高等数学-山大全套课件
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山东大学《线性代数》课件03线性方程组
Imn 0 0 1 br1 br(nr)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
显然：A I 行最简形
1 A 2
2 3
1
1
1 0
2 1
1 3
1 0
2 1
1 3
4 7 1 r2 2r1 0 1 3
0
0
0
1 0 5 1 0 5 0 1 3 0 1 3
1,2是解向量，则 1 2也是解向量。
性质2： 是解向量，则 k也是解向量。
令 V A O
则V 构成一个向量空间。
称为方程组 的解空间。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2 ,,s , 则方程组的全 部解就是 k11 k22 kss , 这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
x2
b21xr 1
b2(nr) xn
0
真未知量
xr br1xr 1 br(nr) xn 0
xr1, xr2 ,, xn
自由未知量
x1
x2
(b11xr 1 (b21xr 1
br(nr) xn ) b2(nr) xn )
x1,
x2
,,
xr
由自由未知量
xr 1, xr 2 ,, xn 惟一确定
3 0
xx1235xx33
2 1 1 3 0 0
x3 1,
x1 5 x2 3
基础解系为 (5,3,1)T 通解为 k k(5,3,1)T
步骤： (1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得 到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
线性代数-山大全套课件
若设
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2
n
amn
x1
x
x
2
xn
那么线性方程组可以用矩阵表示为
b1
b
b2
bm
Ax b
矩阵的基本运算及性质
1. 矩阵加法与减法 A B B A (A B) C A (B C)
矩阵的加法、减法、数乘运算
矩阵的加法 矩阵的减法 矩阵的数乘
矩阵的乘法
为了用矩阵表示线性方程组，先定义矩阵的乘法： 如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，那么对于
A (aij ) mn , B (bij ) nl 定义矩阵 C (cij )ml 为A与B的乘积。记为C＝AB
n
其中 cij aik bkj ai1b1 j ai2b2 j ainbnj k 1
am1
am2
amn
a11 a12 a1n b1
a
21
a22
a2n
b2
am1
am2
amn
bm
于是对于方程组的研究将归结于对上面数表的研究。 这种数表叫做矩阵。
矩阵的定义
将m×n个数排成一个m行n列的数表
0 0 0
0 0 1
A 0 0 1, B 0 0 0 AB 0 0 0, BA 0 0 0
山东大学数学专题高等代数部分第四章第一讲PPT
y1 = 0 L y =0 其中 C ≠ 0，考虑方程组 p ，若p < k，因上述方程组有n个未知数，少于n个方程， x k +1 = 0 L xn = 0
0 L k 0LL 故它必有非零解(x1 , ,x 0 , , , 0)T . 0 L k 0LL 由已知条件f(x1 , ,x 0 , , , 0)=0,即
第四章： 第四章：二次型
本章主要介绍二次型的标准形，正定二 本章主要介绍二次型的标准形， 次型的特征。以及二次型的不变量等， 次型的特征。以及二次型的不变量等，会 将二次型转化为标准形。 将二次型转化为标准形。
第一讲 二次型的标准形
一 、重要公式和结论
1. 二次型： f ( X ) = ∑ aij xi x j = X ′AX , 其中
y p+1 = 0, ,y n = 0,由方程组知y1 = L = y p = 0，即Y=C-1X = 0有非零解, 这与 C ≠ 0矛盾. L 故p ≥ k,下面我们证明p ≤ n-k,否则p>n-k，考虑方程组 y p+1 = 0 L yn = 0 x k +1 = 0 L xn = 0 5.
