人教新课标版数学高二选修2-1练习 2.1.2曲线与方程求曲线的方程

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人教B版高中数学选修2-1第二章 2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线性质课件(共18张PPT)

法二：设所求直线上任一点 P ( x , y )
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2
所以 x +2y －7 = 0
例2 已知A（15,0）点P是圆 x2 y 2 9 上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程。
设动点M x, y , Px0 , y0
（B）|x－y|=1
（C）|x|－|y|=±1
（D）|x±y|=1
2．方程(x+a)(y－a)=0表示的曲线是
（A
）
（A）两条相交的直线
（B）一个点(－a，a)
（C）与方程组
xa 0
y
a
0
的图形相同
（D）第一、三象限的角平分线
3.已知一条曲线是与两个定点 O ( 0 , 0 ),
A ( 3 , 0 ) 的距离之比为 1 的点的轨迹，求这
复习：曲线的方程，方程的曲线的概念
解析几何主要讨论以下两个问题:
(1) 根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2) 通过曲线的方程,研究曲线的性质.
例设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等
于1，求点M的轨迹方程并用方程研究轨迹(曲线)
的性质.
解: 求动点M的轨迹方程：
(1)建立直角坐标系.取已知的两条互相垂直的直线为坐标
4.解：设点M (x, y), A(x0 ,0), B(0, y0 ) M为AB的中点
x
y
x0 2 y0 2
整理得
x0 y0
2x 2y
l1与l2互相垂直，且kl1
-4 x0 2 , kl2
y0 4 2
l1 l2
1,即
-4 x0 2
y0 4 2

人教版数学高二选修2-1第二章同步检测2-1-2曲线方程的求法

2.1 第2课时曲线方程的求法一、选择题1．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3 C.π3或5π3D.π3或π6[答案] C[解析] 将P 坐标代入曲线方程为(cos α－2)2＋sin 2α＝3， ∴cos 2α－4cos α＋4＋sin 2α＝3. ∴cos α＝12.∵0≤α≤2π，∴α＝π3或53π.2．下面所给的方程是图中曲线的方程的是( )[答案] D[解析] A 不是，因为x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)的坐标适合方程x 2＋y 2＝1，但不在所给曲线上；B 不是，理由同上，如点(－1,1)适合x 2－y 2＝0，但不在所给曲线上；C 不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1，－1)在所给曲线上，但不适合方程lg x ＋lg y ＝1.3．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝0[答案] A[解析] 设AC 、BD 交于点O∵A 、C 分别为(3，－1)(2，－3) ∴O 为(52，－2)，设B 为(x ，y )∴D 为(5－x ，－4－y )∵D 在3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0 即3x －y －20＝0，选A.4．设动点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上任意一点，点A (0，－1)，点M 使得PM →＝2MA →，则M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13[答案] A[解析] 设M 为(x ，y ) ∵PM →＝2MA →A (0，－1)， ∴P (3x,3y ＋2)∵P 为y ＝2x 2＋1上一点， ∴3y ＋2＝2×9x 2＋1＝18x 2＋1 ∴y ＝6x 2－13.故选A.5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π [答案] B[解析] 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，∴(x －2)2＋y 2＝4，可知圆面积为4π. 6．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )的交点个数是( ) A ．4个 B ．2个C ．0个D ．与a 的取值有关 [答案] B [解析] 曲线y ＝－1－x 2即x 2＋y 2＝1(y ≤0)，曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )，即y ＝－|ax |，两曲线如图所示，必有2个交点．故选B.7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .8．一条线段长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且AM →＝4MB →，则M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8[答案] B[解析] 设M (x ，y )，因为AM →＝4MB →，且A 、B 分别在x 轴和y 轴上，则A (5x,0)，B (0，54y )，又(AB )＝10所以(5x 2)＋(54y )2＝100，即16x 2＋y 2＝64，故选B. 9．已知log 2x ，log 2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由2log 2y ＝log 2x ＋2得 log 2y 2＝log 2x ＋log 24＝log 24x ，即y 2＝4x ，又x >0，y >0，故选A.10．(2010·湖北理，9)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22] C. [1－22，3]D ．[1－2，3][答案] C [解析] 由y ＝3－4x －x 2可知其图像为圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时b ＝3，当直线与圆相切时|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，故当1－22≤b ≤3时直线和半圆有交点．二、填空题11．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为______．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ， ∵∠APB ＝60°，OB ＝2，∴x 2＋y 2＝4.12．与点(2，－3)的连线的倾斜角为2π3的点M 的轨迹方程是________．[答案]3x ＋y ＋3－23＝0(x ≠2)13．如图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] y 2＝4x[解析] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →得，(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .14．直线x －3y ＝0和直线3x －y ＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________． [答案] x ＋y ＝0或x －y ＝0[解析] 设P (x ，y )为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P 到直线x －3y ＝0和3x －y ＝0的距离相等，∴|x －3y |12＋32＝|3x －y |32＋12，∴|x －3y |＝|3x －y |，∴x －3y ＝±(3x －y )， ∴x －3y ＝3x －y 或x －3y ＝－(3x －y )， ∴x ＋y ＝0或x －y ＝0∴所求角平分线方程为x ＋y ＝0或x －y ＝0. 三、解答题15．设△ABC 的两顶点分别是B (1,1)、C (3,6)，求第三个顶点A 的轨迹方程，使|AB |＝|BC |. [解析] 设A (x ，y )为轨迹上任一点，那么 (x －1)2＋(y －1)2＝(3－1)2＋(6－1)2，整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29.因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)点)．16．如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4.过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点)，使得PM ＝2PN .试建立平面直角坐标系，求动点P 的轨迹方程．[解析] 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知PM ＝2PN ， ∴PM 2＝2PN 2.又∵两圆的半径均为1，所以PO 21－1＝2(PO 22－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.17．已知两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于0的等差数列．则点P 的轨迹是什么曲线？[解析] 设P (x ，y )由M (－1,0)，N (1,0)得 PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y ) PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(1＋x )＋2(1－x )]2(1－x )－2(1＋x )<0即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3x >0∴点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点．)18．已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ⊥PM ，PM →＝－32MQ →.当点P 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )，P (0，b )，Q (a,0)，其中a >0，则PM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵PM →＝－32MQ →，即(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴y －b ＝－32(－y )，b ＝－y2.∴PH →＝(－3，y 2)，PM →＝(x ，32y )．∵PH ⊥PM .∴PH →·PM →＝0，即－3x ＋y 2·3y 2＝0，y 2＝4x .∴动点M 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．。

