线性代数总结归纳
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1 行列式一行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：用于化简行列式1行列互换转置,行列式的值不变2两行列互换,行列式变号3提公因式：行列式的某一行列的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式4拆列分配：行列式中如果某一行列的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和;5一行列乘k加到另一行列,行列式的值不变;6两行成比例,行列式的值为0;二重要行列式4、上下三角主对角线行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则7、n阶n≥2范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值：三按行列展开9、按行展开定理：1任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值2行列式中某一行列各个元素与另一行列对应元素的代数余子式乘积之和等于0 四行列式公式10、行列式七大公式：1|kA|=k n|A|2|AB|=|A|·|B|3|A T|=|A|4|A-1|=|A|-15|A|=|A|n-16若A的特征值λ1、λ2、……λn,则7若A与B相似,则|A|=|B|五克莱姆法则11、克莱姆法则：1非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解2如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为03若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解,那么必有D=0;2 矩阵一矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：1矩阵乘法要求前列后行一致；2矩阵乘法不满足交换律；因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A,fA时,可以用交换律3AB=O不能推出A=O或B=O;2、转置的性质5条1A+B T=A T+B T2kA T=kA T3AB T=B T A T4|A|T=|A|5A TT=A二矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：5条1kA-1=1/k·A-1 k≠02AB-1=B-1·A-13|A-1|=|A|-14A T-1=A-1T5A-1-1=A5、逆的求法：1A为抽象矩阵：由定义或性质求解2A为数字矩阵：A|E→初等行变换→E|A-1三矩阵的初等变换6、初等行列变换定义：1两行列互换；2一行列乘非零常数c3一行列乘k加到另一行列7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵;8、初等变换与初等矩阵的性质：1初等行列变换相当于左右乘相应的初等矩阵2初等矩阵均为可逆矩阵,且E ij-1=E ij i,j两行互换；E i-1c=E i1/c第i行列乘cE ij-1k=E ij-k第i行乘k加到j★四矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：1rA=0意味着所有元素为0,即A=O2rA n×n=n满秩←→ |A|≠0 ←→A可逆；rA＜n←→|A|=0←→A不可逆；3rA=rr=1、2、…、n-1←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0;10、秩的性质：7条1A为m×n阶矩阵,则rA≤minm,n2rA±B≤rA±B3rAB≤min{rA,rB}4rkA=rAk≠05rA=rACC是一个可逆矩阵6rA=rA T=rA T A=rAA T7设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则rA+rB≤n11、秩的求法：1A为抽象矩阵：由定义或性质求解；2A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型每行第一个非零元素下面的元素均为0,则rA=非零行的行数五伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：8条1AA=AA=|A|E → ★A=|A|A-12kA=k n-1A3AB=BA4|A|=|A|n-15A T=A T6A-1=A-1=A|A|-17A=|A| n-2·A★8rA=n rA=n；rA=1 rA=n-1；rA=0 rA＜n-1六分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同;14、分块矩阵求逆：3 向量一向量的概念及运算1、向量的内积：α,β=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：α,β=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵,AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1二线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示1←→非齐次线性方程组α1,α2,…,αs x1,x2,…,x s T=β有解;★2←→rα1,α2,…,αs=rα1,α2,…,αs,β系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验6、线性表示的充分条件：了解即可若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示;7、线性表示的求法：大题第二步设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示;α1,α2,…,αs|β→初等行变换→行最简形|系数行最简形：每行第一个非0的数为1,其余元素均为0三线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：1α线性相关←→α=02α1,α2线性相关←→α1,α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1,α2,…,αs线性相关1←→有个向量可由其余向量线性表示；2←→齐次方程α1,α2,…,αs x1,x2,…,x s T=0有非零解；★3←→rα1,α2,…,αs＜s 即秩小于个数特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关1←→ rα1,α2,…,αn＜n2←→|α1,α2,…,αn |=03←→α1,α2,…,αn不可逆10、线性相关的充分条件：1向量组含有零向量或成比例的向量必相关2部分相关,则整体相关3高维相关,则低维相关4以少表多,多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1,α2,…,αs线性无关1←→任意向量均不能由其余向量线性表示；2←→齐次方程α1,α2,…,αs x1,x2,…,x s T=0只有零解3←→rα1,α2,…,αs=s特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关←→rα1,α2,…,αn=n ←→|α1,α2,…,αn |≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：1整体无关,部分无关2低维无关,高维无关3正交的非零向量组线性无关4不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定1定义法★2秩：若小于阶数,线性相关；若等于阶数,线性无关专业知识补充1在矩阵左边乘列满秩矩阵秩=列数,矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变;2若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即β1,β2,β3=α1,α2,α3C,则rβ1,β2,β3=rC,从而线性无关;←→rβ1,β2,β3=3 ←→ rC=3 ←→ |C|≠0四极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数★注:向量组α1,α2,…,αs的秩与矩阵A=α1,α2,…,αs的秩相等★16、极大线性无关组的求法1α1,α2,…,αs为抽象的：定义法2α1,α2,…,αs为数字的：α1,α2,…,αs→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组五向量空间17、基就是极大线性无关组变换公式：若α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为β1,β2,…,βn=α1,α2,…,αn