用放缩法证明数列中的不等式(超级好!)
放缩法证明不等式
高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可． 证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
利用放缩法证明数列型不等式
1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时 ，S1
1
3 2
当n
2时 ，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时 ，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时 ，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩
放缩法证明数列不等式讲义
利用放缩法证明数列不等式讲义姓名 班级放缩法的注意问题以及解题策略：1.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和， 则可考虑使用放缩法证明不等式。
而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩, 把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向：是放大还是缩小。
若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小。
3、放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始。
4.常见的放缩方法有：增加(减少)某些项； 增大(减少)分子(分母)； 增大(减小)被开方数；增大(减小)底数(指数)； 利用不等式的性质或重要不等式； 利用函数的单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式： （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<，21n n n >+-，111n n +->-，2(1)n n n n +>=（3）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+，11n n n n -<+，212221n n n n +>- （4）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （5）111111123n n n n n n n+++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+== （6）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--（7）2)n<≥(9)<<<=（11）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n na a a a a a a a n--≤-+-++-≥(12)1112(21)212n n n n=---(13)1211222211(2)(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n nn n n n n n n n nn---=<==-≥---------⎛⎫=<==<6、常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①形如1niia k=<∑（k为常数）；②形如1()niia f n=<∑；③形如1()niia f n=<∏；④形如1niia k=<∏（k为常数）.途径1.放缩为等差等差⨯1，后用裂项，有些数列不一定从第一项就开始放缩例1：（1）求证：2131211222<++++n（2）求证：2222111171234n++++<途径2：放缩为等比数列，并不一定从第一项起就开始放缩。
用放缩法证明数列不等式的策略与技巧
寿 鲜 春 ： 放 缩 法 证 明数 列 不等 式 的 策 略 与 技 巧 用
・１ ・ ７
用 放 缩 法 证 明 数 列 不 等 式 的 策 略 与 技 巧
●寿鲜春 （ 牌头中学 浙江诸暨 ３１ ５ １ ２） ８
类 似 的 ， 可 以证 明下 面一 个不 等式 ： 还 例 ２ 已知数 列 ｛ 满 足 ： ＝ａ ａ｝ ａ＋ 一ａ ＋１ ， ａ＝ ， 证： 】 ２求 — ＋ —＋… ＋ ——＜ （ ≥２ ∈ ・ ． —＋ － ＋ … ＋— ＜１ ｎ ， ） — 【 ≥Ｚ ／∈Ｎ Ｊ 。 ７ ，
利用 加糖后 糖水 变 甜 的结论 ， 以得 出 ： 可 若ａ＞
ｂ ＋ ｒｌ ＜ ２ ３ ． ａ ‘ ｔ ＿
２ ２ 利 用浓度 不等 式 建 立项 与项之 间的对 应 关 系 ．
３２ ＋３３ ’… ＋ ３ 一 ＜一 ， ＋ 。 。 １、 ６ ’
＜ ＜
２ （ ≥３ ｎ 凡 ）
（ 凡≥３ ），
，
ｇ 一ｌｎ）ｇ ． （ ÷（＿－艚 ２ ） ｇ １ｌ ２
然 后用 错位 相减 法计算 得 到
６ ８
一 ＋
这 问 就 转 为 明ｌ１ ） 样 题 可 化 证 ：（ ＞ ｇ＋
ｇ
２
７
＜ ，
＋
√等即明 ＞ 等显成． ， √ ， 立 证 然
与 要证 结果 不符． 事买是 放缩 时放 得 太大 ！
ｌ＋ ）把 边 作 一 数 之 ， ３ ｇ ． 右 看 某 个 列 和则 （ １ 若
对应 的数列 通项 为 ：
１１
尝试 ２ 用 数学 归纳法 容 易 证 明 ： ｎ≥３时 ， 当 ＞ ｎ 则 由浓度 不等式 可 以得 到 以下不 等式 ： ２，
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。
放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。
放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。
上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。
根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。
对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。
假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。
可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。
首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。
递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。
一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。
放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。
常见的递推关系有加减法、乘除法等。
证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。
放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。
放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。
证明数列不等式的常用放缩方法技巧精减版
证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kk k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀“小者小,大者大”。
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例：()(0)1x f x x x=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。
利用放缩法证明数列型不等式
利用放缩法证明数列型不等式处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
用放缩法证明数列中的不等式(超级好!).