人教版高二数学选修2-1_求曲线的方程(一)_ppt

y
B
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
11
小结（1）如何求曲线的方程？如何求曲线的方程？（2）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？哪步重要，哪步应注意什么？
12
13
则 |MA|=|MB| |
2 2
需要尝试、需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2
坐标化坐标化 ∴ ( x + 1) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( y − 7) 2 2 2 2 ∴ x + 2x +1+ y + 2y +1 = x − 6x + 9 + y −14y + 49 化简
课本例
7
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l , 2.一条曲线也在的上方,它上面的每的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适建立适当的坐标系,求这条曲线的方程当的坐标系求这条曲线的方程. 求这条曲线的方程
(1)
由上可知，动点的轨迹上的任一点的坐标都满足方程由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程）；容易证明（1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨）；容易证明，以方程（）迹上。所以，方程（）就是动点M的轨迹方程的轨迹方程。迹上。所以，方程（1）就是动点的轨迹方程。 9
──需要掌握一般性的方法 ──需要掌握一般性的方法
4
1.设、问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 - - 、求线段 AB 的垂直平分线的方程我们的目标就是要找与y的关系式的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与的关系式

高中数学(人教版)选修2-1课件：2.1.2 求曲线的方程

5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。
求曲线的方程的一般步骤
步骤
(1)建系设点 (2)找等量 (3)列方程 (4)化简 (5)检验
方法
建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)} 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0 化方程f(x，y)＝0为最简形式(运算要合理，准确) 检验所求的方程中有无特殊点情况
求曲线方程的一般步骤：
（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
1.建系设点－－建立适当的直角坐标系，用有序实数对
（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）
2.寻找条件－－写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0； 4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；
若曲线C与二元方程f（x，y）=0满足
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是
曲线上的点
则称：方程是曲线C的方程；曲线C是方程的曲线.
例1、设A、B两点的坐标是（－1，－1）和（2，3），求线段AB的垂直平分线的方程？
y
B
oБайду номын сангаас
A
x
思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件？ ②几何条件能否转化为代数方程？用什么方法进行转化？ ③用新方法求得的直线方程，是否已符合要求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关系,必须满足什么条件?)
发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。

人教版选修2-1第二章2.1.2求曲线方程(共21张PPT)

(8 2 y1 ) 2 ( y1 1)2
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
15:22
【一道来自课本的题目】一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，求动圆圆心的轨迹方程.
15:22
再见！
15:22
11．如图，三棱柱，平面（1）求证：（2）求二面角平面
中，平面；的余弦值. ，与相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9，所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝．所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
15:22
【温馨提示】求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可直接写出所求方程用】已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝， 2
x1＝2x，即 y1＝2y.
15:22
【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．

