第11讲：一元二次方程的特殊根(一)
人教版九年级上册数学——一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
一元二次方程根的判别式-公开课课件(1)教学提纲
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行
有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数
的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0(a0)
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ； （3） x2 4kx 2k 3。 提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0,
所以原方程无解。
（2）因为△ = b24ac=10，所以原方 程有两个不等的实根。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x50
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
因式分解法公式法对于 Nhomakorabea元二次方程 ax2bxc0(a0)一定有解
吗？
用配方法变形上述方程得到：a(x b )2 b2 c ，
2a 4a
即 (x b )2 b2 4ac 。
2a
4a2
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
第11教时一元二次方程的根与系数的关系
第11教时一元二次方程的根与系数的关系（二）
教学目标：
知识与技能目标：1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2．灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．过程与方法目标：提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
情感与态度目标：知识来源于实际，最后应用于实际．
教学重、难点与关键：
重点：一元二次方程根与系数关系的应用．
难点：某些代数式的变形．
关键：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．
教辅工具：
教学程序设计：。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax 2 +bx +c = 0根的分布情况设方程ax 2+bx +c =0(a 0)的不等两根为x ,x 且x x ，相应的二次函数为 f (x )=ax 2+bx +c =0，方程的 根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况小)都根2根x 1大)都根2,根x 1)2小0 一x 1即(根负于一负大根个正一 一大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a()0-f0 ) (0 (f大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a ()0-f0 ) (0 f综合结论（不讨论a）0 0 0)b -a2(f 0a0 0 0)b -a2(f 0a0 ) (0 f a表二：（两根与k的大小比较）表三：(根在区间上的分布)两根有且仅有一根在(m , n )内 (图象有两种情况，只画了一种)一根在 (m ,n )内，另一根在(p ,q ) 内， mn p qf (m )f (n ) 0f (p )f (q )根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ,n )外，即在区间两侧x 1m ,x 2 n ，(图形分别如下)需满 足的条件是大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0或0 00 )m )n )p )q f (m ) f (n ) 0 f (p ) f (q ) 0 0大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0f (m )f (n)0 f (m ) f (n )0 f (p )0 f (p ) f (q )f (q ) 0 分布情况两根都在(m , n )内综合结论（不讨论af (m ) f (n )2g2 f (0)(m +1) - 8mm - 1mm 3-2 2或m 3+2 2m对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1)两根有且仅有一根在(m ,n )内有以下特殊情况： 若 f(m )=0或 f (n )=0，则此时 f (m )g f (n )0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以 求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ,n )内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程的根的性质
一元二次方程的根的性质一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为给定的实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程中，我们可以发现一些根的性质，对于解方程以及理解方程的含义有着重要的帮助。
本文将从根的判别式、根的个数以及根与系数的关系等几个方面来论述一元二次方程的根的性质。
一、根的判别式在解一元二次方程时，我们可以通过判别式Δ = b² - 4ac来判断方程的根的情况。
根据判别式的值，我们可以将根的情况分为三种：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴在两个不同的点处相交，且有两个实数解。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴在同一个点相切，且有两个相等的实数解。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴没有交点，且方程没有实数解。
通过根的判别式，我们可以更好地理解一元二次方程的解的特点与性质，对解题有着重要的指导意义。
二、根的个数与系数的关系在一元二次方程中，根的个数与方程的系数之间存在着一定的关系。
根据这个关系，我们可以推导出一元二次方程根的性质。
1. 当a ≠ 0时，如果方程有两个不相等的实数根x₁和x₂，则有以下关系成立：- x₁ + x₂ = -b/a- x₁ * x₂ = c/a这意味着方程的根与系数之间具有一定的线性关系，可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。
2. 当方程有两个相等的实数根x₁=x₂时，即Δ = 0时，有以下关系成立：- x₁ + x₂ = -b/a- x₁ * x₂ = c/a这说明方程的两个根相等，也可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。
综上所述，一元二次方程的根的性质包括根的判别式、根的个数与系数的关系等。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解并解决一元二次方程相关的问题。
一元二次方程 根的两边
一元二次方程根的两边一元二次方程是数学中的重要内容，它的解即为方程的根。