-1
设λ为A+B的任一特征值,则λ -(a1 + b1 )是A+B-(a1 + b1 )I的特征值，故 λ -(a1 + b1 ) ≥ 0 即 λ ≥ a1 + b1，特别 λ1 ≥ a1 + b1 同理可证 λn ≤ a n + b n 6. AX是 0,f(β f(X)= X′AX是不定二次型，存在α, 使f(α)> 0,f(β)< 0. β β 0,且u,v线 证明：存在与α, 线性相关的u,v使f(u)= f(v)= 0,且u,v线性无关. u,v使
同济版高等数学8-7 山大老师课件
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,
故当 y y0 ， x x0 时， 有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 所以z f (1,1) 6 为极大值. 4
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组
f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
第七节
极值与最值
一、二元函数极值的定义
定义： 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 ( x , y )：若满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称 函 数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极小 值；
2
确定的函数 z f ( x , y ) 的极值
解
将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知,
驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, 将 P (1,1) 代入原方程,
故当 y y0 ， x x0 时， 有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 所以z f (1,1) 6 为极大值. 4
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组
f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
第七节
极值与最值
一、二元函数极值的定义
定义： 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 ( x , y )：若满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称 函 数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极小 值；
2
确定的函数 z f ( x , y ) 的极值
解
将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知,
驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, 将 P (1,1) 代入原方程,
【山医大大一高数课件】1.3函数的连续性
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
二、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x 0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 则称 , 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
lim 数的增量y 也趋向于零,即x 0 y 0
x 0
或
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
四、复合函数的连续性
定理3
若 lim ( x ) a , 函数 f ( u)在点a连续,
x x0 x x0
则有 lim f [( x )] f (a ) f [ lim ( x )].
x x0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
二、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x 0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 则称 , 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
lim 数的增量y 也趋向于零,即x 0 y 0
x 0
或
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
四、复合函数的连续性
定理3
若 lim ( x ) a , 函数 f ( u)在点a连续,
x x0 x x0
则有 lim f [( x )] f (a ) f [ lim ( x )].
x x0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
山东大学数学专题高等代数部分第五章第一讲PPT
（因
V
）本题结论成立.
jr
3. 设 A1,A2 ,L ,Am是线性空间V的m个异于零的线性变换，证明：V中存在一组基x1 L xn使
Ai(xj)≠ 0，i = 1,L ,m j = 1,L ,n
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：令Vi Ai1(0)，Ai 0，则Vi是V的真子空间.故存在向量x1 V 使x1 Vi ,1 i m,
2. 设V1,L ,Vm是n维线性空间V的真子空间.证明：V中必有向量u不在所有这m个子空间中， (即 V1∪V2∪L ∪Vm ≠ V) 证明： 对m用归纳法证明本题.
m 1显然成立，设m 1时结论成立，证明m时结论也成立，存在 V1,L ,Vm1，若 Vm得证. 否则 Vm，必存在 Vm，我们证明存在正整数k使k Vi , 对所有的i 1,L , m成立. 首先注意k Vm ,否则得 Vm矛盾，要证明此断言成立,只要证明存在正整数k使
易证AW是V的子空间.AW＝L( A1, A2,L , A1L , As ) Ai 0，
故 AW＝L( A1L , As )，只要证明A1L , As线性无关即可.
s
s
s
s
s
设 ki Ai 0,即 A kii 0,于是 kii A1(0), 又 kii W , 故 kii W0,
dimV dimV1 dimV2 特别若1L r ,r+1L n是V的一组基，V1＝L(1L r ),V2 L(r+1L n ), 则 V V1 V2 (以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V
山东大学高等数学课件2-7,8
正方形金属薄片，因受 , 边长由 热 x0变到x0 x , 此时面积改变了多少？
解：正方形边长与面积的函数关系为 S x2 当边长增量为x时，面积增量为
x 0 x x0
S ( x0 x) x 2 x0 x x
2 2 0
2
函数的增量由两部分构成：
1、等式右边第一项， x的线性式，是函数增量 的主要部分。
微分形式的不变性
4、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以 得到函数的导数。
dy 求：dy, . 例3： y cos 2 x dx dy d (cos 2 2 x ) 2 cos 2 xd (cos 2 x )
2
2 cos 2 x sin2 xd(2 x )
2 cos 2 x ( sin2 x ) 2 dx 2 sin4 xdx
dy 2 sin4 x . dx
14
例4 y sin(2 x 1), 求 dy.
