平面几何辅助线添加技法总结与例题详解

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初中平面几何常见添加辅助线的方法

初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支，通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。

在解决平面几何问题中，添加辅助线是一种常见且有效的方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题。

下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法：1.使用垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线，可以用来分割和构造几何图形。

比如，在矩形中，可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线，从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。

2.使用平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线，可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。

例如，在平行四边形中，可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线，从而证明平行四边形的对边相等。

3.使用角平分线：角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。

在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时，添加角平分线是非常有用的方法。

例如，在等腰三角形中，可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线，从而证明等腰三角形的顶角相等。

4.使用中线：中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。

在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时，添加中线是一种常见的方法。

例如，在四边形中，可以通过连接相对边的中点来构造中线，从而证明中线互相平分。

5.使用高线：高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。

在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时，添加高线是非常有用的方法。

例如，在三角形中，可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线，从而证明高线汇聚于三角形的垂心。

6.使用辅助图形：有时，我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。

例如，在求解平行四边形的面积时，可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形，从而方便计算面积。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。

添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题，还可以提高解题效率和准确性。

初中平面几何中如何针对三角形添加辅助线

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ＤＢＣ＋ＢＤＭ＝ＤＭＣ
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２５。２．＋ＢＤＭ＝４。 ‘ ５，．．
ＢＤＭ＝２．。２５ＢＥＣ＝０，ＥＢＣ＝２５９。－２．。
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ＥＣＢ＝６．。．ＥＣＤ＝７５， ‘ ．
学中优良的教学方法和现代化教学手段有机地结合起来，
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。ＢＦＤＦ２．，‘ ＤＤ＝Ｂ－２。．ＡＢＦ等腰５．
‘ Ｍ上Ｂ，‘ ＦＤ．ＢＤ＝ＤＭ即ＢＤ２Ｅ．２＝Ｃ
ＤＦＣ＝ＡＢＣ
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。Ａ＝０，＝９。ＡＢＡＣ，．ＡＢＡＣＢ４。。．Ｃ＝－５
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社会人的过程，而传统教学中的人与人、面对面的心灵交流是计算机辅助教学所无法取代的，因此计算机只是辅助教学，而不是代替教学，它可以突破重点难点但不能代替思维，这就要求我们制作的课件要考虑全面、周到，在实践中处理好计算机教学“ 辅什么” 怎么辅” 和“ 的问题，将传统教
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△ ＣＤＦ △ ＤＭＢ（丝ＡＡＳ，‘ ＦＢ即ＢＤ＝ＣＦ）．Ｃ＝Ｄ．２
（以点Ｄ为顶点，Ｂ为边，六）Ｄ在△ＢＣ内作ＢＦＤＤ＝ＥＤ，Ｆ交ＢＣＤＣ于点Ｆ过点Ｆ作，
ＦＭ上ＢＤ于Ｍ，如图七）（
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［］２郭琴．现代教育的机遇和挑战：国际互联网［］Ｊ．电化教学研
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‘ Ｅ上Ｃ．ＣＦ２Ｅ，Ｂ２ＥＤＦ，。＝Ｃ即Ｄ＝Ｃ．

几何证明例题及常见的添加辅助线方法

几何证明例题及常见的添加辅助线方法几何证明是数学中的一个重要分支，通过使用几何定理和性质，以及一些常见的辅助线方法，来证明几何命题的正确性。

下面将提供几个几何证明的例题，并介绍一些常见的添加辅助线方法：1.证明等边三角形的高线与垂直平分线重合。

添加辅助线方法：连接等边三角形的顶点与底边的中点，将三角形分为两个等腰三角形。

然后，通过利用等腰三角形的性质，可以证明三角形的高线与垂直平分线重合。

2.证明等腰梯形的对角线垂直。

添加辅助线方法：在等腰梯形的两个腰上各取一个点，使得这两个点与梯形的底边相连，形成两个等边三角形。

通过证明这两个等边三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线垂直的结论。

3.证明一个四边形是平行四边形的充要条件是其对角线互相垂直。

添加辅助线方法：对四边形的两个对角线进行延长，连接延长线的交点与四边形的两个相邻顶点，形成两个三角形。

通过证明这两个三角形是直角三角形，可以得出对角线互相垂直的结论。

4.证明正方形的对角线互相垂直。

添加辅助线方法：连接正方形的相邻顶点，形成两个等腰三角形。

通过证明这两个等腰三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线互相垂直的结论。

5.证明一个三角形的内心到三边的距离和边长的乘积是相等的。

添加辅助线方法：通过从三角形的顶点向内切圆引垂线，连接垂足与内心，形成三个小三角形。

通过证明这三个小三角形是相似三角形，可以得出内心到三边的距离和边长的乘积相等的结论。

以上是几个常见的几何证明例题及其对应的添加辅助线方法。

在几何证明中，添加辅助线是一种常用的方法，可以将原始图形分解成更简单的图形，以便于应用几何定理和性质进行证明。

但需要注意的是，添加辅助线时应选择合适的位置和方式，以确保辅助线的添加不会引入其他不必要的情况，更好地辅助证明目标命题的正确性。

专题04 几何辅助线专题详解(解析版)

