振动理论习题答案汇总

《振动力学》——习题

第二章 单自由度系统的自由振动

2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：

2

22221v g

W h W =

，gh v 22=

动量守恒：

122

122v g

W W v g W +=，gh W W W v 221212+=

平衡位置：

11kx W =，k

W x 1

1=

1221kx W W =+，k

W W x 2

112+=

故：

k

W x x x 2

1120=

-= ()2

121W W kg

g W W k n +=+=

ω

故：

t

v t x t

x

t x x n n

n n n

n ωωωωωωsin cos sin cos 12

000+

-=+-=

x

x 0

x 1

x 12

平衡位置

2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ

2a

θ＝h α

2F ＝mg

由动量矩定理：

a

h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12

12

2

-=-≈⋅-====αθ

αθ

其中

1

2cos

sin ≈≈θ

αα

h l ga p h

a mg ml n 2

22

2

2304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22

2=

==

2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求

其摆动的固有频率。

图2-3 图2-4

2-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况

系统作垂直振动的固有频率：

（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；

（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；

（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9

解：

（1）保持水平位置：

m k

k n 2

1+

=

ω（2）微幅转动：

mg

l

l

l

F

2

1

1

2+

=

mg

l1l2

x

x2

x

x'

mg

l

l

l

2

1

2

1+

=

k2

k1

m

l1l2

()()()()()()()()()mg

k k l l k l k l mg

k k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mg

k l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2

12212

2

21212

122122112121222121221121112121212221121112122

11

12111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=

+-+='+=

故：

()2

2

21212

12

21k l k l k k l l k e

++=

m

k e

n =

ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。已知杆的质量为m ，A

端弹簧的刚度为k 。并问铰链支座C 放在何处时使系统的固有频率最高？

图2-5 图2-6

2-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m =50kg ，19800N m k =，

234900N m k k ==，419600N m k =。试问：

（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？

｛2.17｝ 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k 1= k 2= k 3= k 4= k ，试问： （1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？

图 T 2-17

解：

k

k k k k k k k k k k k k k k k 2

1

32

24123412312342312311233223=+=

=+==+=

（1）01234x k mg =，k

mg

x 20=

（2）()t x t x n ωcos 0=，k

mg

x x 420max =

= 2-7 图2-7所示系统，质量为m 2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。

图2-7

解：

系统动能为：

k 1

k 2

k 3

k 4

m