1
22
2
2
3 23
3
n 2n
n
2
(n N)
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例1
求证：1 2
1 22
1 23
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 2
1 )
2n
1
1
1
1 1
2n
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
2021/6/22
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
2n n 2n
将通项放缩为 错 位相减模型
左边 1 2 3 n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
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【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
用放缩法证明 数列中的不等式
2021/6/22
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，
其基本结构形式有如下 4 种：
n
n
①形如 ai k （ k 为常数）；②形如 ai f (n) ；
i 1
i 1
n
n
③形如 ai f (n) ；④形如 ai k （ k 为常数）.
i1
i1
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思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n2 1
放缩法证明数列的不等式，这几种方式你学会了吗？
放缩法证明数列的不等式，这几种方式你学会了吗？
关于数列的不等式证明，一直以来都是老大难问题。
因为部分涉及到放缩技巧，但是放缩有些时候掌控不好尺寸就容易出现错误。
从数列的不等式证明来看，一共是两种方式，一种是直接求和再放缩。
还有一种是先放缩在求和。
那么放缩到底有哪些方式那？主要放缩成成等差数列、等比数列、裂项相消、错位相减（等差数列乘以等比数列）等。
另外放缩的时候，大部分都会留首项或者前两项，防止放缩过大或者过小的问题。
具体类型题
数列的放缩除了以上几种方式，还有比如根据不等式的性质，去构造糖水不等式进行缩放。
无论是哪一种类型题，一定要多去尝试多去做。
而且我们平时考察的题目，大部分是缩放成等差数列或者等比数列。
证明数列不等式的常用放缩方法技巧精减版
证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：.-T 2⑴添加或舍去一些项，如：a ⑵将分子或分母放大(或缩小)1 1例2. a n (一)"，前n 项和为S n ，求证：Sn —3 2先放缩再求和1) n⑶利用基本不等式，如: ig3 ig5 (lg3 lg5)2 ⑷二项式放缩：2n (1 1)n 2n c ° c n c ； c 0 n 2 c n n 22 2c n , 2n 2 n(n C 0 c1)(n 2)(5)利用常用结论:I . 1的放缩：k 1的放缩⑴ k 2 k 1 k(k 1) k .. 1 k(k 1)(程度大)IV . 右的放缩⑵ 1 k 2 1 (k 1)(k)(程度小)1的放缩(3): k 2 1 k 7 2G 1 )(程度更小)2k 1,n(n 1)山尸ig4 ；2分式放缩还可利用真(假) 分数的性质 ：b —(b a 0,m 0)和b —(a b 0,m 0) a a m a a m记忆口诀“小者小，大者大”。
解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.W .构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例: f(x) — (x 0),从而实现利用函数单调性质的放缩:1 xf(a b) f(a b)。
先求和再放缩例 1. a n ,前n 项和为S n ，求证: n (n 1)S n 111（一）放缩后裂项相消 例 3•数列{a n } , an ( 1)n n ，其前 n 项和为Sn ，求证:S2n（二）放缩后转化为等比数列。
{b n }满足：3 1，b n 例4. b n 2 (n 2)b n 3 (1) 用数学归纳法证明: 1b nT n(2) bi 3 b 23 b s bn ，求证: T n三、裂项放缩例 5.(1) 2 k 1 4k 2-的值； 1求证：例 6.(1) 1 1 1 7 32 52 (2n 1)2 6 1 1 1 1 16 36 4n 2 2 1 1■,7n 1 1) 1 L L 求证: 求证: 1 4 求证:1 2(2n 1) 丄 4n 丄 £(j 2n 1 1)/n1 (n 2) 例7.求证： (n 1)(2n 1) 6n例 8.已知 a n 4n 2n ，T 2n ,求证：T T Ta i a 2 a n四、分式放缩姐妹不等式：b a 0,m 0)和b a a m a记忆口诀”小者小，大者大” 解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.例9.姐妹不等式：。
放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质： （1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>> ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++ （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。