专题4-几何辅助线专题详解专题4-几何辅助线专题详解 (1)一、辅助线添加策略 (3)策略1 按定义添辅助线 (3)策略2 按基本模型添辅助线 (3)二、添加辅助线的方法及举例 (4)方法1 求角思想及模型 (4)第一类：方程思想求角度 (4)第二类：转化思想求角度 (5)第三类：整体思想求角度 (7)第四类：数学模型—角平分线模型 (8)第五类：数学模型—对顶三角形模型 (9)第六类：分类讨论思想求角度 (9)方法2 关于中点的辅助线 (10)第一类：已知中点 (10)第二类：证中点 (14)方法3 截长补短法 (18)方法4 作垂线构造全等求点的坐标 (20)方法5 关于角平分线的辅助线 (22)第一类：角平分线上的点向两边作垂线 (22)第二类：过边上的点向两边作垂线 (24)第三类：过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (27)第四类：利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (28)方法6 等腰三角形的辅助线 (29)第一类：分类讨论思想 (30)第二类：“三线合一”作辅助线 (33)第三类：构造等腰三角形 (35)方法7 等边三角形的辅助线 (44)第一类：构造30°的直角三角形 (44)第二类：作平行线构造等边三角形 (47)第三类：共顶点的等边三角形 (50)一、辅助线添加策略三角形是基础几何图形，是一切几何图形证明的基础。

在求证几何图形时，往往需要添加辅助线构成新图形，进而形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为常规问题去解决，则是三角形证明中的常规策略。

添加辅助线有二种常见策略：按定义添加辅助线、按基本模型添加辅助线。

策略1 按定义添辅助线（1）角平分线性质：角平分线上的点到两边的距离相等。

利用这个性质，常见辅助线为：取角平分线上一点，向角的两边作垂线。

（2）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

利用这个性质，常见辅助线为：取垂直平分线上一点，连接该点与线段的两个端点。

初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添?把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心，因题而异，有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

初一数学几何题辅助线技巧详解

巧添辅助线解证几何题在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决;值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关;下面我们分别举例加以说明;例题解析一、倍角问题例1：如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D;求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系; 证法一：∵在△ABC 中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=12180°-∠BAC=90°-12∠BAC; ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-90°-12∠BAC= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解;证法二：如图2,作AE ⊥BC 于E,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC 同角的余角相等即∠DBC=12∠BAC;证法三：如图3,在AD 上取一点E,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证：BC 2=AC 2+AC •AB分析：由BC 2=AC 2+AC •AB= ACAC+AB,启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形;证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD=∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= ACAC+AB=AC 2+AC •AB二、中点问题例3．已知：如图,△ABC 中,AB=AC,在AB 上取一点D,在AC的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点;求证：BD=CE分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以关系不明显,由于条件F 是DE 的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键; 由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置,从而使问题得解;证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G 如上图 ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中,DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CEABCEGDFCAB证法二：如图,在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”;也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G,仿照证法二求解;例4．如图,已知AB ∥CD,AE 平分∠BAD,且E 是BC 的中点求证：AD=AB+CD证法一：延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC证法二：取AD 中点F,连接EF ∵AB ∥CD,E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12AB+CD∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 AB+CD= 12ADAB CD HEF A B CEFDA BCEF三．角平分线问题例5．如图1,OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题;（1）如图2,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系;（2）如图3,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其他条件不变,请问,你在1中所得的结论是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由;（3）分析：本题属于学习性题型;这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题;指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形;解：1EF=FD2答：1结论EF=FD 仍然成立理由：如图3,在AC 上截取AG=AE,连接FG 在△AEF 和△AGF 中,AE=AG EAF= FAG AF=AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF ≌△AGF由∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC ∠BCA 的平分线可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力;抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的;解法二：2答1中的结论EF=FD 仍然成立;理由：作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴EFG ≌△DFM ∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 是边BC 上一点,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系,并说明理由;分析：判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM 上截取MQ=PD,得□PQMD,再证明CQ=PE 答：PD+PE=CM证法一：在CM 上截取MQ=PD,连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴PQ ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2：延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE证法2：延长DF 到N,使DN=CM,连接CN同证法一得平行四边形DNCM,及△PNC ≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM分析3：本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM, 且PABPACABCSSS+=,所以可以用面积法求解;证法三：连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明：当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解;FEDCBA五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证：AB PF BC PE=分析：将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•,联想到AB PE BC PF•=•1122, 即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的;证明：连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中,AO=COAOBBOCSS∴=同理,AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥,11221122PAB PBC SAB PE S BC PF AB PE BC PF AB PE BC PF AB PFBC PE∴=•=•∴•=•∴•=•∴=例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点;分析：这是一个文字叙述的命题;要证明文字命题,需要根据题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证;已知：△ABC 中,AF 、BD 、CE 是其中线; 求证：AF 、BD 、CG 相交于一点;分析：要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的交点即可;FED CBAP,ABDCBDAGDCGD AGBCGBCGBAGCAGBAGCAD DC SSSSS S SSSS=∴==∴==∴=同理，作BM ⊥AF ,于M,CN ⊥AF ,于N则,11221122AGB AGC SAG BM S AG CN AG BM AG CN BM CN=•=•∴•=•∴= 在△BMF ,和△CNF ,中 BF MCF N BMF CNF BM CN ''∠=∠⎧⎪''∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CNF ∴''BF CF =∴AF ,是BC 边上的中线又∵AF 时BC 边上的中线∴AF 与AF ,重合即AF 经过点D∴AF 、BD 、CE 三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点;六、梯形问题例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底,以c=10为一腰,则另一腰长d 的取值范围是＿分析：如图,梯形ABCD 中,上底b=13,下底a=16,腰AD= c=10,过B 作BE ∥AD,得到平行四边形ABED,从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d 的取值范围是 10-3＜d ＜10+3 答案：7＜d ＜13例10．如图,已知梯形ABCD 中,AB ∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD 的面积;分析：已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上;另外,求梯形面积只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰;解：解法一：如图,过A 作AF ∥BD,交CD 延长线于FD CE B A//,AB FCFD AB AF BD FC AB DCAE FC AEF AEC ∴∴===∴=+⊥∴∠=∠=ABDF 1590。

