第22讲 连续型随机变量及其概率密度 (IV) 正态分布 (I)

当-x<0时，可以利用等式: (x) 1 (x)
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
四川大学
1 1
x t2
e 2 dt
2
1
t2
e 2 dt
2 x
对称性
四川大学
1 (x)
四川大学
x x
第22讲 正态分布（I） 27
例 1 设 X ~ N(0,1) 求 P{X 1.96} P{ X 1.96} P{1 X 2}
1
x t2
(x)
e 2 dt
2
四川大学
第22讲 正态分布（I） 25
X ~ N(0,1)
四川大学
22
(x) 1 2 x 0
概概率率密密度度
11
0 四川大学
(x) 1 2 x 0 (x) 1 2 x 0
四川大学
分布函数
12
第22讲 正态分布（I） 26
(x) (x 0) 的值可以查表
初等函数的形式。 四川大学
只能写成这个积分上限函数的形式。
四川大学
第22讲 正态分布（I） 20
概率密度
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
分布函数
四川大学
F(x) 1
e dt x
(t )2 2 2
2
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 21
标准正态分布
四川大学
第22讲 正态分布（I） 22
概率论与数理统计
主讲：四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 1
§2.4 连续型随机变量及其概率密度
四川大学
第22讲 正态分布（I） 3
第22讲 连续型随机变量及其概率密度(IV)
正态分布(I)
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 4
（三）正态分布
四川大学
第22讲 正态分布（I） 5
若连续型随机变量X具有概率密度
X ~ N(μ, σ 2)。
f (x)
1
(x )2
e 22 ( x ）
2 四川大学
当μ=0,σ =1时的正态分布称为标准正态分布。
记作 X ~ N(0, 1)。 Standard normal distribution
概率密度
分布函数 四川大学
(x)
四川大学
1 x2 e2
2
(x) 1
h
四川大学
hh
四川大学四川大学
P{ h X } P{ X h}
四川大学
第22讲 正态分布（I） 11
四川大学
l f (x)dx
h
f (x)dx
h
l
0l h
四川大学
h l l h
P{ h X l} P{ l X h}
四川大学
第22讲 正态分布（I） 12
设 X ~ N(0,1) 求 P{1 X 2}
{ 1 2P} X
四川大学
(2) (1)
查表
(2) [1 (1)]
0.9772 (1 0.8413)
0.8185 四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 32
{ 12P}0X.8185
四川大学四川大学
用Maple计算 P{1 X 2} 1
2 t2
e 2 dt
2 1
四川大学
四川大学
with(plots): mu:=0:sigma:=1:h:=5: a:=-1:b:=2.0: f:=x->exp(-(x-mu)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/sigma: quxian:=plot(f(x),x=mu-h..mu+h,thickness=3): quyu:=plot(f(x),x=a..b,filled=true,color=gray): display(quxian,quyu,tickmarks=[5,2]); Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
四川大学
第22讲 正态分布（I） 35
如果随机变量是由大量的相互独立的随机因
素的综合影响所形成。 四川大学
而每一种因素在总的影响中所起的作用都是
微小的，不能起到压倒一切的主导作用。
具有这种特点的随机变量，一般都可以认为
四川大学
第22讲 正态分布（I） 17
(7) 当μ 固定时，σ 决定 y=f(x) 的集中程度。
σ 越小，y=f(x) 的图形越尖、越高， X 落在 μ 附近的概率越大 （概率密度更多地集中在 μ 附近）。
四川大学
0.5
四川大学
1 1.5
with(plots):H:=5: mu1:=4:sigma1:=0.5: mu2:=4:sigma2:=1: mu3:=4:sigma3:=1.5: f1:=x->exp(-(x-mu1)^2/2/sigma1^2)/sqrt quxian1:=plot(f1(x),x=mu1f2:=x->exp(-(x-mu2)^2/2/sigma2^2)/sqrt quxian2:=plot(f2(x),x=mu2f3:=x->exp(-(x-mu3)^2/2/sigma3^2)/sqrt quxian3:=plot(f3(x),x=mu3display(quxian1,quxian2,quxian3,tickma
f (x)
1
x( ) 2
e 2 2
(
x )2
2
2
1
2
(x )2
e 22 (
1)
2
0
(
x 2
)2
1
2
(x )2 2
x x
四川大学
第22讲 正态分布（I） 15
(5) y=f(x) 以x轴为其水平渐近线。
lim f (x) lim
x
x
四川大学
1
(x)2
e 22 0
x t2
e 2 dt
2
第22讲 正态分布（I） 23
概率密度
(x)
1
x2
e2
2
四川大学
分布函数源自文库
偶函数
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 24
概率密度
f (x)
1
x2
e2
2
分布函数
with(plots): H:=5:mu:=0:sigma:=1: f:=x->exp(-(x-mu)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/sigma; F:=x->integrate(f(t),t=-infinity..x); ff:=plot(f(x),x=mu-H..mu+H,thickness=3): FF:=plot(F(x),x=mu-H..mu+H,thickness=3): display(ff,tickmarks=[5,2]); display(FF,tickmarks=[5,2]);
第22讲 正态分布（I） 33
正态分布的意义
四川大学
第22讲 正态分布（I） 34
正态分布是自然界和实际应用中最常见的一种
分布。
例如， 四川大学