从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（2）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
放缩法证明数列不等式典例精讲
放缩法证明数列不等式典例精讲1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，若4S n =2n -1 a n +1+1，且a 1=1(1)求证：数列a n 是等差数列，并求出a n 的通项公式(2)设b n =1a n S n ，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <32解：(1)4S n =2n -1 a n +1+1∴4S n -1=2n -3 a n +1n ≥2∴4a n =2n -1 a n +1-2n -3 a n n ≥2即2n +1 a n =2n -1 a n +1⇒a n +1a n =2n +12n -1∴a n a n -1=2n -12n -3,a n -1a n -2=2n -32n -5,⋯,a 3a 2=53∴a n a n -1⋅a n -1a n -2⋅⋯⋅a 3a 2=2n -12n -3⋅2n -32n -5⋅⋯⋅53即a n a 2=2n -13n ≥2 ∴a n =2n -13a 2，由4S n =2n -1 a n +1+1令n =1可得：4S 1=a 2+1⇒a 2=3∴a n =2n -1n ≥2 ，验证a 1=1符合上式∴a n =2n -1S n =n 2(2)由(1)得：b n =12n -1 n 2=1n 2n -1 b 1=1可知当n ≥2时，b n =1n 2n -1 <1n 2n -2 =12n n -1=121n -1-1n ∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <b 1+121-12 +12-13+⋯+1n -1-1n=1+121-1n <32不等式得证2.设数列a n 满足：a 1=1,a n +1=3a n ,n ∈N ∗，设S n 为数列b n 的前n 项和，已知b 1≠0，2b n-b 1=S 1⋅S n ,n ∈N ∗(1)求数列a n ,b n 的通项公式(2)求证：对任意的n ∈N ∗且n ≥2，有1a 2-b 2+1a 3-b 3+⋯+1a n -b n<32解：(1)∵a n +1=3a n ∴a n 为公比是3的等比数列∴a n =a 1⋅3n -1=3n -1在b n 中，令n =1，2b 1-b 1=S 1⋅S 1⇒b 1=1∴2b n -1=S n 2b n -1-1=S n -1∴2b n -2b n -1=b n n ≥2 ⇒b n =2b n -1∴b n 是公比为2的等比数列∴b n =b 1⋅2n -1=2n -1(2)证明：1a n -b n =13n -1-2n -1<13n -21a 2-b 2+1a 3-b 3+⋯+1a n -b n<1+13+⋯+13n -2=1⋅1-13n -11-13=321-13n -1<323.已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a n +1a n=2S n ,n ∈N ∗(1)求证：数列S 2n 是等差数列(2)记数列b n =2S 3n ,T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n ，证明：1-1n +1<T n ≤32-1n解：(1)a n +1a n =2S n ⇒S n -S n -1+1S n -S n -1=2S n n ≥2∴1S n -S n -1=S n +S n -1∴S 2n -S 2n -1=1∴S 2n 为等差数列(2)思路：先利用(1)可求出S n 的公式进而求出b n =2n n ，则1b n =12n n，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
谈谈证明数列不等式的三种方法
解题宝典数列不等式证明具有较强的综合性，且难度较大.此类问题往往综合考查了等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、性质、不等式的可加性、可乘性、传递性等，对同学们的逻辑推理和分析能力有较高的要求.本文主要介绍三种证明数列不等式的方法.一、裂项放缩法若数列的通项公式为分式，且可裂为或通过放缩后化为两项之差的形式，则可采用裂项放缩法求解.首先将数列的各项拆分，在求和时绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消，再将所得的结果进行适当的放缩，便可证明数列不等式.例1.若数列{}a n ，{}b n 的通项公式分别为a n =n (n +1)，b n =()n +12，试证明1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n<512.证明：当n =1时，1a 1+b 1=16<512，当n ≥2时，a n +b n =()n +1()2n +1>2()n +1n ，1a n +b n =1()n +1()2n +1<12n ()n +1=12æèöø1n -1n +1,∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n ùûú<16+12éëêæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1，∵12éëêùûúæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1=12æèöø12-1n +1<14，∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <16+14=512∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <512成立.