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。

思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。

解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。

又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。

在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。

因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。

结论得证。

总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。

变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。

解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。

因为EC为中线，所以AE＝BE。

在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。

所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。

又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。

因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。

在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。

结论得证。

2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。

解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。

因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法一、过分点添平行线相似形是初中数学的重要内容，由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜，我们在学习相似形内容时，不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形，还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。

这里，笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中，发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法，现说明如下：在证明一些线段成比例的题型中，若图形中未出现相似三角形中的基本题型：A 字型与X 型，通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。

而且找分点还是有规律可循。

通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线，把几条热线的交点称为热点。

那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。

以下举一道例题加以说明：例：点D 是三角形ABC 边AC 上的中点，过D 的直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：。

BFCF EB AE = 分析：条件中出现已知中点的线段是AC 、结论中有关的线段落在AB 和BF 上，所以本题中的热线为AC 、AB 和BF ，这三条线段的交点分别为A 点、B 点和C 点，此三点即为三个热点。

所以本题的证明方法主要有三种。

解法一：过热点A 作热线BF 的平行线，交FE 的延长线于点G ，那么就有。

BFAG EB AE = 只要证得AG=CF 即可。

证明：过点A 作BF 的平行线，交FE 的延长线于点G 。

∵AG ∥BF ∴BF AG EB AE = DCAD CF AG = 又 ∵D 为AC 的中点，∴AD=DC∴AG=CF ∴BFCF EB AE = 解法二：过热点B 作热线AC 的平行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有BH AD EB AE =及BHDC BF CF =,只要证得AD=CD ，本题即可得证。

解法三：过热点作C 热线AB 的平行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有BFCF EB CH =,只要证得CH=AE ，本题即可得证。

