第二讲 渐开线与摆线

设圆的半径为r。 y
B
M C
OD
A
Ex
设开始时定点M在原点，圆滚动了φ角后与 x轴相切于点A，圆心在点B
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2、摆线方程的求解
y
B
M C
OD
A
Ex
从点M 分别做AB，x轴的所垂以线源自文库，摆垂线足的分 参数别方是程C为，：D。
点M满设足点的M的几坐何标条为件（有x,yxy） r,r取((1φc为soins参)数)., (，为根参据数)
M
B
O
A
16
1、摆线的定义
M
B
O
A
摆线在它与定直线的两个相邻交
点之间的部分叫做一个拱
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆 周上的这个动点满足的几何条件。
～
线段OA的长等于的 MA长，即OA=rφ
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称 摆线，又叫旋轮线。
17
2、摆线方程的求解 M B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为 X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为 原点，建立直角坐标系。
第二讲（四）
渐开线与摆线
一、新课教学 （一）、问题探究1 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在 绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳 子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条 曲线。
这条曲线的形状怎样？
能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
2
.如图设开始时绳子外端笔尖位于点A,
直齿
7
齿轮齿条
8
内齿轮
9
交错轴齿轮传动机构
斜 齿
10
人字齿
12
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
13
（二）、问题探究2
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那 么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画 出什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿 着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点 的轨迹是什么？
当外端展开到点M时,因为
M
B
绳子对圆心角(单位是弧
OA
度)的一段弧AB, 展开后成
图2 17
为切线BM, 所以切线BM
的长就是 AB的长,这是动点笔尖
满足的几何条件.
3
1.圆的渐开线定义
我们把笔
尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆
2、圆的渐开线的方程求解
M
B
OA
以基圆圆心O为原点，直线OA 为x轴，建立平面直角坐标系。
x y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
3、渐开线的应用：
y
在机械工业中，广泛地使
用齿轮传递动力。
M
由于渐开线齿行的齿轮 磨损少，传动平稳，制造安 装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
B
O
A
x
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
6
平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
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3、摆线的参数方程
M
B
y
O
A
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xy
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
思考 在摆线的参数方程中，参数φ的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
r
uuuur
因而向量e2 (sin, cos)是与向量BM同方向的单位向量。
所以 BM r e2 即
y
(x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r(sin
sin) cos )
(是参数)。
M
B
这就是圆的渐开线的参数方程。
O
A
5
渐开线的参数方程
y 图2 17
M
设基圆的半径为r，绳子 外端M的坐标（x，y），显 然，点M由角φ唯一确定。
B
O
A
x
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
4
2、uuu圆ur 的渐开线的方程求解
uuuur
BM (x r cos, y r sin),| BM | r.
r
uuur
由于向量e1 (cos,sin)是与OB同方向的单位向量，
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说明
1）、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。
2）、当基线是直线时，就得到平摆线或变 幅平摆线。
3）、当基线是圆且动圆在定圆内滚时，就 得到内摆线或变幅内摆线。
4）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若 两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
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