C n×n其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵;C=α1,α2,…,αn-1β1,β2,…,βn18、坐标变换公式：向量γ在基α1,α2,…,αn与基β1,β2,…,βn的坐标分别为x=x1,x2,…,x n T,y=y1,y2,…,y n T,,即γ=x1α1 + x2α2 + …+x nαn=y1β1 + y2β2 + …+y nβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x;其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵;C=α1,α2,…,αn-1β1,β2,…,βn六Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1,α2,α3线性无关1正交化令β1=α12单位化4 线性方程组一方程组的表达形与解向量1、解的形式：1一般形式2矩阵形式：Ax=b；3向量形式：A=α1,α2,…,αn2、解的定义：若η=c1,c2,…,c n T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解向量二解的判定与性质3、齐次方程组：1只有零解←→rA=nn为A的列数或是未知数x的个数2有非零解←→rA＜n4、非齐次方程组：1无解←→rA＜rA|b←→rA=rA-12唯一解←→rA=rA|b=n3无穷多解←→rA=rA|b＜n5、解的性质：1若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解2若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解3若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解推广1设η1,η2,…,ηs是Ax=b的解,则k1η1+k2η2+…+k sηs为Ax=b的解当Σk i=1Ax=0的解当Σk i=02设η1,η2,…,ηs是Ax=b的s个线性无关的解,则η2-η1,η3-η1,…,ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解;变式：①η1-η2,η3-η2,…,ηs-η2②η2-η1,η3-η2,…,ηs-ηs-1三基础解系6、基础解系定义：1ξ1,ξ2,…,ξs是Ax=0的解2ξ1,ξ2,…,ξs线性相关3Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一;任意n-rA个线性无关的解均可作为基础解系;★7、重要结论：证明也很重要设A施m×n阶矩阵,B是n×s阶矩阵,AB=O1B的列向量均为方程Ax=0的解2rA+rB≤n第2章,秩8、总结：基础解系的求法1A为抽象的：由定义或性质凑n-rA个线性无关的解2A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系四解的结构通解9、齐次线性方程组的通解所有解设rA=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r 其中k1,k2,…,k n-r为任意常数10、非齐次线性方程组的通解设rA=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r 其中k1,k2,…,k n-r为任意常数五公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论需要掌握证明1设A是m×n阶矩阵,则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解,rATA=rA2设A是m×n阶矩阵,rA=n,B是n×s阶矩阵,则齐次方程ABx=0与Bx=0同解,rAB=rB5 特征值与特征向量一矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵,如果存在数λ及非零列向量α,使得Aα=λα,称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量;2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式λ的n次多项式;|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程λ的n次方程;注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：1若α为齐次方程Ax=0的非零解,则Aα=0·α,即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量2A的各行元素和为k,则1,1,…,1T为特征值为k的特征向量;3上下三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素;△4、总结：特征值与特征向量的求法1A为抽象的：由定义或性质凑2A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：1解特征方程|λE-A|=0,得矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn注：n次方程必须有n个根可有多重根,写作λ1=λ2=…=λs=实数,不能省略2解齐次方程λi E-A=0,得属于特征值λi的线性无关的特征向量,即其基础解系共n-rλi E-A个解6、性质：1不同特征值的特征向量线性无关2k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-rλi E-A≤k i3设A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则|A|=Πλi,Σλi=Σa ii4当rA=1,即A=αβT,其中α,β均为n维非零列向量,则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα,λ2=…=λn=05设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则A fAATA-1A P-1AP相似λfλλλ-1|A|λ-1λαα/ ααP-1α二相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作A~B 8、相似矩阵的性质1若A与B相似,则fA与fB相似2若A与B相似,B与C相似,则A与C相似3相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹即主对角线元素之和推广4若A与B相似,则AB与BA相似,A T与B T相似,A-1与B-1相似,A与B也相似三矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ=,称A可相似对角化;注：Aαi=λiαiαi≠0,由于P可逆,故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量10、相似对角化的充要条件1A有n个线性无关的特征向量2A的k重特征值有k个线性无关的特征向量11、相似对角化的充分条件：1A有n个不同的特征值不同特征值的特征向量线性无关2A为实对称矩阵12、重要结论：1若A可相似对角化,则rA为非零特征值的个数,n-rA为零特征值的个数2若A不可相似对角化,rA不一定为非零特征值的个数四实对称矩阵13、性质1特征值全为实数2不同特征值的特征向量正交3A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ4A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=Λ6 二次型一二次型及其标准形1、二次型：1一般形式2矩阵形式常用2、标准形：如果二次型只含平方项,即fx1,x2,…,x n=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形对角线3、二次型化为标准形的方法：1配方法：通过可逆线性变换x=CyC可逆,将二次型化为标准形;其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到;★2正交变换法：通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中,λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值,Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一,γi与λi对应即可;二惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形;5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变;注：1由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一;2p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q=非零特征值的个数=rA三合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵C,使得B=C