人教新课标版数学高二-人教B版选修2-1练习由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．方程x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所确定的曲线是( ) A ．y 轴或圆 B ．两点(0,1)与(0，－1) C ．y 轴或直线y ＝±1 D ．以上都不正确Bx 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0，即x ＝0且x 2＋y 2－1＝0，表示两点(0,1)与(0，－1)．2．已知点M (－2,0)、N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4) A由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M 、N 、P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故答案为A.3．到A (2，－3)和B (4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．x －y －1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0 C设点的坐标为(x ，y )，根据题意有 (x －2)2＋(y ＋3)2＝(x －4)2＋(y ＋1)2化简得x ＋y －1＝0.4．方程y ＝|x |x2表示的曲线是( )By ＝|x |x 2＝1|x |，故选B.5．已知A (－1,0)、B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 B|AB |＝5，∴C 到AB 的距离d ＝2S5＝4，设C (x ，y )、AB 所在的直线为4x －3y ＋4＝0，∴4＝|4x －3y ＋4|42＋32，∴|4x －3y ＋4|＝20，∴4x －3y ＋4＝20或4x －3y ＋4＝－20 故4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0，故选B.6．方程(x ＋1)·(y －1)＝1(x ≠0)表示的曲线关于____对称( ) A ．直线y ＝x B ．直线y ＝x ＋2 C ．直线y ＝－x D ．(－1 ，－1)中心B曲线(x ＋1)(y －1)＝1，即y －1＝1x ＋1可看作曲线y ＝1x 沿x 轴向左平移1个单位，沿y轴向上平移1个单位得到的，而y ＝1x 关于y ＝x 对称，故曲线y －1＝1x ＋1关于直线y ＝x ＋2对称．二、填空题7．已知l 1是过原点O 且与向量a ＝(2，－λ)垂直的直线，l 2是过定点A (0,2)且与向量b ＝(－1，λ2)平行的直线，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是________，轨迹是________________．x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0) 以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)由题意，l 1可为过原点除x 轴的任意直线，l 2可为过A (0,2)除y 轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a ，b 共线，方向相反，l 1与a 垂直，l 2与b 平行，则l 1与l 2相互垂直，交点P 的轨迹是以(0,1)为圆心，OA 为直径的圆周除去原点O 的部分．8．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是____________．2x ＋3y ＋1＝0P (2,3)在a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，代入得2a 1＋3b 1＋1＝0，同理2a 2＋3b 2＋1＝0.故(a 1，b 1)，(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q 1，Q 2两点的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.三、解答题9．求(x －1)2＋(y －1)2＝1关于直线x ＋y ＝0的对称曲线的方程．设所求对称曲线上任一点的坐标为(x ，y )，它关于x ＋y ＝0的对称点为(x 1，y 1)，根据对称定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝0y 1－yx 1－x ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－yy 1＝－x ，∵(x 1，y 1)在(x －1)2＋(y －1)2＝1上 ∴(x 1－1)2＋(y 1－1)2＝1， ∴有(－y －1)2＋(－x －1)2＝1，即(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.一、选择题1．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是( )DA 不是，因为x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)的坐标适合方程x 2＋y 2＝1，但不在所给曲线上；B 不是，理由同上，如点(－1,1)适合x 2－y 2＝0，但不在所给曲线上；C 不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1,1)在所给曲线上，但不适合方程lg x ＋lg y ＝1.2．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( )A ．3x －y －20＝0(x ≠13)B ．3x －y －10＝0(x ≠13)C ．3x －y －12＝0(x ≠13)D ．3x －y －9＝0(x ≠13)A设AC 、BD 交于点O ， ∵A 、C 分别为(3，－1)(2，－3)， ∴O 为(52，－2)，设B 为(x ，y )，∴D 为(5－x ，－4－y )． ∵D 在3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0，由于A 、B 、C 、D 不共线则应除去与直线AC 的交点(13,19)，故所求轨迹方程为3x －y －20＝0(x ≠13)．3．设动点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上任意一点，点A (0，－1)，点M 使得PM →＝2MA →，则M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13A设M 为(x ，y )，∵PM →＝2MA →， A (0，－1)， ∴P (3x,3y ＋2)．∵P 为y ＝2x 2＋1上一点， ∴3y ＋2＝2×9x 2＋1＝18x 2＋1， ∴y ＝6x 2－13.故选A.4．动点在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D. (x ＋32)2＋y 2＝1C设P 点为(x ，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋32＝x ，y 1＋02＝y .∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .∵(x 1，y 1)在x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题5．已知△ABC 为圆x 2＋y 2＝4的一个内接三角形，且AB ︰BC ︰CA ＝1︰3︰5，则BC 中点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝1 如图建系设BC 中点为M (x ，y )，连接OB 、OC 、OM ，由于∠BOC ＝120°，所以∠OBC ＝30°，所以OM ＝12OB ＝1.于是M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.6．直线y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3(k 为常数，且k ≠0)交点的轨迹方程是________． y ＝5(x ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y ＝2kx －3，kx ＝y －1代入y ＝2kx －3，得y ＝5. 故交点的轨迹方程是y ＝5(x ≠0)．三、解答题7．已知线段AB 与CD 互相垂直且平分，两线段相交于点O ，|AB |＝8，|CD |＝4，动点M 满足|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |，求动点M 的轨迹方程．以O 为原点，分别以线段AB ，CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (－4,0)，B (4,0)，C (0,2)，D (0，－2)．设M (x ，y )为轨迹上任一点，则 |MA |＝(x ＋4)2＋y 2， |MB |＝(x －4)2＋y 2， |MC |＝x 2＋(y －2)2， |MD |＝x 2＋(y ＋2)2.∵|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |， ∴[(x ＋4)2＋y 2][(x －4)2＋y 2]＝ [x 2＋(y －2)2][x 2＋(y ＋2)2]. 化简，得x 2－y 2－6＝0. ∴所求轨迹方程为x 2－y 2－6＝0.8．点P 与两定点A (－4,0)、B (4,0)的连线所成的角∠APB ＝45°，求动点P 的轨迹方程． (1)当k AP 或k PB 不存在时，动点P 为(4,8)，(－4,8)，(－4，－8)，(4，－8)． (2)当k AP 、k PB 存在时，设P (x ，y )若y >0，有y x －4－yx ＋41＋y 2x 2－16＝1，化简得x 2＋y 2－8y －16＝0(y >0)，检验知(4,8)和(－4,8)均适合上式．若y <0，有y x ＋4－y x －41＋y2x 2－16＝1，化简得x 2＋y 2＋8y －16＝0(y <0)，检验知(－4，－8)和(4，－8)均适合上式，综上知所求轨迹方程为x 2＋y 2－8y －16＝0(y >0)或x 2＋y 2＋8y －16＝0(y <0)．。

