专题2.3+解三角形与不等式最值和范围问题的结合-高考数学备考之百强校大题狂练

【答案】(1) A (2) 0 AD 3
3
2
【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理化边角关系为角的关系，再根据三角形内角关系以及诱导公式化
简得 tanA 3 ，即得角 A 的大小，（2）根据三角形面积关系得 AD 1 bc ，再根据余弦定理得 bc 范围， 2
即得 AD 的范围.
试题解析：（1）在 ABC 中，
（1）求角 C 的值；
（2）求 cos2A cos A B 的取值范围．
【答案】（1） 2 ；（2） 0, 3 3
S 3 a2 b2 c2 3abcosC 1 absinC
4
2
2
tanC 3 ，又 0 C ， C 2 .
3
（2）
cos2
Baidu Nhomakorabea
A
cos
A
B
=cos2 A
1 bcsinA ， 2
∴ AD 1 bc 2
由余弦定理得：
1 b2 c2 a2 cosA
2bc 3
2
2bc
2bc
∴ 0 bc 3 （当且仅当 b c 时等号成立）
∴ 0 AD 3 2
4．在
中，角 的对边分别是 ，
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；(2)6.
cos
2
A
3
3 2
cos2 A
3 sin2A 2
=
3sin
2
A
3
0 A , 2A
33
3
3sin
2
A
3
0，,
3
3．已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ，且 3c tanA tanB . acosB
（1）求角 A 的大小；
（2）设 AD 为 BC 边上的高， a 3 ，求 AD 的范围.
cosBAD 13 ， b 4 3 . 4
（1）求 B ；
（2）求 ABC 周长的最大值. 【答案】（1） B ；（2）12 3
3 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， AD BD ，可得解；
sinB sinBAD
（2）由余弦定理，得 b2 a2 c2 2accosB ，
得
48
a2
sinA
3
所以 3 b2 c2 bc 2bc bc bc ，
所以 S 1 bcsinA 1 3 3 3 3 （ b c 时取等号）．
2
2 24
6．已知在锐角 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，点 D 在边 BC 上，且 CD AD 2DB ，
由余弦定理，得
，
∵
；
（2）由（1）知
于是
，
解得
，
当且仅
时，取等号.
所以 的最大值为 6.
5．已知 ABC 的内角 A ， B ， C 满足： sinA sinB sinC
sinB
．
sinC
sinA sinB sinC
（1）求角 A ；
（2）若 ABC 的外接圆半径为 1，求 ABC 的面积 S 的最大值．
∵ 3c tanA tanB ∴ 3sinC sinA sinB
acosB
sinAcosB cosA cosB
即： 3sinC sinAcosB sinBcosA
sinAcosB
cosAcosB
∴ 3 1 则： tanA 3 ∴ A
sinA cosA
3
（2）∵ S
ABC
1 2
AD BC
2
33
（2）由 1 acsinB 3 ， sinB 3 得 ac 2 ，
2
2
2
又 B 2 ， b2 a2 c2 2accosB a2 c2 2 2ac 2 6 ， 3
当且仅当 a c 时取等号，∴ b 的最小值为 6 .
2．已知 ABC 三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， ABC 的面积 S 满足 4 S a2 b2 c2 ． 3
【答案】(1) A ；(2) S 3 3 ．
3
4
可得 a b c b a2 b2 c2 bc ，
c
abc
所以 cosA b2 c2 a2 bc 1 ，
2bc
2bc 2
又因为 0 A ，所以 A ．
3
（2） a 2R a 2RsinA 2sin 3 ，
高考数学大题狂练 第二篇 三角函数与三角形 专题 03 解三角形与不等式，最值和范围问题的结合
1．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且 cosA cosB 2 3sinC .
ab
3a
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ABC 的面积为 3 ， B 是钝角，求 b 的最小值. 2
故 a b c 12 3 .所以 ABC 周长的最大值为12 3 .
【答案】（1） B 或 2 . （2） 6 . 33
由正弦定理得 sinBcosA cosBsinA 2 3 sinBsinC ， 3
∴ sin A B 2 3 sinBsinC ，
3
又在 ABC 中， sin A B sinC 0 ，∴ sinB 3 ，∴ B 或 2 .
c2
ac
a
c2
3ac
a
c2
3
a
c 2
2
a
c2
4
，即可解得 a c 最大值，进而得周
长最大值.
试题解析：
（2）由余弦定理，得 b2 a2 c2 2accosB ，
所以 48
a2
c2
ac
a
c2
3ac
a
c2
3
a
2
c
2
a
c2
4
，
∴ a c 8 3 ，当且仅当 a c 时，等号成立.