初中平面几何添加辅助线的方法与技巧

初中平面几何添加辅助线的方法与技巧第一章与角平分线有关的辅助线第一节角边等，造全等第二节点分线，垂两边第三节角分垂，等腰归第四节角分平，等腰呈第五节角平分线+直角＝相似三角形第六节与圆周角（圆心角）平分线有关的辅助线第二章有中点时常用的引辅助线方法第一节有中线，可延长第二节作斜边中线，利用斜边中线性质证题第三节有中点，构造中位线第四节有底中点，连中线（造中垂）第五节与梯形中点有关的辅助线第六节有弧中点时常用的引辅助线方法第七节有弦中点时常用的引辅助线方法第三章与垂直有关的辅助线第一节与三角形的高有关的辅助线第二节构造射影型第三节有垂直，造垂直第四节有垂直，造中垂第五节圆中与垂线有关的辅助线第四章用分大、补小、化等法证不等关系第一节线段的截长补短法第二节角的截大补小法第三节弧的截长补短法第五章折半加倍法第一节角的折半加倍法第二节线段的折半加倍法第三节弧的折半加倍法第六章有垂直平分线时常用的引辅助线方法第七章平移引辅助线法第八章旋转引辅助线法第九章对称引辅助线法第十章证线段不等关系常用的引辅助线方法第十一章证角不等关系常用的辅助线第十二章与三角形有关的辅助线第一节等腰三角形常用的辅助线第二节直角三角形常用的辅助线第三节全等三角形的辅助线第四节相似三角形中常用的辅助线第十三章四边形中的辅助线第一节一般四边形常用的辅助线第二节多边形中常用的辅助线第三节平行四边形常用的辅助线（矩形、菱形、正方形与其相同）第四节有关梯形的辅助线第十四章有关特殊角及三角函数的辅助线第十五章有关圆的辅助线第一节与圆的性质有关的辅助线第二节与切线有关的辅助线第三节与两圆有关的辅助线。

几何证明辅助线添加技巧

初中数学几何证明辅助线添加技巧一、添辅助线有二种情况：1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线（还可以利用等腰三角形顶角的外角是底角的两倍添加辅助线）。

2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线。

(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）。

(3)等腰三角形中的重要线段（即三线合一线，往往是加高用中点）是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形（好好琢磨下这段文字，还是很有道理的）：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

平面几何辅助线添加技法总结与例题详解,超级有用

＝
AM
1
＋
AM AN
2
.
AN 1
2
证明：如图 4, 若 PQ∥ BC, 易证结论成立 . 若 PQ 与 BC 不平行 , 设 PQ 交直线 BC 于 D. 过点 A 作 PQ 的平行线交直线 E. 由 BM 1＝ CM 2, 可知 BE ＋ CE ＝ M 1E＋ M 2E, 易知
AB AP
B M
1
BD AN
F
K
E
＝
KD KA
＝
DC AM
.
B
有 BD ・ AM ＝ DC ・ AN.
(1)
D 图5
C
由由
AP BD AQ DC
＝＝
AF FB AE EC
＝＝
AM BC AN BC
, ,
有 AP ＝
BD ・ AM BC
. .
(2) (3)
有 AQ ＝
DC ・ AN BC
对比 (1) 、 (2) 、 (3) 有 AP＝ AQ. 显然 AD 为 PQ 的中垂线 , 故 AD 平分∠ PDQ. 所以 , ∠ FDA ＝∠ EDA . 这里 , 原题并未涉及线段比 AQ 的相等关系显现出来 4 例 6 为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时 , 应注意到平行线等分线段定理 , 用平行线将线段相等的关系传递开去
AB AP
, 所得对应线段成比例” , 在一些问题中 .
, 可以通过添加平行线
, 实现
. 这在平面几何证题中是会经常遇到的
设 M 1、 M 2 是△ ABC 的 BC 边上的点 , 且 BM 1＝ CM 2 . 任作一直线分别交
AB 、 AC 、 AM 1、 AM 2 于 P、 Q、 N 1、

几何巧画辅助线的技巧，附例题演示，建议收藏!

几何巧画辅助线的技巧，附例题演示，建议收藏!在几何问题中，添加辅助线可以说是解题的关键！辅助线画得好，解题轻松又快速！辅助线画不对，可能就是解题绕弯又出错！如何快速添加利于解题的辅助线？诀窍都在下面了！几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

例题演示一由角平分线想到的辅助线1、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自己证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自己试一试。

2、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。

数学添加辅助线口诀

平面几何添加辅助线口诀口决一遇中点，配中点，连点添边中位线口决二遇到一边有中线，只需将其一倍延，口决三遇到垂线、角分线，绕轴翻转来变换口决四遇到图中有等边，绕点旋转来变换口决一遇中点，配中点，连点添边中位线理论依据：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

