第二讲渐开线与摆线

合集下载

高中数学人教A版选修4-4全册第二讲参数方程2.4渐开线与摆线

(4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程. ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
【例 1】
已知圆的渐开线的参数方程为
�� = 3cos�� + 3��sin��, �� = 3sin��-3��cos��
是
��
= =
csions��-��+��c��o��ss��i��n��,(φ
为参数).分别把
φ=π3和
φ=π2代入,可得
A,B
两点的坐标分别为
3+√3π 6
,
3√3-π 6
,
π 2
,1
.根据两点间的距离公式可
得 A,B 两点间的距离为
|AB|=
为参数).
答案：
��
= =
40(��-sin��), 40(1-cos��) (φ
为参数)
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开角度的大小.
探究一
探究二
思维辨析
�� = ��-sin��, 变式训练3 设摆线 �� = 1-cos�� (t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
解：由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0,∵0≤t≤2π,

第二讲四渐开线与摆线

返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， π 所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝ 2 y＝3sin φ－φcos φ，
代入方程，可得 y ＝ 3 sin
3π x＝ 2 ，即 y＝3.
金品质•高追求我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
利用向量来建立摆线的参数方程．解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位) 为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
x＝cos φ＋φsin 5．已知圆的渐开线的参数方程是 y＝sin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数 π φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________________． 4
，再代入求出x值．
返回
我们让你更放心！
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
解析： (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)，它到直线 x－y－6 2 6 2 ＝0 的距离为 d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和 2 圆是相切的． (2) 由于圆的半径是 6 ，所以可得摆线方程是 x＝6φ－6sin φ， (φ 为参数)． y＝6－6cos φ (3) 令 y ＝ 0 ，得 6 － 6cos φ ＝ 0 ⇒ cos φ ＝ 1 ， ∴φ ＝ 2kπ(k∈Z)．代入 x＝6φ－6sin φ，得 x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．

2.4 渐开线与摆线课件(人教A选修4-4)

返回
1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆
叫做基圆．
2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．返回
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解]

以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M
0
的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
的长相等，记 O A 和
0
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧 A M
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋，1－ ) 4 4 π π C．(－1－，1－ ) 4 4
π π B．(1－，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋，－1－ ) 4 4
答案：A
返回
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)．即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
返回
点击下图进入
返回
返回
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．

第2讲-渐开线和摆线共27页

即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2，当
前
堂
自主导学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双基达标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当堂双
主
基
导学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂双基达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课堂互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动探究
B(π2，1)．
时作业
菜单
新课标 ·数学选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前自主导
|AB|＝
3＋ 6
课时作业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头

渐开线与摆线课件

由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,

第二讲四、渐开线与摆线

三、分层练习
1、当，时，求圆渐开线上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线与直线的交点的直角坐标(A层)
四、课堂小结
课
后
学
习
课题：渐开线与摆线
课题
渐开线与摆线
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程（BC层）
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤（A层）
过程与
方法
能培养学生的逻辑推理能力和思维能力
情感、
态度、
价值观
通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
（为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
教
学
内
容
分
析
教学
重点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学
难点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学流程教学内容
一、本节知识点：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为（为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。

第二讲渐开线与摆线

我们把笔
尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆
2、圆的渐开线的方程求解
M
B
OA
以基圆圆心O为原点，直线OA 为x轴，建立平面直角坐标系。
y 图2 17
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标（x，y），显然，点M由角φ唯一确定。
B
O
A
x
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
解得
x
y
r(cos r(sin
sin) cos )
(是参数)。
M
B
这就是圆的渐开线的参数方程。
O
A
5
渐开线的参数方程
x y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
3、渐开线的应用：
y
在机械工业中，广泛地使
用齿轮传递动力。
M
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。
4）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
21
点M满设足点的M的几坐何标条为件（有x,yxy） r,r取((1φc为soins参)数)., (，为根参据数)
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
19
3、摆线的参数方程
M
B
y
O
A
BM CODA NhomakorabeaEx
摆线的参数方程为：xy
位于点笔尖如图设开始时绳子外端bmbmab所以切线为切线展开后成的一段弧单位是弧绳子对圆心角因为满足的几何条件笔尖这是动点我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线相应的定圆叫做渐开线的基圆2圆的渐开线的方程求解以基圆圆心o为原点直线oa为x轴建立平面直角坐标系