{}1a n +b n的通项公式为分式，且可通过放缩、裂项将其转化为两项之差：12æèöø1n -1n +1，于是采用裂项放缩法求证.运用裂项放缩法证明不等式时，需根据数列通项公式的特点或和的特点进行适当的放缩，同时要把握放缩的“度”，不可“放”得过大，也不可“缩”得过小.二、构造函数法数列是一种特殊的函数.在解答数列不等式证明题时，可根据目标不等式的特点构造出函数模型，此时需将n ∈N *看作函数的自变量，将目标式看作关于n 的函数式，利用函数的单调性、有界性来求得函数式的最值，从而证明不等式成立.例2.已知数列{}a n 的通项公式为a n =3n -1，且该数列的每一项均大于零.若数列{}b n 的前n 项和为T n ，且a n ()2b n-1=1，证明：3T n -1>log 2()a n +3.证明：∵a n()2b n-1=1，a n=3n -1，∴b n =log 2æèçöø÷1+1a n =log 23n 3n -1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =log 2æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2æèöø32⋅65⋅⋯⋅3n 3n -13∙23n +2，设f ()n =æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -13∙23n +2，∴f ()n +1f ()n =3n +23n +5∙æèöø3n +33n +23=()3n +32()3n +5()3n +22，∵()3n +33-()3n +5()3n +22=9n +7>0，∴f ()n +1>f ()n ，∴f ()n 单调递增，∴f ()n ≥f ()1=2720>1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2f ()n >0，∴3T n -1>log 2()a n +3成立.解答本题，需先求得b n 、T n ，并将目标式化简，然后根据目标不等式的特点构造函数f ()n ，通过比较f ()n +1、f ()n 的大小，判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性证明不等式成立.一般地，在判断数列或函数的单调性时，可采用作差或作商法来比较数列的前后两项a n +1、a n 的大小，若a n +1>a n ，则函数或数列单调递增；若a n +1<a n ，则函数或数列单调递减.三、数学归纳法数学归纳法主要用于证明与自然数N 有关的命题.运用数学归纳法证明数列不等式，需先根据题意证明当n =1时不等式成立；然后假设当n =k 时不等式成立，再根据题意，通过运算、推理证明当n =k +1时不等式也成立，这样便可证明对任意n ∈N *不等式恒成立.42下下下下下下下下下下下下下下下下下方法集锦例3.已知数列{a n }的通项公式为a n =2éëêùûú()2-1n+1,若数列{b n }中b 1=2，b n +1=3b n +42b n +3，试证明：2<b n ≤a 4n -3.证明：当n =1时，2<2，b 1=a 1=2，∴2<b 1≤a 1，不等式成立，假设当n =k 时，不等式成立，∴2<b k ≤a 4k -3，即0<b k -2≤a 4k -3-2，当n =k +1时，b k +1-2=3b k +42b k +3-2=()3-22b k+()4-322b k +3=()3-22()b k -22b k +3>0，∵2<b k ，∴12b k +3<2+33-22，b k +1-2=()3-22()b k-22b k +3<()3-222()b k-2≤()2-14()a 4k -3-2=a 4k +1-2.∴当n =k +1时，不等式成立，即2<b n ≤a 4n -3成立.解答本题主要采用了数学归纳法，分两步完成，首先证明当n =1时不等式成立，然后假设当n =k 时不等式成立，并将其作为已知条件，证明2<b k ，进而证明当n =k +1时，不等式也成立.相比较而言，构造函数法的适用范围较广，裂项放缩法和数学归纳法的适用范围较窄，且裂项放缩法较为灵活，运用数学归纳法证明不等式过程中的运算量较大.因此在证明数列不等式时，可首先采用构造函数法，然后再根据不等式的特点和解题需求运用裂项放缩法或数学归纳法求证.（作者单位：湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学）圆锥曲线的离心率是反映圆锥曲线几何特征的一个基本量.圆锥曲线的离心率主要是指椭圆与双曲线的离心率，可用e =ca来表示.求圆锥曲线的离心率问题是一类常考的题目.下面谈一谈求圆锥曲线离心率的三种途径.一、根据圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义是解答圆锥曲线问题的重要依据.我们知道，椭圆的焦半径长为c 、长半轴长为a ；双曲线的焦半径长为c 、实半轴长为a ，而圆锥曲线的离心率为e =ca.因此，只要根据圆锥曲线的定义确定a 、c的值，即可求得圆锥曲线的离心率.例1.