在解一元二次方程时，我们需要找到方程的根，并将其分别写在方程的两边。
本文将围绕这一主题展开，详细介绍一元二次方程及其根的含义和求解方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
方程的根即为使方程成立的数值解，也可以理解为方程与x轴的交点。
我们可以通过求解一元二次方程来确定它的根，并将根的值分别写在方程两边。
我们来看一元二次方程根的定义。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果存在实数r1和r2，使得当x等于r1或r2时，方程成立，那么r1和r2就是方程的根，即方程的解。
我们可以将r1和r2分别写在方程的两边，得到以下形式：(x - r1)(x - r2) = 0这种表示方式将根的概念转化为方程的因式分解形式，有助于我们进一步研究方程的性质和求解方法。
接下来，我们将详细介绍一元二次方程的求解方法。
求解一元二次方程的常用方法有配方法、因式分解法和求根公式法。
这些方法都可以帮助我们找到方程的根，并将根的值分别写在方程两边。
首先是配方法。
通过合理的变换，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其变形为(x + 3)^2 = 0，然后解得x = -3。
将根-3分别写在方程的两边，得到以下形式：(x + 3)(x + 3) = 0其次是因式分解法。
通过因式分解，将一元二次方程表示为两个一次因式的乘积，然后求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，我们可以将其分解为(x - 5)(x + 1) = 0，然后解得x = 5和x = -1。
将根5和-1分别写在方程的两边，得到以下形式：(x - 5)(x + 1) = 0最后是求根公式法。
根据一元二次方程的求根公式，我们可以直接计算出方程的根。
一元二次方程根的判别式ppt课件
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
一元二次方程根的定义知识点
一元二次方程根的定义知识点
嘿，小伙伴们！今天咱来讲讲一元二次方程根的定义知识点呀！
你想想看哦，一元二次方程就好像是一个神秘的宝藏盒子，而根呢，就是打开这个宝藏盒子的钥匙！比如说方程x² - 5x + 6 = 0 ，它的根就是 2 和 3 呀！这就好比你找到了两把钥匙，能打开这个神秘盒子，看到里面的奇妙世界。
那到底啥是根呢？简单来说，就是让这个一元二次方程成立的那个值！你说神奇不神奇？就像是你找到了那个独一无二的密码，能让整个系统运转起来！
你再看看这个例子，x² + 2x - 3 = 0 ，它的根是 1 和 -3 呀！这不就像是你在一堆钥匙中找到了正确的那两把，打开了那扇神秘的门嘛！
一元二次方程的根可是非常重要的哦，没有根，这个方程就好像失去了灵魂！所以呀，一定要好好理解和掌握它哦！
我的观点就是：一元二次方程根的定义知识点真的超有趣，超重要，是我们探索数学世界的关键之一呀！。
第11课时：根与系数的关系
Ａ．3Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m<l B．m>－1 C．m>l D．m<－1
8．设关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若
求k的值.
9．已知关于 的一元二次方程 ．
当m＝时，两根互为相反数.
5．若x1= 是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2=.
四、反馈检测
1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________， ＝__________，(x1－x2)2＝_______.
（1）若方程有两个相等的实数根，求 的值；
（2）若方程的两实数根之积等于 ，求 的值．
作业及设计目的
必做题：必做题：15页 能力达标 1--5
选做题：一元二次方程知识点巩固
设计目的：列一元二次方程解应用题及根与系数关系定理是本节课的难点，也是重点，需要重点练习、加强。
教学反思
重视知识的连贯性，由浅入深，在旧知识上构建新知，激发学习兴趣，活跃学生的学习活动。学生自主学习与合作探究相结合，达成学教目标，解题之后重视反思
在解法中，进一步体会转化思想
教学重点及处理 方法
重点：利用根的判别式和根与系数的关系பைடு நூலகம்解问题.
处理方法：以例题为载体，引导学生回忆根与系数的关系
教学难点及处理 方法
难点：根的判别式和根与系数的关系在一元二次方程与和二次函数结合中发挥的作用
处理方法：以教师示范讲解为例，学生练习为主
一元二次方程两根异号_概述说明以及解释
一元二次方程两根异号概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，解决了许多实际问题。
在一元二次方程中，存在着不同种类的根，其中之一是异号根。
异号根指的是方程的两个根具有相反的符号，一个为正数，一个为负数。
本文将对一元二次方程中存在异号根的概念进行详细阐述，并介绍解决这类问题的方法和步骤。
1.2 文章结构本文分为引言、正文、示例与解释、总结与讨论以及结尾陈述与致谢等几个部分。
首先，在引言部分介绍文章的目的和整体结构。
接下来，在正文部分，我们将详细阐述一元二次方程的定义和形式，并深入探讨异号根在方程中的含义和特征。
然后，我们将介绍解决一元二次方程中异号根问题的具体方法和步骤。
在示例与解释部分，我们将给出几个具体案例来说明求解具有异号根的一元二次方程在实际应用中的意义。
接着，在总结与讨论部分，对本文内容进行总结，并展开深入讨论与扩展思考。
最后，在结尾陈述与致谢等部分，我们将进行结尾陈述并表达对相关研究和贡献的致谢。
1.3 目的本文的目的是深入解释一元二次方程中异号根的概念和特征，并介绍解决这类问题的方法和步骤。
通过具体案例的讲解，帮助读者理解一元二次方程中异号根的实际应用，并提供有关教育和科研方面的意义与建议。
通过详细阐述和讨论，增强读者对一元二次方程以及异号根相关知识的理解，为进一步研究和应用奠定基础。
2. 正文：2.1 一元二次方程的定义和形式：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次项及以下的多项式方程。
其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
2.2 异号根的含义与特征：异号根是指一元二次方程在求解时得到两个不相等的实数解，它们具有相反的符号。
当一元二次方程的判别式D=b^2-4ac大于0时，方程有两个实数根且这两个根异号；当D=0时，方程有一个实数根；当D小于0时，方程无实数根。
2.3 解决异号根的方法和步骤：要解决一元二次方程存在异号根的问题，可以按照以下步骤进行推导和计算：步骤1：给定一元二次方程ax^2 + bx + c = 0；步骤2：计算判别式D = b^2 - 4ac；步骤3：判断判别式D是否大于0；- 若D大于0，则继续进行下一步；- 若D等于0，则表示仅有一个实数根；- 若D小于0，则表示无实数根。
一元二次方程的根的判别式 课件(共14张PPT)
可以根据b2-4ac的符号来判别 一元二次方程根的情况。
zxxkw
代数式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的判别式。
(1) 当b2-4ac ＞0时 方程有两个不相等的实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)
学科网
根的判别式
b2-4ac
b b 2 4ac x 2a (2) 当b2-4ac =0时 方程有两个相等的实数根.