T AC,称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系1A、B相似B=P-1AP←→相同的特征值2A、B合同B=C T AC←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数3A、B等价B=PAQ←→rA=rB注：实对称矩阵相似必合同,合同必等价四正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax,如果任意x≠0,恒有x T Ax＞0,则称二次型正定,并称实对称矩阵A是正定矩阵;9、n元二次型x T Ax正定充要条件：1A的正惯性指数为n2A与E合同,即存在可逆矩阵C,使得A=C T C或C T AC=E3A的特征值均大于04A的顺序主子式均大于0k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式10、n元二次型x T Ax正定必要条件：1a ii＞02|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定大题1A为数字：顺序主子式均大于02A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：1若A是正定矩阵,则kAk＞0,A k,A T,A-1,A正定2若A、B均为正定矩阵,则A+B正定。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义行列式的计算：①(定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积④若都是方阵（不必同阶）则⑤关于副对角线：⑦型公式：⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法)对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3.证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵矩阵的运算性质矩阵求逆矩阵的秩的性质矩阵方程的求解矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或(同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.(矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等.(矩阵运算a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c.矩阵与矩阵相乘：设,,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式不成立.a.分块对角阵相乘：b.用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a.对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b.分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,,.分块对角阵矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立） 2.逆矩阵的求法方阵可逆.①伴随矩阵法：②初等变换法③分块矩阵的逆矩阵：④,⑤配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义）行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式 () () () ?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.矩阵的秩关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式(存在的话)全部为0；②、，的阶子式全部为0；③、，中存在阶子式不为0；矩阵的秩的性质：①;;≤≤②③④⑤≤⑥若、可逆，则；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若；若⑧等价标准型.⑨≤,≤≤⑩,求秩矩阵方程的解法)：设法化成第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5.线性方程组的解的判定6.线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）线性表示：对于给定向量组，若存在一组数使得，则称是的线性组合，或称称可由的线性表示.线性表示的判别定理:可由的线性表示由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、有解②、③、（全部按列分块，其中）；④、（线性表出）⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）2.设的列向量为的列向量为，，为的解可由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵. 即：线性相关性判别方法：法1法2法3推论线性相关性判别法（归纳）线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关整体必相关；整体无关部分必无关原向量组无关接长向量组无关；接长向量组相关原向量组相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组中任一向量≤都是此向量组的线性组合若线性无关，而线性相关则可由线性表示且表示法一向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作矩阵等价经过有限次初等变换化为向量组等价和可以相互线性表示记作：矩阵的行向量组的秩列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵的初等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系向量组可由向量组线性表示且，则线性相关向量组线性无关且可由线性表示则.向量组可由向量组线性表示且则两向量组等价任一向量组和它的极大无关组等价向量组极大无关组若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等设是矩阵若，的行向量线性无关；线性方程组的矩阵式向量式（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：判断是的基础解系的条件：①线性无关；②是的解；③.(4)求非齐次线性方程组Ax=b的通解的步骤（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是的一个解，是的一个解线性无关√与同解（列向量个数相同）：①它们的极大无关组相对应从而秩相等②它们对应的部分组有一样的线性相关性③它们有相同的内在线性关系与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.第四部分方阵的特征值及特征向量1.施密特正交化过程2.特征值、特征向量的性质及计算3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.(标准正交基个维线性无关的向量两两正交每个向量长度为1与的内积(.记为：④向量的长度⑤是单位向量的向量.2.内积的性质：①正定性：②对称性：③线性：(设A是一个n阶方阵,若存在数和n维非零列向量,使得，则称是方阵A的一个特征值，为方阵A的对应于特征值的一个特征向量.(的特征矩阵）.(的特征多项式）.④是矩阵的特征多项式⑤，称为矩阵的迹.⑥上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素若则为的的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.⑧一定可分解为=、,从而的特征值为：,.为各行的公比，为各列的公比.⑨若的全部特征值，是多项式,则:①若满足的任何一个特征值必满足②的全部特征值为；.