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，如果双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，并且||PF 1=3||PF 2，求双曲线的离心率．解：因为||PF 1=3||PF 2，①由双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a ，②由①②得||PF 1=3a ，||PF 2=a .且||F 1F 2=2c ，∠F1PF 2=90°，则|F 1F 2||2=PF 1||2+PF 2|2，即(2c )2a )2+a 2，解得5a =2c ，所以e =ca ．题目中指出了两个焦半径||PF 1、||PF 2之间的关系，可将其与双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹关联起来，根据双曲线的定义建立关于两个焦半径的方程，通过解方程求得双曲线的离心率.二、利用几何图形的性质圆锥曲线的几何性质较多，如双曲线、椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，双曲线的范围为x ≥a或x ≤-a .在求圆锥曲线的离心率时，要仔细研究几何图形，明确焦半径、实半轴长、虚半轴长与几何图形的位置关系，据此建立关于a 、b 、c 关系式，再通过解方43。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
数列放缩法1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nnnn∈>⋅>++++- .例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a nn a n x f xx x x 给定求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n *+++>∈>。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =-。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N*∈，有1().1nn k k en e =<-∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23aa a n++≥,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii . 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n.例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211 =+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈-+<<*n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22->a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a .9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证：np p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<;（3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n =，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n ∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121-≤++++++n n x x x例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
放缩法证明数列不等式[巧用放缩法解数列不等式]
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放缩法证明数列不等式[巧用放缩法解数列不等式]不等式与数列的结合问题，既是中学数学教学的重点、难点，也是高考的热点．近年来的高考中，屡屡出现不等式与数列结合的证明问题．笔者通过分析，发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，其放缩的目标一般是转化为特殊数列（利用特殊数列的可求和，可求积性质解决问题）．下面例谈借用“放缩”转化为特殊数列求和的一些技巧与策略．?1 通过“放缩”转化为等差等比数列求和?例1求证：11+11×2+11×2×3+…+1n!＜2.?证明：因为 1n!＜11×2×2×…×2=12??n-1?.?所以 11+11×2+11×2×3+…+1n!＜?11+12+12?2+…+12??n-1?=?1-(12)?n1-12=2-12??n-1?＜2.?例2 若n∈N?*，求证：1×2+2×3+…+n(n+1)＜(n+1)?22.?证明：因为 n(n+1)＜?n+n+12=2n+12.?所以 1×2+2×3+…+n(n+1)＜32+52+…+2n+12=n(3+2n+1)22=n(n+2)2=n?2+2n2＜(n+1)?22.?评析：观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成等差等比数列，从而利用求和达到简化证题的目的．?例3 （xx浙江卷21题）已知数列{a?n}中的相邻两项a??2k-1?,a??2k?