解 把2x+1看成中间变量u ，则
dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d (2 x 1)
1 d arc cot x dx . 2 1 x
11
2.函数的和、差、积、商的微分法则
函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则
u v u v ,
Cu CuC是常数，
d u v du dv ,
d Cu CduC 是 常 数，
a
x
a ln a ,
x
e
山大内部教材高等数学
山大内部教材高等数学高等数学（内部教材）第一章：导数与微分一、导数的概念与性质在数学中，导数是描述函数变化率的重要工具。
导数可以通过公式或几何解释来定义。
通过导数，我们可以研究函数的增减性、极值和曲线的凹凸性等性质。
二、导数的计算方法1. 基本导数公式基本导数公式包括常数函数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。
通过这些公式，我们可以计算各种函数的导数。
2. 导数运算法则导数运算法则包括加减法法则、乘法法则、除法法则、复合函数求导法则等。
这些法则可以帮助我们简化导数的计算过程。
三、微分的概念与应用1. 微分的定义微分是导数的一个重要应用，它可以用来描述函数在某一点附近的近似变化量。
微分可以通过导数来计算，并与函数的线性逼近有密切关系。
2. 微分的应用微分在实际问题中有广泛的应用，例如求解极值问题、优化问题、曲线的切线和法线等。
微分还可以用来描述物体的运动、函数的变化趋势等。
第二章：积分与反常积分一、定积分的概念与性质定积分是对函数在一定区间上的积累效应的描述。
定积分可以看作是将曲线下的面积加以量化。
通过定积分，我们可以研究函数的整体变化情况。
二、定积分的计算方法1. 基本积分公式基本积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。
这些公式可以帮助我们计算各种函数的定积分。
2. 积分运算法则积分运算法则包括线性性质、分部积分法、换元积分法、定积分的可加性等。
这些法则可以简化定积分的计算过程。
三、反常积分的概念与收敛性反常积分是针对无界函数或在某些点不连续的函数的积分概念。
反常积分也具有收敛性和发散性，通过研究函数的性质和变化趋势，可以确定反常积分是否存在。
四、反常积分的计算和应用通过适当的变换和处理，可以将一些常见的反常积分转化为定积分来计算。
反常积分在概率统计、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
第三章：级数与幂级数一、级数的概念与性质级数是由一系列数相加所得到的序列。
山东大学《高等数学》课件-第2章导数与微分
其极限值即为函数f x在点x0处的导数
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00
高等数学课件详细
导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自高等数学教材的第五章——多元函数微分学。
本章主要内容包括多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
具体教学内容如下：1. 多元函数的求导法则：主要包括偏导数的定义及其求导法则，如四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
2. 隐函数求导：主要讲解如何利用偏导数求解隐函数的导数，包括直接求解和间接求解两种方法。
3. 泰勒公式：介绍泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，重点讲解如何利用泰勒公式展开多元函数。
4. 多元函数的极值问题：包括极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法。
二、教学目标1. 理解并掌握多元函数的求导法则，能够熟练运用各种法则求解多元函数的导数。
2. 学会隐函数求导的方法，能够独立求解复杂的隐函数导数问题。
3. 掌握泰勒公式的应用，能够利用泰勒公式展开多元函数并进行简化。
4. 理解多元函数极值的概念，学会使用极值判定方法和求解方法解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数求导、泰勒公式的应用以及多元函数极值的求解。