人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习2.1.2求曲线的方程

2.1.2求曲线的方程一、基础过关1．若点M到两坐标轴的距离的积为2 012，则点M的轨迹方程是() A．xy＝2 012 B．xy＝－2 012C．xy＝±2 012 D．xy＝±2 012 (x>0)2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝4 (x>0)C．y＝－4－x2D．y＝－4－x2(0<x<2)3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2 (x≠±2) D．x2＋y2＝4 (x≠±2)4．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．y＝1－x2D．x2＋y2＝9(x≠0)5．已知A(2,5)、B(3，－1)，则线段AB的方程是__________________．6．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M的两坐标轴距离相等”的__________条件．7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于() A．πB．4πC．8πD．9π二、能力提升8．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是() A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝09．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．10．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．11．A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．12．已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．三、探究与拓展13.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．答案1．C 2.D 3.D4．B5．6x＋y－17＝0 (2≤x≤3)6．充分不必要7.B8．B9．y＝4x210．解设点C的坐标为(x，y)，∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点．∴AB＝AC.又∵AB＝(4＋2)2＋22＝210，∴AC＝(x－4)2＋(y－2)2＝210.∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线．∴x≠－2且x≠10.∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40 (x≠－2且x≠10)．11．解建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)．∵点P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)、C(x－2,0)．∵点P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，即x2＋(y－3)2＝22＋y2.化简得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．12．解设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1. 故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 13．解以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝2|PN |2.又∵两圆的半径均为1，∴|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为 (x －6)2＋y 2＝33 (或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)．。

