位数最小是42。

3.三个连续自然数的后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，那么这三个数的和是多少？

[分析与解]三个连续自然数，最大数与最小数的差为2，它们分别乘中间数，再相减，则差是中间数的2倍。中间数=114÷2=57；三个数的和是：57×3=171。

答：这三个数的和是171。

4.将1、2、3、4、5、6、7、8分成三个组，分别计算各组的和，已知这三个和互不相等且最大的和是最小的和的2倍。问最小的和是多少？

[分析与解]设这三组数的和，最小为A，则最大为2A，则另一组和大于A，且小于2A。所有数的和：1+2+3+……+8=36，则中间的和应大于36÷（1+1+2）=9，应于小于：36÷（1+2+2）×2=14.4，且中间的和=36-A-2A=36-3A=（12-A）×3，为3的倍数，只有12。

则最小的和=（36-12）÷3=8。

5.有若干个连续奇数1，3，5，7，9，11，13，……，擦去其中的一个奇数后，剩下的所有奇数之和为1998.那么，擦去的奇数是多少？

[分析与解]连续奇数的和=个数×个数，为完全平方数，且这个完全平方数大于并接近1998。根据完全平方数进行枚举尝试：40×40=1600小了，44×44=1936小了，45×45=2025符合；

擦去的数是：2025-1998=27。

答：擦去的奇数是27。

6.在2~2007这2006个数中与1234相加时，至少有一个数位上发生进位的数有多少个？

[分析与解]进位的情况很多，非常复杂，正难则反，可以先找出不进位的数的个数。

与1234相加，不进位的情况可以分成四步：先看0至1999：

千位→百位→十位→个位

不进：0,10~70~60~5

个数2876一共有2×8×7×6=672个数，

因为是2~2007，先去掉0和1，还有670个数不进位。

再加上2000，2001，2002，2003，2004，2005这六个数，一共有670+6=676个数不进位。

进位的数有：2006-676=1330个。

答：至少有一个数位发生进位的有1330个数。

7.有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数之和。例如30满足以上要求，30=9+10+11=6+7+8+9=4+5+6+7+8.请你在700至1000之间找出所有满足上述条件要求的数。（提示：3个连续自然数之和可被3整除，4个连续自然数之和可被2整除且商为奇数，5个连续自然数之和可被5整除）

[分析与解]等差数列和的公式求解。

三个连续自然数的和=中间数×3，这样的数是3的倍数；

四个连续自然数的和=（A+A+3）×4÷2=（2A+3）×2，2A+3为奇数，这样的数是2的倍数，商为奇数；

5个连续自然数的和=中间数×5，这样的数是5的倍数；

符合条件的数是3，2，5的公倍数，[3，2，5]=30。且为30的奇数倍。

700÷30=23……10，最小为30×25=750，30×27=810，30×29=870，30×31=930，30×33=990。