使用方法：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD∴∠A=∠ACF∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE∴AD=CF∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CF∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC∴DE=BC/2∴三角形的中位线定理成立.例题：经典例题1：在△ABC中，AB=2AC，AF= 四分之一AB，D、E分别为AB、BC的中点，EF与CA的延长线交于点G，求证：AF=AG．证明：取AC的中点M，连接EM，∵E，M，分别是BC，AC的中点，∴EM是△ABC的中位线，又∵EM=二分之一AB，AF=四分之一AB，∴AF=二分之一EM又∵EM∥AB，∴GA：GM=AF：EM=1:2即AG=AM=二分之一AC∵AC=二分之一AB∴AG=四分之一AB∵AF=四分之一AB∴AG=AF．经典例题2：已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．由已知BD=2AD，∴BO=BC．又E是OC中点，∴BE⊥AC．（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点，∴EG是Rt△ABE斜边上的中线．∴EG=二分之一AB又∵EF是△OCD的中位线，∴EF=二分之一CD又AB=CD，∴EG=EF．练习：1：已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求：AE：AC的值2：如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：GE：CE，GD：AD，的值是多少3：如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B 重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD；（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=四分之一DA ,并说明理由口决二遇到一边有中线，只需将其一倍延理论依据：全等三角形判定与性质或者平行四边形判定与性质使用方法：有中线时，一般作加倍中线构造全等三角形或者平行四边形，使分散的条件集中；例题：1.如图1,已知ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.方法一:如图2，延长ED到M,使DM=DE,连结MC和MF,易证ΔMCD≌ΔEBD,∴BE=CM.∵DE⊥DF, DM=DE,∴EF=MF.在ΔFCM中，∵CF+CM>MF.图1AB CME FD图2∴BE+CF>EF.说明：延长FD 到N,使DN=DF,连结BN 和NE 也可以.方法二:如图3，连结BF ，取BF 的中点M, 取EF 的中点H ，连结DM 、DH 、MH ，∴DM ，MH 为中位线. ∴DM=12CF ，MH=12BE.在Rt △EDF 中，H 为EF 的中点， ∴DH=12EF.在ΔDMH 中，MH+MD>DH, ∴BE+CF>EF.说明:连结CE ，取CE 的中点M, 取EF 的中点H ，连结DM 、MH 、DH也可以.2. 如图1，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，BC 上的中线AD=2。