人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

人教新课标版数学高二选修2-1练习2-1-2求曲线的方程

2.1.2求曲线的方程双基达标(限时20分钟)1．已知动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是()．A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3解析设P(x，y)，由题设得（x－1）2＋（y＋2）2＝3，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝9.答案 B2．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是()．A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点解析注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉．答案 B3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()．A．πB．4πC．8πD．9π解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.答案 B4．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是________．解析由截距式可得直线为x 5＋y 5＝1⇒线段方程为x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)．答案 x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)5．已知A (－1，0)，B (2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是________．解析由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB | ＝（2＋1）2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16 ＝0或4x －3y ＋24＝0.答案 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝06．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于－13.求动点P 的轨迹方程．解由点B 与点A (－1，1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4，且x ≠±1.故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．综合提高（限时25分钟）7．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是 ( )．A ．y ＝0(－1≤x ≤1)B ．y ＝0(x ≥1)C ．y ＝0(x ≤－1)D ．y ＝0(|x |≥1)解析由题意可知，|AB |＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)．答案 C8．在△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是 ( )．A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析易知BC 中点D 即为原点O ，所以|OA |＝3，所以点A 的轨迹是以原点为圆心，以 3为半径的圆，又因△ABC 中，A 、B 、C 三点不共线，所以y ≠0.所以选C.答案 C9．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．解析可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝010．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 02＋1.①设线段AB 中点为M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 0－12. 即x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入①式，得2y ＋1＝2·(2x )2＋1.即y ＝4x 2为线段AB 中点的轨迹方程．答案 y ＝4x 211．已知B (－3，0)、C (3，0)，△ABC 中BC 边上的高的长为3，求△ABC 的垂心H 的轨迹方程．解设H 的坐标为(x ，y )，则A 点的坐标为(x ，3)或(x ，－3)，当A 的坐标为(x ，3)时， ∵AB ⊥CH ，∴k AB ·k CH ＝－1，即3－0x －（－3）·y －0x －3＝－1(x ≠±3)．化简，整理，得y ＝－13x 2＋3(x ≠±3)． x ＝±3，y ＝0时也适合此方程，所以方程y ＝－13x 2＋3为所求轨迹方程．当A 的坐标为(x ，－3)时，同理可得H 的轨迹方程为y ＝13x 2－3. 总之，△ABC 的垂心H 的轨迹方程是y ＝－13x 2＋3或y ＝13x 2－3. 12．(创新拓展)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，动点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差大于零的等差数列，求动点P 的轨迹方程．解设动点P (x ，y )，由已知M (－1，0)，N (1，0)．∴MP →＝(x ＋1，y )，MN →＝(2，0)，∴NM →＝(－2，0)，PM →＝(－x －1，－y )，PN →＝(1－x ，－y )．∴NP →＝(x －1，y )．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝(－x －1)(1－x )＋(－y )2＝x 2＋y 2－1. NM →·NP →＝－2(x －1)．依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧2（x 2＋y 2－1）＝2（x ＋1）－2（x －1）－2（x －1）－2（x ＋1）>0 化简得：x 2＋y 2＝3且x <0.所以动点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝3(x <0)．。

人教新课标版数学高二数学选修2-1练习2-1-1、2-1-2求曲线的方程

技能演练基础强化1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上解析由题设知曲线C与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确．答案 B2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是()A．y＝x与y＝x2B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0C．y＝1x与xy＝1D．y＝lg x2与y＝2lg x解析易知A、B、D中两方程不是同一曲线，C中两方程表示的是同一曲线，故应选C.答案 C3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线解析由方程⇔x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)．答案 B4．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析依题意有(cos α－2)2＋sin 2α＝3，化简得cos α＝12，又0≤α≤2π，∴α＝π3或5π3，故选C.答案 C5．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( ) A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)和(－1，－1)D ．(0,0)解析⎩⎨⎧x －y ＝0，xy ＝1，⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.∴直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)．答案 C6．方程y ＝|x |x2表示的曲线是( )解析y＝|x|x2＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，(x>0)，－1x，(x<0)，且y>0，还是偶函数，故应选D.答案 D能力提升7．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是________．解析依题意，知a2＝a(－a)＋2a＋k，∴k＝2a2－2a＝2(a－12)2－12.∵a∈R，∴k≥－12.答案：[－12，＋∞)8．如下图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．解析依题意可知M (0，y )，N (x ，－y )， ∴OP→＝(x ，y )，MN →＝(x ，－2y )．由OP →·MN →＝4，得x 2－2y 2＝4，这就是点P 的轨迹方程．答案：x 2－2y 2＝49．已知定点A ，B ，且AB ＝2a (a >0)，如果动点P 到点A 的距离和到点B 的距离之比为21，求点P 的轨迹方程．解以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－a,0)，B(a,0)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得|PA||PB|＝2，即(x＋a)2＋y2 (x－a)2＋y2＝2.化简整理得3x2－10ax＋3y2＋3a2＝0.即(x－53a)2＋y2＝169a2(a>0)为所求的轨迹方程．10．如图所示，从曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．解设P 点的坐标为(x ，y )，曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，因为点P 是线段QN 的中点，所以N 的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线l 上， ∴2x －x 0＋2y －y 0＝2即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2. ① 又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －y 0－y 02x －x 0－x 0＝1即x 0－y 0＝x －y . ② 由①②得 x 0＝12(3x ＋y －2)y 0＝12(x ＋3y －2)．又因为点Q 在曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1 化简整理得 (x －12)2－(y －12)2＝12.故线段QN 的中点P 的轨迹方程为 (x －12)2－(y －12)2＝12.品味高考11．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则P 点的轨迹方程为________．解析 ∵OP →·OA →＝4， ∴(x ，y )·(1,2)＝4. ∴x ＋2y ＝4. 答案 x ＋2y －4＝012．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |，得 (x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简整理，得x2－4x＋y2＝0即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆．故S＝4π.答案 B。