是关于x的方程 x?2-(3k+2?k)x+3k×2?k=0的两个根，且a??2k-1?≤2??2k? (k=1,2,3,…). (Ⅰ) 求a?1,a?2,a?3,a?7;?(Ⅱ) 求数列{a?n}的前2n项和S??2n?；?（Ⅲ）记f(n)=12(|?sin?n|?sin?n+3)，T?n=(-1)??f(2)?a?1a?2+(-1)??f(3)?a?3a?4+(-1)??f(4)?a?5a?6+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?，求证：16≤T?n≤524 (n∈N?*).?解：（Ⅰ) a?1=2; a?3=4; a?5=8时；a?7=12.?(Ⅱ) S??2n?=a?1+a?2+…+a??2n?=3n?2+3n2+2??n+1?-2.?证明：（Ⅲ) T?n=1a?1a?2+1a?3a?4-1a?5a?6+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?, 所以 ?T?1=1a?1a?2=16，T?2=1a?1a?2+1a?3a?4=524.?当 n≥3时，?T?n=16+1a?3a?4-1a?5a?6+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?≥?16+1a?3a?4-(1a?5a?6+…+1a??2n-1?a??2n?)≥?16+16×2?2-16(12?3+…+12?n)=?16+16×2?n＞16,?同时，T?n=524-1a?5a?6-1a?7a?8+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?≤?524-1a?5a?6+(1a?1a?2+…+1a??2n-1?a??2n?)≤?524-19×2?3+19(12?1+…+12?n)=?524-19×2?n＜524.?综上，当n∈N?*时，16≤T?n≤524．?评析：此题第三小题中，通过观察结构特点，选择适当的放缩目标，把问题转化到求等比数列的和，从而能够判断大小．?2 通过“放缩”转化为用裂项相消求和?例4 求证：11?2+12?2+13?2+…+1n?2＜2.?证明：因为 1n?2＜1n(n-1)=1n-1-1n，?所以 11?2+12?2+13?2+…+1n?2＜1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n＜2.?评析：观察数列的构成规律，可以看成一个数列a?n=1n?2的前n项和，直接求此数列和较困难，但是可通过不等式1n?2＜1n(n-1)=1n-1-1n，放大后，成易可求和数列．?例5 （xx全国卷22题）设数列a?n的前n项的和S?n=43a?n-13×2??n+1?+23,n=1,2,3,…?(1) 求首项a?1与通项a?n;?(2) 设 T?n=2?nS?n,n=1,2,3,…,?证明:∑ni=1T?i＜32.?解：（1） a?n=4?n-2?2;?(2) 将a?n=4?n-2?2代入S?n=?43a?n-13×2??n+1?+23，n=1,2,3,…，得：?S?n=23×(2??n+1?-1)(2?n-1),?T?n=2?nS?n=32×2?n(2?n-1)(2??n+1?-1)=?32×(12?n-1-12??n+1?-1).?所以∑ni=1T?i=32∑ni=1(12?i-1-12??i+1?-1)=?32×(12?1-1-12??n+1?-1)＜32.?评析：本题利用裂项相消的方法，把32×2?n(2?n-1)(2??n+1?-1)分裂成32×(12?n-1-12??n+1?-1)，从而可求和，再利用放缩技巧证明．?3 通过“放缩”转化为特殊数列求积?例6 （xx全国卷20题）已知函数f(x)=x?3+x?2，图1数列{x?n| (x?n)＞0}的第一项x?1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(x??n+1?,f(x??n+1?))处的切线与经过（0，0）和（x?n,f(x?n))两点的直线平行（如图1），求证：当n∈N?*时，（Ⅰ) x?2?n+x?n=3x?2??n+1?+2x??n+1?;?(Ⅱ) (12)??n-1?≤x?n≤(12)??n-2?.?证明：（Ⅰ) 因为 f′(x)=3x?2+2x,?所以曲线 y=f(x)在(x??n+1?,f(x??n+1?))处的切线斜率k??n+1?=3x?2??n+1?+2x??n+1?,?因为过（0，0）和（x?n,f(x?n))两点的直线斜率是x?2?n+x?n，所以 x?2?n+x?n=3x?2??n+1?+2x??n+1?.?(Ⅱ) 因为函数h(x)=x?2+x，当x＞0时单调递增，而x?2?n+x?n=3x?2??n+1?+2x??n+1?≤4x?2??n+1?+2x??n+1?=(x??n+1?)?2+2x??n+1?，所以 x?n≤2x??n+1?，即 x??n+1?x?n≥12，?因此，x?n=x?nx??n-1??x??n-1?x??n-2??…?x?2x?1≥(12)??n-1?.?又因为 x?2?n+x?n≥2(x?2??n+1?+x??n+1?)，?令 y?n=x?2?n+x?n，则 y??n+1?y?n≤12．?因为 y?1=x?2?1+x?1=2，?所以 y?n≤(12)??n-1??y?1=(12)??n-2?,?因此 x?n≤x?2?n+x?n≤(12)??n-2?,?故 (12)??n-1?≤x?n≤(12)??n-2?.?评析：本题第（Ⅱ)问的证明过程中，利用?x??n+1?x?n≥12，将数列x?n转化为x?n=x?nx??n-1??x??n-1?x??n-2??…?x?2x?1，从而变成可求积的问题．?用放缩法解决不等式与数列结合的证明问题一直是个重点、难点，近几年高考题中，大多以较难题的形式出现．因此如何突破这个难点，成为一个重要的内容．笔者认为，关键在于如何恰当选择放缩目标（如果是求和，求积类问题放缩的目标应是使得数列变成易求和，易求积问题）．本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文内容仅供参考。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略放缩法是数学分析中常用的重要证明方法之一，它可以通过对不等式中的某些项进行放缩操作，将原不等式转化为更为简单的形式，从而便于进行进一步的推导和证明。