第2讲2.4渐开线与摆线

因为“基”的不同，渐开线有许多形式：
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
2.摆线与摆线的参数方程 (1)摆线的定义：
圆沿着直线滚动，圆周上一点在滚动过程中形成的
轨迹叫摆线 . 也叫旋轮线 .
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
(2)摆线的方程
y
C
P(x，y)
φ B
设圆的半径为r
O
D A
1 x＝π(cos φ＋φsin φ)，【解析】： (φ 为参数)． y＝1 (sin φ－φcos φ) π
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
题型二渐开线和摆线的参数方程的运用
【例题2】已知圆的渐开线的参数方程是：
x cos sin (为参数) y sin cos
x 2( sin ) (2) (为参数) y 2(1 cos )
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【感悟提高】要理解渐开线和摆线的参数方程中各个几何量的意
义，能根据条件直接套用得出方程.
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【巩固训练1】已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
A．4π，2 C．2π，2
B．2π，4 D．4π，4
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
随堂演练
3．半径为2的基圆的渐开线的参数方程为:
x 2(cos sin ) (为参数) y 2(sin cos ) ___________________________ ．

高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线

编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的
长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，向量―O→B ＝(2α，2)，向量―M→B ＝(2sin α，2cos α)， ―BM→＝(－2sin α，－2cos α)，因此―OM→＝―O→B ＋―BM→ ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．又动点 M 的坐标为(x，y)，向量―OM→＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．

第二讲四渐开线与摆线

36－π，
Bπ2 ，1.
归纳升华 1．求圆的渐开线的参数方程，关键是根据渐开线定
︵义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|＝AM0＝rθ. 合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形，运用三角函数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程．
2．圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入．
3．已知摆线的参数方程为xy＝＝22（（1φ－－csoins
φ）， φ） (φ
为
参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
数方程xy＝＝rr（（1φ－－csoins
φ）， φ） (φ
为参数)，可求出
φ，进一
步求出 r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方
程.
2．渐开线上任一点 M 的坐标由圆心角 φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点 M 的位置也可以由圆心角 φ 唯一确定的．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方
程，既烦琐又没有实际意义．
4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程
等问题，可按如下思路解题：将定点坐标代入摆线的参
[变式训练] 已知圆的渐开线的参数方程 x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：对照渐开线参数方程可知半径 r＝3.
答案：3
类型 2 摆线的参数方程(互动探究) [典例 2] 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程．解：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0，因为 r≠0，所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)．

第二讲： 4-4四. 渐开线与摆线

或(sin φ，－cos φ)．
[预习导引]
1．渐开线的产生过程
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，
在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，
保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的_渐__开__线__，相应的定圆叫做__基__圆_．
2.摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周
x＝3φ－3sin φ， y＝3－3cos φ (φ
为参数)，
把 y＝0 代入得 cos φ＝1，
所以 φ＝2kπ(k∈Z)，
则 x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
3. 已知圆的半径为3，圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点
O，则M的轨迹方程是________．
答案
x＝3（α－sin y＝3（1－cos
出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，
所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点
和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有
()
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
答案 C
解析对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就
是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位
置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和
坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
2．圆xy＝＝33scions
θ， θ (θ
为参数)的摆线上一点的纵坐标为
0，那
么其横坐标可以是
()
A．π
B．2π
C．3π

高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt

cosφ)
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与向量有相同的方向〞这一结论，你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐开线．在自然界里有许多渐开线的例子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心展的角开长ABφ后就〔成是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M，的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫渐开线的基圆。

渐开线与摆线课件

[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清 M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
轨迹曲线的参数方程为xy＝＝88（（1t－－scionst） t），，(0≤t≤2π) 即 t＝π时，即 x＝8π时，y 有最大值 16. 曲线的对称轴为 x＝8π.
摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．
[核心必知] 1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
2．摆线的概念及产生过程
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．
由三角和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)，
由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
又
＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（scions
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝r（cos (1)圆的渐开线方程：y＝r（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ 为参数)．
x＝r（φ－sin (2)摆线的参数方程： y＝r（1－cos
φ）， φ） (φ 为参数)
．
[问题思考] 1．渐开线方程中，字母 r 和参数 φ 的几何意义是什么？提示：字母 r 是指基圆的半径，参数 φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角． 2．摆线的参数方程中，字母 r 和参数 φ 的几何意义是什么？提示：字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．

第二讲 渐开线与摆线

高中数学人教A版选修4-4全册 第二讲参数方程2.4渐开线与摆线

第二讲 四渐开线与摆线

2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)

第2讲-渐开线和摆线 共27页

渐开线与摆线 课件

第二讲 四、渐开线与摆线

第二讲 渐开线与摆线

第2讲2.4渐开线与摆线

高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲 四 渐开线与摆线

第二讲四渐开线与摆线

第二讲： 4-4四. 渐开线与摆线

高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt

渐开线与摆线 课件

第二讲渐开线与摆线

高中数学人教A版选修4-4全册第二讲参数方程2.4渐开线与摆线

第二讲四渐开线与摆线

2.4 渐开线与摆线课件(人教A选修4-4)

第2讲-渐开线和摆线共27页

渐开线与摆线课件

第二讲四、渐开线与摆线

第二讲渐开线与摆线

高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线

渐开线与摆线课件