⑩与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程，求出特征值.(2)根据得到A对应于特征值的特征向量.设的基础解系为其中.则A对应于特征值的全部特征向量为其中为任意不全为零的数.(与相似（为可逆矩阵）(与正交相似（为正交矩阵）(可以相似对角化与对角阵相似.（称是的相似标准形）6.相似矩阵的性质：①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是关于的特征向量,是关于的特征向量.②③从而同时可逆或不可逆④⑤若与相似,则的多项式与的多项式相似.矩阵对角化的判定方法①n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n 个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：.②可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.③若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.实对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；②不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③一定有个线性无关的特征向量.若有重的特征值,该特征值的重数=；④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值.9.正交矩阵正交矩阵的性质①；②；③正交阵的行列式等于1或-1④是正交阵则也是正交阵⑤两个正交阵之积仍是正交阵⑥的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.施密特线性无关单位化：其中为对称矩阵，(与合同.（）(正惯性指数二次型的规范形中正项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差(为二次型的秩)④两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⑤两个矩阵合同的充分条件是：与等价⑥两个矩阵合同的必要条件是：2.经过化为标准形.(正交变换法(配方法（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;若二次型中不含有平方项，但是(),则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.(初等变换法3. 正定二次型不全为零，.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.4.为正定二次型（之一成立）：（1），；（2）的特征值全大于；（3）的正惯性指数为；（4）的所有顺序主子式全大于；（5）与合同，即存在可逆矩阵使得；（6）存在可逆矩阵，使得；5.（1）合同变换不改变二次型的正定性.（2）为正定矩阵；.（3）为正定矩阵也是正定矩阵.（4）与合同，若为正定矩阵为正定矩阵（5）为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵. 半正定矩阵的判定一些重要的结论：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.7第1页共20页。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
线性代数知识点总结
一、行列式1.排列：由个不同数码1,2，……，组成的有序数组12……n。
2.逆序：在一个级排列12……n中，如果有较大的数t排在较小的数s前面，则称与构成一个逆序。
一个级排列中逆序的总数称为它的逆序数，逆序数是奇数称为奇排列，是偶数或0称为偶排列。
3.定理1：任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。
定理2：个数码（>1）共有！个级排列，其中奇偶排列各占一半。
4.用2个元素(=1,2, ……)组成的记号称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。
称为第行第列的元素，阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的个元素乘积的代数和，一般项可以写为其中12…n 构成一个级排列，当12…n取遍所有的级排列时，则得到阶行列式表示的代数和中所有的项。
5.主对角线：行列式中从左上角到右下角的对角线。
6.主对角线右上方元素全为0的行列式为下三角行列式，左下方元素全为0为上三角行列式，主对角线左上方和右上方元素全为0，主对角线上元素不全为0的行列式为对角行列式，它们的值均等于主对角线上元素的乘积。
7.行列式性质1 行列式转置，值不变，即D T=D8.性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即D1=D。
9.性质3 用数乘行列式的某一行（列），等于数乘此行列式 ,即D1=D。
10.性质4 若将行列式中某一行（列）的每一个元素写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即D=D1+D211.推论：①若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值为0。
②若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为0。
③若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。
④将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式值不变。
12.余子式M:在阶行列式D=||中去掉元素所在的第行第列后，余下的-1阶行列式。
线性代数知识点总结
1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E ==无条件恒成立；3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12sA A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素； ③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑； 注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项； Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C CCC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a aa xb Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx =只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx =有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E =()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E =()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数总结
第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式，有：f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置（A+B)^T=A^T+B^T （AB)^T=B^TA^T（kA)^T=kA^T（A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵（斜对称矩阵）任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。
3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一，B的逆为A。
(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ（等价）最简判断方法：det!=0逆矩阵求法：（A , I）—→（I , A^(-1））5、分块矩阵（注意使用即可）第二章1、性质（①、②为矩阵的某两行）某一行全为零，det=0某两行对应元成比例，则det=0 ①→k·①，则det→k·det①→k·②+①，则det不变①←→②，则det→（-det）detA=det（A^T）detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det（kA）=k^n（detA）#伴随矩阵的性质y推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*）=（detA)^(n-1）(kA)*=k^(n-1）A*(A*)^(-1）= A^(-1)*(A^T)* =（A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，零矩阵的秩为0。