人教A版选修2-1第二章第2课时同步练习§2.1.2求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是．7．已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则点P 的轨迹方程为：．８．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．9．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．10．已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．11．设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．12．如图，已知F(1，O)，直线l ：x = -1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．13．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．14．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。

人教版数学高二选修2-1课堂练习 2-1-2 求曲线的方程

03课堂效果落实1.若点M 到两坐标轴的距离的积为2014，则点M 的轨迹方程是( )A ．xy ＝2014B ．xy ＝－2014C ．xy ＝±2014D ．xy ＝±2014(x >0)解析：设M (x ，y )，则由题意得|x |·|y |＝2014，所以xy ＝±2014. 答案：C2. 已知A (－1,0)、B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A. 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B. 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C. 4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D. 4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5. 设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B3．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( )A ．f (x －3，y )＝0B ．f (y ＋3，x )＝0C ．f (y －3，x ＋3)＝0D ．f (y ＋3，x －3)＝0解析：在对称曲线上任选一点(x ，y )，则它关于x －y －3＝0对称的点为(y ＋3，x －3)．故所求曲线方程为f (y ＋3，x －3)＝0.答案：D4．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，连接点P 与点Q (0，－1)，则线段PQ 中点的轨迹方程是________．解析：设P (x 1，y 1)，线段PQ 中点为M (x ，y )，因为Q (0，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 12，y ＝y 1－12.所以⎩⎨⎧ x 1＝2x ，y 1＝2y ＋1.因为P (x 1，y 1)在曲线y ＝2x 2＋1上，所以y 1＝2x 21＋1，所以2y ＋1＝2(2x )2＋1，化简为y ＝4x 2，所以线段PQ 中点的轨迹方程为y ＝4x 2.答案：y ＝4x 25．求平面内到点F (1,0)的距离和它到直线x ＝－1的距离相等的点的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上任意一点，到直线的距离为d ，则点M 属于集合P ＝{M ||MF |＝d }．由两点间的距离及点到直线的距离公式得(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，两边平方整理得y 2＝4x 为所求．。

人教版高中数学选修2-1习题课件：2.1-2.1.2 求曲线的方程

3．坐标法与解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y) 所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫做坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．
温馨提示 1．“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”这一步的证明是必要的．从教材内容看，这一步不做要求，可以省略，但在完成第4步化简时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要做适当说明． 2．在实际求曲线方程时，这五步可以简化为三大步，即：建系，设点；据条件列方程；化简．
解：设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为 (x1，y1)，由重心坐标公式得
xy＝＝0－－22＋3＋30y＋1，x1，所以xy11＝＝33yx＋＋22.，代入y1＝3x21－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1，所以y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．
归纳升华代入法的定义及解题步骤
1．定义．若动点P依赖于已知曲线上的动点M，借助于动点M求动点P的轨迹方程的方法通常叫代入法，又叫相关点法(动点M叫相关动点)． 2．求解步骤． (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)； (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系xy00＝＝gf（（xx，，yy）），；
(3)代入相关动点的轨迹方程； (4)化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设二找三代四整理”． 3．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，求轨迹方程只要求出方程即可，求轨迹是先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
解析：由题意知P的轨迹为以(1，－2)为圆心，半径为3的圆，故其方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝9

高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1.2 求曲线的方程课件

(1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
第十页，编辑于星期一：点十五分。
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系);
第二十三页，编辑于星期一：点十五分。
3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第二步、第五步；
4.注意:(1)建系要适当； (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的
完备性和纯粹性).
第二十四页，编辑于星期一：点十五分。
P {M MA MB }.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2.
上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0.
①
第七页，编辑于星期一：点十五分。
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的
离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距
离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这
条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
第十二页，编辑于星期一：点十五分。
解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,
2.1.2 求曲线的方程
第一页，编辑于星期一：点十五分。
“天宫一号”运行要经过两次轨道控制，从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道.

