2020南充二诊数学(理)试题
四川省南充市2019-2020学年中考二诊数学试题含解析
四川省南充市2019-2020学年中考二诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB=8，CD=2，则cos ∠ECB 为（ ）A ．35B ．313C ．23D ．213 2．二次函数y=x 2+bx –1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程x 2–2x –1–t=0（t 为实数）在–1<x<4的范围内有实数解，则t 的取值范围是A ．t≥–2B ．–2≤t<7C ．–2≤t<2D ．2<t<73．如图，在Y ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：24．某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（ ）．A ．300(1)363x +=B ．2300(1)363x +=C ．300(12)363x +=D ．2300(1)363x -= 5．下列运算正确的是（ ）A ．（a 2）4=a 6B ．a 2•a 3=a 6C 236=D 235=6．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=a x与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )A．B．C．D．7．如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（）A．9πB．10πC．11πD．12π8．反比例函数y＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点A(﹣1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若点P(x，y)在上，则点P′(﹣x，﹣y)也在图象．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（）A．B．C ．D ．10．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元 B ．200元 C ．225元 D ．259.2元11．下列计算正确的是（ ）A ．a 4+a 5=a 9B ．（2a 2b 3）2=4a 4b 6C ．﹣2a （a+3）=﹣2a 2+6aD ．（2a ﹣b ）2=4a 2﹣b 212．下列各式正确的是( )A ．0.360.6±=±B ．93=±C ．33(3)3-=D ．2(2)2-=-二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________14．边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为_________.15．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是______．16．若实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则代数式|b ﹣a|+2a 化简为_____．17．如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F 为DE 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接CF ，则在点D 运动过程中，线段CF 的最小值是_____．18．如图所示是一组有规律的图案，第l 个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n 的式子表示）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）反比例函数k y x =在第一象限的图象如图所示，过点A （2，0）作x 轴的垂线，交反比例函数k y x=的图象于点M ，△AOM 的面积为2． 求反比例函数的解析式；设点B 的坐标为（t ，0），其中t ＞2．若以AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数k y x=的图象上，求t 的值． 20．（6分）如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为»BC的中点，作DE ⊥AC ，交AB 的延长线于点F ，连接DA ．求证：EF 为半圆O 的切线；若DA ＝DF ＝63，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）21．（6分）解方程组：222232()x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 22．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .求证：EF是⊙O的切线；若,且,求⊙O的半径与线段的长.23．（8分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）24．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求y关于x的函数关系式；该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．25．（10分）菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元．（1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？（2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件？26．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD＝CD；（2）若AB＝10，OE＝3，求tan∠DBC的值．27．（12分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】连接EB，设圆O半径为r，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：连接EB，由圆周角定理可知：∠B=90°，设⊙O 的半径为r ，由垂径定理可知：AC=BC=4，∵CD=2，∴OC=r-2，∴由勾股定理可知：r 2=（r-2）2+42，∴r=5，BCE 中，由勾股定理可知：13∴cos ∠ECB=CB CE =1313， 故选D ．【点睛】本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型． 2．B【解析】【分析】利用对称性方程求出b 得到抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），再计算当﹣1＜x ＜4时对应的函数值的范围为﹣2≤y ＜7，由于关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，然后利用函数图象可得到t 的范围．【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣2b =1，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），当x=﹣1时，y=x 2﹣2x ﹣1=2；当x=4时，y=x 2﹣2x ﹣1=7，当﹣1＜x ＜4时，﹣2≤y ＜7，而关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，∴﹣2≤t ＜7，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键. 3．B【解析】【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE∴△DEF ∽△BAF∴()2DEF ABF S S DE AB ∆∆=：： ∵DEF ABF S S 425∆∆=：：， ∴DE ：AB=2：5∵AB=CD ，∴DE ：EC=2：3故选B4．B【解析】【分析】先用含有x 的式子表示2015年的绿化面积，进而用含有x 的式子表示2016年的绿化面积，根据等式关系列方程即可.【详解】由题意得，绿化面积平均每年的增长率为x ，则2015年的绿化面积为300（1＋x ），2016年的绿化面积为300（1＋x ）（1＋x ），经过两年的增长，绿化面积由300公顷变为363公顷.可列出方程：300（1＋x ）2＝363.故选B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找准其中的等式关系式解答此题的关键.5．C【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可.【详解】A 、原式=a 8，所以A 选项错误；B 、原式=a 5，所以B 选项错误；C 、原式= ==C 选项正确；D D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.6．C【解析】【分析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．【详解】解：观察二次函数图象可知：开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2b a-＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，∴反比例函数图象在第二、四象限内；∵一次函数y ＝bx ﹣c 中，b ＜1，﹣c ＜1，∴一次函数图象经过第二、三、四象限．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．7．B【解析】【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．【详解】由题意可得此几何体是圆锥，底面圆的半径为：2，母线长为：5，故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π，故选B ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．8．B【解析】【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m ＞0故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故②错误；将A(﹣1，h)，B(2，k)代入y ＝x m ，得到h ＝﹣m ，2k ＝m ， ∵m ＞0∴h ＜k故③正确；将P(x ，y)代入y ＝x m 得到m ＝xy ，将P′(﹣x ，﹣y)代入y ＝xm 得到m ＝xy ， 故P(x ，y)在图象上，则P′(﹣x ，﹣y)也在图象上故④正确，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键． 9．B【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有从正面看到的棱都应表现在主视图中.【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.故选B ．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.10．A【解析】【分析】设这种商品每件进价为x 元，根据题中的等量关系列方程求解.【详解】设这种商品每件进价为x 元，则根据题意可列方程270×0.8－x ＝0.2x ，解得x ＝180.故选A. 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 11．B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A 、a 4与a 5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、（2a 2b 3）2=4a 4b 6，故本选项正确；C 、-2a （a+3）=-2a 2-6a ，故本选项错误；D 、（2a-b ）2=4a 2-4ab+b 2，故本选项错误；故选：B ．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．12．A【解析】3=，则B 3=-，则C 2=，则D 错，故选A ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.14．1a 1．【解析】【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积．【详解】阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积=（1a ）1+a 1-12×1a×3a =4a 1+a 1-3a 1=1a 1．故答案为：1a 1．此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．15．105105r -<<+ 【解析】 【分析】因为以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，则圆D 与圆O 相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r ，求得圆D 与圆O 的半径代入计算即可.【详解】连接OA 、OD ，过O 点作ON ⊥AE ，OM ⊥AF.AN=12AE=1，AM=12AF=2，MD=AD-AM=3 ∵四边形ABCD 是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四边形OMAN 是矩形∴OM=AN=1∴OA=22215+=,OD=221310+=∵以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，则圆D 与圆O 相交∴105105r -<<+【点睛】本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.16．2a ﹣b ．【解析】【分析】直接利用数轴上a ，b 的位置进而得出b ﹣a ＜0，a ＞0，再化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：b ﹣a ＜0，a ＞0，则|b ﹣2a=2a﹣b．故答案为2a﹣b．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．17．1【解析】试题分析：当点A、点C和点F三点共线的时候，线段CF的长度最小，点F在AC的中点，则CF=1．18．3n+1【解析】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点：规律型三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（2）6yx（2）7或2.【解析】试题分析：（2）根据反比例函数k的几何意义得到12|k|=2，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为y=6x；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=6x的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（2，6），则AB=AM=6，所以t=2+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=6x的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-2，则C点坐标为（t，t-2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-2）=6，再解方程得到满足条件的t的值．试题解析：（2）∵△AOM的面积为2，∴12|k|=2，而k＞0，∴k=6，∴反比例函数解析式为y=6x；（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=6x的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，把x=2代入y=6x得y=6，∴M点坐标为（2，6），∴AB=AM=6，∴t=2+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=6x的图象上，则AB=BC=t-2，∴C点坐标为（t，t-2），∴t（t-2）=6，整理为t2-t-6=0，解得t2=2，t2=-2（舍去），∴t=2，∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=kx的图象上时，t的值为7或2．考点：反比例函数综合题．20．（1）证明见解析（2﹣6π【解析】【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，∵DA＝DF，∴∠BAD ＝∠F ，∴∠BAD ＝∠F ＝∠CAD ，又∵∠BAD+∠CAD+∠F ＝90°，∴∠F ＝30°，∠BAC ＝60°，∵OC ＝OA ，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∠COB ＝120°，∵OD ⊥EF ，∠F ＝30°，∴∠DOF ＝60°，在Rt △ODF 中，DF ＝63， ∴OD ＝DF•tan30°＝6，在Rt △AED 中，DA ＝63，∠CAD ＝30°，∴DE ＝DA •sin30°＝33，EA ＝DA•cos30°＝9，∵∠COD ＝180°﹣∠AOC ﹣∠DOF ＝60°，由CO ＝DO ，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠DCO ＝∠AOC ＝60°，∴CD ∥AB ，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED ﹣S 扇形COD ＝216093362360π⨯⨯-⨯＝27362π-．【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △ACD ＝S △COD 是解题关键．21．111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.22．（1）证明参见解析；（2）半径长为154，AE =6. 【解析】【分析】（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，连结OD ，则OC OD =，所以ODC OCD ∠=∠，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .由DE AB ⊥得出OD EF ⊥，于是得出结论；（2）由35OD AE OF AF ==得到35OD AE OF AF ==，设3OD x =，则5OF x =.26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=，362AE x =-，由363285x x -=，解得x 值，进而求出圆的半径及AE 长. 【详解】解：（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥.∴EF 是⊙O 的切线；（2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中，∵35OD AE OF AF ==，∴35 OD AEOF AF==. 设3OD x=，则5OF x=.∴26AB AC OD x===，358AF x x x=+=.∵32EB=，∴362AE x=-.∴363285xx-=，解得x=54，则3x=154,AE=6×54-32=6,∴⊙O的半径长为154，AE=6.【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.23．（1）甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；（2）安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，可获得最大利润91万元．【解析】【分析】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据销售收入为300万元可列方程18x+12（20﹣x）=300，解方程即可；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可．【详解】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．所以安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只时，可获得最大利润为91万元.考点：一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.24．(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.【解析】【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．【详解】（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，3313≤x≤60，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足3313≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.25．（1）甲80件，乙20件；（2）x≤90【解析】【分析】（1）甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，利用共用2800元，列出方程后求解即可；(2) 设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据购买这批奖品的总费用不超过2900元列不等式求解即可.【详解】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据题意得30x+20（100﹣x）=2800，解得x=80，则100﹣x=20，答：甲种奖品购买了80件，乙种奖品购买了20件；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据题意得：30x+20（100﹣x）≤2900，解得：x≤90，【点睛】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，根据已知条件正确列出方程与不等式是解题的关键.26．（1）见解析；（2）tan∠DBC＝12．【解析】【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得∠AEO＝90°，则根据垂径定理得到¼¼AD DC=，从而有AD＝CD；（2）先在Rt△OAE中利用勾股定理计算出AE，则根据正切的定义得到tan∠DAE的值，然后根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，从而可确定tan∠DBC的值．【详解】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，∴¼¼AD DC=，∴AD＝CD；（2）解：∵AB＝10，∴OA＝OD＝5，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，在Rt△OAE中，AE＝225-3＝4，∴tan∠DAE＝2142 DEAE==，∵∠DAC＝∠DBC，∴tan∠DBC＝12．【点睛】垂径定理及圆周角定理是本题的考点，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键. 27．（1）11.4；（2）19.5m.【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC=64°，AC=5m，∴AB=5÷0.4411.4 （m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.。
四川省南充市2020届高三诊断性测试数学(理)试题 Word版含解析
四川省2017级高中毕业班诊断性测试理科数学一、选择题1.设i 是虚数单位，若2ia i-+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义计算即可. 【详解】解：()()()()()222122=1i a i a a ii a i a i a i a -⋅---+⋅-=++⋅-+为纯虚数 2101,202a a a -=⎧=⎨+≠⎩故选：C【点睛】考查纯虚数的定义及复数的运算，基础题.2.设全集U =R ，集合{}2log 1A x x =<，{}21B x x =≥，则将韦恩图（Venn ）图中的阴影部分表示成区间是( )A. ()0,1B. ()1,1-C. ()1,2D. ()1,2-【答案】A 【解析】 【分析】先求{}2log 1A x x =<，再求()1,1UB =-，最后求UAB .【详解】解：{}{}2log 102A x x x x =<=<<{}(][)()21,11,,1,1U B x x B =≥=-∞-⋃+∞=- (){}{}()02110,1U A B x x x x ⋂=<<⋂-<<=故选：A【点睛】考查补集及交集的运算，基础题.3.在63x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为( ) A. 20 B. 15 C. 15-D. 20-【答案】D 【解析】 【分析】先求通项，再令x 的指数为2，最后求系数【详解】解：184631663(1 )rrr r r r r T C x C x x --+⎛=-=- ⎪⎝⎭ 令1842,33r r -==，2x 项的系数为633()201C -=- 故选：D【点睛】考查求二项式中指定项的系数，基础题.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 21πB. 24πC. 27πD. 30π【答案】B 【解析】 【分析】该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2，分别求其体积，再求和. 【详解】解：该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2231 2 11432+3=24323V V V πππ=+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯故选：B【点睛】考查由三视图还原为几何体、再求几何体体积的求法，基础题. 5.设sin 24a =︒，tan38b =︒，cos52c =︒则( ) A. a b c << B. b a c << C. c a b << D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】cos52=sin38c ︒=︒，利用sin 38cos52ta =sin 38co n 38s38c b ︒==︒=︒︒<︒和11sin 30,sin 24cos5=sin 38222a c ︒<︒=︒︒>==可比较.【详解】解：cos52=sin38c ︒=︒ sin y x ∴=在()0,90︒单调递增11sin 30,sin 24cos5=sin 38222a c ︒<︒=︒︒>==又()0,90,sin tan x x x x ︒∈<<sin 38cos52ta =sin 38co n 38s38c b ︒==︒=︒︒<︒所以a c b << 故选：D【点睛】考查利用三角函数的性质比较大小，基础题.6.已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()1xf x e =-，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A. 10ex y -+= B. 10ex y +-= C. 10ex y --= D. 10ex y ++=【答案】A 【解析】 【分析】先求切点，再求自变量小于零时解析式，再求导数和斜率，最后求方程.【详解】解：()()()1111f f e e-=-=--=-0x<，0,()1x x f x e-->∴-=-，()e1x f x-=-+(),(1)x f x e f e-''=-=切线方程为：()11y e x e=⋅++-，即10ex y-+=，故选：A 【点睛】考查求曲线上一点的切线方程的求法，基础题. 7.设O、F分别是抛物线24y x=的顶点和焦点，点P在抛物线上，若10OP FP⋅=，则FP =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】【分析】设2,4y P y⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10OP FP ⋅=，求出点P 的坐标，最后求FP 【详解】解：()1,0F，设2,4y P y⎛⎫ ⎪⎝⎭()22,1,01,44y y FP P y F y⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为10OP FP⋅=22,1,1044y y y y⎛⎫⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42121600,y y+-=28,y y==±(21,1,4y FP y⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，3FP=故选：B【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题. 8.已知0a b >>，则0c >是“a a c b b c+>+的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】0c >时，()()0a b ca a cb bc b b c -⋅+-=>+⋅+；取特殊值3,2,3a b c ===-，验证即可. 【详解】解：()()a b c a a c b b c b b c -⋅+-=+⋅+， 因为0a b >>，所以0c >时，()()0a b c a a c b b c b b c -⋅+-=>+⋅+，即0c >⇒a a cb b c+>+，取3,2,3,a b c ===-302a a c b b c +=>=+，即a a cb bc +>⇒/+0c >. 因此，“0c >”是“a a cb b c+>+”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时也考查了不等式的基本性质，考查推理能力，属于基础题.9.北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者.亦依等次更给.问未到三人复应得金几何?”