号，一定有两个不相等的实数根。（ ）
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二
次方程根的情况． 反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定 b2-4ac的值的符号．
zxxkw
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
一元二次方程没有实数根
b2-4ac ＞０ b2-4ac ＝０
b2-4ac ＜０
zxxkw
学科网
学.科.网
b b 4ac x 2a
2
科网
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac x 2a
2
4、写出方程的解x1与x2.
例 7 用公式法 解下列方程：
(1) x x 1 0
b x1 x2 2a
(3) 当b2-4ac <0时 一元二次方程没有实数根
例题不解方程,判别方程 5 x 2 1 x 0
的根的情况______________
zxxkw 学科网
解 : 5x x 5 0 a 5, b 1, c 5
一元二次方程的特殊根
一元二次方程的特殊根1．一元二次方程的有理根关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ， c 为有理数）存在有理根的条件为：b 2－4ac 是一个有理数的平方．解决一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有：（1）利用“判别式的取值范围”解题（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题例题讲解：例1 已知整数m 满足6＜m ＜20，如果关于x 的一元二次方程mx 2—（2m －1）x ＋m －2＝0有有理根，求m 的值及方程的根．解： 若原方程的根为有理数，则△＝（2m －1）２—4m （m －2）＝4m ＋1应为某个有理数的平方． 已知6＜m ＜20，所以25＜4m ＋1＜81，而4m ＋1是奇数，从而4m ＋1＝49，得m ＝12，所以原方程变为12x 2—23x ＋10＝0，解得x 1＝32，x 2＝45． 故m ＝12时，方程有有理根，此时方程的根为x 1＝32，x 2＝45．２．一元二次方程的整数根解决方程ax 2＋bx ＋c ＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”来解决问题．m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程x 2-2mx+m 2-4m-5=0与mx 2-8x+16=0的根都是整数．∵关于x 的一元二次方程x 2-2mx+m2-4m-5=0的根都是整数， ∴△=（2m ）2-4（m 2-4m-5）=16m+20≥0，解得m ≥-54， ∵关于x 的一元二次方程mx 2-8x+16=0的根都是整数，∴m ≠0，∴△=（-8）2-4m ×16≥0，解得m ≤1，∴-54≤m ≤1且m ≠0， ∵m 是整数，∴m=-1或1，当m=-1时，mx 2-8x+16=0化为-x 2-8x+16=0，解得x=-4±42，不合题意舍去；当m=1时，x 2-2mx+m2-4m-5=0化为x 2-2x-8，解得x 1=4，x 2=-2， 方程mx 2-8x+16=0化为x 2-8x+16=0，解得x 1=x 2=4，∴m=1．例3 关于x 的一元二次方程rx 2＋（r ＋2）x ＋r －1＝0有且只整数根，求整数r 的值． 解： 当r ＝0时，原方程无整数根；当r ≠ 0时，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝r r 2+-＝－1－r 2，x 1•x 2＝r r 1-＝1－r1． 因为x 1，x 2都是整数，所以x 1＋x 2和x 1•x 2均为整数，从而r 2，r1均为整数． 而r 为整数，所以r ＝±1．当r ＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件；当r ＝1时，原方程的解为x 1＝0，x 2＝－3．综上可得，整数r ＝1．进阶训练1．已知m 为有理数，问：k 为何值时，关于x 的方程x 2－4mx ＋4x ＋3m ２－2m ＋4k ＝0的根为有理数？解：k ＝－45 【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[m ２—6m ＋4（1－k ）]应为某个有理数的平方．所以4（1－k ）＝9，即k ＝－45．2．已知关于x 的方程x 2－2（2m －3）x ＋4m ２－14m ＋8＝0（m ＞0）有两个不相等的实数根，若12＜m ＜40，且方程的两个根均为整数，求整数m 的值．解：m ＝24．【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4（2m ＋1）应为某个有理数的平方，由12＜m ＜40，所以25＜2m ＋1＜81，而2m ＋1为奇数，则2m ＋1＝49，即m ＝24．．。
一元二次方程的单根与重根
一元二次方程的单根与重根1. 引言嘿，朋友们！今天我们来聊聊一个有趣的话题：一元二次方程。
听到这个词，可能你脑海中就浮现出那些复杂的公式，或者在课堂上那个皱着眉头的老师。
不过，别担心，我会尽量把它讲得轻松有趣，让你像在喝茶聊天一样轻松！其实，一元二次方程就像生活中的很多事情，简单的公式背后却藏着深奥的道理。
就好比一块蛋糕，外表看起来平平无奇，但切开后却有不同的层次和风味，今天我们就来“切开”这道数学蛋糕，看看单根和重根的区别。
2. 一元二次方程的基础2.1 什么是一元二次方程首先，一元二次方程是指形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，当然，这里 ( a, b, c ) 是常数，而 ( x ) 是我们要找的变量。
