积分变换公式

(e−jnω0t
−
ejnω0t)
f̂(ω)为f(t)的频谱密度函数，模|f̂(ω)|称为振幅频谱，简称频谱，φ(ω) = argf̂(ω)为相位频谱。
1/6
δ函数
(i)
δ(t − t0) = {0+∞
t = t0 t ≠ t0
+∞
(ii) ∫ δ(t − t0) dt = 1
−∞
δ函数的筛选性质
b
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
3/6
卷积定理
ℱ[f(t) ∗ g(t)] = f̂(ω)ĝ(ω)
ℱ[f(t)g(t)]
=
1 2π
f̂(ω)
∗
ĝ(ω)
ℱ[f1(t) ∗ f2(t) ∗ ⋯ ∗ fn(t)] = f̂1(ω)f̂2(ω) ⋯ f̂n(ω)
ℱ[f1(t)f2(t)
=
2 jω
ℱ[e−βtH(t)]
=
β
1 + jω
δ(at)
=
1 |a|
δ(t),
a≠0
δ(t2
−
a2)
=
1 2|a|
[δ(t
+
a)
−
δ(t
−
a)],
a≠0
傅立叶变换性质
线性性质 ℱ[αf(t) + βg(t)] = αf̂(ω) + βĝ(ω) ℱ−1[αf̂(ω) + βĝ(ω)] = αf(t) + βg(t)
⋯
fn(t)]
=
1 (2π)n−1
f̂1(ω)
∗
f̂2(ω)
∗
⋯
∗
f̂n(ω)
δ(t − a) ∗ f(t) = f(t − a) δ(t − a) ∗ δ(t − b) = δ(t − a − b)
+∞
F(s) = ℒ[f(t)] = ∫ f(t)e−stdt
0
ℒ[f(t)] = ℱ[f(t)e−βtH(t)]
−∞
f(t)
=
1 2π
+∞
∫ f̂
−∞
(ω)ejωtdω
狄里克雷积分公式
+∞ sin ω
π
∫
0
ω dω = 2
ℱ [e−βt2 ]
=
π √β
e−ω4β2
对称公式 f(t) ↔ f̂(ω) f̂(t) ↔ 2πf(−ω)
欧拉公式
cosnω0t
=
1 2
(ejnω0t
+
e−jnω0t)
sinnω0t
=
j 2
n
∑
k=1
Res[F(s)est,
sk]
5/6
常见拉氏变换：
ℒ[H(t)]
=
1 s
Re(s) > 0
ℒ−1
1 [s]
=
1
t>0
eat
↔
s
1 −
a
Re(s) > ������ ;
e−at
↔
s
1 +
a
Re(s) > −������ ;
ejωt
↔
s
1 − jω
Re(s) > 0
a
s
sinat ↔ s2 + a2 Re(s) > 0; ������������������������������ ↔ s2 + a2 Re(s) > 0
ℒ−1[aF(s) + βG(s)] = αf(t) + βg(t)
2.相似性质
1s ℒ[f(at)] = a F (a) a > 0
3.微分性质
导数的象函数
ℒ[f ′(t)] = sF(s) − f(0)
ℒ[f (n)(t)] = snF(s) − sn−1f(0) − sn−2f ′(0) − ⋯ − f (n−1)(0)
ℱ[tnf(t)]
=
dn dωn
f̂(ω)
ℱ[tnf(t)]
=
jn
dn dωn
f̂(ω)
积分性质
ℱ
t
[∫ f(τ)dτ]
−∞
=
1 jω
f̂(ω)
+
πf̂(0)δ(ω)
卷积
+∞
f(t) ∗ g(t) = ∫ f(τ)g(τ − t)dτ
−∞
f∗g=g∗f
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
∫
s
ds ∫
s
ds ⋯ ∫
s
F(s)ds
位移性质
ℒ[eatf(t)] = F(s − a) a 是复常数
延迟性质
ℒ[f(t − τ)H(t − τ)] = e−sτF(s)
卷积与卷积定理
ℒ[f1(t) ∗ f2(t) ∗ ⋯ ∗ fn(t)] = F1(s)F2(s) ⋯ Fn(s)
初值定理与终值定理 初值定理
位移性质