性质：A可逆←→R（A）=nR（A）=0←→A=0R（A）=R（A^T）k≠0时，R（kA）=R（A）若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）A≌B←→R（A）=R（B）（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简，即可得到秩。
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
线性代数超强总结
考试重点第一章: 行列式的定义、行列式的计算；第二章: 1、求矩阵的逆阵（伴随矩阵法、初等变换法）； 2.求矩阵的秩（用初等变换法）；3.求矩阵方程: Ax=B, xA=B, AxB=C ； 第三章: 证明向量组的线性相关性； 第四章: 方程组Ax=0, Ax=b 求解； 第五章: 1、会求特征值与特征向量； 2.相似矩阵的性质；3.实对称矩阵的对角化； 第六章: 1.用正交变换把二次型化为标准形；2.二次型的秩, 二次型正定的定义； 3、矩阵正定的判断方法:（1）各阶顺序主子式都大于零；（2）每个特征值都大于零()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A B B B B A A BB οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线: √ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n aa n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 设 , 对 阶矩阵 规定: 为 的一个多项式.√ 设 的列向量为 , 的列向量为 , 的列向量为 ,√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦√ 判断 是 的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ④ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑤ ()0r A A ο=⇔=.⑥ 若 线性无关, 而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一. ⑦ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑧ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列 、行向量间的线性关系.⑨ 矩阵 与 等价 作为向量组等价,即: 秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.向量组 可由向量组 线性表示 ≤ .向量组 可由向量组 线性表示,且 , 则 线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑩ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑪ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑫ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑬ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若 是 矩阵,则 ,若 , 的行向量线性无关；若 , 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦51212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解6线性方程组解的性质:√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:② 对称性: ③ 双线性:1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化: T AA E =.√ 是正交矩阵的充要条件: 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质: ① ； ② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为: , .√ 若 的全部特征值 , 是多项式,则: ① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ,A *的全部特征值为12,,,n A AAλλλ.√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.. 相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √ 可对角化的充要条件: 为 的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质: ① 若 均可逆 ② T T A B③ kk A B （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ； ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性.① √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）:②正惯性指数为n；③A的特征值全大于0；④A的所有顺序主子式全大于0；⑤大于0）.√成为正定矩阵的必要条件: ；.11。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）—行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值:（三）按行（列）展开 9、按行展开定理:（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A|1 1…ik £…益■y (v)」IT=n厲-号）klXn7、n 阶（n 》2）范德蒙德行列式数学归纳法证明(2) |AB|=|A| • |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5) |A*|=|A|n-1(6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P(7) 若A与B相似，则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则：(1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0(3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0b2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：(1)矩阵乘法要求前列后行一致；(2)矩阵乘法不满足交换律；(因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义：B=A-1 AB=E或 BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为注：A可逆的充要条件是|A|工04、逆的性质：( 5 条)(1)( kA) - 1=1/k ・A-1 (k 工0)(2)(AB)-仁B- 1 ・A-1(3)|A-1|=|A|-1( 4)( AT) -1= ( A-1 ) T( 5)( A-1 ) -1=A5、逆的求法：( 1 ) A 为抽象矩阵：由定义或性质求解(2) A为数字矩阵：(A|E初等行变换E|A-1 )(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k 加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aa a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112aa aa ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a aa a a a a 。