初中平面几何如何添加辅助线

初中平面几何如何添加辅助线平面几何作为数学的一个重要分支，研究平面上的几何图形和它们之间的关系。

在解决平面几何问题时，添加辅助线是一种常用的方法，可以帮助我们更好地理解和解决问题。

接下来，我将详细介绍平面几何中添加辅助线的方法和技巧。

一、为了更好地理解问题和图形，我们可以根据题目的条件和要求，主动添加辅助线。

具体的添加方法有以下几种：1.平分辅助线：平分辅助线是一条将一些角度或线段平分为两等分的线。

我们可以将图形的一些角度平分，以便于进行计算或找出更多的几何性质。

平分辅助线对于证明问题的唯一性或求证一些等式非常有效。

2.垂直辅助线：垂直辅助线是指与目标线段或角度相交且垂直于之前的线段或角度的线。

它能够将原有的图形分割成更容易处理的几何图形，从而解决问题。

垂直辅助线常常用于求证两条线段垂直、平行四边形性质、直角三角形性质等问题。

3.平行辅助线：平行辅助线是指通过一个点与条线段平行的线。

通过添加平行辅助线，我们可以将原有的图形拆分为多个平行四边形或相似三角形，从而更好地理解和利用图形的对称性质、比例性质等。

平行辅助线常用于证明线段平行和求证两角相等或互补、邻补等等。

4.中垂线：中垂线是指连接一个线段的中点和它的垂直平分线的线段。

通过添加中垂线，我们可以找到线段的垂直平分线，并利用垂直平分线的性质，如：两条垂直平分线相交于线段中点、垂直平分线的垂足在线段上等等。

中垂线常用于证明一个角平分线和对边中点的连线垂直、线段中点和三角形顶点的连线互相垂直等问题。

以上是常用的几种添加辅助线的方法，根据问题的不同，我们可以选择不同的方法来添加辅助线，以期达到更好地解题目的效果。

二、在实际操作过程中，我们要根据具体的题目和要求，灵活运用添加辅助线的方法。

以下是一些关于添加辅助线的技巧和要点：1.选择合适的线段或角度：在选择辅助线时，我们应该尽量选择图形中已知的线段或角度，以便于减少未知的数量，简化问题。

2.利用对称性质：对称性质是几何图形中常见的性质，可用于添加辅助线。

平面几何辅助线添加技法总结与例题详解

例７如图7,AＢ为半圆直径,Ｄ为AB上一点，
分别在半圆上取点E、F,使EＡ=DA,FＢ=DB．过D作AＢ的垂线,交半圆于C.求证：CD平
分EF.
证明:如图7,分别过点E、F作AＢ的垂线，Ｇ、H为垂足,连FA、EB．易知
DＢ2＝FB2＝ＡB·HB,
AD2=AE２=AG·AB.
二式相减，得DB２-ＡD2=AB·(HB－ＡG）,
例6在△ABＣ中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在ＡC边上,并且∠MDN＝90°.如果BM2+CN2＝DM2＋ＤN2,求证:AD2＝ (AB2+AC2)．
证明:如图6,过点B作ＡC的平行线交ＮD
延长线于E.连MＥ．
由BD=DC，可知ED＝DN.有
△ＢED≌△ＣND．于是,BE=NC．
显然,MD为EN的中垂线.有EＭ＝MN．
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、Ａ、E四点共圆，紧密联系起来.∠ＡPE成为∠EＢA与∠AＤＥ相等的媒介,证法很巧妙.
2为了改变线段的位置
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线，将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点．过Ｐ分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：
的平行线,得交点P,连PE.
由ABCD,易知△ＰBA≌△ECD．有
PA＝ED,ＰB＝EC.
显然,四边形PＢCE、PAＤE均为平行四边形.有
∠BＣＥ＝∠BPE，∠AＰE=∠ADE.
由∠BAF＝∠ＢCＥ,可知∠BAF＝∠BPＥ.
有P、B、A、E四点共圆.
于是,∠EBA=∠AＰＥ．所以,∠EBA＝∠AＤＥ．

初中数学常用辅助线添加技巧

初中数学常用辅助线添加技巧初中数学常用辅助线添加技巧一.添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