一个地区的女性成年人的身高（或体重），
测量某零件长度的误差，
某地区粮食的收成，
某次英语考试的成绩，
四川大学
等等
都服从或近似服从正态分布。
这些数据都有“中间大，两头小”的特点。
2(1.96) 1 20.975 1 0.95
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 30
P{ X 1.96} P{1.96 X 1.96} 0.95
用Maple计算
P{1.96 X 1.96}
2
1
1.96 t2
e 2 dt 1.96
四川大学
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 31
e 2 2
2
f (x)dx
1
e dx
(x)2 2 2
1
e
(
x
2
)2
2
d(x
)
四川大学
1
et
2
dt
2
2 et2 dt 2
0
1 2
四川大学
所以f(x)是概率密度。
四川大学
第22讲 正态分布（I） 8
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
参数为μ 为X的均值, σ 2为方差。
e 22 ( x ）
2
四川大学
下面验证f(x)是概率密度。 显然 f(x)>0
f (x)dx
1
e
(
x )2 2 2
dx
四川大学
2
1
e
(
x 2
)2
d
(
x
)
1
et2 dt
2
t x x t
四川大学
2 x t 第22讲 正态分布（I） 7
f (x)
1
x( ) 2
解 P{X 1.96} (1.96) 查表 0.975
四川大学 四川大四学川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 28
P{X 1.96} (1.96) 0.975
用数学软件Maple计算
P{X 1.96} (1.96)
四川大学
2
1
1.96 t2
e 2 dt
with(plots): mu:=0:sigma:=1:h:=5: a:=-infinity:b:=1.96: f:=x->exp(-(x-mu)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/sigma: quxian:=plot(f(x),x=mu-h..mu+h,thickness=3): quyu:=plot(f(x),x=mu-h..b,filled=true,color=gray): display(quxian,quyu,tickmarks=[5,2]); Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
1.96 四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 29
例 1 设 X ~ N(0,1) 求 P{X 1.96} P{ X 1.96} P{1 X 2}
P{X 1.96} (1.96) 0.975
P{ X 1.96} P{1.96 X 1.96} (1.96) (1.96)
(1.96)[1(1.96)] 四川大学 四川大学
f(x) 的图形具有以下性质
四川大学
(1) y=f(x) 的图形关于
直线 x=μ 对称。
即 四川大学
f ( h) f ( h)
四川大学
h h
第22讲 正态分布（I） 9
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
四川大学
四川大学
11 22
四川大学
第22讲 正态分布（I） 10
h
f (x)dx f (x)dx
四川大学
第22讲 正态分布（I） 18
正态分布的分布函数
四川大学
第22讲 正态分布（I） 19
概率密度 f (x)
1
x( ) 2
e 22 ( x ）
2
x
分布函数 F(x) f (t)dt
F(x) 1
e dt x
(t)2 2 2
2
四川大学
( x ）
由于f(x)的原函数不是初等函数，F(x)无法写成
f (x)
1
(x )2
e 22 ( x ）
2 四川大学
其中μ, σ (σ >0)是常数，则称X服从参数为 μ,
σ 的正态分布，
Normal distribution
记为 X ~ N(μ, σ 2)。
正态分布也称为高斯分布。
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 6
f (x)
1
(x )2
()
fxe
1
(x )2 2 2
四川大学
2
(2) y=f(x) 在 x=μ 处取得最大值: f ()
f (x)
1
e
( x )2 2 2
[
(x
)2
]
2
2 2
1
2
1
2
(x)2
e 2 2
(
x 2 )
0
四川大学
x
f (x) 0 f (x) 0
四川大学
第22讲 正态分布（I） 13
(3) x离μ 越远，f(x)的值越小， 这意味着对同样长的区间，当区间离μ 越远，
2
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 16
(6) 当σ 固定时， μ 决定 y=f(x)的左右位置。
μ 称为正态分布的位置参数。
四川大学
四川大学
5 12 0
with(plots): mu1:=0:sigma:=4:h:=1:H:=20: mu2:=5:sigma:=4:h:=1:H:=20: mu3:=12:sigma:=4:h:=1:H:=20: f1:=x->exp(-(x-mu1)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/ quxian1:=plot(f1(x),x=mu1-H..mu1+H,thickne f2:=x->exp(-(x-mu2)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/ quxian2:=plot(f2(x),x=mu2-H..mu2+H,thickne f3:=x->exp(-(x-mu3)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/ quxian3:=plot(f3(x),x=mu3-H..mu3+H,thickne display(quxian1,quxian2,quxian3,tickmarks=[5
X落入这个区间的概率越小。 四川大学
P{a X a h} P{b X b h}
四川大学
a
四川大学
ah b
bh
第22讲 正态分布（I） 14
(4) y=f(x) 在 x 有两个拐点
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
(
x)
2四川大学 2
f (x)
1
(x)2
e 2 2
2
四川大学