即111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132112332122133132231,aa a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222ax a x b ax a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D xa a Da a ==，1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D aa a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a Da b a a b a =，1112132122231323a ab Da ab a a b =，则11D x D=，22D xD=，33D xD=。
大学线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结1. 向量与空间- 向量的定义与表示- 向量的加法与数乘- 向量的内积与外积- 向量的模、方向与单位向量- 向量空间的定义与性质- 基、维数与坐标表示- 子空间及其性质- 线性相关与线性无关的概念2. 矩阵- 矩阵的定义与表示- 矩阵的加法、数乘与转置- 矩阵的乘法规则- 矩阵的逆- 行列式的概念与性质- 行列式的计算方法- 秩的概念与求解- 矩阵的分块3. 线性方程组- 线性方程组的表示- 高斯消元法- 行列式法- 逆矩阵解法- 克拉默法则- 线性方程组的解的结构- 齐次与非齐次线性方程组 - 线性方程组的解空间4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征值与特征向量的计算 - 矩阵的对角化- 矩阵的Jordan标准形- 特征值与特征向量的应用5. 内积空间- 内积空间的定义- 正交与正交性- 正交基与正交矩阵- 格拉姆-施密特正交化过程 - 最小二乘法- 正交投影与正交补6. 线性变换- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示- 线性变换的核与像- 线性变换的不变子空间- 线性变换的复合与逆变换 - 线性变换的分类7. 广义逆矩阵- 广义逆矩阵的概念- 广义逆矩阵的计算方法- 广义逆矩阵的性质与应用8. 谱理论- 谱定理- 谱半径与谱半径估计- 谱聚类9. 线性代数在其他领域的应用- 计算机图形学- 数据分析与机器学习- 量子力学- 结构工程- 电路分析结语线性代数是数学的一个重要分支，它在科学、工程、经济等多个领域都有着广泛的应用。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法是解决实际问题的关键。
本文总结了线性代数的核心知识点，旨在为学习和应用线性代数提供参考和指导。
线性代数公式总结
线性代数公式总结线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量、向量空间、矩阵、线性方程组等概念和性质。
线性代数公式总结如下：1.向量加法和标量乘法：- 向量加法：如果u和v是n维向量，则它们的和为u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)- 标量乘法：如果k是一个实数，则k乘以向量v的结果为kv = (k*v1, k*v2, ..., k*vn)2.线性方程组：-n个未知数的线性方程组可以用矩阵和向量表示：Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
- 如果Ax = b有唯一解，则A的行列式不为零。
行列式表示为det(A)。
-矩阵的逆：如果矩阵A的行列式不为零，则存在矩阵A的逆矩阵A^-1，使得AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵。
3.向量空间和线性无关性：- 向量空间是指由向量的线性组合构成的集合，满足以下性质：对于任意的向量u和v以及任意的标量k和l，ku + lv仍然在向量空间内。
- 向量v1, v2, ..., vn是线性无关的，如果方程k1v1 + k2v2+ ... + knvn = 0只有零解。
- 如果一组向量v1, v2, ..., vn张成一个向量空间V，则称这组向量是V的基。
4.矩阵的运算：- 矩阵的加法：如果A和B是相同大小的矩阵，则它们的和为A + B = (aij + bij)，其中aij和bij分别是矩阵A和B对应位置的元素。
- 矩阵的乘法：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，它们的乘积为C = AB，其中C是m×p的矩阵，其中C的元素cij可以表示为cij= Σ(k=1 to n) aikbk，其中aik是矩阵A的元素，bk是矩阵B的元素。
5.特征值和特征向量：-如果矩阵A乘以向量v得到一个与v方向相同的向量，那么v是A的特征向量，对应的乘积结果是特征值λ，即Av=λv。
(完整版)线性代数知识点全归纳
1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：6若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)8第一章 随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。
线性代数结论总结
1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i ji jij ij ij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D-=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D-=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D=；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D=；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ =◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB OB==、(1)m nC A O A A BBO BC ==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A，恒有：1(1)nnkn kk k EA S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明A =的方法： ①、A A=-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax=，证明其有非零解；④、利用秩，证明()r A n<；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n=（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax=有非零解；⇔nb R ∀∈，Axb=总有唯一解；⇔A 与E等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔TA A是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是nR 的一组基；⇔A 是nR中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()TTTT A A A A A A ----===***111()()()TTTA B B A A B B A A B BA---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则：Ⅰ、12sA A A A = ；Ⅱ、111121s A A AA ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；②、111AO A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O BBO AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A C BO B OB-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O CB BC AB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m nE O FOO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B=⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1XA-=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B-，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Axb=，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1xA