则该问题的答案约为( )（结果精确到0.1斤） A. 3.0 B. 3.2C. 3.4D. 3.6【答案】B 【解析】 【分析】设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为d 的等差数列{}n a ，根据等差数列的性质求公差，最后代入可得.【详解】解：设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为d 的等差数列{}n a ，则1237891043a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，2894332a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即222433672a a d a d ⎧=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩，778d =-， 456123783949 3.27826a a a a a a d ⎛⎫++=+++=+⨯-=≈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】考查等差数列的性质及其运算，基础题.10.设向量a ，b 满足2a b -=，且()()3a b a b -⊥+，则()2a b b -⋅=( ) A. 1- B. 1C. 3D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】把()()3a b a b -⊥+，(3)()0a b a b -⋅+=和2a b -=结合整理即可【详解】解：()()3a b a b -⊥+，(3)()0a b a b -⋅+=()0321a a a b b b +⋅-⋅=⋅2,a b -=()2+=42a a a b b b ⋅-⋅⋅由()()12、得2=3a b b b ⋅-⋅-，即()23a b b -⋅=-故选：D【点睛】考查向量模、垂直、数量积的有关计算，基础题. 11.已知函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<关于直线π6x =对称，函数()()sin 2g x x ϕ=-，则下列四个命题中，真命题有( )①()y g x =的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；②若对x R ∀∈，都有()()()12g x g x g x ≤≤，则12x x -的最小值为π；③将()y g x =的图象向左平移5π12个单位，可以得到()y f x =的图象；④0x R ∃∈，使()()0012f xg x -=. A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】根据()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<关于直线π6x =对称，确定23ϕπ=，再根据选项依次判断，结合排除法可得出合适的选项.【详解】解：()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<关于直线π6x =对称，则()3k k Z πϕπ+=∈， 可得()3k k Z πϕπ=-∈，0ϕπ<<，23πϕ∴=. 所以()2cos 2sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2sin 2sin 23g x x x πϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 对于①，22sin 0333g πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，正确； 对于②，若对x R ∀∈，都有()()()12g x g x g x ≤≤，则12x x -的最小值为()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的半个周期4π，故错误； 对于③，将()y g x =的图象向左平移5π12个单位得到sin 26x ，故错误.对于④， ()()2sin 2sin 263f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 2cos 2sin 20,42x x x π⎡⎛⎫=-=-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，因为2211622324⎛⎫-⎛⎫=<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1620,22⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 0x R ∃∈，使()()0012f xg x -=，故正确. 故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数和余弦型函数的有关性质，同时考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.12.已知三条射线OA ，OB ，OC 两两所成的角都是60°.点M 在OA 上，点N 在BOC ∠内运动，63MN OM ==，则点N 的轨迹长度为( ) A. 2π B. 3πC. 4πD. 5π【答案】C 【解析】 【分析】利用三余弦公式求出3cos MOD ∠=，再求6OD =，确定点N 在平面BOC 内的轨迹是以D 为圆心，6为半径的圆在BOC ∠内的圆弧FPG ，再求弧长即可 【详解】解：如图，过M 作MD ⊥平面BOC 于D ，则D 点在BOC ∠的平分线上，30BOD ∠=︒ 在平面BOC 内，作DE ⊥BO 于E ，连结ME ， 根据三垂线定理，则ME ⊥BOcos cos cos cos 60cos cos30cos MOE MOD BOD MOD MOD ∠=∠⋅∠︒=∠⋅︒∠=MN OM ==，cos 6OD OM MOD =⋅∠==， 点N 的轨迹是以D 为圆心，6为半径的圆在BOC ∠内的圆弧FPG ，120FDG ∠=︒ 圆弧FPG 的长度为：120122643603r πππ⨯=⨯⨯= 故选：C【点睛】考查三垂线定理、三余弦公式以及圆的定义的应用，基础题. 二、填空题13.双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】【解析】 【分析】由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可.【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14.已知数列{}n a 的前n 项和()232N n n S a n n *=-∈，若{}n a λ+成等比数列，则实数λ=______.【答案】1 【解析】 【分析】根据232n n S a n =-，再写一式，两式相减，即可证明{}1n a +为等比数列 【详解】解：232n n S a n =-()11232(1),2n n S a n n --=--≥1122332n n n n S S a a --∴-=--， 132n n a a -=+上式两边同时加上1得，()1131n n a a -+=+，()113,21n n a n a -+=≥+，所以1λ=故答案为：1【点睛】已知n a 与n S 的关系，再写一个式子，一般是用上()1,2n n n S a S n -=-≥，再构造新数列，基础题.15.已知函数()322,021,0ax x f x x ax x -≤⎧=⎨-+>⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)0,3 【解析】 【分析】若()0f x >恒成立，必须函数的最小值大于零，结合取特殊值，分段讨论函数的最小值即可. 【详解】解：()0f x >恒成立，所以()0,2011,3f a a >-+><（1）0x ≤时，()2f x ax =-必须是有最小值，所以0a ≥，此时()()min 020f x f ==>（2）()()3220,21,62x f x x ax f x x ax '>=-+=-()2126200,3f x x ax ax x '=-===()()0,0,,0,3a a x f x f x ⎛⎫'>∈< ⎪⎝⎭递减，()(),,0,3a x f x f x ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭递增()3min10327a a f x f ⎛⎫∴==-+> ⎪⎝⎭所以3a <综合(1)、(2) 有03a ≤<， 故答案为：[)0,3【点睛】不等式恒成立求参数的取值范围，一般是转化为求函数的最值，基础题. 16.为弘扬新时代的中国女排精神.甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局则获胜，比赛随即结束）.若两队的竞技水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是______. 【答案】338【解析】 【分析】设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，=3ξ时，表示甲连赢三局或乙连赢三局，比赛结束.=4ξ时，有两种情况：前三局中甲赢2局输1局，第四局甲赢；前三局中乙赢2局输1局，第四局乙赢. =5ξ时，有两种情况：前四局中甲赢2局输2局，第五局甲赢；前四局中乙赢2局输2局，第五局乙赢.【详解】解：因为两队的竞技水平和比赛状态相当，所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5 设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，则的可能取值为3，4，53303331(3)0.5(0.5)4P C C ξ==⨯+=2222333(4)0.50.50.50.50.50.58P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()22243(5)(0.5)(0.5)0.50.5=8P C ξ==⨯⨯⨯+ξ的分布列为：13333()3454888E ξ=⨯+⨯+⨯=13333()3454888E ξ=⨯+⨯+⨯=故答案为：338【点睛】考查求离散型随机变量的数学期望，求随机变量的取值时可能包含多种情况，注意做到不能重复也不能遗漏，基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列. （1）求A 的大小：（2）设2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列，把正切化成弦，结合正弦定理化简整理. （2）利用余弦定理和基本不等式，求bc 的范围.【详解】解：（1）由tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列， 得()tan tan 2tan b A B c B +=.因为sin sin sin cos cossin tan tan cos cos cos cos A B A B BA B A B A B++=+= ()sin sin cos cos cos cos A B CA B A B+==. 又sin tan cos BB B=， 所以sin 2sin cos cos cos b C c BA B B=，即sin 2sin cos b C c B A =. 由正弦定理，得sin sin 2sin sin cos B CC B A=，又sin sin 0B C ≠，所以1cos 2A =. 因为0πA <<，所以π3A =. （2）由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-. 又222b c bc +≥，所以2a bc ≥.又因为2a =，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立， 故13sin 32ABC S bc A bc ==≤△， 于是ABC 面积的最大值为3.【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式在三角形中的应用，中档题. 18.如图所示，菱形ABCD 与正方形CDEF 所在平面相交于CD .（1）求作平面ACE 与平面BCF 的交线l ，并说明理由； （2）若BD 与CF 垂直且相等，求二面角D AE C --的余弦值. 【答案】（1）过点C 作BF 的平行线l ，理由见解析；（215【解析】 【分析】（1）过点C 作BF 的平行线l ，然后证明l 与AE 平行，证明四边形ABFE 为平行四边形即可；（2）取CD 的中点O ，以其为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可. 【详解】解：（1）过点C 作BF 的平行线l 即可，下面予以证明. 由已知易得，AB 和EF 都与CD 平行且相等，即AB 与EF 平行且相等. 所以四边形ABFE 是平行四边形，于是//AE BF .又BF ⊄平面ACE ，且AE ⊂平面ACE ，//BF ∴平面ACE . 又BF ⊂平面BCF ，且ACE平面BCF l =，//BF l ∴.（2）由CF BD ⊥，CF CD ⊥且BD CD D ⋂=，得CF ⊥平面ABCD . 由BD CF =可得，BCD是正三角形.取CD 的中点O ，则BO CD ⊥. 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.设2AB =，则()0,1,0D -，)3,2,0A-，()0,1,2E -，()0,1,0C .()3,1,0AD ∴=-，()3,1,2AE =-，()0,2,2EC =-.设平面DAE 的一个法向量(),,m x y z =00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即32030x y z x y --=-=， 令1x =，则3,0y z ==，得平面ADE 的一个法向量()1,3,0m = 设平面ACE 的一个法向量(),,n i j k =00n AE n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200j k j k --=-=⎪⎩，令1j =，则1,k i ==，得平面ACE 的一个法向量()3,1,1n =.所以23cos ,2m n m n m n⋅===⋅⋅故二面角D AE C --【点睛】考查：过两个平面的一个公共点作与一个平面内的直线平行的直线，然后证明所作的直线与另一个平面内的直线平行，这是找两个平面交线的常用方法；用坐标向量法求二面角的平面角是求二面角的常用方法.19.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1A -，且离心率为2，（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()2,1P 的直线与椭圆E 交于不同两点B 、C .求证：直线AB 和AC 的斜率之和为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用a b c 、、的关系直接求解即可；（2）设出BC 的方程为()()210y k x k =-+>，联立椭圆方程，再表示出AB 和AC 的斜率，最后说明之和为定值.【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1A -得，1b =.设半焦距为c c a =又因为222a b c =+，所以22314a a =+，解得2a =故椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）因为直线BC 过点()2,1P 且与轨迹E 有两个不同交点 所以直线BC 的斜率一定存在且大于零.于是可设直线BC 的方程为()()210y k x k =-+>.代入2244x y +=并整理得()()()22418211610k x k k x k k +--+-=.()()()222=8124141616640k k k k k k ∆--+-=>⎡⎤⎣⎦设()11,B x y ，()22,C x y ，则()12282141k k x x k -+=+，()12216141k k x x k -=+. 设直线AB 和AC 的斜率分别为1k 和2k ，则()()1212121212222211k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+ ()()()()()1212211612122161k x x k k k k k x x k k -+--=-=--()2211k k =--=为定值，此题得证.【点睛】考查椭圆方程的求法以及根据直线和椭圆的位置关系求两条直线的斜率之和为定值.直线和椭圆相交时，采用设交点坐标而不求出的方法，一定注意判别式大于零，同时用上韦达定理，可使解题简单；难题.20.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力.相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如下表：（1）已知变量y 与x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200千瓦时，如图是光明社区年内家庭人均GDP 的频率分布直方图，请补全[]15,18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网电量.参考公式]回归方程y bx a =+，()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nxy x x y y b xnx x x ====---==--∑∑∑∑【答案】（1）()0.0321y x =+；（2）见解析，63.58410⨯千瓦. 【解析】 【分析】（1）利用公式直接求b a 、；（2）频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，求出2a =，再绘图，取各组中点求出人均GDP ，代入回归直线方程求出垃圾清运量，再换算成电量.【详解】解：（1）由表格数据得，()5315925x ⨯+==⨯，0.130.230.310.410.520.325y ++++==.()521369093690i i x x=-=++++=∑，()()()()()()()5160.1930.0900.0130.0960.20iin x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯∑()60.190.090.2060.48 2.88=⨯++=⨯=.所以()()()515212.88ˆ0.03290iii i i x x y y bx x==--===-∑∑ 于是ˆˆ0.320.03290.032ay b x =-⋅=-⨯=. 故变量y 与x 之间的回归直线方程为0.0320.032y x =+. （2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1.得()1124653160a +++++⨯=. 解得2a =，故最右边小矩形的高度为216030=，如图，由频率分布直方图可得，光明社区的人均GDP 为()31 1.52 4.547.5610.5513.5216.510.260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元/人）. 由（1）的结论知，光明社区的人均垃圾清运量约为()0.03210.21⨯+（吨/人）. 于是光明社区年内垃圾清运总量为()50.03210.21 1.792⨯⨯+=（万吨）. 由题意，整个光明耻区布内垃圾可折算成的总上网电量估计为 617920200 3.58410⨯=⨯（千瓦时），即为所求.【点睛】考查求回归直线方程，频率分布直方图的应用，中档题. 21.已知函数()()21ln x f x x x a-=-+.其中0a >.（1）求()f x 的单调区间；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个极值点，求证：()()()121211f x f x ax x a a --<-+.【答案】（1）()f x在(0,1和()1+∞内单调递减，在(1内单调递增；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）求导，对参数进行讨论（2）1x ，2x 是()f x 的两个极值点，则1x ，2x 是()f x '的两个零点，找到122x x +=，212x x a =，化简整理()()1212f x f x x x --，通过构造新函数，研究函数单调性达到证明的目的.【详解】解：（1）求导，得()()()()22222112a x x x a f x x a x x a +-+-'=-=++（其中0x >）. ①当1a ≥时，()()()()22221210x x x f x x x a x x a ---+-'≤=≤++恒成立，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无单调递增区间；②当01a <<时，由2220x x a -+->，解得11x << 由2220x x a -+-<，解得01x <<1x >故()f x在区间(0,1和()1++∞内单调递减，在区间(1内单调递增.（2）因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（1）知，01a <<且122x x +=，212x x a =.()()()()()121212122121ln ln x x f x f x x x x ax a --⎡⎤-=---⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()12211212211ln ln x x a x x a x x x a x a -+--+⎡⎤⎣⎦=--++()()()1212212122(1)ln ln a x x x x x x a x x a +-=--+++所以()()()121212212121221ln ln ln ln 122f x f x a x x x x x x a a x x a x x -+--=-=--+--.设函数()()()21ln 011t g t t t t -=-<<+，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++. 故()g t 在区间()0,1内单调递增，于是()()10g t g <=，即()()21ln 011t t t t -<<<+. 不妨设12x x <，令()0,1t =，则121ln 2x x <即124ln ln x x-<.于是()12212ln ln 442221x x x xa a ->===-++.从而()()()121212111f x f x ax x a a a a --<-=-++.【点睛】考查含参数的函数的单调性和构造函数证明不等式，难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选－－题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.选修4－4：极坐标与参数方程22.在中面直角坐标系xOy 中，已知1C ：6x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），2C ：2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（其中θ为参数）.以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）.（1）求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设以O 为端点、倾斜角为α的射线l 与1C 和2C 分别交于A ，B 两点，求OAOB 的最小值.【答案】（1）πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin ρθ=；（2【解析】【分析】 （1）两个方程都消去参数化成直角坐标方程，再把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标中化成极坐标方程；（2）根据极径的几何意义，把OA OB 转化成三角函数求最值.【详解】解：（1）在6x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩中，消去参数t，得)6y x =-0y +-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得)sin ρθθ+=， 所以1C的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（未化成这种形式可不扣分） 在2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩中，消去参数θ，得()2224x y +-=，即2240x y y +-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=.（2）射线l 的极坐标方程为θα=，则OA =，4sin OB α=.所以OAOB ==12sin 26α=+- ⎪⎝⎭故OA OB 当且仅当πsin 216α⎛⎫-= ⎪⎝⎭即π3α=时取得. 【点睛】考查把参数方程化成极坐标方程和利用极径的几何意义求最值，中档题.选修4-5：不等式选讲23.设函数()221f x x x =--+的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若a b m +=.【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（2）把转化成1=，然后利用柯西不等式即可详解】解：（1）函数()4,12213,124,2x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎩， 所以()f x 在区间(],1-∞-内单调递增，在区间[)1,-+∞内单调递减.故()f x 的最大值()13m f =-=；（2）由柯西不等式，得 1=. 由己知3a b +=≤故所求最大值为1a =，2b =取得）. 【点睛】考查求含两个绝对值号的不等式的最值求法和用柯西不等式求最值，中档题.。
2020届四川省南充市高三第二次高考适应性考试(理科)数学试题含答案
南充市高2020届第二次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i i +=（ ）A. 2i -B. 12iC. 0D. 2i 2.已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A 0 B. 0或3 C. 1D. 1或33.已知1tan 2α=-，2παπ<<，则sin α=（ ）B.C.4.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.85.已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A. 0B. 5C. 7D. 136.过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． .A. 440x y --=B. 440x y +-=C. 440x y ++=D. 440x y -+= 7.定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A. (11,53) B. 1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C. (1,53) D. (,3)-∞8.一个空间几何体的正视图是长为4的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3B.C. 3D. 9.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 10.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 4πB. 16πC. 163πD. 323π 11.设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A. 3215 B.6415 C. 5 D. 6 12.已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A. ln21--B. 1ln2-+C. ln 2-D. ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +⋅-=-r r r r ，且||1,||2a b ==r r ，则cos ,a b <>=r r _________．14.函数()cos f x x =[0,)+∞的零点个数为_________.15.已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．16.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r 、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，记n S 为数列{}n b 前n 项和，若62m S =，求m ．18.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． 的（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；（2）根据茎叶图数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点. 的..（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值.20.设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF u u u v u u u u v 的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．21.已知函数21()ln 2f x x mx x =++. （1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；（2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <，2m ≤-，求()()12f x f x -的最小值. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标为，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23.设函数()()1f x x x a a R =-+-∈.（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.D4.B5.D6.A7.C8.B9.C10.D11.A12.A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 1214. 