数学在物理中的应用

数学在物理中的应用

前言

物理要创新，不仅仅光靠物理实验，还要有数学做为理论基础。象著名的物理学家——牛顿，谁都可能看到苹果落地，也可想到引力作用，你推导不出规律，而他可以推导出万有引力定律，正因为他有深厚的数学功底，并且会运用数学解决物理问题，而一般人没有。象著名的物理学家——爱因斯坦，由于他有高深莫测数学理论，导出了质能能方程，提出了相对论。他们既是物理学家，又是数学家。

第一章、几何与物理

一、三角形与矢量

矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而实用。在矢量的合成和分解中，我们应用平行四边形定则进行运算，其实在运算过程中，主要是运用三角形性质，解决问题。那么，三角形在矢量中，除了直角三角形外，其他任意三角形，有哪些应用？

两个三角形相似比的应用

例1如图所示，绳与杆均不计重力，所承受弹力的最大值一定，A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物P。现施拉力T将B端缓慢上拉（绳、杆均未断），在杆达到

竖直前，下列说法中正确的是

A、绳子越来越容易断

B、绳子越来越不容易断

C、杆越来越容易断

D、杆越来越不容易断

分析：OB绳子的拉、物体的重力、AB杆的弹力共点在B 点，设OB=S（变小），AO=H（定量），AB=L（定量）。滑轮大小不计，对B点受力分析，如图可知△AB O∽△PCB，得出对应边成比例，则

T/G=S/H 即 T=SG/H 变小

N/G=L/H 即 N=LG/H=恒量

可得：B答案正确。

余弦定理的应用

例2、物体受到夹角为120°的两个共点力作用，它们的大小分别为10N、20N，则物体合力的大小为多少？

分析：根据平行四边形定则，合外力平分的两个三角形，不可能是直角三角形，只能运用余弦定理求解，这两个三角形中，其中的一个角为180°-120°=60°，则有

F=︒-+60cos 2212221F F F F =21

20102201022⨯⨯⨯-+=310N

余弦定理的应用，在二十世纪80年代，使用的甲种本课本有详细论述。

正弦定理的应用

例3、如图，用两条绳子拉质量为G 的物体，平衡时，两条绳子跟竖直方向的夹角分别为1θ、2θ，求两条绳子的拉力？

分析：如图，根据平衡条件，由△AB D 得

)

sin(sin 2112θϑθ+=G T 即)

sin(sin 2112θθθ+=G T )

sin(sin 2121θθθ+=G T

即)sin(sin 212

1θθθ+=G T

三角形在物理中，还有其他的应用。不再做一一分析。

二、解析几何与物理

解析几何在中学阶段，在物理中的应用，很少看到。它究竟有没有功用，如何去开发？根据本人的理解如下。

确定物体运动的轨迹

物体运动轨道，一般都是由物理现象，物理实验观察出来，很少通过理论进行推导，例如平抛运动，我们完全可以通过数学推导，得出平抛运动的轨迹是一条抛物线。 推导：

在水平方向上有

t v x 0= ⑴

在竖直方向上有

221gt y = ⑵

⑴、⑵两式，显然是关于时间的参数方程，把时间化去得 2202x v g

y = 从这个方程中，看到它的轨迹，是一

条抛物线。通过观察和数学推导，更加加深我们对平抛运动的理解。

例1、质量数为m 、质子数为q 的原子核，在垂直于匀強磁场方向的平面上，由静止发生α衰变，变为新核的运动轨迹为222r y x =+，求α粒子运动的圆心轨迹？

分析：设新核的质量数为1m ，α粒子的质量数为αm ，根据动量守恒定律得 ααv m v m =11 ⑴

由牛顿第二定律得

对新核有

r v m q Bv 21

111= 即 r v m Bq 1

11= ⑵

对α粒子有

R v m Bev 22α

αα= 即 R v m Be α

α=2 ⑶

由电荷守恒得

e q q 21-= ⑷

由⑴、⑵、⑶、⑷联立解得 r e

e q R 22-= 由左手定则，可知α粒子与新核的运动，是一个外切圆，圆心之间的距离为r e

q r e e q r R r d 222=-+=+= 可见，α粒子运动的圆心轨迹为

222)2(r e

q y x =+ 已知轨迹方程求物理量

例2、一带电粒子，在垂直于磁场方向的平面运动，运动轨迹为4)4()3(22=-+-y x ，两坐标轴都以m 为单位，粒子运动的速率为2m/s ，在某时刻，突然撒去磁场，粒子恰好经过原点，求从撒去磁场到粒子达到原点的时间为多少？

分析：撒去磁场时，粒子以2m/s 做匀速直线运动，离开时，必于原来的圆轨道相切，圆心、原点、切点构成一个直角三角形，圆心与原点的距离为

m d 54322=+= 圆的半径为m r 2= 根据勾股定理得原点与切点的距离为

m

s 212522=-= 从撒去磁场到粒子达到原点的时间为s v s t 221== 无论粒子沿轨道顺时针（或逆时针）运动，结果一样。

三、立体几何在物理中的应用

立体几何在物理中的应用，主要是将立体几何在数学中证明与计算的空间思维能力，潜移默化到物理中来，也就是在解决问题时，将三维空间转化为二维空间，简化解决问题的方法。

例1、如图，A 、B 两质点以相同的水平速度0v 抛出，A

在竖直平面内运动，落地点为1p ，B 在光滑斜面上运动，落

地点为2p ，不计阻力，比较1p 、2p 在轴x 方向上的远近关系是

A 、1p 较远

B 、2p 较远

C 、1p 、2p 等远

D 、A 、B 都可能

分析：A 在竖直平面内运动，说明A 做平抛运动，则得 水平位移为 g h v x 201=

B 在光滑斜面上运动，设倾斜角为θ，得

沿斜面向下的加速度为 θsin g a =

B 在斜面做类似平抛运动，在沿斜面向下的方向有