谈谈平面几何中的辅助线

谈谈平面几何中的辅助线解证几何问题，往往需要在图中另外添加一些线，通常称为辅助线．在图中一般画为虚线．常见的辅助线不外直线、线段、射线、圆或圆弧等等．(一)为什么要添线？解几何题是从题设条件出发，运用正确的逻辑推理，得到题断的结果．我们碰到的几何题有的并非一定要添线，有些则需要添线．为什么有的几何题一定要添线呢？我们还是从具体例题分析谈起．例1 △ABC中，AC＞AB，在AC上取一点D，使CD＝AB，E为AD 中点，F为BC中点．连FE交BA延长线于G．求证AE=AG．分析要证AE=AC．只须证∠1=∠2，问题的关键在于如何由AB ＝CD等题设来证得∠1＝∠2．由于AB、CD位置分散，它们与∠1、∠2的联系不易直接观察到．因此，必须设法添线使它们由分散状态相对集中，使它们之间的联系由隐蔽变为明显．为此，连结BD，取BD中点0．联OE、OF．这样就将∠1“搬”到了∠3、∠2“搬”到了∠4．AB、CD各以其一半的面目“搬”到了OE和OF．于是就把已知、求证中有关的元素相对地集中在一个△OEF中了．容易见到，只要证得∠3=∠4，问题即可迎刃而解．证明(略)．例2 在△ABC中，∠B=2∠C，求证b2=c2＋ac分析要证b2=c2＋ac，只须证b2＝c(a＋c)只须证b∶c＝(a+c)∶b即只须证b、c、(a+c)、b分别为一对相似三角形的对应边．这对三角形要满足①以b为公共边，②其中有一个三角形要有一边为a+c．为此延长AB至D，使BD=BC，这时AD=a+c．连结DC．要证b∶c＝(a＋c)∶b只须证△ABC～△ADC，由于∠A为这两个三角形的公用角，只须条件∠ACB=∠D．也即只须2∠ACB＝∠ABC．这正是题设所给出的我们通过添线沟通了题设与题断之间的逻辑通路．大家不难写出本题的证明．(略)上述诸例表明，解证几何问题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探求新的、未知的结果．一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化．实现这一转化，要求我们依据具体问题具体分析，而添设辅助线，正是我们创造的转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁．添设辅助线的总目的在于沟通解题思路．创设由已知条件向所求结论过渡的条件．其作用(1)使复杂的问题化为我们所熟悉或早已掌握、解决的问题，应有如梯形中位线定理证明中通过添线把问题转化为三角形中位线定理；(2)使图形中隐蔽的关系显现出来，(如例2，例3)(3)使不直接联系的元素发生联系．(如例1)添设辅助线既不是随心所欲的胡添乱画，也不可生硬地机械照搬．而是随着解题思路的展开，当碰到某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线．这正是理解添设辅助线方法的精髓．练习一对下述各题分析解题思路，决定添线方法，从中体会添线的目的与作用．1．△ABC中，AB为高，D为垂足，∠B=2∠C，求证AB+BD=DC．2．△ABC中，∠A=60°，∠B的平分线BD与∠C的平分线CE相交于O，求证OD=OE．3．四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠ACB=50°，求∠BDC的度数．4．△ABC中，AC=BC，∠C=20°，作∠ABD=70°，且BD交AC 于D．求证CD=AB．(二)添线的原则原则一化繁为简添设辅助线有助于①把复杂的图形分解成简单的图形；②把复杂问题分割为若干个简单问题；③把不规则图形转化为规则图形．无论添线怎样复杂，仔细分析，都是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来驾驭“繁”．例4 如图4，已知凸六边形ABCDEF，对角线BF、AC、BD、CE、DF、EA的中点分别是A1，B1，C1，D1，E1，F1．若A1B1C1D1E1F1也是一个凸六边形，求证A1B1C1D1E1F1面积恰为ABCDEF分析容易发现，小六边形的对角线，平行且等于大六边形相应的分为两个四边形，连A 1D 1把小六边形也分为两个四边形．四边形A 1D 1E 1F 1面积=A 1E 1×D 1F 1sin α1由于两对边对应平行的角α=α1，这样，立即可得出结论．本题连AD ，A 1D 1把六边形面积计算转化为两个四边形面积计算问题，这样达到化繁为简的目的．例5 在△ABC 中，E 是AC 中点，D 是BC 边一点．若BC=1，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝100°，∠CED=80°．求△ABC 的面积与二倍的△CDE 面积之和．分析设K=S △ABC +2S △CDE ．由于∠BCA=20°，∠EDC ＝80°，∴ CE=CD ．直接计算两个三角形的面积很困难，要碰到求特殊角的三角函数值．但如果注意到∠ABC=60°这个条件，把△ABC 复原为一个边长为1的正三角形．为此，延长BA 到G ，使BG=BC=1．连CG ，在AG 上取F 点，使BA=GF ．连CF ，则易知△ABC ≌△FGC ，且AC=CF ，∠ACF=20°．于是△ACF ～△CDE ，但CA=2CE ，∴ S △ACF ＝4S △CDE ，S △BCG =2△ABC 面积+4△CDE 面积，此题添线后从表面看使图形变得复杂了，但实质上则使不规则图形转化为规则的正三角形，达到化繁为简的目的．同时也使我们捕捉到了解答本题的途径．原则二相对集中添设辅助线常常要将已知和未知中的有关元素集中在同一个三角形中或集中到两个相关的(全等、两对边对应相等、相似)的三角形中．只有元素相对集中，才便于联系与比较，才能充分应用有关的几何定理例6 在△ABC中，经过BC中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC分别交于D、E．求证BD＋CE＞DE．分析要证BD＋CE＞DE．需要设法把这三条线段集中到同一个三角形中，为此，由M是BC中点，DM⊥EM，使我们联想到不妨用轴对称“翻折”的方法．在DM的延长线上取D'，使MD'=MD，连ED'，CD'．易证ED'=DE，CD'=BD．最终把BD、DE、CE三条线段以CD'、ED'、CE的“身份”集中到了△ECD'中，而使问题获证．原则三作图构造已知条件、求证结论中出现线段、角的和差倍分，可在图形中把它们的关系具体构造出来．只要构造得当，往往有利于对问题的探索．例7 △ABC中，AD为∠A的平分线．若AB+BD=m，AC-CD=n．求AD=？分析条件中出现AB＋BD、AC-CD，不妨在图中具体作图构造出来．为此，延长AB至E，使BE＝BD．则AE=AB＋BD=m，在AC上取点F，使CF=CD，则AF=AC-CD=n．连ED、DF，由∠1=∠2，容易设想，可否通过△AED与△ADF相似来计算AD．为此尚需寻求另一对对应角相等．