115. 316. (1,2)或(1,2)-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得1(1)n a n d =+-因为632a a =，所以1(61)2[1(31)]d d +-=+-解得1d =，故n a n =．（2）由（1）得2nn b =．所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以11222212n n n S ++-==--， 由62m S =得12262m +-=，解得5m =．18.解：（1）1901901902m +==． （2）（3）由于2245(1516410)7.287 6.63519262520k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．19.（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ，因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒.所以AM BC ⊥，因为PB PC =，所以PM BC ⊥，又AM PM M =I ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ，所以PA BC ⊥.同理可证PA DC ⊥，因为DC BC C =I ，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =.所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r ，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r， 则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即0,0,y y z +=+=⎪⎩取1y =，则(1)3n =--r ，cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，所以sin ,n AB <>==u u u r r ， 所以面PAF 与面EAC. 20. （1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+u u u v ，()2,F P x c y =-u u u u v ，2222221221•1a PF PF x y c x c au u u v u u u u v -∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．设11d F M ==，22d F M ==，当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，121=MN d d k∴⋅-， ()12122211=21m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+， 2221m k =+Q ，22244=111mmS k m m m ∴==+++∴当0k ≠时，1m >，12m m+>， 2S <∴．当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =．所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．21.（1）由函数()21ln 2f x x mx x =++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为， 由()1,f x x m x=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立， ()1x m 0,x∞∴+≥-+在上恒成立1x 0,x 2,x 12x>+≥==Q 当且仅当时取到最小值 m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得[)m 2+∞∴-的取值范围为，（2）由()1知()()()1f x 0,,f x x m x∞+='++定义域为， 令()2110x mx f x x m x x++=++=='，即210x mx ++= 由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x <<故12,x x 为方程210x mx ++=的两根，1212,1x x m x x ∴+=-=，∴ ()12m x x =-+，22121221,x x x x x x == 则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭ ()()221121221ln 2x x x m x x x =-+-+ ()()22221121221ln 2x x x x x x =---+ ()2211221ln 2x x x x =--1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫<<==--<< ⎪⎝⎭令则 由()211122g x t t =-+' ()22102t t -=-<，则()()0,1g t 在上单调递减2m ≤-Q 又，即()122x x -+≤-122x x ∴+≥ ()2221212121221192222x x x x x x x x t x x t ∴+=++=++=++≥ 15 2t t ∴+≥ 122t t ∴≥≤或 由01t <<知102t <≤ ()11113 ln 2ln222224g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述，()()12f x f x -的最小值为3ln24-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3又直线l 过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3． 23.（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥.（2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数1−i1+2i=()A. −15−35i B. 25−i C. −1+i D. 15+35i2.设集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B等于()A. {3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3，6}D. {1,2，3，4，6}3.已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，则tanα=()A. −43B. 43C. −34D. 344.在ΔABC中，AB=3，BC=√13，AC=4，则边AC上的高为()A. 3√22B. 32C. 3√32D. 3√35.设(3x−1)8=a0+a1x+⋯+a7x7+a8x8，则a1+a2+⋯+a7+a8等于()A. 122B. 144C. 255D. 3366.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x−y=17.已知定义在R上的函数f(x)满足f(−3)=f(5)=1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y=f′(x)的图象如图所示．则不等式f(x)<1的解集是()A. (−3,0)B. (−3,5)C. (0,5)D. (−∞,−3)∪(5,+∞)8. 如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是 ( )A.B.C.D.9. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2,A =30∘,C =105∘，则a =( )A. 1B. √2C. 2D. √310. 已知正三棱柱ABC −A 1B1C1(底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为2√3，则该正三棱柱外接球的表面积为( )A.253πB.1003π C. 25π D. 100π11. 双曲线x 29−y 216=1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l ，则点A 到直线l 的距离为( )A. 815B. 325C. 3215D. 8512. 已知函数f(x)=xe x ，g(x)=e 2x−4a −2e x−2a ，若存在实数x 0使f(x 0)+g(x 0)=−1e −1成立，则实数a 的值为( )A. −1B. −12C. 12D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则向量(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =______．14. 设函数f(x)={x 2, x ≤0f(x −1), x >0，则函数g(x)=f(x)−x 的零点的个数为______ ．15. 已知函数f(x)=lnx +x ，则函数y =f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为______． 16. 已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−1，焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上不同的三点，|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则直线AC 的方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求1S 3+1S 6+⋯+1S 3n．18.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．P(K2≥k0)0.4000.2500.1500.1000.0500.025k00.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024(n=a+b+c+d)参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=4，PC=PD=AD=2√2，E为PB中点．(1)求证：CE⊥平面PBD；(2)求平面PAC和平面PCD所成二面角的大小．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点P是椭圆C上异于A，B的一点，直线AP和BP分别与y轴交于M，N两点，求△AOM 与△BON面积之和的最小值．21.已知函数．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)⩾0在内恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−2a|．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)≤3的解集；(Ⅱ)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：【试题解析】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．分子和分母同时乘以分母的共轭复数，利用复数的乘法法则计算即可．解：因为1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i5=−15−35i故选A．2.答案：D解析：解：由已知集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B={1,2，3，4，6}；故选D．找出两个集合的公共元素组成的集合．本题考查了集合的并集运算；属于基础题．3.答案：D解析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．解：∵已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，∴cosα=√1−sin2α=−45，则tanα=sinαcosα=34，故选：D．4.答案：C解析：本题考查了解三角形的应用.由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4−x，利用勾股定理可知BD=√AB2−AD2=√BC2−CD2，进而解得x的值，再利用勾股定理求得BD．解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4−x，∴BD=√9−x2=√13−(4−x)2，解得x=3，2√3．因此BD=2=32故选C．5.答案：C解析：解：令x=0可得a0=1，令x=1可得a0+a1+a2+⋯+a8=28=256，所以a1+a2+⋯+a8=255．故选：C．利用赋值法，分别令x=0，x=1，的到所求结果．本题考查二项式定理，利用特殊值法求解，属于一般基础题．6.答案：A解析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出经过圆上一点M(1,0)的切线方程．此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时所满足的关系，是一道基础题．解：由圆x2+y2=1，得到圆心A的坐标为(0,0)，圆的半径r=1，则圆上一点M(1,0)与(0,0)连线的方程为y=0，∴经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x=1，故选：A．7.答案：B解析：本题考查导函数图象与函数单调性的关系，属于基础题．由图象可以判断出f(x)的单调性情况，由f(−3)与f(5)的取值，即可得出答案． 解：由f′(x)的图象可得，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又由题意可得，f(−3)=f(5)=1， ∴f(x)<1的解集是(−3,5)， 故选B ．8.答案：D解析：本题考查三视图及空间几何体的体积的计算，属基础题． 结合选项逐一分析求解即可．解：当俯视图是A 时，该几何体是正方体，体积为1，所以A 错误;当俯视图是B 时，该几何体是半圆柱，体积V =12×π×(12)2×1=π8，所以B 错误； 当俯视是C 时，该几何体是直三棱柱，体积V =12×1×1×1=12，所以 C 错误; 当俯视图是D 时，该几何体是14圆柱，体积是V =14×π×12×1=π4，所以D 正确． 故选D ．9.答案：C解析：本题考查正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用正弦定理即可得出． 解：∵A =30∘,C =105∘， ∴B =45°，∵asinA =bsinB ，∴a =bsinA sinB =2√2sin30∘sin45∘=2，故选C ．10.答案：B解析：如图，取ΔABC 的重心E ，ΔA 1B1C1的重心E 1，取AC 中点D ， 则EE 1的中点O 是该正三棱柱外接球的球心，OA 为球半径， ∵正三棱柱ABC −A 1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2√3， ∴OE =√3,AE =BE =23BD =23√42−22=4√33， ∴R =OA =√(√3)2+(4√33)2=√253，∴该正三棱柱外接球的表面积： S =4πR 2=4π×(√253)2=100π3．故选：B ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．求得双曲线的a ，b ，c ，求得A ，F 的坐标和渐近线方程，设出过F 于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值． 解：双曲线x 29−y 216=1的a =3，b =4，c =√9+16=5，可得A(−3,0)，F(5,0)，双曲线的渐近线方程为y=±43x，可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为y=43(x−5)，即4x−3y−20=0，则A到直线l的距离为d=√16+9=325．故选：B．12.答案：B解析：解：由题意可得：f′(x)=e x(x+1)，则函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，当x=−1时，函数f(x)取得最小值f(−1)=−1e，令t=e x−2a(t>0)，可知g(x)=e2x−4a−2e x−2a=t2−2t=(t−1)2−1，所以当t=1时取得最小值−1，要满足存在实数x0使f(x0)+g(x0)=−1e−1成立，则当x=−1时，t=e−1−2a=1，即−1−2a=0,解得a=−12，故选B．由题意首先确定函数f(x)，g(x)的最小值，然后结合题意求解实数a的值即可．本题主要考查导函数研究函数的最值，复合函数求最值的方法等知识，属于中等题．13.答案：3解析：本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．解：∵|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=4−1=3．故答案为3．14.答案：2解析：解：函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，如图所示：由于函数y=f(x)的图象与直线y=x只有2个交点，故答案为2．函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，数形结合可得答案．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．15.答案：y=2x−1解析：本题考查利用导数计算函数的切线方程，注意导数的几何意义，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出其导数，计算可得f(1)与f′(1)的值，由直线的点斜式方程可得切线的方程，变形即可得答案．+1，解：根据题意，f(x)=lnx+x，则f′(x)=1x+1=2，则f(1)=ln1+1=1，f′(1)=11则切线的方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1；故答案为：y=2x−1．16.答案：2x −y −1=0解析：本题主要考查抛物线的性质与几何意义，根据条件求出直线AC 的斜率和AC 的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．根据抛物线的准线方程求出p ，设A ，B ，C 的坐标，根据|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求出x 1+x 3=2，x 2=1，然后求出直线AC 的斜率和A ，C 的中点坐标，进行求解即可．解：抛物线的准线方程是x =−p2=−1，∴p =2， 即抛物线方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)， ∵|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列， ∴|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即x 1+1+x 3+1=2(x 2+1)， 即x 1+x 3=2x 2， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴x 1+x 2+x 3=3，y 1+y 2+y 3=0， 则x 1+x 3=2，x 2=1，由y 22=4x 2=4，则y 2=−2或2(舍)，则y 1+y 3=2， 则AC 的中点坐标为(x 1+x 32,y 1+y 32)，即(1,1)，AC 的斜率k =y 1−y3x 1−x 3=y 1−y 3y 124−y 324=4y1+y 3=42=2，则直线AC 的方程为y −1=2(x −1)， 即2x −y −1=0， 故答案为：2x −y −1=0．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，{a 1+d +a 1+2d =7a 1+3d +a 1+4d +a 1+5d =18，解得a 1=2，d =1， ∴a n =2+(n −1)×1=n +1(2)S 3n =3n(a 1+a 3n )2=3n(2+3n+1)2=9n(n+1)2，∴1S 3n =29n(n +1)=29(1n −1n +1) ∴1S 3+1S 6+⋯+1S 3n =29[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=2n 9(n +1)解析：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查裂项法，考查转化与分析运算的能力，属于中档题．(1)由等差数列{a n }中的a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18，即可求得其首项与公差，从而可得数列{a n }的通项公式；(2)可先求得S 3n ，再用裂项法即可求得答案．18.答案：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，记该事件为A ，根据等可能事件的概率得到P(A)=C 52C 62=1015=23；-----------------(4分)(2)由已知数据，填写列联表得----------------------(6分)根据列联表中的数据，计算得随机变量K 2的观测值为 k =40×(1×15−5×19)220×20×6×34≈3.137，-----------------------(9分)由于3.137>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关．-----------------------(10分)解析：(1)由题意根据等可能事件的概率计算即可； (2)由已知数据填写列联表，计算得K 2的观测值， 对照临界值得出结论．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：证明：(1)因为PC =BC ，所以CE ⊥PB ，又因为平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD =CD ，BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面PCD ，即BC ⊥PD ，PD ⊥PC ，PC ∩BC =C ，所以PD ⊥平面PBC ，即PD ⊥CE 又因为PD ∩PB =P ， 即证CE ⊥平面PBD ．(2)取CD 中点O ，连结PO.因为△PCD 是等腰三角形， O 为CD 的中点，所以PO ⊥CD.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.取AB 中点G ，连结OG ，由题设知四边形ABCD 所以PO ⊥OG ，OG ⊥DC ，如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(2√2,−2,0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，D(0,−2√2,0)，O(0,0，0)， G(2√2,0，0)．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,4,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PAC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x +4y =0n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令z =1，得n ⃗ =(√2,1,1).平面PCD 的法向量为OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)， 设n ⃗ ，OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，所以cosα=|n ⃗⃗ ⋅OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， 由图可知二面角A −PC −D 为锐角，所以平面PAC 与平面PCD 所成二面角的大小为45°．解析：本题主要考查线面垂直的判断二面角的求法，属中档题．(1)由面面垂直的性质易得BC ⊥平面PCD ，进一步可证PD ⊥平面PBC ，即可证得； (2)先证PO ⊥平面ABCD ，再建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得{a =2ca =√32a 2=b 2+c 2.解得b =1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则k AP =yx 0+2，所以直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2)．令x=0，可得y=2y0x0+2．同理可解得直线BP与y轴的交点N的纵坐标y N=−2y0x0−2．因为P(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即4y024−x02=1，所以S△AOM+S△BON=12|AO|⋅|OM|+12|BO|⋅|ON|=|OM|+|ON|≥2√|OM|⋅|ON|=2√|y M⋅y N|=2√2y0x0+2×−2y0x0−2=2√4y024−x02=2，当且仅当x0=0时等号成立．所以，当且仅当点P在短轴端点时，△AOM与△BOM面积之和的最小值为2．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)利用已知条件列出方程组，求出短轴长，然后求解椭圆C的方程．(Ⅱ)设点P(x0,y0)，求出直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2).求解M，N的坐标，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最小值即可．21.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=ax +x−(1+a)=x2−(1+a)x+ax=(x−1)(x−a)x，①当a≤0时，由x>0，若f′(x)<0，则0<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(0,1)，函数f(x)的增区间是(1,+∞)．②当0<a<1时，若f′(x)<0，则a<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(a,1)；单调增区间是(0,a)，(1,+∞)．③当a=1时，则f′(x)=(x−1)2x≥0，故函数f(x)的单调增区间是(0,+∞)；④当a>1时，若f′(x)<0，则1<x<a，函数f(x)的单调递减区间是(1,a)；函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，(a,+∞)．(Ⅱ)由于f(1)=−12−a ， 当a >0时，f(1)<0，此时f(x)≥0对定义域内的任意x 不是恒成立的．当a ≤0时，由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上的极小值，也是最小值为f(1)=−12−a ， 此时，f(1)≥0，解得a ≤−12， 故实数a 的取值范围是(−∞,−12]. 解析：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题． (Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过讨论a 的范围，从而求出函数的单调区间；(Ⅱ)先求出f(1)=−12−a ，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性，从而求出a 的范围．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得|2x −1|+|x −2|≤3，∴①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3．解①求得0≤x <12；解②求得12≤x <2；解③求得x =2． 综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (Ⅱ)∵当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立， 即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，故2x −4≤2a −x ≤4−2x ，即3x −4≤2a ≤4−x ．再根据3x −4的最大值为6−4=2，4−x 的最小值为4−2=2， ∴2a =2，∴a =1， 即a 的范围为{1}．解析：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3.分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，化简得3x −4≤2a ≤4−x.再根据3x −4的最大值为2，4−x 的最小值2，可得2a =2，从而得到a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
四川省南充市高2020届第二次高考适应性考试理科数学答案
南充市高2020届第二次高考适应性考试
数学试题(理科)参考答案及评分意见
一㊁选择题:
1.C
2.B
3.D
4.A
5.D
6.A
7.C
8.B
9.C 10.D 11.A 12.B 二㊁填空题:
13.12 14.1 15.3 16.(1,2)或(1,-2)
三㊁解答题:
17.解:(1)设{a n}的公差为d,由题设得
a n=1+(n-1)d 2分
因为a6=2a3,
所以1+(6-1)d=2[1+(3-1)d] 4分
解得d=1,
故a n=n. 6分
(2)由(1)得b n=2n.
所以数列{b n}是以2为首项,2为公比的等比数列, 8分
所以S n=2-2n+11-2=2n+1-2, 10分
由S m=62得2m+1-2=62,
解得m=5. 12分18.解:(1)m=190+1902=190. 4分
(2)抗倒伏易倒伏
8分矮茎154
高茎1016
(3)由于k2=45×(15×16-4×10)2
19×26×25×20≐7.287>6.635,因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关. 12分19.(1)证明:取BC中点M,连接PM,AM,
因为四边形ABCD为菱形且∠BAD=120°.