高二数学选修2-1_求曲线的方程(二)_ppt

y
解法二(定义法)：
P 由解法一知，∠OPC=900 1 O MC 故动点P在以M( ,0) 为圆心， 2 OC为直径的圆上 Q x
从而所求的圆的方程为
1 1 2 x y , 0 x≤1 2 4
2
28
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
2
4
• 3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
19
解析： ∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M. ∴|MP|＝|MO|. ∴点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线， 4－0 ∵kOP＝＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， 2－0 1 ∴点 M 的轨迹方程是 y－2＝－ (x－1)， 2 即 x＋2y－5＝0.
设OQ为过O的一条弦， P(x,y)为OQ的中点，
1 则CP⊥OQ，OC的中点为M( ,0) 2 1 1 而|PM|= |OC|= 从而所求的方程为 2 2
1 1 2 x y . 0 x≤1 2 4
2
27
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
(∵m≠3,m≠-1)
25
2.设单位圆x2+y2=1,A1,A2是此圆的一条直径的两个端点, P1P2是与 A1A2垂直的弦,求直线 A1P1与A2P2的交点 P的轨迹方程. x2-y2=1(y≠0)
解 : 如图, 将A1 ,A2取在x轴上,则P P2 x轴. 1 设P ( x, y ), P ( x0 , y0 ), 则P2 ( x0 , y0 ).又A1 ( 1, 0),P1 1 x (1) y0 y 0 x (1) (1) 0 0 A2 (1, 0), 有 . A1 y 0 x 1 (2) y0 0 x0 1 y2 x2 1 2 2 由(1) (2)得 2 .又 x0 y0 1, y0 2 x0 1

人教新课标版数学高二选修2-1课时作业 2-1-2求曲线的方程

课时作业9求曲线的方程时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若点M到两坐标轴的距离的积为2008，则点M的轨迹方程是()A．xy＝2008B．xy＝－2008C．xy＝±2008 D．xy＝±2008(x>0)答案：C2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是()A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：设P点的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋2)2＝3x2＋y2，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.答案：A3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得：x 2＋y 2＝4.∵M 、N 、P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案：D4．已知A 、B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA 与MB 的斜率之积为－49，则M 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 21009＝1 B .x 225＋y 21009＝1(x ≠±5) C .x 22254＋y 225＝1 D .x 22254＋y 225＝1(x ≠0) 解析：设M 的坐标为(x ，y)，则k MA ＝y ＋5x ，k MB ＝y －5x. 由题知y ＋5x ·y －5x ＝－49(x ≠0)，即x 22254＋y 225＝1(x ≠0)．答案：D5．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM→＝4MB →，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8解析：设M(x ，y)、A(a,0)、B(0，b)，则a 2＋b 2＝100.∵AM→＝4MB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 1＋4，y ＝4b 1＋4，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5x ，b ＝54y.代入a 2＋b 2＝100，得25x 2＋2516y 2＝100，即16x 2＋y 2＝64. 答案：B6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y)，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：∵A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y) ∴AB →＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y 2)． ∵AB→⊥BC →， ∴AB →·BC→＝0. 得2·x －y 2·y 2＝0得y 2＝8x. 答案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．解析：圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －1)2＋(y －2)2＝48．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M 与两定点A 、B 构成直角三角形，则直角顶点M 的轨迹方程是________．图1解析：设点M 的坐标为(x ，y)．由AM ⊥BM ，得k AM ·k BM ＝－1，即y x ＋a · y x －a＝－1，化简得x 2＋y 2＝a 2.因为M 、A 、B 三点不共线，点M 的纵坐标y ≠0，从而x ≠±a ，所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a)．答案：x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a)9．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则点Q 的轨迹方程为__________．解析：设点Q 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 1，y 1)．∵Q分线段OP为1∶2，∴OQ→＝12QP→.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x＝12x11＋12，y＝12y11＋12，即⎩⎨⎧x1＝3x，y1＝3y.∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0.把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0为所求轨迹方程．答案：2x＋4y＋1＝0三、解答题(共40分)10．(10分)已知点M到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等，求点M的轨迹方程．图2解：设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q是点M到直线y＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x2＋(y－1)2＝|y＋1|，将上式两边平方，得x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简，得y ＝14x 2.① 下面证明方程①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1＝14x 21，即x 21＋(y 1－1)2＝(y 1＋1)2，x 21＋(y 1－1)2＝|y 1＋1|，|M 1F|＝|M 1Q 1|.其中Q 1是点M 1到直线y ＝－1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点．由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示．11．(15分)已知线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|＝8， |CD|＝4，动点M 满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，分别以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x ，y)为轨迹上任意一点，则|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝(x ＋4)2＋y 2，|MB|＝(x －4)2＋y 2，|MC|＝x 2＋(y －2)2，|MD|＝x 2＋(y ＋2)2.所以[(x ＋4)2＋y 2][(x －4)2＋y 2]＝[x 2＋(y －2)2][x 2＋(y ＋2)2]. 化简，得y 2－x 2＋6＝0.所以所求轨迹方程为y 2－x 2＋6＝0.图312．(15分)如图3所示，已知A(－3,0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB→⊥BP →，BC →＝12CP →，试求动点P 的轨迹方程．解：设P(x ，y)，B(0，y ′)，C(x ′，0)，则BC→＝(x ′，－y ′)，CP →＝(x －x ′，y)，由BC →＝12CP →，得(x ′，－y ′)＝12(x －x ′，y)，即x ′＝x 3，y ′＝－y 2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0. 又A(－3,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3y 2. 由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x －34y 2＝0，得y 2＝4x ，即为动点P 的轨迹方程．。