ℱ[f(t − t0)] = e−jωt0f̂(ω) ℱ−1[f̂(ω − a)] = ejatf(t)
相似性质
ℱ[f(at)]
=
1 |a|
f̂
ω (a)
微分性质
ℱ[f’(t)] = jωf̂(ω) ℱ[f (n)(t)] = (jω)nf̂(ω)
ℱ[−jtf(t)]
=
d dω
f̂(ω)
(−j)n
拉普拉斯变换
逆变换 反演积分公式
f(t)
=
ℒ−1[F(s)]
=
1 2πj
β+j∞
∫ F(s)estds
β−j∞
(t > 0)
周期函数的拉普拉斯变换：f(t)在[0, +∞)内是以 T 为周期的函数
F(s)
=
1
1 − e−sT
T
∫ f(t)e−stdt
0
拉普拉斯变换性质
1.线性性质 ℒ[αf(t) + βg(t)] = αF(s) + βG(s);
积分变换
傅立叶级数
f(t)
=
a0 2
+
∞
∑(ancos
nπt l
+
bn
sin
nπt l)
n=1
1l
a0
=
l
∫ f(τ)dτ
−l
1l
nπτ
an
=
l
∫ f(τ)cos
−l
l
dτ
1l
nπτ
bn
=
l
∫ f(τ)sin
−l
l
dτ
n = 1,2, …
傅立叶积分公式
+∞
f̂(ω) = ∫ f(τ)e−jωτ dτ
f(0+) = lim f(t) = lim sF(s)
t→0+
s→∞
终值定理
f(+∞) = lim f(t) = lim sF(s) Re(s) > −������ 解析
t→+∞
s→0
幂函数的拉式变换
ℒ[tm]
=
Γ(m + 1) sm+1
Re(s) > 0
若当定理 s = β + Rej(θ+π2) 0 ≤ θ ≤ π
−∞
+∞
ℱ[δ(t − t0)] = ∫ δ(t − t0) e−jωtdt = e−jωt0
−∞
ℱ−1[δ(ω
−
ω0)]
=
1 2π
+∞
∫ δ(ω
−∞
−
ω0)ejωt
dω
=
1 2π
ejω0t
{δ(t
− t0) δ(t)
↔ ↔
e−jωt0 1
{ejω0t1↔↔22ππδδ(ω(ω−) ω0)
|ℱ[δ(t − t0)]| = |e−jωt0| = 1
在区域Re(s)
≤
β内， lim
s→∞
F(s)
=
0，函数F(s)est沿半圆CR的积分存在
lim ∫ F(s)estds
R→∞ CR
展开定理
F(s)在复平面 s 上有限个奇点在Re(s) < ������内，设s → ∞时，F(s) → 0
f(t)
=
1 2πj
β+j∞
∫ F(s)
β−j∞
estds
=
∫ δ(t − t0) φ(t)dt = φ(t0),
a
a < t0 < ������
δ函数性质 1.δ(t)是偶函数。 2.α(t)在t0邻域内连续
α(t)δ(t − t0) = α(t0)δ(t − t0)
海维赛函数
H(t) = {10,,
t≥0 t<0
H′(t) = δ(t)
+∞
∫ δ(n)(t − t0)φ(t)dt = (−1)nφ(n)(t0)
象函数的导数
L[−tf(t)] = F′(s)
(−1)nℒ[tnf(t)] = F(n)(s)
4.积分性质
积分的象函数
t
1
ℒ
[∫
0
f(t)dt]
=
s
F(s)
tt
t
1
ℒ
[∫
0
dt
∫
0
dt
⋯
∫
0
f(tБайду номын сангаасdt]
=
sn
F(s)
象函数的积分
4/6
f(t)
∞
ℒ[
t
]=∫
s
F(s)ds
f(t)
∞
∞
∞
ℒ
[
tn
]
=
δ(t − a) ↔ e−at (a ≥ 0); δ(t) ↔ 1
6/6
H(t)
↔
1 jω
+
πδ(ω)
ℱ[ejat] = 2πδ(ω − a) ℱ[cosat] = π[δ(ω + a) + δ(ω − a)] ℱ[sinat] = πj[δ(ω + a) − δ(ω − a)]
sgnt
=
{−11, ,
t>0 t<0
2/6
sgnt = 2H(t) − 1
ℱ[sgnt]