所以AM⊥BC,
因为PB=PC,所以PM⊥BC, 2分又AM∩PM=M,
所以BC⊥平面PAM,因为PA⊂平面PAM,
所以PA⊥BC. 4分同理可证PA⊥DC,
因为DC∩BC=C,
高三数学(理科)二诊答案 第1 页(共4页)。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科)(有答案解析)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数i+1i=()A. −2iB. 0C. 12i D. 2i2.已知集合A={1,3，√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=()A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或33.已知tanα=−12,π2<α<π，则sinα=()A. 2√55B. −√55C. −2√55D. √554.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？()A. 4.55尺B. 5.45尺C. 4.2尺D. 5.8尺5.已知等式(1−x+x2)3⋅(1−2x2)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14成立，则a2+a4+⋯+a14=()A. 0B. 5C. 7D. 146.过圆x2+y2=4外一点M(4,−1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是()A. 4x−y−4=0B. 4x+y−4=0C. 4x+y+4=0D. 4x−y+4=07.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y=f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a+b)<1,则b+1a+1的取值范围是()A. (15,13) B. (−∞,13)∪(5,+∞)C. (13,5) D. (−∞,3)8.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为√3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 4√33B. 4√3 C. 2√33D.2√39.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2a−b)cosC=ccosB，则内角C=()A. π6B. π4C. π3D. π210.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为()A. 4πB. 16πC.16π3D.32π311. 设双曲线C ：x 29−y 216=1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C交于点B ，则△AFB 的面积为( )A. 15B. 3215C. 1532 D. 641512. 已知函数f(x)=x +e x−a ，g(x)=ln(x +2)−4e a−x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使f(x 0)−g(x 0)=3成立，则实数a 的值为( ) A. −ln2−1 B. −1+ln2 C. −ln2 D. ln2 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−6，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=______．14. 函数f(x)=cosx −√x 在[0,+∞)的零点个数为______．15. 已知函数f(x)=alnx −bx 2图象上一点(2,f(2))处的切线方程为y =−3x +2ln2+2，则a +b =______．16. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，A ，B ，D 为C 上互相不重合的三点，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E(3,0)，则B 的坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 等差数列{a n }中，a 1=1，a 6=2a 3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，记S n 为数列{b n }前n 项的和，若S m =62，求m ．18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． (1)求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，19. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°，PA =2，PB =PC =PD ，E 是PB 的中点． (1)证明：PA ⊥平面ABCD ； (2)设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值．20. 设点F 1(−c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y =kx +m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．21. 已知函数f(x)=12x 2+mx +lnx ．(1)若函数f(x)不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； (2)若y =f(x)的两个极值点为x 1，x 2(x 1<x 2)，m ≤−3√22，求f(x 1)−f(x 2)的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =√5+√22t(t 为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ=2√5sinθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 坐标为(3,√5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x −1|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：i +1i =i +ii⋅i =i −i =0故选：B ．直接对复数的分母、分子同乘i ，然后化简即可求出所求．本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解题的关键i 2=−1，属于容易题． 2.答案：B解析：解：A ∪B =A ⇔B ⊆A ． ∴{1,m}⊆{1,3，√m}，∴m =3或m =√m ，解得m =0或m =1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)． 综上所述，m =0或m =3． 故选：B ．由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题． 3.答案：D解析：解：已知tanα=−12，∴cos 2α=11+tan 2α=45，∴sin 2α=15．又π2<α<π，∴sinα=√55，故选：D ．利用同角三角函数的基本关系，求出cos 2α 和sin 2α的值，再由π2<α<π，求出sinα的值． 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题． 4.答案：A解析：解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：A ．由题意可得AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB ，AC ，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5.答案：D解析：解：由(1−x+x2)3⋅(1−2x2)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14成立，令x=1，代入得1=a0+a1+a2+⋯+a14，令x=−1，代入得27=a0−a1+a2−⋯+a14，相加得28=2(a2+a4+⋯+a14)，则a2+a4+⋯+a14=14故选：D．先令x=1，x=−1，联立可得．本题考查二项式赋值及其系数之间的关系，属于基础题．6.答案：A解析：解：设切点是P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y=4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y=4，∵点M(4,−1)在两条切线上，则4x1−y1=4，4x2−y2=4∴点P、Q的坐标满足方程：4x−y=4∴过两切点P、Q的直线方程是：4x−y−4=0．故选：A．设切点是P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y=4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y=4，由此能求出过两切点P、Q的直线方程．本题考查经过两个切点的直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的切线方程的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：由图可知，当x>0时，导函数f′(x)>0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f(2a+b)<1，∴0<2a+b<4，∴b<4−2a，由0<b<4−2a，可得0<a<2，画出可行域如图．k=b+1表示点Q(−1,−1)与点P(x,y)连线的斜率，a+1；当P点在A(2,0)时，k最小，最小值为：13当P点在B(0,4)时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．8.答案：B解析：解：由题意可知，三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，如图所示：，正三角形的边长为2，高为√3，正三棱柱的高为4，所以正三棱柱的体积为：12×2×√3×4=4√3，故选：B．通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．本题主要考查了根据三视图还原实物图，考查了几何体体积的求法，是基础题．9.答案：C解析：解：由正弦定理得：2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，由于sinA≠0，故cosC=12，又0<C<π，所以C=π3．故选：C．由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求cos C，根据范围0<C<π，可求C的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图所示，过A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE=√3，因为侧棱与底面成60°角，即∠ABE=60°，所以AE=3，Rt△OBE中，R2=3+(3−R)2，解可得R=2，则正三棱锥的外接球的体积V=4πR33=32π3．故选：D．由已知及线面角可求BE，AE，然后结合球的性质可求R，结合球体积公式可求．本题主要考查了三棱锥的外接球的体积的求解，解题的关键是球心的确定，属于中档试题．11.答案：B解析：解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A(3,0)，F(5,0)，渐近线方程为y=±43x，不妨设BF的方程为y=43(x−5)，代入双曲线x29−y216=1，解得：B(175,−3215).∴S△AFB=12|AF|⋅|y B|=12×2×3215=3215．故选：B．根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=43(x−5)，代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．本题考查双曲线方程的运用，注意关键在求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．12.答案：A解析：解：令f(x)−g(x)=x+e x−a−1n(x+2)+4e a−x，令y=x−ln(x+2)，y′=1−1x+2=x+1x+2，故y=x−ln(x+2)在(−2,−1)上是减函数，(−1,+∞)上是增函数，故当x=−1时，y有最小值−1−0=−1，而e x−a+4e a−x≥4，(当且仅当e x−a=4e a−x，即x=a+ln2时，等号成立)；故f(x)−g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；故x=a+ln2=−1，即a=−1−ln2．故选：A．令f(x)−g(x)=x+e x−a−1n(x+2)+4e a−x，运用导数求出y=x−ln(x+2)的最小值；运用基本不等式可得e x−a+4e a−x≥4，从而可证明f(x)−g(x)≥3，由等号成立的条件，从而解得a．本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．13.答案：12解析：解：根据题意，向量a⃗,b⃗ 满足(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=−6，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则有(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−7+2cos<a⃗，b⃗ >=−6，解可得：cos<a⃗，b⃗ >=12；故答案为：12根据题意，由数量积的计算公式可得(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−7+2cos <a ⃗ ，b ⃗>=−6，变形分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 14.答案：1解析：解：函数f(x)=cosx −√x 在[0,+∞)的零点的个数，即函数y =cosx 的图象(红线部分)和函数y =√x 的图象(蓝线部分)的交点个数， 如图所示：显然，函数y =cosx 的图象(红线部分)和函数y =√x 的图象(蓝线部分)在[0,+∞)的交点个数为1， 故答案为：1．方程转化为2个函数的图象的交点个数，数形结合可得结论．本题主要考查函数的两点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题． 15.答案：3解析：解：将x =2代入切线得f(2)=2ln2−4． 所以2ln2−4=aln2−4b①， 又f′(x)=ax −2bx ， ∴f′(2)=a 2−4b =−3②，联立①②解得a =2，b =1． 所以a +b =3． 故答案为：3．将(2,f(2))代入切线求出f(2)，再将切点坐标代入f(x)得方程①，再对原函数求导，进一步求出切点处导数并令其为−3，得方程②，联立①②求出a ，b 即可解决问题．本题考查了导数的几何意义，本题的关键在于利用切点满足曲线与切线方程，切点处的导数等于切线斜率列方程求解，注意计算要准确．属于基础题． 16.答案：(1,2)或(1,−2)解析：解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为：x =−1设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|DF|=x 3+1， 由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列可得2(x 2+1)=x 1+x 3+2，所以x 2=x 1+x 32，所以线段AD 的中点的坐标(x 1+x 32,y 1+y 32)，因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E(3,0)， 所以线段AD 的垂直平分线的斜率为k =y 1+y 32x 1+x 22−3=y 1+y 3x 1+x 3−6，又k AD =y 3−y1x 3−x 1， 所以y 3−y 1x 3−x 1⋅y 1+y 3x 1+x 3−6=−1，即4x 3−4x 1(x3−x 1)2−6(x 3−x 1)=−1，因为x 1≠x 3，所以可得x 1+x 3=2，所以x 2=x 1+x 32=1，B 在抛物线上，代入抛物线的方程可得y 22=4×1，焦点y 2=±2，所以B 的坐标为：(1,2)或(1,−2)． 故答案为：(1,−2)或(1,2)．设A ，B ，D 的坐标，由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列可得三者的坐标之间的关系，进而可得线段AD 的中点坐标，由题意求出线段AD 的中垂线的斜率即AD 的斜率，由斜率之积为−1可得B 的横坐标代入抛物线的方程可得B 的纵坐标．本题考查等差数列的性质及抛物线的性质，属于中档题． 17.答案：解：(1)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n =1+(n −1)d ， ∵a 6=2a 3，∴1+5d =2(1+2d)， 解得d =1，∴a n =n ，n ∈N ∗．(2)由(1)知，b n =2n =2⋅2n−1，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n =2−2n+11−2=2n+1−2，由S m =62，可得2m+1−2=62， 解得m =5．解析：本题第(1)题先设等差数列{a n }的公差为d ，然后根据等差数列的通项公式代入a 6=2a 3，可得关于公差d 的方程，解出d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，可发现数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式可得S n 的表达式，代入S m =62进行计算可得m 的值．本题主要考查等差数列和等比数列基本量的计算．考查了转化思想，方程思想，指数的运算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：(1)m =190+1902=190；(3)由于k 2=45×(15×16−4×10)219×26×25×20=7.287>6.635，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．解析：(1)根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数； (2)根据茎叶图的数据，即可完成列联表：(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了中位数的求法，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：(1)证明：取BC 中点M ，连接PM ，AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且∠BAD =120°． 所以AM ⊥BC ，因为PB =PC ，所以PM ⊥BC ， 又AM ∩PM =M ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA ⊥BC ．同理可证PA ⊥DC ， 因为DC ∩BC =C ， 所以PA ⊥平面ABCD ．(2)解：由(1)得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ∩平面ABCD =AF ． 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离．过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为AB =2，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1．以A 为坐标原点，直线AF ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则A(0,0,0),C(√3,1,0),E(0,1,1),B(0,2,0)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 平面PAF 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，设平面AEC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3x +y =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =y +z =0， 取y =1，则n ⃗ =(−√33,1,−1)，cos <n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√217， 所以sin <n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√77，所以面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值为2√77．解析：(1)先证明BC ⊥平面PAM ，可得PA ⊥BC ，同理可证PA ⊥DC ，进而可证PA ⊥平面ABCD ； (2)依题意，以A 为坐标原点，直线AF ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式即可得解．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查推理能力及计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +c,y)，F 2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −c,y)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a 2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a]，由题意得，1−c 2=0⇒c =1⇒a 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程x 2+2y 2=2中，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0. 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=16k 2m 2−4(2k 2+1)(2m 2−2)=0，化简得：m 2=2k 2+1. 设d 1=|F 1M|=√k 2+1，d 2=|F 2N|=√k 2+1， 当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1−d 2|=|MN|×|tanθ|， ∴|MN|=1|k|⋅|d 1−d 2|， ∴S =12⋅1|k|⋅d 1−d 2|⋅(d 1+d 2)=2|m|k 2+1=4|m|m 2+1=4|m|+1|m|，∵m 2=2k 2+1，∴当k ≠0时，|m|>1，|m|+1|m|>2， ∴S <2．当k =0时，四边形F 1MNF 2是矩形，S =2. 所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．解析：(1)利用PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0，可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a 2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a]，即可求椭圆C 的方程；(2)将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d 1=|F 1M|，d 2=|F 2N|.当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1−d 2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F 1MNF 2面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当k =0时，四边形F 1MNF 2是矩形，即可得出S 的最大值．本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21.答案：解：(1)依题意，x >0，且f′(x)=x +m +1x =x 2+mx+1x，记g(x)=x 2+mx +1，①若△=m 2−4≤0，即−2≤m ≤2，则g(x)≥0恒成立，f′(x)≥0恒成立，符合题意； ②若△=m 2−4>0，即m >2或m <−2，当m >2时，x 2+mx +1=0有两个不等的负根，符合题意， 当m <−2时，x 2+mx +1=0有两个不等的正根， 则在两根之间函数f(x)单调递减，不符合题意． 综上可得m ≥−2．(2)由题意得x 1，x 2为g(x)=x 2+mx +1的两个零点，由(1)得x 1+x 2=−m ，x 1x 2=1，则f(x 1)−f(x 2)=12x 12+mx 1+ln x 1−(12x 22+mx 2+ln x 2) =12(x 12−x 22)+m(x 1−x 2)+ln x 1−ln x 2 =12(x 12−x 22)−(x 1+x 2)(x 1−x 2)+ln x 1−ln x 2 =lnx 1x 2−12(x 12−x 22) =ln x 1x 2−12⋅x 12⋅x 22x 1x 2 =ln x 1x 2−12(x 1x 2−x 2x 1).记x 1x 2=t ，由x 1<x 2且m ≤−3√22，知0<t <1，且f(x 1)−f(x 2)=ln t −12(t −1t )， 记φ(t)=ln t −12(t −1t )， 则φ′(t)=2t−t 2−12t 2=−(t−1)22t 2<0，故φ(t)在(0,1)上单调递减． 由m ≤−3√22，知(x 1+x 2)2≥92，从而x 12+x 22≥52，即x 12+x 22x1x 2≥52，故t +1t ≥52，结合0<t <1，解得0<t ≤12，从而φ(t)的最小值为φ(12)=34−ln2，即f(x 1)−f(x 2)的最小值为34−ln 2．解析：(1)先求出导数，再利用导数性质对m 分情况讨论来求解；(2)可先对f(x 1)−f(x 2)进行变形，再将问题转化为单变量函数问题来解决．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值，导数在研究函数性质中的应用，正确求导，确定函数的最值是关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)由{x =3−√22ty =√5+√22t 得直线l 的普通方程为x +y −3−√5=0--------2分 又由ρ=2√5sinθ得ρ2=2√5ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+(y −√5)2=5；---------5分 (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t 2−3√2t +4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3√2又直线l 过点P(3,√5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2.------------------10分．解析：(Ⅰ)先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程．(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 23.答案：解：(1)当a =4时，不等式f(x)≥5，即|x −1|+|x −4|≥5， 等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，解得：x ≤0或x ≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x ≤0，或x ≥5 }. …(5分)(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|(x −1)−(x −a)|=|a −1|.(当x =1时等号成立) 所以：f(x)min =|a −1|.…(8分) 由题意得：|a −1|≥4，解得 a ≤−3，或a ≥5. …(10分)解析：(1)不等式即|x −1|+|x −4|≥5，等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|a −1|，由题意可得|a −1|≥4，与偶此解得 a 的值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题。
南充市高2020届第二次高考适应性考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
点,
因为 E 为 PB 中点,所以此时,点 E 到平面 PAF 的距离最大,最大值为 1.
………………8 分
以 A 为坐标原点,直线 AF,AB,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz.
则 A(0,0,0) ,C( 3 ,1,0) ,E(0,1,1) ,B(0,2,0)
所以 A寅C = ( 3 ,1,0) ,A寅E = (0,1,1) ,A寅B = (0,2,0)
=
-(
t-1) 2 2t
<0,
故 渍(t) 在(0,1) 上单调递减.
因为
m臆-322
,所以( x1
+x2 )2 逸
9 2
,所以
x21
+x22 逸
5 2
即xx211+xx222 逸
5 2
,故
t+
1 t
逸
5 2
,( 0 <t <1 )
所以
0<t臆
1 2
,
所以渍 (Biblioteka t)的最小值为渍(
1 2
)
=
3 4
-ln2,即
此时,F 为 DC 的中点,即 AF = 3 ,
所以
S吟PAF
=
1 2
PA·AF
=
1 2
伊2伊
3=
3,
所以
VP-AFE
= VE-PAF
=
1 3
伊
3 伊1 =
3 3
.
