人教新课标版数学高二 选修2-1练习 2.1.2曲线与方程求曲线的方程

课时跟踪检测（六）曲线与方程求曲线的方程

层级一学业水平达标

1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()

A．在直线l上，但不在曲线C上

B．在直线l上，也在曲线C上

C．不在直线l上，也不在曲线C上

D．不在直线l上，但在曲线C上

解析：选B将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．

2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称

解析：选C同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．

3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()

解析：选B方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．

4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP ＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()

A．y2＝8x B．y2＝－8x

C．y2＝4x D．y2＝－4x

解析：选B设点P的坐标为(x，y)，则MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，

∴|MN|＝4，|MP|＝(x＋2)2＋y2，MN·NP＝4(x－2)．

根据已知条件得4 (x＋2)2＋y2＝4(2－x)．

整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．

5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是 y －0

4－0＝x ＋12＋1

，即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5．

设C 的坐标为(x ，y )， 则1

2×5×|4x －3y ＋4|5

＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．

6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________． 解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0． ∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝0，2(y ＋2)2

＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝－2.

从而方程表示的图形是一个点(2，－2)． 答案：一个点(2，－2)

7．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM ·PN ＝12，则点P 的轨迹方程为________________．

解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－2－x ，－y )，PN ＝(2－x ，－y )．

于是PM ·

PN ＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12， 化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程． 答案：x 2＋y 2＝16

8．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________．

解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20

＋1．

又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝0＋x 02，

y ＝y 0

－12，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2x ，

y 0＝2y ＋1，

将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1，即y ＝4x 2

．

答案：y ＝4x 2

9．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP ·MN ＝4，求动点P 的轨迹方程．

解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN ＝(x ，－2y )， 故OP ·MN ＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2， 依题意知，x 2－2y 2＝4，

因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4．

10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹．

解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ＝OM ＋ON ，

即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y 2

．

又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 2

0＝4，

即x 2＋

y 2

4

＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 2

16

＝1(y ≠0)．

层级二 应试能力达标

1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 解析：选A 设动点P (x ，y )，

则由|PA|＝3|PO|，得

(x－1)2＋(y＋2)2＝3x2＋y2．

化简，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A．

2．下列四组方程表示同一条曲线的是()

A．y2＝x与y＝x

B．y＝lg x2与y＝2lg x

C．

y＋1

x－2

＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)

D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2

解析：选D根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D．

3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()

解析：选A将y＝－4－x2平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A．

4．已知0≤α≤2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为() A．

π

3B．

5π

3C．

π

3或

5π

3D．

π

3或

π

6

解析：选C将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中，得(cos α－2)2＋sin2α＝3，解得cos α＝

1

2

．又0≤α<2π，所以α＝π

3

或5π

3

．故选C．

5．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．

解析：方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成

⎩⎪

⎨

⎪⎧x>1，

y≥1，

x＋y＝3

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧x>1，

y<1，

x－y＝1

或