2. 教学重点：多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、签字笔、直尺、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引入多元函数的求导问题。
2. 讲解多元函数的求导法则：通过示例，讲解四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
3. 隐函数求导方法讲解：以具体例子为例，讲解直接求解和间接求解两种方法。
4. 泰勒公式的介绍与应用：讲解泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，通过示例让学生掌握泰勒公式的运用。
5. 多元函数极值问题的讲解：介绍极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法，并通过实例进行分析。
6. 随堂练习：布置具有代表性的题目，让学生现场解答，检验学习效果。
六、板书设计1. 多元函数的求导法则：四则法则、链式法则、反函数求导法则。
高等数学课件
微积分在力学中的应用： 解决力学问题，如牛顿第 二定律、能量守恒等
微积分在电学中的应用： 解决电学问题，如电场强 度、电势等
微积分在热力学中的应用： 解决热力学问题，如热传 导、热对流等
微积分在光学中的应用： 解决光学问题，如折射率、 反射率等
微积分在声学中的应用： 解决声学问题，如声速、 声压等
微积分在材料科学中的应 用：解决材料科学问题， 如应力、应变等
傅里叶变换与拉 普拉斯变换的关 系：傅里叶变换 是拉普拉斯变换 的特殊情况，当 s=jω时，傅里 叶变换等于拉普 拉斯变换
傅里叶变换与拉 普拉斯变换的应 用：信号处理、 控制系统分析、 图像处理等领域
05
高等数学解题方法
代数法与因式分解法
代数法：通过代数运算求解问题的方法， 包括解方程、解不等式等
导数与微分
导数：函数在某一点的切线斜率 微分：函数在某一点的增量 导数与微分的关系：导数是微分的极限 导数的计算方法：极限法、导数公式、导数表等 微分的计算方法：微分公式、微分表等 导数与微分的应用：求极限、求导数、求微分等
不定积分与定积分
不定积分：求导数的逆运算，用于求解微分方程 定积分：求函数在某一区间上的面积，用于求解物理问题 积分公式：牛顿-莱布尼茨公式，用于求解不定积分 积分技巧：换元法、分部积分法、积分表等，用于求解定积分
高等数学课件完整版
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02
高等数学基础知识
04
高等数学解题方法
06
高等数学概述 高等数学核心内容 高等数学实际应用案例
01
添加章节标题
02
高等数学概述
高等数学的定义
高等数学 山东科技大学ppt课件
第二页，编辑于星期五：十三点 三十分。
p＝6553（1＋e）
把e和 p解出，得到
所以e和 满足方程
127 第四页，编辑于星期五：十三点 三十分。 e 0.0096 第三页，编辑于星期五：十三点 三十分。 13233 ＝6680（1－e）
（当 ＝ ）. －∞<t<+∞
（设当一直＝线离）极.＝点O的p6距6离8为0×0.9904＝6616公里.
第二章疑难解答
例1 直线的极坐标方程
设一直线离极点O的距离为 ，p从O到这直线的垂线
与极轴作成的角为θ，从图2.5可以看出，这 直线上的点的特征是
ρ cos(θ- )＝ p
这就是直线的极坐标方程.
第一页，编辑于星期五：十三点 三十分。
例2 地球卫星和宇宙飞船的运行轨道是圆锥曲线.一宇宙飞船
的运行轨道，近地点高度为175公里，远地点高度为302公里.
求这轨道的参数e，
p
解 这轨道应是以地心为焦点的椭圆，椭圆上点离焦 点最远的距离是302＋6378＝6680公里（6378公里是地 球半径），最近的距离是175＋6378
＝6553公里.
p
从公式（3）看出，最远距离等于 1 e （当 ＝0），
最近距离等于
p 1 e
（当＝）.所以e和 p满足方程
p＝6680（1－e）
x x lt 一宇宙飞船的运行轨道，近地点高度0为175公里，远地点高度为302公里.
－∞<t<+∞ 从公式（3）看出，最远距离等于
y y mt 与极轴作成的角为θ，从图2. 0
第三页，编辑于星期五：十三点 三十分。
这式子最初由匀速直线运动得出，但匀速直线运动只能得 出半条直线，t的变化范围是0≤t<+∞，如果把t的变化范围扩 大到－∞<t<+∞，就能得出整条直线.可见用参数方程时应该 注意参数的变化范围.