听起来复杂？别着急，咱们慢慢来！简单来说，它就像一个寻宝游戏，我们的目标是找到那个“宝藏”——也就是方程的根。
2.2 根的概念在数学中，根就是让方程成立的 ( x ) 值。
想象一下，如果你在一座山上找到了藏宝图，而那个“宝藏”就藏在某个地方，方程的根就是你寻找的那个地点。
有时候，藏宝图上的标记只给你一个点，这种情况就叫做“单根”；而如果你发现了一个隐藏的洞，那里藏着两个相同的宝藏，那就是“重根”了。
听起来是不是很刺激？3. 单根与重根的区别3.1 单根的故事那么，单根是什么样的呢？简单来说，就是方程只有一个解。
比如，方程 ( x^2 4x + 4 = 0 ) 就有一个根 ( x = 2 )。
这个情况就像你在一个派对上遇到了一位特别的朋友，大家都围着他转，似乎他就是派对的“明星”。
他在这个场合中独一无二，令所有人印象深刻。
3.2 重根的魅力再来看看重根。
重根的方程，比如 ( x^2 6x + 9 = 0 )，却有两个相同的解 ( x = 3 )。
这就像在派对上，你遇到了一对双胞胎，他们总是一起出现，个性相似，让人觉得特别有趣。
重根的情况就像生活中那些让人“重温”的经历，虽然看似只有一个，但是情感的厚度却让人难以忘怀。
【新课标】中考专题强化复习教案：《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》
第一轮复习教案：《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》（第11课时）【课标要求】1、根的判别式及应用(△=b 2-4ac)： (1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=—b a，x 1·x 2=c a。
(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(x 1，x 2是方程两根)。
3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0;求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x 1+x 2，•两根之积x 1x 2的代数式的形式，整体代入。
【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典型例题】【例1】当k 为何值时，方程2610x x k -+-=， （1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.【例2】（08武汉）下列命题：① 若0a b c ++=，则240b a c -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④ 若240b a c ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．例3 （06泉州）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【课堂检测】1．（07巴中）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ .4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = . 【课后作业】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_____，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3Ｃ．1 Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
一元二次方程的根课件
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，a ≠ 0。
一元二次方程的解的判别式
判别式的计算
一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。
判别式的含义
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时， 方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
一元二次方程的根
一元二次方程是一种常见的数学方程，它可以用来解决各种实际问题。在本 课件中，我们将探讨一元二次方程的定义、一般形式以及求解的方法。
一元二次方程的定义
1 方程的形式
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程。
3 二次项
方程中的ax^2称为二次项。
2 系数的含义
a、b和c是实数，其中a ≠ 0。
求一元二次方程的解的公式
求根公式
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其实根和虚根 的公式为：x = (-b ± √Δ) / (2a)。
实根和虚根
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时， 方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
一元二次方程解的特点分析
1
求解方法
通过求解一元二次方程的公 式和判别式，我们可以得到 方程的解。
实际应用
一元二次方程可以应用于各 种实际问题，例如物理、经 济和工程等领域。
实根的性质
实根的数值可以是整数、小数或分数。
2
解的个数
方程的解的个数取决于判别式Δ的值。
3
抛物线的开口方向
Hale Waihona Puke 方程的二次项系数a决定了抛物线的开口方向。