b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11kk k-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n+≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：0111111()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnnm a b C a C ab C abCa bC bCa b-----=+=++++++=∑ ；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- mnn n n n n n m n C C C mm n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nm n m m m m r nr r nnn nnnn n r CCCCCCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAA X X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A-=、1*n AA-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Axb=为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m n m n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ；②、1112111212222212n nm m m n m m a a a x b aa a xb A x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b bb β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a x a x β+++= （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A nβ=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα；m个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tmβββ 构成m n ⨯矩阵12T T T mB βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()Tr A A r A =；(101P 例15)5.n维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ⇔0α=； ②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα 线性相关，则121,,,,s s αααα+ 必线性相关；若12,,,s ααα 线性无关，则121,,,s ααα- 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则rs≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P = ；①、矩阵行等价：~rA BPA B⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx=同解②、矩阵列等价：~c A B A Q B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯ 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯ 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m A Q E = ()r A m⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= 成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax=有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r=-；16. 若*η为Ax b=的一个解，12,,,n r ξξξ- 为0Ax=的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵TA A E⇔=或1TA A-=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ；②、若A 为正交矩阵，则1TA A-=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆；⇔T x Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使TC AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数知识点及总结
线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式1212n nλλλλλλ=，()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ，行列式变号。
推论如果行列式有两行〔列〕完全一样〔成比例〕，则此行列式为零。
性质3 行列式*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中*一行〔列〕所有元素为零，则=0D 。
性质4 假设行列式的*一列〔行〕的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222*********12i n i n i n i n n n ninnn n ninna aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的*一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
而算得行列式的值。
4. 行列式按行〔列〕展开余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。
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线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII行列式1．为何要学习《线性代数》学习《线性代数》的重要性和意义。
答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。
2．《线性代数》的前导课程。
答：初等代数。
3．《线性代数》的后继课程。
答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。
4．如何学习《线性代数》答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。
在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。
在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。
第一章行列式5．什么是一个n阶全排列【知识点】：n阶全排列。
答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。
6．什么是标准排列【知识点】：n阶全排列。
答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。
7．什么是n阶全排列的逆序【知识点】：n阶全排列的逆序。
答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。
例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。
数4与5，数1与2不构成逆序。
8．什么是n阶排列的逆序数【知识点】：n阶排列的逆序数。
答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。
例如：上问中的排列45312的逆序数为8。
9．什么是奇排列和偶排列【知识点】：排列的奇偶性。
答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。
例如：排列45312为偶排列。
10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。