山东大学数学专题高等代数部分第四章第二讲PPT
设λ是B的任一特征值，X 是B属于λ的特征向量，λ , X 的分量皆为实数， 则有 X ′ABX + X ′BAX = X ′CX ，即X ′ABX + ( BX )′ AX = X ′CX , 于是 X ′Aλ X + λ X ′AX = X ′CX , A, C正定,则 X ′AX > 0, X ′CX > 0， 因此 2λ X ′AX = X ′CX > 0, λ > 0，B的所有特征值为正，即 B是正定矩阵.
λ − λn
即λ1 L λn是 λ A − B ＝0的根，故 λ A − B 的根都大于0. 若A = B，显然 λ A − B 的所有根等于1，这是因为
λ A − B ＝ λ A − A = (λ − 1) A = (λ − 1) n A . A ≠ 0，(λ − 1) n＝0 ⇔ λ A − B ＝0,即λ＝1
A,B都 3. 设A,B都是正定矩阵 , 证明 ： A - B ＝ 0 的根 都 大于 0 ，且 λA - B ＝ 0 的所 有 根等 于1 的 充 要条 件是 A = B λ λ1 −1 证： A正定,则存在可逆矩阵C使 C ′AC = I，令B1 = C ′BC , 则T B1T = O λn 其中T 是正交矩阵，λi是B1的特征值，B正定,故 B1正定. λ1 于是 λi > 0，令CT = P，则P′AP = I，P′BP = O = B2 , λn λ − λ1 我们有P′(λ A − B ) P = λ P′AP − P′BP = λ I − B2 = O ， λ − λn λ − λ1 O ＝0， λ A − B ＝0 ⇔ P′(λ A − B) P ＝0，即
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
线性代数-山大全套课件-知识归纳整理
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奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称,如图. 1-2所示.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
函数中有分式,要求分母不能为零 函数中根式,要求负数不能开偶次方 函数中有对数式,要求真数必须大于零 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集
例1 求下列函数的定义域
1 (1) y x 2; 2 4 x
是定义在区间(-,+)内的一个函数.当
x 0时f ( x) x ;当x<0时,f(x)= -x.它的图形如图 1-1 所示.
在不同的区间内用不同的式子 来表示的函数称为分段函数，即 用几个式子合在一起表示一个函 数.
y x ( 3, 3)
2
y
x
(4, 2)
求分段函数的函数值时，应将 自变量的值代入相应取值范围的 表示进行计算.
(3) 因为-1 x+1 1,所以-3 x+1 3,即-4 x 2. 3 又因为x+1 0, 所以x 1,因此函数的定义域为 1, 2 .
3.函数与函数值的记号
通常,y是x的函数,记为y = f(x),但若同一问题中,需要讨论几个 不同的函数,就要使用不同的函数记号,例如,F(x),(x),y(x), ......
(a)奇函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x 2 1 x)
=ln
( x 2 1 x)( x 2 1 x) x 1 x
2
ln
1 x2 1 x
=ln( x2 1 x)1 ln( x 2 1 x) f ( x) 所以f(x)=ln( x 2 1 x)为奇函数.
2.函数的单调性
如果函数y f ( x)在区间(a,b)内随着x的增大而增大(或减少), 即对于(a,b)内任意两x1及x2 ,当x1 x2时, 有f ( x1 ) f ( x2 )(或f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数f ( x)在区间(a,b)内单调增加(或单调减少).在定义 域内单调增加或单调减少的函数,统称单调函数,其中(a,b)叫作函 数f(x)的单调增加(或单调减少)区间,也称单调区间.
4. 函数的表示方法
表示函数的方法,最常用的有以下三种:
(1) 公式法 如y = x a ,y =sinx等;
(2) 表格法 如对数表,三角函数等; (3) 图像法 用图像表示函数;
有时会遇到一个函数在自变量不同的取值范围内用不同的式子 来表示.