20. 解:(1) 设 P( x,y) ,则PF寅1 = ( -c-x,-y) ,PF寅2 = ( c-x,-y) ,
所以PF寅1 ·PF寅2
所以 f( x) min = | a-1 | 要使 f( x) 逸4 对 a沂R 恒成立,则 | a-1 | 逸4 即可,
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．87．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1+2i，得．故选：B．3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，然后解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故选：C．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．解：法一：根据已知，有．法二：由得，两边平方得，所以，即．故选：A．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解：二项式（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3；故二项式展开式的常数项为，解得a＝1．故选：A．7．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】由已知可得点P在圆C上，且圆心C在直线l上，求得PC＝2．画出图形，利用勾股定理求得半弦长，则直线l'被圆C截得的弦长可求．解：由题意知，点P在圆C上，且圆心C在直线l上，∴PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关【分析】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，可得SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理可得R．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+＝R2，解得R ＝2．故球面面积为4πR2＝16π．故选：C．9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得每位学生选择三个锻炼项目有种，则总的选择方式有种，其中甲、乙的选择方式有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为或．解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．故选：B．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】画出图形，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），通过，推出直线OB的斜率的表达式，利用基本不等式求解即可．解：如图，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），依题意，四边形OABC为矩形，则，即x1x2+y1y2＝0，所以，即x1x2＝﹣16，从而，直线OB的斜率＝，．当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解真假，得到目标函数的最小值即可．解：不等式组表示的可行域是以（2，0），A（1，1），（3，1）为顶点的三角形及其内部，如图：当目标函数z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数在y轴是的的截距取得最小值，此时z取得最小值，z取得最小值3．故答案为：3．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用直线与平面的位置关系结合图形、逐个判断，即可得出答案．解：设平面α∩β＝a，①存在b⊂平面β，且b∥a，所以a∥平面α，故正确，②存在c⊂平面β，且c⊥a，所以c⊥平面α，故正确，③若l与两平面的交线相交，则平面β内不存在直线与直线l平行，则③错误；④由以上图可知存在平面β内一定存在直线与直线l异面．故④正确，故答案：①②④．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：由已知，不妨设b＝2a，由，，解得a＝1，则b＝2，据余弦定理有，所以．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是e．【分析】由不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，且x＞0，可化为．设，求导可得f'（x）＝，令f'（x）＝0可得x＝e2，可得在（0，e2）和（e2，+∞）函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最大值．结合图象可得f（x）在的图象的下面恒成立，则的图象与函数f（x）的图象相切时，ab取到最大值，进而求出ab的最大值．解：由a≠0，x＞0，原不等式可化为恒成立，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减．所以，f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值；且x＞e时，f（x）＞0．结合图象可知，的图象恒在f（x）的图象的上方，显然a＜0不符题意；当a＞0时，ab为直线的横截距，其最大值为f（x）的横截距，再令f（x）＝0，可得x＝e，所以ab取得最大值为e．此时a＝e2，，直线与f（x）在点（e，0）处相切，ab的最大值为e．故答案为：e．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．【分析】（1）对于数列{a n}：当n＝1时，由题设条件求出a1，再由当n≥2时，由S n ＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，进而说明数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，从而求得a n；对于数列{b n}：先设出等差数列{b n}的公差d，再由题设条件求出d，即可求得b n．（2）先由（1）求得c n，再求出T10即可．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2；当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．设等差数列{b n}的公差为d，则b3﹣b1＝16﹣20＝4＝2d，解得d＝﹣2，所以数列{b n}的通项公式b n＝22﹣2n．综合以上知：a n＝2n，b n＝22﹣2n；（2）由（1）知：c n＝a n*b n＝＝，所以T10＝a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10＝＝．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）法一：在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得，由此证明四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG，进而得证；法二：在线段BC上取靠近点B的四等分点H，可得HF∥PB，由此证明HF∥平面PBE，再证明四边形DEBH为平行四边形，可得DH∥平面PBE，综合可得平面DFH∥平面PBE，再利用面面平行的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBE及平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式直接求解即可．解：（1）法一：依题意得BE＝2，BC＝4，．…………………………（1分）如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，因为，所以．所以．……………………………………所以四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG．…………………………又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，．………………………………所以DF∥平面PBE．………………………………法二：如图，在线段BC上取靠近点B的四等分点H，连接FH，DH，因为，所以HF∥PB．又HF⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以HF∥平面PBE．……………………………………依题意得BE＝2，BC＝4，，而，所以．所以四边形DEBH为平行四边形．所以DH∥EB．又DH⊄平面PBE，EB⊂平面PBE，所以DH∥平面PBE．………………………………而DH⊂平面DFH，FH⊂平面DFH，DH∩FH＝H，所以平面DFH∥平面PBE．因为DF⊂平面DFH，所以DF∥平面PBE．………………………………（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又因为平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EC⊥平面PBE．……………………………………以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），，，B（2，0，0），由，得．…………………………………………则，．设平面PCD的法向量为，则，令y＝1，则，故可取．………………………………又EC⊥平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为，．…………………………则＝．所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．………………………………20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．【分析】（1）利用，求解轨迹方程即可．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，通过直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．转化求解即可．解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（﹣1）＝ea﹣1由已知列式求得a值，求出导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，关键导函数在本题区间段内的符号，可得原函数的单调性；（2）当a＞0时，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．结合f（﹣1）＞0，f （﹣2）＜0，可得f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，利用导数研究其单调性可知f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，利用导数求其极小值，根据极小值大于0，可得f（x）最多只有一个零点，不符合题意．当a＜0时，利用导数证明f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f （﹣x），再求导数证明f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，即x1+x2＞0．解：（1）由题，则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，此时，由f'（x）＝0，得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数；证明：（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，∴f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f （x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得x＝0，由x≤0，得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0，得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，∴当a＜0时，f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），∴，由于x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，又a＜0，则F'（x）＝ax（e x﹣e﹣x）＜0恒成立，∴F（x）为（0，+∞）的减函数，则F（x）＜F（0）＝f（0）﹣f（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），故有f（x2）＜f（﹣x2）．又x1，x2是f（x）的两个零点，则f（x1）＝f（x2），∴f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0，且a的取值范围是（﹣∞，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数1(i i+= )A ．2i -B ．0C ．12iD ．2i2．（5分）已知集合{1A =，3，}m ，{1B =，}m ，A B A =U ，则(m = ) A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或33．（5分）已知1tan ,22πααπ=-<<，则sin (α= )A ．25B ．5-C ．25-D ．5 4．（5分）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？( )A ．4.55尺B ．5.45尺C ．4.2尺D ．5.8尺5．（5分）已知等式232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x -+-=+++⋯+g 成立，则2414(a a a ++⋯+= )A ．0B ．5C ．7D ．146．（5分）过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是()A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=7．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足f （4）1=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x ='的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足()121,1b f a b a ++<+则的取值范围是( )A ．11(,)53B ．1(,)(5,)3-∞+∞UC ．1(,5)3D ．(,3)-∞8．（5分）一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为( )A 43B ．43C 23D ．239．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角(C = ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 10．（5分）正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为() A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π11．（5分）设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB ∆的面积为( ) A ．15B ．3215C ．1532D ．641512．（5分）已知函数()x a f x x e -=+，()(2)4a x g x ln x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为( ) A ．21ln --B ．12ln -+C ．2ln -D ．2ln二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +-=-r r r r g ，且||1a =r ，||2b =r ，则cos a <r ，b >=r ．14．（5分）函数()cos f x x =[0，)+∞的零点个数为 ．15．（5分）已知函数2()f x alnx bx =-图象上一点(2，f （2）)处的切线方程为3222y x ln =-++，则a b += ．16．（5分）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B ，D 为C 上互相不重合的三点，且||AF u u u r、||BF u u u r、||DF u u u r 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）等差数列{}n a 中，11a =，632a a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，记n S 为数列{}n b 前n 项的和，若62m S =，求m ．18．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． （1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120BAD ∠=︒，2PA =，PB PC PD ==，E 是PB 的中点．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值．20．（12分）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF u u u r u u u u rg 的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．。
四川省南充市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析
四川省南充市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．分式72x有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2B．x＝0 C．x≠﹣2 D．x＝﹣72．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（）A．150°B．140°C．130°D．120°3．下面的统计图反映了我市2011﹣2016年气温变化情况，下列说法不合理的是（）A．2011﹣2014年最高温度呈上升趋势B．2014年出现了这6年的最高温度C．2011﹣2015年的温差成下降趋势D．2016年的温差最大4．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人车离开A城的距离y(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A，B两城相距300 km；②小路的车比小带的车晚出发1 h，却早到1 h；③小路的车出发后2.5 h追上小带的车；④当小带和小路的车相距50 km时，t＝54或t＝154.其中正确的结论有()A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④5．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（12）﹣1=﹣2 C．16=±4 D．|﹣6|=66．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积是（）A．无法求出B．8 C．8πD．16π7．将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm8．3-的相反数是（）A．3B．-3C．3D．3-9．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠110．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或1211．如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T形管道，则其俯视图正确的是（）A．B．C．D．12．已知在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下列四个命题中真命题是（ ）A ．若AB=CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；B ．若∠DBC=∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；C ．若AO CO OB OD =，则四边形ABCD 一定是矩形； D ．若AC ⊥BD 且AO=OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知AB ∥CD ，若14AB CD =，则OA OC=_____．14．一组数据7，9，8，7，9，9，8的中位数是__________15．已知4360{24140x y z x y z --=+-=（x 、y 、z≠0），那么22222223657x y z x y z ++++的值为_____． 16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.17．如图，直线y ＝kx 与双曲线y ＝2x(x ＞0)交于点A(1，a)，则k ＝_____．18．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC 的度数为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点()P m n ,. （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n≤时，结合函数图象，直接写出实数k的取值范围.20．（6分）已知，关于x的方程x2﹣mx+14m2﹣1＝0，(1)不解方程，判断此方程根的情况；(2)若x＝2是该方程的一个根，求m的值．21．（6分）两家超市同时采取通过摇奖返现金搞促销活动，凡在超市购物满100元的顾客均可以参加摇奖一次．小明和小华对两家超市摇奖的50名顾客获奖情况进行了统计并制成了图表（如图）奖金金额获奖人数20元15元10元5元商家甲超市 5 10 15 20乙超市 2 3 20 25（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数是；（2）请你补全统计图1；（3）请你分别求出在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖多少元？（4）图2是甲超市的摇奖转盘，黄区20元、红区15元、蓝区10元、白区5元，如果你购物消费了100元后，参加一次摇奖，那么你获得奖金10元的概率是多少？22．（8分）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处，点D的横坐标n（n＞1）．（1）求点B的坐标；（2）平移后的抛物线可以表示为（用含n的式子表示）；（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，且点C 的横坐标为a ．①请写出a 与n 的函数关系式．②如图2，连接AC ，CD ，若∠ACD=90°，求a 的值．23．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2＝1．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m 的值．24．（10分）已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m ＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为_____．25．（10分）如图，已知AB 是O e 的直径，点C 、D 在O e 上，60D ∠=o 且6AB =，过O 点作OE AC ⊥，垂足为E ．()1求OE 的长；()2若OE 的延长线交O e 于点F ，求弦AF 、AC 和弧CF 围成的图形（阴影部分）的面积S ． 26．（12分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD ，BC=20cm ，BC 、EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40cm 、8cm ．为使板凳两腿底端A 、D 之间的距离为50cm ，那么横梁EF 应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．27．（12分）如图，点A ，B ，C 都在抛物线y=ax 2﹣2amx+am 2+2m ﹣5（其中﹣14＜a ＜0）上，AB ∥x 轴，∠ABC=135°，且AB=1．（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m 的代数式表示）；（2）求△ABC 的面积（用含a 的代数式表示）； （3）若△ABC 的面积为2，当2m ﹣5≤x≤2m ﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．【详解】解：分式72x有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：A．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义.分式是否有意义与分子的取值无关.2．A【解析】【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A．3．C【解析】【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．【详解】A选项：年最高温度呈上升趋势，正确；B选项：2014年出现了这6年的最高温度，正确；C选项：年的温差成下降趋势，错误；D选项：2016年的温差最大，正确；故选C．【点睛】考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．4．C【解析】【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【详解】由图象可知A，B两城市之间的距离为300 km，小带行驶的时间为5 h，而小路是在小带出发1 h后出发的，且用时3 h，即比小带早到1 h，∴①②都正确；设小带车离开A城的距离y与t的关系式为y小带＝kt，把(5，300)代入可求得k＝60，∴y小带＝60t，设小路车离开A城的距离y与t的关系式为y小路＝mt＋n，把(1，0)和(4，300)代入可得0 4300 m nm n+=⎧⎨+=⎩解得100100 mn=⎧⎨=-⎩∴y小路＝100t－100，令y小带＝y小路，可得60t＝100t－100，解得t＝2.5，即小带和小路两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时小路出发时间为1.5 h，即小路车出发1.5 h后追上甲车，∴③不正确；令|y小带－y小路|＝50，可得|60t－100t＋100|＝50，即|100－40t|＝50，当100－40t＝50时，可解得t＝54，当100－40t＝－50时，可解得t＝154，又当t＝56时，y小带＝50，此时小路还没出发，当t＝256时，小路到达B城，y小带＝250.综上可知当t的值为54或154或56或256时，两车相距50 km，∴④不正确．故选C.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．5．D【解析】【分析】运用正确的运算法则即可得出答案.【详解】A、应该为a5，错误；B、为2，错误；C、为4，错误；D、正确，所以答案选择D项.【点睛】本题考查了四则运算法则，熟悉掌握是解决本题的关键.6．D【解析】试题分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=12AB=12×8=4cm ． ∵圆环（阴影）的面积=π•OB 2-π•OC 2=π（OB 2-OC 2）又∵直角△OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴圆环（阴影）的面积=π•OB 2-π•OC 2=π（OB 2-OC 2）=π•BC 2=16π．故选D ．考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．7．A【解析】【分析】根据已知得出直径是60cm 的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120︒半径是30cm 的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案。
2020年四川省南充市中考数学二诊试卷及答案解析
2020年四川省南充市中考数学二诊试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（5分）2017年国内生产总值达到827 000亿元，稳居世界第二．将数827 000用科学记数法表示为（）A．82.7×104B．8.27×105C．0.827×106D．8.27×1063．（5分）下列事件属于必然事件的是（）A．经过有交通信号的路口，遇到红灯B．任意买一张电影票，座位号是双号C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落D．三角形中，任意两边之和大于第三边4．（5分）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在（）A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上5．（5分）关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a≠﹣2D．a＞1且a≠2 6．（5分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．﹣4C．7D．﹣77．（5分）在反比例函数y＝﹣图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2 8．（5分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．9．（5分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（）A．102°B．112°C．122°D．92°10．（5分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝．12．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为．13．（5分）不等式组的解集为14．（5分）如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）15．（5分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC 交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．16．（5分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三点，其中t＞0，函数y＝的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△P AB﹣S△PQB＝t，则t的值为．18．（5分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是．（把所有正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°（2）＝+120．（10分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．21．（10分）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D 相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）22．（10分）如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）请直接写出a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积．23．（10分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠P AC ＝∠B．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB＝12，求AC的长．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC 于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省南充市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识．2．（5分）2017年国内生产总值达到827 000亿元，稳居世界第二．将数827 000用科学记数法表示为（）A．82.7×104B．8.27×105C．0.827×106D．8.27×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：827 000＝8.27×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（5分）下列事件属于必然事件的是（）A．经过有交通信号的路口，遇到红灯B．任意买一张电影票，座位号是双号C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落D．三角形中，任意两边之和大于第三边【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：A、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，故选项错误；B、任意买一张电影票，座位号是双号，是随机事件，故选项错误；C、向空中抛一枚硬币，不向地面掉落，是不可能事件，故此选项错误；D、三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件，正确；故选：D．【点评】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（5分）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在（）A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上【分析】根据2＜＜3，得到﹣1＜2﹣＜0，根据数轴与实数的关系解答．【解答】解：2＜＜3，∴﹣1＜2﹣＜0，∴表示数2﹣的点P应落在线段BO上，故选：B．【点评】本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解题的关键．5．（5分）关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a≠﹣2D．a＞1且a≠2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+a，即x＝1﹣a，根据分式方程解为负数，得到1﹣a＜0，且1﹣a≠﹣1，解得：a＞1且a≠2．故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．6．（5分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．﹣4C．7D．﹣7【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a＝，即可求点A坐标，代入解析式可求k 的值．【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），∴设点A（a，3）∵S△ABC＝（a﹣1）×3＝2∴a＝∴点A（，3）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝7故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．7．（5分）在反比例函数y＝﹣图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．【解答】解：∵A（x1，y1）在反比例函数y＝﹣图象上，x1＜0，∴y1＞0，对于反比例函数y＝﹣，在第二象限，y随x的增大而增大，∵0＜x2＜x3，∴y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．