解析几何求轨迹方程的常用方法讲解

解析几何求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的一般方法：

1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程

例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4

5

sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、

C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.

【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆

的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆

圆心P 的轨迹方程。

【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.

二：用直译法求轨迹方程

例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2|

||

|=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？

三：用参数法求轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。

例4．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

例5: 过抛物线px y 22

=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.

【变式】过圆O ：x 2 +y 2= 4 外一点A （4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点M 的轨迹。

四：用代入法求轨迹方程

例6. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，

，A b

y a x B )02(122

22=+轨迹方程。

例7: 如图，从双曲线1:2

2=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.

【变式】如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程

五、用交轨法求轨迹方程

例8.已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2，求A 1P 1

与A 2P 2交点M 的轨迹方程.

例9： 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线122

22=-b

y a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M

A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

六、用点差法求轨迹方程

例10. 已知椭圆12

22

=+y x ， （1）求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

课后作业

1.在ABC ∆中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A 的轨迹方程是______________.

2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 __________ .

3.已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是

_____

4.当参数m 随意变化时，则抛物线()

yx m x m =+++-2

2

211的顶点的轨迹方程为______。 5:点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50

的距离小1，则点M 的轨迹方程为________。 6:求与两定点()()

O O A 1

030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线x y 42

=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。

8.已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。

9.过原点作直线l 和抛物线642

+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

10、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，求M 点的轨迹。