例如,函数f(x)=
x , x0 x , x0
x 1 (2) y lg ; x2
x 1 (3) y arcsin x 1. 3
解(1) 因为4-x2 0, 所以x 2.又因为x 2 0, 所以x 2, 因此函数定义域为(-2,2) (2,+). x -1 (2) 因为 > 0,所以x > 2或x < 1,所以函数定义域为(-,1) x-2 (2,+)
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) . | x - 2| 例2 若f(x)= , 求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1 |-4| |-2| |a-2| 解 f (2)=0,f (-2)= 4, f (0)= 2, f(a)= , -1 1 a+1 |a +b-2| f(a +b)= . a +b+1
第一章 函数、极限与连续第一节 函数 第二节 数列极其极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限的运算法则 第六节 两个重要的极限 第七节 无穷小的比较 第八节 初等函数的连续性与间断性 第九节 初等函数的连续性 第十节 数学实验一 Mathmatica入门和求一元 函数的极限
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义
定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M 叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0 有定义.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
函数中有分式,要求分母不能为零 函数中根式,要求负数不能开偶次方 函数中有对数式,要求真数必须大于零 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集
例1 求下列函数的定义域
1 (1) y x 2; 2 4 x
是定义在区间(-,+)内的一个函数.当
x 0时f ( x) x ;当x<0时,f(x)= -x.它的图形如图 1-1 所示.
在不同的区间内用不同的式子 来表示的函数称为分段函数，即 用几个式子合在一起表示一个函 数.
y x ( 3, 3)
2
y
x
(4, 2)
求分段函数的函数值时，应将 自变量的值代入相应取值范围的 表示进行计算.
(3) 因为-1 x+1 1,所以-3 x+1 3,即-4 x 2. 3 又因为x+1 0, 所以x 1,因此函数的定义域为 1, 2 .
3.函数与函数值的记号
通常,y是x的函数,记为y = f(x),但若同一问题中,需要讨论几个 不同的函数,就要使用不同的函数记号,例如,F(x),(x),y(x), ......
(a)奇函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x 2 1 x)
=ln
( x 2 1 x)( x 2 1 x) x 1 x
2
ln
1 x2 1 x
=ln( x2 1 x)1 ln( x 2 1 x) f ( x) 所以f(x)=ln( x 2 1 x)为奇函数.
2.函数的单调性
如果函数y f ( x)在区间(a,b)内随着x的增大而增大(或减少), 即对于(a,b)内任意两x1及x2 ,当x1 x2时, 有f ( x1 ) f ( x2 )(或f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数f ( x)在区间(a,b)内单调增加(或单调减少).在定义 域内单调增加或单调减少的函数,统称单调函数,其中(a,b)叫作函 数f(x)的单调增加(或单调减少)区间,也称单调区间.
4. 函数的表示方法
表示函数的方法,最常用的有以下三种:
(1) 公式法 如y = x a ,y =sinx等;
(2) 表格法 如对数表,三角函数等; (3) 图像法 用图像表示函数;
有时会遇到一个函数在自变量不同的取值范围内用不同的式子 来表示.
例如,函数f(x)=
x , x0 x , x0
x 1 (2) y lg ; x2
x 1 (3) y arcsin x 1. 3
解(1) 因为4-x2 0, 所以x 2.又因为x 2 0, 所以x 2, 因此函数定义域为(-2,2) (2,+). x -1 (2) 因为 > 0,所以x > 2或x < 1,所以函数定义域为(-,1) x-2 (2,+)
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) . | x - 2| 例2 若f(x)= , 求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1 |-4| |-2| |a-2| 解 f (2)=0,f (-2)= 4, f (0)= 2, f(a)= , -1 1 a+1 |a +b-2| f(a +b)= . a +b+1
第一章 函数、极限与连续第一节 函数 第二节 数列极其极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限的运算法则 第六节 两个重要的极限 第七节 无穷小的比较 第八节 初等函数的连续性与间断性 第九节 初等函数的连续性 第十节 数学实验一 Mathmatica入门和求一元 函数的极限
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义
定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M 叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0 有定义.