答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。
例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。
11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。
答：可经过一系列对换互变。
且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。
例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5与3就变为标准排列12345。
对换的次数2与逆序数6都是偶数，但要注意对换的次数与逆序数一般不相等。
12．n阶行列式中的元素的两个下标表示什么【知识点】：n阶行列式的元素。
答：第一个下标表示元素所在的行数，第二个下标表示元素所在的列数。
例如：a23表示该元素位于行列式的第2行第3列的位置。
13．n阶行列式展开式中共有多少项每一项有什么特点【知识点】：n阶行列式的定义。
答：共有n! 项，每一项由不同行不同列的n个元素的乘积构成。
例如：3阶行列式共有3！=6项，每一项由不同行不同列的3个元素的乘积构成。
14．n阶行列式展开式中每一项前的符号如何确定【知识点】：n阶行列式的定义。
答：当n个元素的乘积的第一个下标按标准排列排列时，该项的符号为（-1）的列标排列的逆序数次方。
例如：4阶行列式中的项a14a23a32a41的符号为(-1)τ(4321)= +1.15．1阶行列式等于多少【知识点】：1阶行列式的特点。
答：1阶行列式|a|=a。
但不要与绝对值混淆。
16．2，3阶行列式的对角线算法怎样进行【知识点】：2，3阶行列式的的定义及特殊性。
答：从左上角到右下角的元素的乘积的项前取正号，从右上角到左下角的元素的乘积的项前取负号。
17．对角线算法能用于4阶以上的行列式吗【知识点】：行列式的对角线算法的局限性。
答：不能，因为按对角线算法展开阶行列式只有2n项，而阶行列式的展开式中应有n！项，另外各项前的符号也不能用对角线算法的方法来定。
例如：4阶行列式中的项a14a23a32a41的符号应为+，按对角线算法的方法它的符号为“－”。
18．上（下）三角行列式怎样计算？三角行列式的算法。
答：主对角线上的所有元素的乘积。
例如：19．什么是转置行列式与原行列式有什么关系这说明行列式的什么性质【知识点】：行列式的的对称性。
答：依次将行列式的行写成列后得到的行列式叫转置行列式。
转置行列式与原行列式相等。
这说明行列式的行与列的对称性。
例如：行列式的转置行列式。
它们是相等的。
20．交换行列式的任意两行（列），行列式有什么变化【知识点】：行列式的基本性质。
答：行列式要变号。
例如：21．用一个数k乘行列式，行列式中的元素有什么变化【知识点】：行列式的基本性质。
答：相当于在行列式的某行（或列）的每个元素上都乘以数k。
例如：，则22．如果行列式中有两行（列）元素相等，则行列式等于多少【知识点】：行列式的基本性质。
答：行列式等于0。
例如：23．行列式中某一行（列）所有元素的公因子是否可以提到行列式符号的外面【知识点】：行列式的基本性质。
答：可以。
例如：24．若行列式中有某一行（列）的元素全是零，则行列式等于多少【知识点】：行列式的基本性质。
答：应用23问的答，得行列式等于0。
25．若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于多少【知识点】：行列式的基本性质。
答：应用22问与23问的答，得行列式等于0。
26．将一个行列式拆成两个行列式的和时应注意什么问题【知识点】：行列式拆成两个行列式的和。
答：只能将某行（或列）的元素拆开，而其它行（或列）的元素不变。
例如：27．把行列式的某一行（列）元素乘以同一数k后加到另一行对应元素上，行列式有什么变化【知识点】：行列式的基本性质。
答：行列式不变。
例如：的第2行乘3加到第1行后的行列式与原行列式相等。
28．行列式的k阶子式是什么含义【知识点】：行列式的k阶子式。
答：行列式的k阶子式由某k行和某k列交叉的k2个元素按原来的顺序排成的k阶行列式。
例如：的由第1、3行与第2、3列得到的一个2阶子式为29．式的余子式是什么含义【知识点】：行列式的子式的余子式。
答：把子式所在的行和列去掉后剩下的元素构成的行列式。
例如：的由第1、3行与第2、3列得到的子式的余子式为划去第1、3行与第2、3列剩下的行列式。
30．子式的代数余子式是什么含义【知识点】：行列式的子式的代数余子式。
答：子式的代数余子式是在子式的余子式前添上符号，其中为子式所在的行和列。
例如：的子式的代数余子式是31．行列式D的元素a ij的余子式和代数余子式是什么含义【知识点】：行列式的元素的余子式和代数余子式的概念。
答：元素a ij的余子式是去掉元素a ij所在的第i行和第j列后剩下的元素所构成的行列式。
元素a ij的代数余子式是在元素a ij的余子式前添上符号后的式子。
例如：的元素a23=7的余子式是去掉元素所在的第2行和第3列后剩下的元素所构成的行列式，a23=7的代数余子式是。
32．n阶行列式的任一个k阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项与行列式中的项有什么关系【知识点】：子式与它的代数余子式的乘积与行列式中的项的关系。
答：n阶行列式的任一个k阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式中的一项，而且符号一致。
33．行列式按k行展开如何展开【知识点】：行列式展开的拉普拉斯定理。
答：在行列式中任取k行，由这k行元素组成的所有的k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式。
34．行列式按一行（列）展开如何展开【知识点】：行列式按一行（列）展开的公式。
答：行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的代数余子式的乘积之和。
35．行列式的某一行（列）的所有元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于多少【知识点】：行列式的重要性质。
答：等于0。
36．范德蒙行列式有什么特点怎么计算【知识点】：范德蒙行列式。
答：范德蒙行列式第一行全为1，第三行以后依次是第二行的元素2，3，…，n-1次幂. 范德蒙行列式等于第二行的后一列元素与前各列元素的所有差的乘积。
即37．克拉默法则能解决什么样的线性方程组的问题【知识点】：克拉默法则。
答：方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组，且方程组的系数行列式要求不为零。
38．克拉默法则中，方程组的解的公式是怎样计算的【知识点】：克拉默法则。
答：第i个未知量的解等于D i/D，其中D i是系数行列式D中的第i列换成自由项所得到的行列式。
39．行列式的计算有哪些常用的方法【知识点】：行列式的计算方法。
答：利用行列式的性质将行列式化为上（或下）三角行列式；利用行列式的性质将行列式的某一行（或列）变成只有一个元素非零，再按该行（或列）展开，依照此法做下去，直到2或3阶行列式；根据行列式的形状找出递推关系，由递推关系来计算出行列式。
第二章矩阵1．矩阵是否表示一个数【知识点】：矩阵的概念。
答：矩阵是一个由数排成的数表，不是数。
2．有哪些矩阵表示法【知识点】：矩阵表示法。
答：用大写的英文字母A,B,…，或A m×n, (a ij) m×n, (a ij) 。
3．两个矩阵相等有什么条件【知识点】：矩阵相等的概念。
答：矩阵的型相同，对应的元素相等。
4．矩阵在什么情况下叫方阵【知识点】：方阵的概念。
答：矩阵的行数与列数相等。
5．1阶方阵是什么【知识点】：1阶方阵。
答：1行1列的矩阵。
6．上三角矩阵有什么特点【知识点】：上三角矩阵。
答：上三角矩阵是方阵，且主对角线以下的元素都为0的方阵。
例如：是上三角矩阵。
7．下三角矩阵有什么特点【知识点】：下三角矩阵。
答：下三角矩阵是方阵，且主对角线以上的元素都为0的方阵。
例如：是下三角矩阵。
8．对角矩阵有什么特点【知识点】：对角矩阵。
答：对角矩阵是方阵，且主对角线以外的元素都为0的方阵。
例如：是3阶对角矩阵。
9．n阶单位矩阵的含义是什么【知识点】：单位矩阵的概念。
答：主对角线上的元素都为1的对角矩阵。
10．不同阶的单位矩阵是否相等【知识点】：单位矩阵。
答：因为两个矩阵相等首先要求它们是同阶的，所以不同阶的单位矩阵不相等。
11．零矩阵的含义是什么【知识点】：零矩阵的概念。
答：每个元素都为0的矩阵，它不一定是方阵。
12．不同型的零矩阵是否相等【知识点】：零矩阵。
答：因为两个矩阵相等首先要求它们是同阶的，所以不同阶的零矩阵不相等。
13．两个矩阵相加有什么条件【知识点】：矩阵的加法。
答：两个矩阵的型要相同。
比如要与2×3矩阵相加的矩阵一定是2×3矩阵。
14．两个矩阵如何相加【知识点】：矩阵的加法。
答：对应位置上的元素相加。
例如：= 。
15．负矩阵是什么含义【知识点】：负矩阵。