人教新课标版数学高二选修2-1限时练 2.1.2求曲线的方程

2.1.2 求曲线的方程一、选择题1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A ．y ＝x ，y x＝1 B ．y ＝x ，y ＝x 2C ．|y |＝|x |，y ＝xD ．|y |＝|x |，y 2＝x 22.如图所示的图象对应的方程是( )A ．|x |－y ＝0B.x |y |－1＝0 C ．x －|y |＝0D.|x |y－1＝0 3．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A.π3B.53πC.π3或53πD.π3或π64．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA ·MB ＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．106．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA ·22PB PQ ，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．y 2－x 2＝2C ．x 2－2y 2＝1D ．2x 2－y 2＝1二、填空题7．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________．8．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.9．过点P(0,1)的直线与曲线|x|－1＝1－(1－y)2相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是____________．10．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ.则动点P的轨迹C的方程是________．三、解答题11在平面直角坐标系中，已知点F(0,2)，一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．12．已知线段AB，B点的坐标为(6,0)，A点在曲线y＝x2＋3上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．13．已知A在y轴正半轴上，为定点，线段BC在x轴上滑动，已知|BC|为4，A到x轴的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．参考答案1．D [A 中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x ，除去点(0,0)；B 中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；C 中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；D 中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．故选D.]2．C [据图，当x >0，y >0时，y ＝x ；当x >0，y <0时，y ＝－x ，只有选项C 符合要求，故选C.]3．C [由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12. 又因为0≤α＜2π，所以α＝π3或α＝53π.] 4．A [设动点M (x ，y )，则(1,)MA x y =---，MB ＝(1－x ，－y ). 由MA ·MB ＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.]5．C [由已知，得AB ＝(3，－1)， BC ＝(－3，－9)，则AB ·BC ＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB ⊥BC ，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.]6．B [设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )， PQ ＝(－x,0)，PA ＝(2－x ，－y )， PB ＝(－2－x ，－y )， PA ·PB ＝x 2－2＋y 2.由PA ·PB ＝2PQ 2，得x 2－2＋y 2＝2x 2，∴所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.]7．x 2＝4y解析设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y . 8．5解析由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.9．[22，4]解析曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x ＜－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．10．y 2＝4x (x ≥0)解析设点P (x ，y )，则Q (－1，y ). 由QP ·QF ＝FP ·FQ ，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x (x ≥0)． 11解设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则|MF |－|MB |＝2，即x 2＋(y －2)2－y ＝2，整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2，所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)． 12．解设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋62，y ＝y 12得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题意知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上，所以2y ＝(2x－6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32.13．解方法一如图所示，根据题意建立平面直角坐标系，则A 点坐标为(0,3)．设△ABC 的外心为P (x ，y )，∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．∵P 也在AB 的垂直平分线上，∴|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0.方法二如图所示，所建坐标系同方法一，则A (0,3)，设△ABC 的外心为P (x ，y )，又设BC 的垂直平分线方程为x ＝t ，则点B (t ＋2,0)，AB 中点坐标为(t ＋22，32)，∴AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23(x －t ＋22)．∵P 是AB ，BC 的垂直平分线的交点，∴由⎩⎨⎧ x ＝t ，y －32＝t ＋23(x －t ＋22)，消去t 得x 2－6y ＋5＝0，∴△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.。