8．（5分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD＝＝3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣•3•3＝6π﹣，∴阴影部分的面积为6π﹣．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．9．（5分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（）A．102°B．112°C．122°D．92°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB＝∠BDF＝∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF＝∠DBC＝∠DFC＝20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，由折叠可得∠ADB＝∠BDF，∴∠DBC＝∠BDF，又∵∠DFC＝40°，∴∠DBC＝∠BDF＝∠ADB＝20°，又∵∠ABD＝48°，∴△ABD中，∠A＝180°﹣20°﹣48°＝112°，∴∠E＝∠A＝112°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．10．（5分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝2（a﹣2b）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2﹣4ab+4b2）＝2（a﹣2b）2，故答案为：2（a﹣2b）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0，∴m2+2m＝∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2﹣2m+4＝+4＝故答案为：【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型．13．（5分）不等式组的解集为﹣1＜x＜3【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．14．（5分）如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求∠AOB＝110°，根据弧长公式可求劣弧的长．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C且∠C＝55°∴∠AOB＝110°根据弧长公式的长＝＝故答案为【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧长公式，关键是熟练运用弧长公式解决问题．15．（5分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC 交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是3﹣3．【分析】先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE ≌△BCE（SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．16．（5分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB或边BC上的一点，∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴P A＝＝4，∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三点，其中t＞0，函数y＝的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△P AB﹣S△PQB＝t，则t的值为4．【分析】先根据题意画出，因为函数y＝的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．可确定P和Q在第一象限，根据Q在AC上可得Q的坐标，根据反比例函数和直线BC的解析式列方程可得P的坐标，根据S△P AB﹣S△PQB＝t，列关于t的方程可得结论．【解答】解：如图所示，∵A（2t，0），C（2t，4t），∴AC⊥x轴，当x＝2t时，y＝＝，∴Q（2t，），∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），易得直线BC的解析式为：y＝3x﹣2t，则3x﹣2t＝，解得：x1＝t，x2＝﹣t（舍），∴P（t，t），∵S△P AB＝S△BAC﹣S△APC，S△PQB＝S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，∵S△P AB﹣S△PQB＝t，∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）＝t，S△ABQ+S△PQC﹣S△APC＝+﹣＝t，t＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式及计算图形面积的问题．解题的关键是确定交点P的坐标．18．（5分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号填在横线上）【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定分析各小题即可；【解答】解：∵∠FGH＝90°，∴∠BGF+∠CGH＝90°．又∵∠CGH+∠CHG＝90°，∴∠BGF＝∠CHG，故①正确．同理可得∠DEH＝∠CHG．∴∠BGF＝∠DEH．又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH，∴△BFG≌△DHE，故②正确．同理可得△AFE≌△CHG．∴AF＝CH．易得△BFG∽△CGH．设GH、EF为a，∴＝．∴＝．∴BF＝．∴AF＝AB﹣BF＝a﹣．∴CH＝AF＝a﹣．在Rt△CGH中，∵CG2+CH2＝GH2，∴32+（a﹣）2＝a2．解得a＝2．∴GH＝2．∴BF＝a﹣＝．在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝＝，∴∠BFG＝30°．∴tan∠BFG＝tan30°＝，故③错误．矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×2＝4，故④正确．故答案为：①②④【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°（2）＝+1【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝4+1+﹣1+1＝5+；（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握分式方程的解法以及运算法则是解本题的关键．20．（10分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有100人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；故答案为：100；（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补图如下：（3）选择“唱歌”的学生有：1200×＝480（人）；（4）根据题意画树形图：共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．（10分）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D 相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）根据已知条件得到∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，解直角三角形即可得到结论；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，求得EF，在Rt△BEF中，求得BF，于是得到结论．【解答】解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，∴BC＝＝1000，∴BD＝2BC＝2000，∵E在BD的中点处，∴BE＝BD＝1000（米）；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．【点评】此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．22．（10分）如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）请直接写出a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积．【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；（2）先表示出点C，D坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k，再判断出BC ⊥AD，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得，∴，∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．23．（10分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠P AC ＝∠B．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB＝12，求AC的长．【分析】（1）先判断出∠CAD+∠D＝90°，进而判断出∠CAD+∠P AC＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠B＝∠ACF，进而判断出△ABC∽△ACF，得出比例式即可得出结论．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径∴∠ACD＝90°；∴∠CAD+∠D＝90°∵∠P AC＝∠PBA，∠D＝∠PBA，∴∠CAD+∠P AC＝90°，∴∠P AD＝90°，∴P A⊥AD，∵点A在⊙O上，∴P A是⊙O的切线（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAD＝90°，∵∠CAD+∠D＝90°，∴∠D＝∠ACF，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝∠CAF，∴△ABC∽△ACF，∴，∴AC2＝AF•AB∵AF•AB＝12，∴AC2＝12，∴AC＝2．【点评】此题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，判断出∠B＝∠ACF是解本题的关键．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC 于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）S△COF：S△CDF＝3：2，则S△COF＝S△COD，即：x D＝x F，即可求解；（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）∵S△COF：S△CDF＝3：2，∴S△COF＝S△COD，即：x D＝x F，设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，点F在直线BC上，而BC所在的直线表达式为：y＝﹣x+3，则F（3t，3﹣3t），则：直线OF所在的直线表达式为：y＝x＝x，则点D（5t，5﹣5t），把D点坐标代入①，解得：t＝或，则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；（3）①当∠PEB＝2∠OBE时，当BP在x轴上方时，如图2，设BP1交y轴于点E′，∴∠P1BE＝2∠OBE，∴∠E′BO＝∠EBO，又∠E′OB＝∠EBO＝60°，BO＝BO，∴E′BO△≌△EBO（AAS），∴EO＝EO＝，∴点E′（0，），直线BP1过点B、E′，则其直线方程为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝﹣，故点P1的坐标为（﹣，）；当BP在x轴下方时，如图2，过点E作EF∥BE′交BP2于点F，则∠FEB＝∠EBE′，∴∠E′BE＝2∠OBE，∠EBP2＝2∠OBE，∴∠FEB＝∠EBF，∴FE＝BF，直线EF可以看成直线BE′平移而得，其k值为﹣，则其直线表达式为：y＝﹣x﹣，设点F（m，﹣m﹣），过点F作FH⊥y轴交于点H，作BK⊥HF于点K，则点H（0，﹣m﹣），K（3，﹣m﹣），∵EF＝BF，则FE2＝BF2，即：m2+（﹣+m+）2＝（3﹣m）2+（m+）2，解得：m＝，则点F（，﹣），则直线BF的表达式为：y＝x﹣…③，联立①③并解得：x＝﹣或3（舍去3），则点P2（﹣，﹣）；②当∠PBE＝2∠OBE时，当EP在BE上方时，如图3，点E′为图2所求，设BE′交EP3于点F，∵∠EBE′＝2∠OBE，∴∠EBE′＝∠P3EB，∴FE＝BF，由①知，直线BE′的表达式为：y＝﹣x+，设点F（n，﹣n+），K（3，﹣n+），由FE＝BF，同理可得：n＝，故点F（，），则直线EF的表达式为：y＝x﹣…④，联立①④并解得：n＝1或﹣（舍去负值），∴P3（1，4）；当EP在BE下方时，同理可得：x＝（舍去负值），故点P4（，﹣），故点P的坐标为：（1，4）或（﹣，）或（﹣，﹣）或（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，涉及到三角形相似、勾股定理运用等诸多知识点，是一道难度较大的题目．。
四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析
四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．用秦九韶算法求多项式f（x）=4x5﹣x2+2，当x=3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（）A．4，2 B．5，2 C．5，3 D．6，24．如图所示的程序框图中，输出的B是（）A． B．0 C．﹣D．﹣5．某种商品计划提价，现有四种方案，方案（Ⅰ）先提价m%，再提价n%；方案（Ⅱ）先提价n%，再提价m%；方案（Ⅲ）分两次提价，每次提价（）%；方案（Ⅳ）一次性提价（m+n）%，已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ6．函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）7．某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（）A．330种B．420种C．510种D．600种8．一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f （2﹣x）=f（x）当x∈[0，1]时，f （x）=e﹣x，若函数y=[f （x）]2+（m+l）f（x）+n在区间[﹣k，k]（k＞0）内有奇数个零点，则m+n=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．210．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则这个三角形必含有（）A．90°的内角B．60°的内角C．45°的内角 D．30°的内角11．锥体中，平行于底面的两个平面把锥体的体积三等分，这时高被分成三段的长自上而下的比为（）A．1：：B．1：2：3 C．1：（﹣1）：（﹣）D．1：（﹣1）：（﹣）12．F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线C于点A，B，l2交抛物线C于点G，H，则•的最小值是（）A．8 B．8C．16 D．16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为．14．渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须流出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0），则鱼群年增长量的最大值是．15．若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=，•=，则b=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）设各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：对任意n∈N*，a n，b n，a n成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3．+1（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{}前n项的和．18．（12分）某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：组别理科文科性别男生女生男生女生人数4431学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率？（Ⅱ）设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB 的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（Ⅰ）若DE∥平面A1MC1，求；（Ⅱ）求直线BG和平面A1MC1所成角的余弦值．20．（12分）已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的圆心是C（1，），半径为1，求：（1）圆C的极坐标方程；（2）直线l被圆C所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．若关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，求实数a的取值范围．四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．即可得出．【解答】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点（3m﹣2，m﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】并集及其运算．【分析】由题意知满足条件的集合A中必有元素{5}，元素1，3可以没有，或有1个，或有2个，由此能求出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数．【解答】解：∵满足条件{1，3}∪A={1，3，5}，∴满足条件的集合A有：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，∴满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是4．故选：A．【点评】本题考查满足条件的集合A的个数的求法，是基础题，注意并集性质的合理运用．3．秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．用秦九韶算法求多项式f（x）=4x5﹣x2+2，当x=3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（）A．4，2 B．5，2 C．5，3 D．6，2【考点】秦九韶算法．【分析】由秦九韶算法的原理，可以把多项式f（x）=4x5﹣x2+2变形计算出乘法与加法的运算次数．【解答】解：∵f（x）=（（（（4x）x）x﹣1）x）x+2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．故选B．【点评】本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时一共会进行多少次加法和乘法运算，是一个基础题．4．如图所示的程序框图中，输出的B是（）A． B．0 C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，A，B的值，当i=时不满足条件i≤，退出循环，输出B的值为﹣，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得A=，i=1，A=，B=﹣，i=2，满足条件i≤，执行循环体，A=π，B=0，i=3，满足条件i≤，执行循环体，A=，B=，i=4，满足条件i≤，执行循环体，A=，B=﹣，…观察规律可知，可得：i=，满足条件i≤，执行循环体，A=，B=sin=sin=﹣，i=，不满足条件i≤，退出循环，输出B的值为﹣．故选：D．【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题．5．某种商品计划提价，现有四种方案，方案（Ⅰ）先提价m%，再提价n%；方案（Ⅱ）先提价n%，再提价m%；方案（Ⅲ）分两次提价，每次提价（）%；方案（Ⅳ）一次性提价（m+n）%，已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】设单价为1，那么方案（Ⅰ）售价为：1×（1+m%）（1+n%）=（1+m%）（1+n%）；方案（Ⅱ）提价后的价格是：（1+n%）（1+m%））；（Ⅲ）提价方案提价后的价格是：（1+%）2；方案（Ⅳ）提价后的价格是1+（m+n）%显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因而只需比较（1+m%）（1+n%）与（1+%）2的大小．【解答】解：依题意得：设单价为1，那么方案（Ⅰ）售价为：1×（1+m%）（1+n%）=（1+m%）（1+n%）；方案（Ⅱ）提价后的价格是：（1+n%）（1+m%））；（1+m%）（1+n%）=1+m%+n%+m%•n%=1+（m+n）%+m%•n%；（Ⅲ）提价后的价格是（1+%）2=1+（m+n）%+（%）2；方案（Ⅳ）提价后的价格是1+（m+n）%所以只要比较m%•n%与（%）2的大小即可∵（%）2﹣m%•n%=（%）2≥0∴（%）2≥m%•n%即（1+%）2＞（1+m%）（1+n%）因此，方案（Ⅲ）提价最多．故选C．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．需用到的知识点为：（a﹣b）2≥0．6．函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），利用正弦函数的单调增区间，求出函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间．【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，正确化简函数是关键．7．某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（）A．330种B．420种C．510种D．600种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，若都选1门，有=60种；若有1人选2门，则有=180种，若有2人选2门，则有=90种，故共有60+180+90=330种，故选：A．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查排列组合知识的运用，属于中档题．8．一个多面体的三视图和直观图如图所示，M 是AB 的中点，一只蜻蜓在几何体ADF ﹣BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F ﹣AMCD 内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】几何概型．【分析】先根据三棱锥的体积公式求出F ﹣AMCD 的体积与三棱锥的体积公式求出ADF ﹣BCE 的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可． 【解答】解：因为V F ﹣AMCD ==，V ADF ﹣BCE =，所以它飞入几何体F ﹣AMCD 内的概率为=，故选：D ．【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式，以及几何概型的应用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．9．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （2﹣x ）=f （x ）当x ∈[0，1]时，f （x ）=e ﹣x ，若函数y=[f （x ）]2+（m +l ）f （x ）+n 在区间[﹣k ，k ]（k ＞0）内有奇数个零点，则m +n=（ ） A ．﹣2B ．0C ．1D ．2【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】根据已知条件，f（x）为偶函数，再结合零点的定义可知，函数y=[f （x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[﹣k，0）和区间（0，k]上的零点个数相同，所以便知k=0是该函数的一个零点，所以可得到0=1+m+1+n，所以m+n=﹣2．【解答】解：∵y=f（x）是偶函数；又∵函数y=[f（x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[﹣k，k]内有奇数个零点；∴若该函数在[﹣k，0）有零点，则对应在（0，k]有相同的零点；∵零点个数为奇数，∴x=0时该函数有零点；∴0=1+m+1+n；∴m+n=﹣2．故选：A．【点评】考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），零点的定义，以及对于零点定义的运用．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则这个三角形必含有（）A．90°的内角B．60°的内角C．45°的内角 D．30°的内角【考点】正弦定理．【分析】先把已知条件等号左边的分子分母利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，右边利用正弦定理化简后，根据三角形的内角和定理及诱导公式，得到2cosA=1，然后在等号两边都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函数公式及诱导公式化简后，即可得到2A=B+C，由A+B+C=180°，即可解得：A=60°．【解答】解：=====，因为sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，得到sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，即sinB=sin（A+B）﹣sin（A﹣B）=2cosAsinB，得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），由2A+B+C≠π，得到2A=B+C，因为A+B+C=180°所以可解得：A=60°故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和与差的正弦函数公式以及诱导公式化简求值，属于中档题．11．锥体中，平行于底面的两个平面把锥体的体积三等分，这时高被分成三段的长自上而下的比为（）A．1：：B．1：2：3 C．1：（﹣1）：（﹣）D．1：（﹣1）：（﹣）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】锥体被平行于底面的两平面截得三部分的体积的比自上至下依次是1：2：3，则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，根据相似的性质三个锥体的体积比，从而求出相似比为1：：，得到这三部分的相应的高的比．【解答】解：由题意，以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，根据相似的性质三个锥体的体积比为1：2：3，相似比为1：：，则h1：h2：h3=1：（﹣1）：（﹣），故选D．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中利用相似的性质，线之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立方，求出三个锥体的体积之比是解答本题的关键．12．F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线C于点A，B，l2交抛物线C于点G，H，则•的最小值是（）A．8 B．8C．16 D．16【考点】直线与抛物线的位置关系；平面向量数量积的运算．【分析】设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程y=﹣（x﹣1），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求•的最小值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程y=﹣（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），由，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+，x1x2=1．由，消去y得：x2﹣（4k2+2）x+1=0，∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…（9分）∴•=（+）（+）=||•||+||•||，=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）=8++4k2≥8+2=16．当且仅当=4k2，即k=±1时，•有最小值16，…（12分）故选C．【点评】本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（2，3），∴|BC|=2，A到BC所在直线的距离为1．∴可行域面积为S=．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14．渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须流出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0），则鱼群年增长量的最大值是．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．我们根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域，使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值．【解答】解：由题意，空闲率为 1﹣，∴y=kx（1﹣），定义域为（0，m），y=kx（1﹣）=﹣，因为 x∈（0，m），k＞0；所以当x=时，y max=．故答案为．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．15．若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（﹣∞，] ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的性质，得圆心在直线2ax﹣by+2=0上，解得b=1﹣a，代入式子a•b并利用二次函数的图象与性质，即可算出a•b的取值范围．【解答】解：∵直线2ax﹣by+2=0（a、b∈R）始终平分x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，∴圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0上，可得﹣2a﹣2b+2=0解得b=1﹣a∴a•b=a（1﹣a）=﹣（a﹣）2+≤，当且仅当a=时等号成立因此a•b的取值范围为（﹣∞，]．故答案为（﹣∞，]．【点评】本题给出直线始终平分圆，求ab的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的性质和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=，•=，则b=5．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入求出cosC的值，发现cosC的值大于0，由A和B为三角形的内角，得到A和B都为锐角，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简cosB，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosB的值；利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式•=，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出关系式，将C=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，进而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵C=2A，cosA=＞0，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=2×（）2﹣1=＞0，∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴0＜A＜，0＜C＜，∴sinA==，sinC==，∴cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos（A+C）=﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=；∵•=，∴accosB=，∴ac=24，∵===，∴a==c，由解得，∴b2=a2+c2﹣2accosB=42+62﹣2×24×=25，∴b=5．故答案为：5．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（•南充模拟）设各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：对任意n ∈N*，a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3．（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{}前n项的和．【考点】数列的求和．【分析】（I）对任意n∈N*，a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，可得2b n=a n+a n+1， =b n•b n+1，a n＞0，a n+1=，代入即可证明．（II）a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2，解得：b2．公差=．可得=×．b n代入=b n•b n+1，a n+1＞0．可得a n+1=，可得=．即可得出．【解答】（I）证明：∵对任意n∈N*，a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，∴2b n=a n+a n+1， =b n•b n+1，a n＞0，=，∴a n+1∴2b n=+，∴=+．∴数列{}是等差数列．（II）解：a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2，解得：b2=．∴公差d===．=+（n﹣1）=×．∴b n=．∴=b n•b n+1=，a n+1＞0．=，∴a n+1∴n≥2时，a n=．n=1时也成立．∴a n=．n∈N*．∴=．∴数列{}前n项的和=+…+=2=．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（•南充模拟）某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：组别理科文科性别男生女生男生女生人数4431学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率？（Ⅱ）设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有共有：．其中“理科组恰好记4分”的选法有两种情况：从理科组中选取2男1女，再从文科组中任选1人，可有方法；另一种是从理科组中选取2女，再从文科组中任选2人，可有方法．根据互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式即可得出．（II）由题意可得ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==，即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（I）要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有共有： =424．