导数在函数零点中的应用

方程根的个数

图像法

1. 已知函数ƒ（x ）=2

-x e x

（1）求ƒ（x ）的单调区间 增),3(+∞减)3,2()2,( -∞

（2）判断关于x 的方程e x =k(x-2)(k ∈R)的解的情况

2已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=

利用单调性

1已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式)(x f ＞x 2的解集为（-1，3）。

（1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式 34)(2++-=x x x f

（2）若函数)()(x xf x g =在区间⎥⎦

⎤ ⎝⎛∞-3,a 内单调递减，求a 的取值范围 (]1,-∞- （3）当a =-1时，证明：方程12)(3-=x x f 仅有一个实数根

2、已知a ＞0，l x n x ax x f ),1(112)(2+++-=是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线

（1）求l 的方程 1+-=x y

（2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值 21=

a （3）证明：对任意的),(*N ∈=n n a 函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 的单调递减区

间的长度的取值范围（区间[]21,x x 的长度=12x x -） (]2,1

分离参数求值域

1. 已知函数=)(x f log 4)()14(R x kx x ∈++是偶函数

（1）求k 的值 2

1-=k （2）若方程0)(=-m x f 有解，求m 的取值范围 m ≥

21

2已知函数x x x f 2cos 34sin 2)(2-⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=π （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间 )(125,12;Z k k k T ∈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+-=πππ

ππ （2）若关于x 的方程⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡∈=-2,42)(ππx m x f 在上有解，求实数m 的取值范围 []1,0∈m

练习。 1已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+

（I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t （II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩

存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-

2．已知函数a x

a x g nx x f ()(,1)(==＞0），设)()()(x g x f x F += （1）求)(x F 在(]3,0内的最小值 11+na

（2）是否存在实数m ，使得函数1)1

2(

2-++=m x a g y 的图像与)1(2x f y +=的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由 )21,2

1(n m ∈ 3．已知函数),(2131)(23R b R a a bx x a x x f ∈∈+++-=，其导函数)(/x f 的图像过原点 （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图像在3=x 处的切线方程 083=--y x

（2）若存在x ＜0，使得)(/

x f =-9，求a 的最大值 -7

（3）当a ＞0时，求函数)(x f 的零点个数 三个

4．已知函数x e x x x f ⋅+-=)33()(2的定义域为[]t t (,2-＞-2）设n t f m f ==-)(,)2(

（1）若函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数，试确定t 的取值范围 -2＜t ≤0

（2）求证：n ＞m

（3）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程)(0)(R m m x f ∈=-在[]t ,2-上有三个不相等的实数根？请求出相应实数m 的取值范围 t ≥2且N ∈t )3,(e

5．已知函数)(1)(a x n x x f +-=在1=x 处取得极值

（1）求实数a 的值 a =0

(2)若关于x 的方程b x x x f +=+22)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2

1上有且只有一个实根，求实数b 的取值范围 2-1n2≤b ＜4

5+1n2或b=2 （3）证明：nn

n n 11311211+++ ＞n n n n n n ,()1(232N ∈+--≥2）（参考数据：6931.021≈n ） 08山东（21）（本小题满分12分） 已知函数1()ln(1),(1)

n f x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数. （Ⅰ）当n =2时，求函数f (x )的极值；

（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n , 当x ≥2时，有f (x )≤x -1.

答案 综上所述，n =2时，

当a ＞0时，f (x )在1x =+处取得极小值，极小值为2(1(1ln ).2a f a +=+ 当a ≤0时，f (x )无极值.

（07山东）设函数)1ln()(2++=x b x x f ,其中b ≠0。

（Ⅰ）当b>21时，判断函数)(x f 在定义域上的单调性； ()1,-+∞上单调递增。

（Ⅱ）求函数)(x f 的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式3211)11ln(

n n n ->+都成立。