比如，我们不妨寻求∠E与∠ADF的关系．由以上分折，易由△AED～△ADF，得出AD2=nm．原则四显现特殊性通过联结辅助线，在图形中常常可造出特殊角、特殊线、特殊点或图形的某种特殊性质．例9 过正方形ABCD的顶点A作直线l//对角线BD，以B为中心BD为半径画弧交l于E(如图9)，连BE交AD于F．求证DE=DF．分析要证DE=DF．只须证∠1=∠2．但试图证明∠1=∠2往往会周旋不止而达不到目的．愿因在于隐藏在题中的条件还未仔细挖掘．其所以马上得出∠HEB=30°，∠EBD=30°，∠2=∠EBD+∠ADB=30°＋45＝75°，所以∠1=∠2，问题迎刃而解．练习二通过以下各题体会各种添线原则．1．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．2．P为正方形ABCD内一点，且PA＝1，PB=5，PC=7．求证A、P、C三点共线．3．△ABC中，∠C＝2∠B，求证AB＜2AC．4．△ABC中，∠C=n∠B．(其中n为大于2的自然数)求证AB＜nAC．5．不等边△ABC中，最长的高线AD等于中线BE，求证∠B＜60°．6．矩阵ABCD中，AB=2AD．以A为中心AB为半径画弧交DC于E，连EB．求∠EBC的度数．7．直角梯形ABCD中，P为垂直于底的腰BC上一点．AP＝PD，∠APB=75°，∠DPC=45°，求证BC=AB．(三)添线的手段通过什么手段来实现上述原则？添设辅助线，从整体看，可以理解把图形的一部分变换到另外的位置，以此来实现条件和结论的联系．这些变换很多，常用的是平行、对称、旋转，线段等比及等积等等．其中，平移、对称、旋转是合同变换，它不改变线段的长度与角的大小；而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变；等积变形，只是图形在保持面积不变情况下的形变．此外圆中弦的一侧所张的圆周角均相等，可以看成一个角顶点沿圆弧滑动，角的两边通过弦的两个端点的运动，这些都是很有用的变化手段．下面举例说明这些变换在添线中的应用1．平移常常通过特殊点添平行线，或利用三角形中位线性质，造成平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置．例10 在四边形ABCD中，AB=DC，又E、F各是BC、AD的中点，延长BA、EF、CD，如图10(甲)交成∠1，∠2．求证∠1=∠2．图10(甲)中，利用平移使AB，CD，∠1，∠2集中在一个三角形中．图10(乙)中，利用中位线，使∠1，∠2集中，AB、CD以半长集中．(解略)例11 六边形ABCDEF中，AB//ED，BC//FE，CD//AF，对边之差BC-FE＝ED-AB＝AF-CD＞0．求证该六边形的各角均相等．提示过A作AQ//BC，过C作CR//DE，过E作EP//FA交成图中的△PQR．PQ=BC-EF，QR＝DE-AB．PR=AF-CD．故PQ＝QR＝PR．∴△PQR为正三角形．以下容易推证六边形各内角均为120°．本题是通过平移将元素相对集中．2．对称对称分轴对称与中心对称．等腰三角形的底边上的高线是对称轴．一个角的平分线是这个角的对称轴．而一条线段关于中点为中心对称．平行四边形为中心对称图形．一般地，一个图形要关于一条直线“翻折”过去，采用轴对称，一个图形绕一定点旋转180°，采用中心对称．例13 △ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分．BM是AC上的中线，AE、AF分BM为x、y、z三部分(x＞y＞z)，求x∶y∶z．解本题解法很多，我们利用中心对称求解．如图13，以M为中心作△ABC的中心对称图形，则E'C//AE，F'C//AF．由①，得x-y=z，③3．旋转在具有等边或特殊角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一特殊角，往往使分散的条件相对集中，显示出若干新的联系．例14 △ABC中,AB=AC,D是形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．分析将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC，得∠AEC＞∠ADC．又∠ADE=∠AED，相减，得∠DEC＞∠EDC．∴CD＞CE．即CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB．例15 设M是等腰直角三角形ABC的腰AC的中点，AD⊥BM．交斜边BC于D．求证∠AMB=∠DMC．分析要证∠1=∠2，由于∠3与∠1互余，∠4与∠1互余，又AB=AC，设想把△ABM平移加旋转到△ACN．(∠4与∠3重合，M→N，A→C)问题变为要证∠2=∠5．这时，只要设法证△MDC≌△NDC即可．例16 若P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3．试证∠APB=135°．分析利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1，PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90∴∠APE=90°．于是∠APB=135°．4．线段的等比移动．在一直线上二线段比的关系转移到另外直线上的二经段之比．例17 等腰梯形ABCD中，底角为67．5°，以它的一腰BC为直径作圆，交底AB于E，且恰与另一腰AD相切于M，求BE：AE的值．分析由OE=OB，得∠OEB＝∠OBE=∠A，因此OE//AD．设想把AE：EB等比移动．方法有二．方法1 延长AD、BC相交于P，如图18(甲)，∠P=45°，例18 O为△ABC内任一点，直线AO交BC于B，BO交AC于分析过A作BC的平行线，交CF延长线于C'，交BE的延长线于B'，形成二平行线被线束所截及三角形相似．所以至于等积变形，我们留在专题扩展讨论．有了以上一些基本原则与方法，我们不难对一些常见的辅助线分类研究，将某些类型题目的辅助线的经验系统化，这一工作留待大家去完成．练习三通过下列习题体会变换在添线中的作用．1．三角形ABC的边CB上有一点D，如果AC＝3，AB＝6，∠CAD=∠DAB＝60°，求AD的长．(答2)2．在等边三角形内有一点P．连接P与各项点的三条线段的长为3、3．P为正方形ABCD内一点，P到A、B、D的距离分别为1、4．如图，AB＝AC，∠APB，与∠APC为钝角且相等，求证BP=PC．5．等腰直角三角形ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE=CD．过C、D分别作AE的垂线交斜边AC于L、K．求证B L＝L K．提示利用平行截线把B L、L K等比移动到FC、CD，又相当于把△CAE旋转90°到△BFC、∠2=∠4=∠1，C L//BF//DK．由CD。