其中“理科组恰好记4分”的选法有两种情况：从理科组中选取2男1女，再从文科组中任选1人，可有方法；另一种是从理科组中选取2女，再从文科组中任选2人，可有方法．∴P==．（II）由题意可得ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==，由题意可得ξ=0，1，2，3．其分布列为：ξ0123P（ξ）ξ的数学期望Eξ=++=．【点评】本题考查了互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（•南充模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC 上一点．（Ⅰ）若DE∥平面A1MC1，求；（Ⅱ）求直线BG和平面A1MC1所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出．（Ⅱ）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…（3分）且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴=．…（6分）（Ⅱ）连结B1M，…（7分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…（9分）∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴A1M=A1C1=，则MC1=2，B1C1=，∴cos∠B1C1M=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（•南充模拟）已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）计算圆心O到直线l：x+y+8=0的距离，可得直线l被圆O截得的弦长，利用直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，可求a的值，利用椭圆的离心率为e=，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）由，可得四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，设直线方程代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心O到直线l：x+y+8=0的距离为，∴直线l被圆O截得的弦长为，∵直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，∴2a=4，∴a=2，∵椭圆的离心率为e=，∴c=∴b2=a2﹣c2=1∴椭圆C的方程为：；…（4分）（Ⅱ）∵，∴四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，设A（x1，y2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0．…（7分）直线l的斜率显然存在，设过点（3，0）的直线l方程为：y=k（x﹣3），由，得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0，由△=（﹣24k2）2﹣4（1+4k2）（36k2﹣4）＞0，可得﹣5k2+1＞0，即．…（9分）∴=，由x1x2+y1y2=0得：，满足△＞0．…（12分）故存在这样的直线l，其方程为．…（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用向量的数量积公式、韦达定理是关键．21．（12分）（•南充模拟）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（Ⅲ）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．（Ⅱ）证明：因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又g′（x）=，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=＜，所以f（x）min﹣g（x）max＞，所以在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则f′（x）=a﹣=，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0＜＜e时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f（x）min=f（）=1+lna=3，a=e2，满足条件．③当≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3，综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（•南充模拟）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=1，圆C的圆心是C（1，），半径为1，求：（1）圆C的极坐标方程；（2）直线l被圆C所截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质．【分析】（1）直接利用x2+y2=ρ2，ρcosθ=xρsinθ=y的关系式把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，及把圆的直角坐标方程转化成极坐标方程．（2）利用圆心和直线的关系求出直线被圆所截得的弦长．【解答】解：（1）已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，所以：即：x+y﹣=0．因为：圆C的圆心是C（1，），半径为1，所以转化成直角坐标为：C，半径为1，所以圆的方程为：转化成极坐标方程为：（2）直线l的方程为：x+y﹣=0，圆心C满足直线的方程，所以直线经过圆心，所以：直线所截得弦长为圆的直径．由于圆的半径为1，所以所截得弦长为2．【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与曲线的位置关系．属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．（•南充模拟）若关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式．【分析】首先分析题目已知关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，求实数a的取值范围．即可先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．然后根据恒成立分析a的范围，即可得到答案．【解答】解：关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．当x≥1时，不等式化为x+x﹣1≤a，即x≤．此时不等式有解当且仅当1≤，即a≥1．≥1．。
2020届四川省南充市高三第二次高考适应性考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省南充市高三第二次高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i【答案】C 【解析】略2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 【解析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.3．已知1tan 2α=-，2παπ<<，则sin α=（ ）A ．B ．5-C ．D 【答案】D【解析】根据同角三角函数基本关系，得到cos 2sin αα=-，再由22sin cos 1αα+=，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】 由sin 1tan cos 2ααα==-，得cos 2sin .αα=- 又因为22sin cos 1αα+=， 所以22sin 4sin 1αα+=，即21sin .5α=因为2παπ<<，所以5sin α=. 故选D. 【点睛】本题主要考查由正切求正弦的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8【答案】B【解析】如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ， ∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩. ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.5．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D【解析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知：令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ； 令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以241413a a a +++=L .故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力. 6．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --= B ．440x y +-= C ．440x y ++= D ．440x y -+=【答案】A【解析】过圆222x y r +=外一点(,)m n ，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为20mx ny r +-=，故选A ．7．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53) B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C ．(1,53)D ．(,3)-∞【答案】C【解析】先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定11b a ++的取值范围.【详解】由()y f x '=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可知24a b +<.故1421725111ba a a a +-+<=-+<+++， 又有11712133322b b b b a ++>=-+>+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C 【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.8．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．3C 23D ．3【答案】B【解析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．9．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．10．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D【解析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．11．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A【解析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴==，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.12．已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln21-- B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2【答案】A【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+2）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+2），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln2时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A ．二、填空题13．已知向量,a b rr 满足(2)()6a b a b +⋅-=-rrrr，且||1,||2a b ==r r，则cos ,a b <>=r r_________． 【答案】12【解析】由数量积的运算律求得a b ⋅r r，再由数量积的定义可得结论．【详解】由题意222(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-r r r r r rrr rr，∴1a b ⋅=r r ，即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=r r r r r r ，∴1cos ,2a b <>=r r ．故答案为：12．【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．14．函数()cos f x x =[0,)+∞的零点个数为_________.【答案】1【解析】本问题转化为曲线cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】问题函数()cos f x x =在[0,)+∞的零点个数，可以转化为曲线cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞交点个数问题.在同一直角坐标系内，画出函数cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞的图象，如下图所示：由图象可知：当[0,)x ∈+∞时，两个函数只有一个交点. 故答案为：1 【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想. 15．已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．【答案】3【解析】求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得,a b ． 【详解】 由题意()2af x bx x'=-， ∵函数图象在点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，∴432ln 2462ln 22ab a b ⎧-=-⎪⎨⎪-=-++⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴3a b +=． 故答案为：3． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，16．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r、||BF uuu r 、||DF uuu r成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.【答案】(1,2)或(1,2)-【解析】设出,,A B D 三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-，设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，由抛物线的定义可知：11||(1)1AF x x =--=+u u u r ，22||(1)1BF x x =--=+u u u r，33||(1)1DF x x =--=+u u u r ，因为||AF uuu r、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，所以有2||BF =u u u r ||DF uuu r ||AF +u u u r ，所以1322x x x +=，因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，所以EA ED =，因此有22111333964964x x x x x x =⇒-++=-++，化简整理得：131313()(2)0x x x x x x -+-=⇒=或132x x +=.若13x x =，由1322x x x +=可知；123x x x ==，这与已知矛盾，故舍去； 若132x x +=，所以有13212x x x +==，因此2222442y x y ==⇒=±. 故答案为：(1,2)或(1,2)- 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.三、解答题17．等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n S 为数列{}n b 前n 项的和，若62m S =，求m ．【答案】（1）n a n =（2）5m =【解析】（1）由基本量法求出公差d 后可得通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求得n S ，可求得m ． 【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得1(1)n a n d =+-因为632a a =，所以1(61)2[1(31)]d d +-=+- 解得1d =， 故n a n =．（2）由（1）得2nn b =．所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222212n n n S ++-==--，由62m S =得12262m +-=， 解得5m =． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法． 18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）190（2）见解析（3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【解析】（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；（3）由列联表计算2K可得结论．【详解】解：（1）1901901902m+==．（2）（3）由于2245(1516410)7.287 6.63519262520k⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键． 19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】（1）取BC 中点M ，连接,PM AM ，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，结合垂线段的性质可以确定点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1.以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒. 所以AM BC ⊥，因为PB PC =，所以PM BC ⊥， 又AM PM M =I ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA BC ⊥. 同理可证PA DC ⊥，因为DC BC C =I ， 所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =. 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点，因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r即0,0,y y z +=+=⎪⎩ 取1y =，则(1)3n =--r，cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r ru u u r r ，所以sin ,n AB <>==u u u r r ，所以面PAF 与面EAC. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11xC y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF u u u v u u u u v的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）2.【解析】（1）利用12•PF PF u u u v u u u u v的最小值为0，可得2222221221•1a PF PF x y c x c a-=+-=+-u u u v u u u u v ，[],x a a ∈-，即可求椭圆C 的方程；（2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0∆=即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到11d F M =，22d F M =．当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，即可得到四边形12F MNF 面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，即可得出S 的最大值． 【详解】（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+u u u v ，()2,F P x c y =-u u u u v，2222221221•1a PF PF x y c x c au u u v u u u u v -∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．设1121k m d F M k -+==+，2221k m d F M k +==+，当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，121=MN d d k∴⋅-， ()12122211=21m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+，2221m k =+Q ，22244=111m m S k m m m∴==+++∴当0k ≠时，1m >，12m m+>， 2S <∴．当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =． 所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 21．已知函数21()ln 2f x x mx x =++.（1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； （2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <，2m ≤-，求()()12f x f x -的最小值.【答案】（1）[)2+-∞，（2）3ln 24- 【解析】分析：（1）先求导，再令()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，得到()1x m 0,x∞+≥-+在上恒成立，利用基本不等式得到m 的取值范围.(2)先由()2110x mx f x x m x x++=++=='得到1212 ,1x x m x x +=-=，再求得()()112122211ln2x x x f x f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再构造函数()1211t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫==--<< ⎪⎝⎭令（）再利用导数求其最小值. 详解：（1）由函数()21ln 2f x x mx x =++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为，由()1,f x x m x=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，()1x m 0,x∞∴+≥-+在上恒成立1x 0,x 2,x 12x>+≥==Q 当且仅当时取到最小值m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得[)m 2+∞∴-的取值范围为，（2）由()1知()()()1f x 0,,f x x m x∞+='++定义域为， 令()2110x mx f x x m x x++=++=='，即210x mx ++=由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x << 故12,x x 为方程210x mx ++=的两根， 1212,1x x m x x ∴+=-=，∴ ()12m x x =-+，22121221,x x x x x x ==则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭()()221121221ln 2x x x m x x x =-+-+ ()()22221121221ln 2x x x x x x =---+ ()2211221ln2x x x x =-- 1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫<<==--<< ⎪⎝⎭令则 由()211122g x t t =-+' ()22102t t -=-<，则()()0,1g t 在上单调递减m ≤Q 又，即()12x x -+≤12x x ∴+≥()2221212121221192222x x x x x x x x t x x t ∴+=++=++=++≥ 152t t ∴+≥122t t ∴≥≤或由01t <<知102t <≤()11113ln 2ln222224g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，()()12f x f x -的最小值为3ln24-. 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出()()112122211ln2x x x f x f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,其二是构造函数()1211t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫==--<< ⎪⎝⎭令（）再利用导数求其最小值. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3,5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 【答案】（1）（2）32【解析】试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由222sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3又直线l 过点P，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．23．设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式()5f x ³的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或5}x ≥；（2）3a ≤-或5a ≥.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()f x 最小值，再解含绝对值不等式可得a 的取值范围.试题解析：（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥. （2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020年四川南充高三二模数学试卷(理科)
A. 尺
B.
尺
C. 尺
D. 尺
5. 已知等式 （ ）． A. B. C.
成立，则
1
D.
6. 过圆 A. B. C. D.
外一点
引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．
7. 定义在 上的函数 两个正数 满足
满足 ，则
， 为 的导函数，已知 的取值范围是（ ）．
的图象如图所示，若
A. B. C. D.
，
所以 的最小值为
，即
的最小值为
．
22.（ 1 ）普通方程为
（2）
解析:
（1） 由
．直角坐标方程为 得直线 的普通方程为
． ．
又由 （2）
得圆 的直角坐标方程为 ．
，即
18
把直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得
，即
，由于 ，又直线 过点
．
，故可设 ， 是上述方程的两实数根，所以 ， 两点对应的参数分别为 ， ，所以
正弦值．
距离最大时，求面
与面
所成二面角的
20. 设点 点，且
，
分别是椭圆
的最小值为 ．
的左，右焦点， 为椭圆 上任意一
（ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 如图，动直线 于 ， 两点，求四边形
与椭圆 有且仅有一个公共点，作
，
分别交直线
面积 的最大值．
21. 已知函数
．
（ 1 ） 若函数 不存在单调递减区间，求实数 的取值范围．
由题意当
时，
最小，
所以
， ，则
，
所以椭圆 的方程为
．
（ 2 ）联立
得
因为 与 有且只有一个公共点，
2020届四川省南充市高三第二次高考适应性考试数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届四川省南充市高三第二次高考适应性考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i答案：C 略2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3答案：B 解：因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.3．已知1tan 2α=-，2παπ<<，则sin α=（ ）A B ．C ． D 答案：D根据同角三角函数基本关系，得到cos 2sin αα=-，再由22sin cos 1αα+=，结合题中条件，即可得出结果. 解： 由sin 1tan cos 2ααα==-，得cos 2sin .αα=- 又因为22sin cos 1αα+=，所以22sin 4sin 1αα+=，即21sin .5α= 因为2παπ<<，所以5sin 5α=. 故选D. 点评：本题主要考查由正切求正弦的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8答案：B如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ，∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩.∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.5．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A ．0B ．5C ．7D ．13答案：D根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 解：由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知： 令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ； 令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以241413a a a +++=L .故选：D 点评：本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力. 6．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --= B ．440x y +-= C ．440x y ++= D ．440x y -+=答案：A过圆222x y r +=外一点(,)m n ，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为20mx ny r +-=，故选A ．7．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53) B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C ．(1,53)D ．(,3)-∞答案：C先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定11b a ++的取值范围. 解：由()y f x '=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可知24a b +<.故1421725111b a a a a +-+<=-+<+++， 又有11712133322b b b b a ++>=-+>+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C 点评：本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.8．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．33B ．3C ．233D ．23答案：B由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 解：由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 点评：本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体． 9．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案：C由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 解：∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 点评：本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．10．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π答案：D由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 解：如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=，∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．点评：本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．11．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．3215B ．6415C ．5D ．6答案：A根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 解：由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴==，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A 点评：本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.12．已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln21-- B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2答案：A令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+2）+4e a ﹣x ，令y=x ﹣ln （x+2），y ′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而ex ﹣a+4ea ﹣x≥4，（当且仅当ex ﹣a=4ea ﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A ．二、填空题13．已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +⋅-=-r r r r ，且||1,||2a b ==r r，则cos ,a b <>=r r_________． 