在数列不等式证明中，放缩法同样具有重要作用，通过巧妙地运用放缩法，可以有效地解决数列不等式问题。
下面就来简要地介绍一些关于用放缩法证明数列不等式的策略。
一、确定放缩目标在运用放缩法证明数列不等式时，首先需要明确的是放缩目标，即要将原不等式中的哪些项进行放缩操作，将其转化为更为简单的式子。
一般来说，放缩目标应当具有以下特点：一是需要能够通过放缩将不等式中的某些项化简为“好看”的形式，便于进行后续的推导；二是放缩过程中要注意不应当改变原不等式的基本属性，比如不等式的符号方向、不等式的等号成立条件等。
二、选择合适的放缩方式在确定放缩目标后，接下来就是选择合适的放缩方式。
放缩方法有很多种，可以根据具体的情况选择不同的放缩方式。
常见的放缩方式包括以下几种：1. 引理放缩：根据已知的一些数学结论，将原不等式中的某些项进行代换或简化操作，使得原不等式变得容易推导证明。
比如，常见的幂平均不等式、均值不等式等就是通过引理放缩来证明的。
2. 手工放缩：通过手工的方式，对不等式中的某些项进行展开、化简、移项、分组等基本操作，将原不等式化简为更为简单的形式。
这种方法需要具有较强的数学功底和逻辑思维能力。
3. 对称放缩：对于一些对称的不等式，可以通过对称放缩的方式来进行证明。
具体来说，就是将原不等式中的某些项根据对称性进行调整，使其符合对称性条件，从而便于证明。
4. 引入辅助不等式：有时候，对于一些复杂的不等式，可以引入一些辅助的不等式，从而辅助进行证明。
这种方法需要选择合适的辅助不等式，使其能够起到化简、重组原不等式的作用，从而推导出结论。
三、注意放缩过程中的细节问题在运用放缩法证明数列不等式时，还需要注意一些细节问题，以确保证明的正确性和完整性。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略放缩法（also known as 放缩定理 or 初等放缩法）是数学证明中常用的一种方法，尤其在证明数列不等式时非常有用。
该方法通过逐步放大或缩小原始不等式中的其中一部分，从而得到一个更容易证明的不等式。
在本文中，我们将以1200字以上进行浅析。
首先，我们来看一个简单的例子来说明放缩法的基本思路。
考虑一个已知数列$a_n$，我们想要证明对于所有$n\geq1$都成立的不等式$a_n>c$，其中$c$是一个已知的常数。
首先，我们可以通过观察数列的前几项来猜测一个比较强的不等式$a_n>d$，其中$d$是一个比$c$更大的常数。
然后，我们通过归纳法来证明这个不等式对于所有$n\geq1$都成立。
假设不等式$a_n>d$对于所有$1\leq k\leq n$都成立，我们希望证明不等式$a_{n+1}>d$也成立。
通过对数列进行简单的观察，我们可以发现$a_{n+1}$与$a_n$之间存在一种关系，我们将这个关系称为放缩关系。
放缩关系通常体现为不等式的形式，比如$a_{n+1}>ka_n$或$a_{n+1}<ka_n$，其中$k$是一个正常数。
假设我们已经知道$a_n>d$，我们可以使用放缩关系来证明$a_{n+1}>d$。
通过将放缩关系应用于可以得到$a_{n+1}>kd>d$，因此$a_{n+1}>d$成立。
这意味着我们可以递归地应用放缩关系，通过归纳法证明不等式$a_n>d$对于所有$n\geq1$成立。
接下来，我们将通过一个更具挑战性的例子来进一步说明放缩法的策略。
考虑数列$a_n=\frac{n!}{n^n}$，我们想要证明对于所有$n\geq1$都成立的不等式$a_n<\frac{1}{n}$。
首先，我们可以观察到数列的前几项来猜测不等式$a_n<k$对于一些恰当的正常数$k$成立。
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从第二项开 1 1 1 始放缩 ( ) (n 2)
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和. 保留第一项， 1 1 1 1 从第二项开 (n 2) 始放缩 n n(n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n 1 n
2
1 1 1 2 (n 2) n
* 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 2) 2 (2n 1) 4n 4n 4n(n 1) 4 n 1 n
1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 (1 ) ( ) ( 4 2 2 3 n 1 n 1 1 1 (1 ) 1 1 5 n 2 4 n 4 4
2i 1 1 1 i i 1 i (i 2) i 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
1 1 ai (ai 1) 2 ( 2 ) 2 1 2 1 i 1
n
1 1 ( n1 n ) 3 n 3(n 2) 2 1 2 1 2 1
当n = 1时，不等式显然也成立.