答案：12由数量积的运算律求得a b ⋅r r，再由数量积的定义可得结论． 解：由题意222(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-r r r r r rrr rr，∴1a b ⋅=r r ，即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=r r r r r r ，∴1cos ,2a b <>=r r ．故答案为：12．点评：本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．14．函数()cos f x x =在[0,)+∞的零点个数为_________.答案：1本问题转化为曲线cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 解：问题函数()cos f x x =在[0,)+∞的零点个数，可以转化为曲线cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞交点个数问题.在同一直角坐标系内，画出函数cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞的图象，如下图所示：由图象可知：当[0,)x ∈+∞时，两个函数只有一个交点. 故答案为：1 点评：本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.15．已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．答案：3求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得,a b ． 解： 由题意()2af x bx x'=-， ∵函数图象在点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，∴432ln 2462ln 22ab a b ⎧-=-⎪⎨⎪-=-++⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴3a b +=． 故答案为：3． 点评：本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，16．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r、||BF uuu r 、||DF uuu r成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.答案：(1,2)或(1,2)-设出,,A B D 三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可. 解：抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-，设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，由抛物线的定义可知：11||(1)1AF x x =--=+u u u r ，22||(1)1BF x x =--=+u u u r，33||(1)1DF x x =--=+u u u r ，因为||AF uuu r、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，所以有2||BF =u u u r ||DF uuu r ||AF +u u u r ，所以1322x x x +=，因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，所以EA ED =，因此有22111333964964x x x x x x =⇒-++=-++，化简整理得：131313()(2)0x x x x x x -+-=⇒=或132x x +=.若13x x =，由1322x x x +=可知；123x x x ==，这与已知矛盾，故舍去； 若132x x +=，所以有13212x x x +==，因此2222442y x y ==⇒=±. 故答案为：(1,2)或(1,2)- 点评：本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.三、解答题17．等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n S 为数列{}n b 前n 项的和，若62m S =，求m ．答案：（1）n a n =（2）5m =（1）由基本量法求出公差d 后可得通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求得n S ，可求得m ． 解：解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得1(1)n a n d =+-因为632a a =，所以1(61)2[1(31)]d d +-=+- 解得1d =， 故n a n =．（2）由（1）得2nn b =．所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222212n n n S ++-==--，由62m S =得12262m +-=， 解得5m =． 点评：本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法． 18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，答案：（1）190（2）见解析（3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；（3）由列联表计算2K可得结论．解：解：（1）1901901902m+==．（2）（3）由于2245(1516410)7.287 6.63519262520k⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．点评：本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键． 19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值. 答案：（1）证明见解析（2）77（1）取BC 中点M ，连接,PM AM ，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，结合垂线段的性质可以确定点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1.以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 解：（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒. 所以AM BC ⊥，因为PB PC =，所以PM BC ⊥， 又AM PM M =I ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA BC ⊥. 同理可证PA DC ⊥，因为DC BC C =I ， 所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =. 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点，因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r即0,0,y y z +=+=⎪⎩取1y =，则(1)3n =--r，cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r ru u u r r ，所以sin ,n AB <>==u u u r r ，所以面PAF 与面EAC. 点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11xC y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF u u u v u u u u v的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．答案：（1）2212x y +=；（2）2.（1）利用12•PF PF u u u v u u u u v 的最小值为0，可得2222221221•1a PF PF x y c x c a -=+-=+-u u u v u u u u v ，[],x a a ∈-，即可求椭圆C 的方程；（2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0∆=即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到11d F M =，22d F M =．当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，即可得到四边形12F MNF 面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，即可得出S 的最大值． 解：（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+u u u v ，()2,F P x c y =-u u u u v，2222221221•1a PF PF x y c x c au u u v u u u u v -∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中， 得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m∆=-+-=，化简得：2221m k=+．设1121k md F Mk-+==+，2221k md F Mk+==+，当0k≠时，设直线l的倾斜角为θ，则12tand d MNθ-=⨯，121=MN d dk∴⋅-，()12122211=21mS d d d dk k∴⨯⋅-⋅+=+，2221m k=+Q，22244=111m mSk m mm∴==+++∴当0k≠时，1m>，12mm+>，2S<∴．当0k=时，四边形12F MNF是矩形，2S=．所以四边形12F MNF面积S的最大值为2．点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．已知函数21()ln 2f x x mx x =++. （1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； （2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <，2m ≤-，求()()12f x f x -的最小值.答案：（1）[)2+-∞，（2）3ln 24- 分析：（1）先求导，再令()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，得到()1x m 0,x∞+≥-+在上恒成立，利用基本不等式得到m 的取值范围.(2)先由()2110x mx f x x m x x++=++=='得到1212 ,1x x m x x +=-=，再求得()()112122211ln2x x x f x f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再构造函数()1211t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫==--<< ⎪⎝⎭令（）再利用导数求其最小值. 详解：（1）由函数()21ln 2f x x mx x =++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为，由()1,f x x m x=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，()1x m 0,x∞∴+≥-+在上恒成立1x 0,x 2,x 12x>+≥==Q 当且仅当时取到最小值m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得[)m 2+∞∴-的取值范围为，（2）由()1知()()()1f x 0,,f x x m x∞+='++定义域为， 令()2110x mx f x x m x x++=++=='，即210x mx ++=由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x << 故12,x x 为方程210x mx ++=的两根， 1212,1x x m x x ∴+=-=，∴ ()12m x x =-+，22121221,x x x x x x == 则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭()()221121221ln 2x x x m x x x =-+-+ ()()22221121221ln 2x x x x x x =---+ ()2211221ln2x x x x =-- 1122211ln2x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫<<==--<< ⎪⎝⎭令则 由()211122g x t t =-+' ()22102t t -=-<，则()()0,1g t 在上单调递减m ≤Q 又，即()12x x -+≤122x x ∴+≥()2221212121221192222x x x x x x x x t x x t ∴+=++=++=++≥ 152t t ∴+≥122t t ∴≥≤或由01t <<知102t <≤()11113ln 2ln222224g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，()()12f x f x -的最小值为3ln24-. 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出()()112122211ln2x x x f x f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,其二是构造函数()1211t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫==--<< ⎪⎝⎭令（）再利用导数求其最小值. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3,5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 答案：（1）（2）32试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由222sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3又直线l 过点P，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．23．设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式()5f x ³的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）{|0x x ≤或5}x ≥；（2）3a ≤-或5a ≥.试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()f x 最小值，再解含绝对值不等式可得a 的取值范围. 试题解析：（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥. （2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
【附加15套高考模拟试卷】四川省南充市2020届高三二诊测试(数学理)试题含答案
四川省南充市2020届高三二诊测试（数学理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()()212log1f x x=+112x++，则使得()()21f x f x≤-成立的x的取值范围是（）A．(],1-∞B．[)1,+∞C．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞⎥⎝⎦2．函数()2sin()(0)3f x xπωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）A．[2,4]ππ B．9[2,)2ππC．1325[,)66ππD．25[2,)6ππ3．如图是为了求出满足321000->n n的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．1000>A和1=+n n B．1000>A和2=+n nC．1000≤A和1=+n n D．1000≤A和2=+n n4．在ABC∆中，cos cosa Ab B=，则ABC∆的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．在平面直角坐标系中，(4,0),(1,0)A B--，点(,)(0)P a b ab≠满足||2||AP BP=，则2241a b+的最小值为（）A．4 B．3 C．32D．946．已知函数32()(0)g x ax bx cx d a=+++≠的导函数为()f x，且230a b c++=，(0)(1)0,f f>设12,x x 是方程()0f x=的两根，则12x x-的取值范围是（）A．2 [0,)3B．4[0,)9C．12(,)33D．14(,)997．若直线l不平行于平面a，且l a⊄，则A．a内的所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l都相交8．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计如图所示的程序框图，输入3A=，1a=.那么在①处应填_______和输出i的值为（）A．2?S T> 4 B．2?S T< 4C．2?T S> 3 D．2?T S< 39．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A．120 B．260 C．340 D．42010．已知函数2(1),0()43,0xe xf xx xx+⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a=-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x则1234x x x x++的取值范围为（）A．(]5,3+eB．[4,4)e+ C．[)4+∞，D．(4,4)e+11．已知集合{}*230A x N x x =∈-<，则满足条件B A ⊆的集合B 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．812．已知函数()()()31ln 3ln 3xx f x x ⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦g ，且()20f x ->，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞C ．()(),22,-∞+∞U D ．(),-∞+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川省南充市中考数学二模试卷
2020年四川省南充市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．1．（4分）下列各数，最小的是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣2|C．（﹣2）3D．（﹣2）22．（4分）下列图案，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（4分）下列事件为随机事件的是（）A．晚上7：00央视1套播放新闻B．任意画一个四边形内角和是360°C．在装有7个黑球3个白球的布袋中摸4个球，一定有黑球D．掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上5次4．（4分）已知x1，x2是方程2x2﹣x＝0的两根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＝1C．2x12﹣x1＝2x22﹣x2D．x1+x2＞x1x25．（4分）如图，是由一张矩形纸条折叠形成的图形，若∠ABC＝25°，则∠ACD＝（）A．115°B．125°C．130°D．135°6．（4分）在多项式x2+4+______的空中，添加一个含x的单项式，使得它对任意x都是完全平方式．可以添加的单项式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＞1D．a≥18．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G．若BG ＝6，则EG＝（）A．4.5B．4C．3.5D．39．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AH⊥BC交CB的延长线于点H，若BA平分∠DBH，AD＝5，CH＝4，则AH＝（）A．2.5B．C．3D．10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0），则下列式子不成立的是（）A．b2＞2ac B．a+c＞b C．3a+b＜0D．a﹣b+c＜0二、填空（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上.11．（4分）计算：＝．12．（4分）甲、乙两船在静水中的速度分别是40km/h，55km/h．有一天从同一港口同时同向出发逆水而行，若水流速度是akm/h，则2h后两船相距．13．（4分）如图，长为13m的梯子靠在垂直水平地面墙上，底端离墙根5m．则梯子形成的坡度为．14．（4分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么a2+b2为完全平方数的概率是．15．（4分）如图，在直角坐标系中，OA＝OB＝3，∠BAC＝90°，AB＝2AC，函数（x ＞0）的图象经过点C，则k＝．16．（4分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠C与∠BAD互补．若AD＝，则AC＝．三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．（8分）取一个x值（整数），使的值是整数．18．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，EF⊥AD，与AB交于E，与AC交于F．求证：DE＝DF．19．（8分）吸烟有害健康，为配合“戒烟”运动，某校组织同学们在社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图：根据统计图解答下列问题：（1）同学们一共调查了多少人？（2）将条形统计图补充完整．（3）若该社区有1万人，请你估计大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？（4）为了让更多的市民增强“戒烟”意识，同学们在社区做了两期“警示戒烟”的宣传．若每期宣传后，市民支持“警示戒烟”的平均增长率为20%，则两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有多少人？20．（10分）已知m为实数，关于x的方程为mx2+（m﹣2）x﹣1＝0．（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根．（2）若方程有两实根x1，x2，当x1x2﹣2x1﹣2x2＝3时，求m的值．21．（10分）如图，点A是反比例函数y＝图象上一点，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点．一次函数y＝ax﹣2经过A，C两点，S△ABC＝3．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）画出反比例函数的另一支图象，写出自变量x取何值时，使反比例函数的函数值大于一次函数的函数值．22．（10分）如图，⊙O的直径与弦CD的延长线交于点P，sin P＝．EF是经过点C的切线，∠ACE＝37°30'．（1）CP是否平分∠OCF？请说明理由．（2）比较线段OP与CD的长短．23．（10分）某商店试销一款进价为60元/件的新童装，并与供货商约定，试销期间售价不低于进价，也不得高于进价的40%，同一周内售价不变．从试销记录看到，单价定为65元这周，销售了275件；单价定为75元这周，销售了225件．每周销量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．（1）求每周销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系式．（2）商店将童装售价定为多少时，这周内销售童装获得毛利最大，最大毛利W是多少元？（3）若商店规划一周内这项销售获得毛利不低于2500元，试确定售价x的范围．24．（10分）如图，正方形ABCD中，点P从点A出发沿AD边向点D运动，到达点D停止．作射线CP，将CP绕着点C逆时针旋转45°，与AB边交于点Q，连接PQ．（1）画图，完善图形．（2）三条线段DP，PQ，BQ之间有无确定的数量关系？请说明理由．（3）过点C作CH⊥PQ于H．若线段CP的最大值为4，求点H运动的路径长．25．（12分）如图，直线y＝x+2与顶点为D的抛物线y＝ax2﹣x+c的交点A在x轴上，交点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式．（2）△ABD是否为直角三角形，请说明理由．（3）在第二象限的抛物线上，是否存在异于顶点的点P，使△ABP与△ABD的面积相等？若存在，求出符合条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．（4）在第三象限的抛物线上求出点M，使∠MBA＝∠BAD．2020年四川省南充市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．1．【解答】解：﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，（﹣2）3＝﹣8，（﹣2）2＝4，最小的是（﹣2）3．故选：C．2．【解答】解：第1个不是中心对称图形，第2个不是中心对称图形，第3个不是中心对称图形，第4个是中心对称图形．故选：A．3．【解答】解：A、晚上7：00央视1套播放新闻，是必然事件，故此选项不合题意；B、任意画一个四边形内角和是360°，是必然事件，故此选项不合题意；C、在装有7个黑球3个白球的布袋中摸4个球，一定有黑球，是必然事件，故此选项不合题意；D、掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上5次，是随机事件，故此选项符合题意．故选：D．4．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣x＝0的两根，∴2x12﹣x1＝2x22﹣x2，故选项C正确；x1+x2＝，故选项B错误；x1x2＝0，则x1+x2＞x1x2，故选项D正确；x（2x﹣1）＝0，得x1＝0，x2＝，则x1≠x2，故选项A正确；故选：B．5．【解答】解：延长DC到点E，如图：∵AB∥CD，∴∠BCE＝∠ABC＝25°，由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°，∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠BCE﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，故选：C．6．【解答】解：①x2±4x+4＝（x±2）2，∴加上的单项式是4x或﹣4x，②若是单项式的平方，则添加的项为﹣x2，综上所述，共有3种方法．故选：C．7．【解答】解：解不等式x﹣a≥0，得：x≥a，解不等式2x+1＞3，得：x＞1，∵不等式组的解集为x＞1，∴a≤1，故选：B．8．【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G．∴G点为△ABC的重心，∴GE＝BG＝×6＝3．故选：D．9．【解答】解：连接AC，∵BA平分∠DBH，∴∠ABH＝∠ABD，由圆周角定理得，∠ACD＝∠ABD，∴∠ABH＝∠ACD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABH＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD＝5，在Rt△AHC中，AH＝＝＝3，故选：C．10．【解答】解：由图象可得，抛物线与x轴有两个交点，则△＝b2﹣4ac＞0．∴b2＞4ac．∵a＞0，c＞0，∴4ac＞2ac．∴b2＞2ac．故选项A成立；由图象可得，当x＜1时，y＞0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故选项B成立；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0），∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6a，∴3a+b＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，故选项C成立；∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，a＞0，∴a+a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＞0，故选项D不成立；故选：D．二、填空（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上.11．【解答】解：原式＝4÷5×＝×＝＝．故答案为：．12．【解答】解：由题意可得：2[55﹣a﹣（40﹣a）]＝2（55﹣a﹣40+a）＝30（km）．故答案为：30km．13．【解答】解：∵长为13m的梯子靠在垂直水平地面墙上，底端离墙根5m，∴BC＝＝12（m），∴梯子形成的坡度为：＝．故答案为：．14．【解答】解：画树状图如下：共有36种等可能的结果数，满足条件的只两种：32+42＝25，42+32＝25．∴a2+b2为完全平方数的概率为＝，故答案为：．15．【解答】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，∵OA＝OB＝3，在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝18，∴AB＝3，∵AB＝2AC，∴AC＝，又∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°＝∠ACD＝∠CAD，∴CD＝AD＝AC＝，∴OD＝3+＝，∴．∴k＝×＝，故答案为．16．【解答】解：延长AD，BC交于E，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴AB＝EB．∴AD＝ED，∴∠E＝∠BAD，∵∠3+∠BAD＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠BAD＝∠4，∴∠E＝∠4．∴，故答案为：2．三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．【解答】解：原式＝＝．观察原式，x≠±1，x≠0．使为整数，x可以取2．也可以取﹣2．当x＝2时，原式＝1；当x＝﹣2时，原式＝﹣1．18．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2．∵EF⊥AD，∴∠3＝∠4＝90°．∵AO＝AO，在△AOE与△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．∴AD是EF的垂直平分线．∴DE＝DF．19．【解答】解：（1）50÷10%＝500（人）．故一共调查了500人．（2）由（1）可知，总人数是500人．药物戒烟：500×15%＝75（人）；警示戒烟：500﹣200﹣50﹣75＝175（人）；175÷500＝35%；强制戒烟：200÷500＝40%．完整的统计图如图所示：（3）10000×35%＝3500（人），答：大约有3500人支持“警示戒烟”这种方式；（4）3500×（1+20%）2＝5040（人），答：两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有5040人．20．【解答】（1）证明：当m＝0时，已经方程为﹣2x﹣1＝0，有实数根；当m≠0时，已经方程是一元二次方程，△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣1）＝m2+4＞0，该方程有两个不等实根；综上，不论m为何实数，方程总有实数根；（2）由根与系数的关系可得，，，∵x1x2﹣2x1﹣2x2＝3，∴x1x2﹣2（x1+x2）＝3，∴，解得m＝﹣5，经检验，m＝﹣5是原分式方程的解，即m的值是﹣5．21．【解答】解：（1）如图，一次函数y＝ax﹣2与y轴的交点D（0，﹣2）．∴OD＝2．∵C是OB的中点．∴BC＝OC，在△ABC和△DOC中，，∴△ABC≌△DOC（ASA）．∴AB＝DO＝2．∵S△ABC＝3，∴．∴BC＝3．∴OB＝2BC＝6．∴A（﹣6，2）．将A（﹣6，2）代入，得k＝﹣12．代入y＝ax﹣2，得﹣6a﹣2＝2．∴．∴反比例函数解析式为，一次函数解析式．（2）如图，由整理，得x2+3x﹣18＝0．解得x＝3或x＝﹣6．∴E（3，﹣4）．由图象知，当﹣6＜x＜0或x＞3时，反比例函数的函数值大于一次函数的函数值．22．【解答】解：（1）CP平分∠OCF．理由如下：∵EF是⊙O的切线，∴EF⊥OC．∴∠OCE＝∠OCF＝90°．∵∠ACE＝37°30′＝37.5°，∴∠1＝52.5°．∵OA＝OC，∴∠A＝∠1＝52.5°．∴∠2＝180°﹣（52.5°+52.5°）＝75°．∵，∴∠P＝30°．∵∠2＝∠3+∠P，∴∠3＝45°．∴∠FCP＝45°．∴∠3＝∠FCP．∴CP平分∠OCF；（2）如图，作OH⊥CD于H．则．由（1），得∠3＝45°，∠P＝30°，∴∠4＝45°，OP＝2OH．∴∠3＝∠4．∴CH＝OH．∴CD＝2OH．∴OP＝CD．23．【解答】解：（1）设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k≠0），由题意得：，解得：，∴所求关系式为y＝﹣5x+600．（2）设商店将童装售价定为x元，由题意得，W＝（x﹣60）（﹣5x+600）＝﹣5（x﹣60）（x﹣120）＝﹣6[（x﹣90）2﹣902+7200]＝﹣5（x﹣90）2+4500．∴当x＜90时，W随x的增大而增大．而最大售价为60×（1+40%）＝84（元）．∴当x＝84时，W＝﹣5（84﹣90）2+4500＝4320．∴当售价定为84元时，一周内获得毛利最大，最大毛利是4320元．（3）由W＝﹣5（x﹣90）2+4500＝2500，得（x﹣90）2＝400，解得x1＝70，x2＝110．结合（2）知，70≤x≤84．∴商店一周内这项销售获得毛利不低于2500元，售价x的范围应在70元到84元之间．24．【解答】解：（1）画图，如图1．（2）DP，PQ，BQ之间有确定的数量关系，PQ＝DP+BQ．理由如下：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴可将△DCP绕点C逆时针旋转90°到△BCM．∴△DCP≌△BCM，∠PCM＝90°．∴DP＝BM，CP＝CM，∠D＝∠CBM＝90°．∴Q，B，M在同一条直线上．∵∠PCQ＝45°，∴∠MCQ＝45°．∴∠PCQ＝∠MCQ．∵CQ＝CQ，∴△PCQ≌△MCQ（SAS）．∴PQ＝MQ．∴PQ＝DP+BQ．（3）如图3，由（2），∠CPH＝∠M．∵∠CHP＝∠CBM＝90°，∴△PCH≌△MCB（AAS）．∴CH＝CB．当点P还在点A处时，CP是正方形的对角线，此时最长．即正方形的对角线为4．∴正方形的边长．∴．当点P从A到点D时，点H从点B沿圆弧到点D，圆心角∠BCD＝90°．∴点H运动的路径长为．25．【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（﹣4，0），B（0，2）；∵抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（﹣4，0）、B（0，2），∴，解得，∴抛物线解析式为．（2）△ABD不是直角三角形．理由如下：由＝+，得抛物线的顶点为D（，），∵AD2＝+＝，BD2＝+＝，AB2＝22+42＝20，∴AD2+BD2＝≠AB2，△ABD不是直角三角形．（3）存在．如图1，过点D作DP∥AB交抛物线与另一点P，连接AP、BP，此时S△ABP＝S△ABD．设直线PD的解析式为y＝x+b，则×+b＝，解得b＝，∴．由，得，，∴P（，）．（4）如图2，过点B作BM∥AD交抛物线于另一点M，则∠MBA＝∠BAD．设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+5，∴直线BM的解析式为y＝x+2，由，得，，∴M（，）．。