（08· 辽宁卷）已知：an n(n 1), bn (n 1) 1 1 1 5 求证：a b a b an bn 12 . 1 1 2 2
2
1 1 1 1 1 1 ( ) an bn (n 1)(2n 1) 2n(n 1) 2 n n 1
1
当 n 1 时，有 2 3 也成立．
常见的裂项放缩技巧：
1 1 1 1 1 1 1. 2 2 n n 1 (n 1)(n 1) 2 n 1 n 1 1 4 4 4 1 1 2 2 2 2 n 4n 4n 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 1 n(n 1) n 2 n n n(n 1) n 1 n
用放缩法证明 数列中的不等式
普宁侨中 郑庆宏
放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几 年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技 巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又 太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得 高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何 把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩 法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律， 放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列 问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭 开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
保留前两项，从 第三项开始放缩
1 1 1 1 1 左边 1 2 ( ) ( ) 2 2 3 3 4
1 1 ( ) n 1 n
1 1 1 7 1 7 1 (n 3) 4 2 n 4 n 4
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
1 1 1 1 1 1 左边 [(1 ) ( ) ( )] 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 (1 ) 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 3
1 2 2 ( n N ) n
1 1 1 变式2 求证： 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2 3 变式3 求证： 2 3 2 1 2 2 2 3
1 1 1 例1 求证： 2 3 2 2 2
1 n 1 (n N ) 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 4 1 1 2 2 2( ) (n 2) 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变
式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 4 n 1 n 1 1 1 7 1 1 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (n 2) 2 2 4 2 2 n n 1 当n = 1时，不等式显然也成立.
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 1 1 1 (n 3) 2 n n(n 1) n 1 n
1 2 （欧拉常数）. 2 6 k 1 k
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
证明
牛刀小试（变式练习1） 1 1 1 5 求证： 1 (n N ) 3 5 (2n 1) 4
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 1 1 求证： ( n N ) 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 2 分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩. 1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？ n n 注意到 2 n 2
n n
将通项放缩为 错 位相减模型
1 2 3 左边 2 2 2
2 3
n2 n 2 2 2 2
n n
【方法总结之一】
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若
a 可直
i 1 i
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 例1 求证： 2 3 2 2 2
1 2 3 变式1 求证： 2 3 2 2 2
1 n 1 (n N ) 2
n n 2 (n N ) 2
1 n 1 (n N ) 2 1 n n 2 (n N ) 2 n
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 ( 故 6 2 2 3 3 4 i 1 ai bi
5 1 12 2(n 1) 5 . ( n 2) 12
n
1 1 ) n n 1
1 5 当 n 1 时，有 也成立． 6 12
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: ai (ai 1) 3 . 2 1 i 1 i 2 2i ai (ai 1) i i i (2 1)(2 1) (2 1)(2i 2)
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 求证： 1 3 3 5 5 7 1 1 ( n N ) (2n 1)(2n 1) 2
1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 3
1 2 2 ( n N ) n
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
n
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要 先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不 多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项 相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相 消模型.
n n
将通项放缩为 等比数列
1 1 1 左边 2 3 2 2 2
1 1 1 2 (1 2 ) 1 n 1 n 1 1 2 2 1 2
n
1 2 3 变式3 求证： 2 3 2 1 2 2 2 3
n n 2 (n N ) 2 n
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关， 其基本结构形式有如下 4 种： ①形如 ③形如
a
i 1 n i 1
n
i
；②形如 ai f (n) ； k （ k 为常数）
i 1