求-------正余弦函数y=Asin(ωx+φ)类型函数解析式

4π 3π C ．A ＝1，T ＝ ，φ ＝－ 3 4 D．A ＝1，T ＝ 4π π ，φ ＝－ 3 6
(2)如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的 一部分，它的解析式为 π 2 A．y＝ sin2x＋3 3 2 x π B．y＝ sin2＋4 3 2 π C．y＝ sinx－3 3 2π 2 D．y＝ sin2x＋ 3 3 ( )．
把点 12 代入 y＝2sin(2x ＋φ)，得：sin 6 2π φ＝ ，故选 B. 3
＝1，解得：
π 1．(2010· 重庆卷)已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)的部分图象如 )
图所示，则(
π A．ω＝1，φ＝ 6 π B．ω＝1，φ＝－6 π C．ω＝2，φ＝ 6 π D．ω＝2，φ＝－6
π A．T＝6π，φ＝ 6 π C．T＝6，φ＝ 6
)．
π B．T＝6π，φ＝ 3
解析
π D．T＝6，φ＝ 3 π 由图象知 T＝2(4－1)＝6⇒ω＝ ，由图象过点 (1,2) 3
π π sin 3×1＋φ ＝1，又|φ|＜ ，得 2
且 A＝2，可得
π φ＝ . 6
答案
C
【训练2】 (2012· 三明模拟)如图是函
4π [审题视点] (1)函数的最大值为 3， 最小值为 1， 周期 T＝ ， 3 5π 从而 A，ω 可求，再代入 6 ，3，可求 φ 值； π 2 (2)观察半个周期求 ω，将点－12，3代入求 φ. 解析 (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝1， M－m 3－1 T 5π π 2π 则 A＝ ＝ ＝1， ＝ － ＝ ， 2 2 2 6 6 3 4π 2π 3 ∴T＝ ，∴ω＝ T ＝ . 3 2 3 5π ∴y＝sin2x＋φ＋2，把点 6 ，3代入得：
π π π 于是 φ＝2× ＝ ，所以 f(x)＝2sin2x＋6. 12 6
π π π 2π 5 3 所以 2x－ ＝ 或 2x－ ＝ ，所以 x＝ π 或 π， 12 3 12 3 24 8
5π 故所求交点坐标为24， 3π 6或 ， 8 6 .
【变式训练】 的一部分如图所示：
π ω＞0，|φ|＜ 2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 2 的图象
(1)求 f(x)的表达式；
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 3－－1 3－1 则 A＝ ＝2，b＝ 2 ＝1， 2
2 π 2π 2π 又 T＝23π－6＝π，∴ω＝ T ＝ π ＝2，
由函数y=Asin(ωx+φ) 的图像求解析式
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一 2π 1 个振动时，A 叫做振幅，T＝______ ω 叫做周期，f＝T叫做频 率，ωx＋φ 叫做相位，φ 叫做初相．
【规律小结】 确定 y＝ Asin(ωx ＋φ)＋B 的解析式 的步骤： (1)求 A，B. 由函数的最大值 M 和最小值 m ， M－m M ＋m 则 A＝ ，B＝ . 2 2 2π (2)求ω. 确定函数的周期 T，则 ω＝ ， T
π 【试一试】 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ ) 2 的部分图象如图所示．
(1)求函数 y＝f (x )的解析式；
解
2π (1)由题图知 A＝2，T＝π，于是 ω＝ T ＝2，
π 将 y＝2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度， 12 得 y＝2sin(2x＋φ)的图象．
【审题视点 】
(1) 函数的最大值为 3，最小值为 1，周 4π 期 T＝ ，从而 A， 3 ω 可求，再代入 5π ，3，可求 φ 值； 6
求 φ 时，值唯一吗？ 解析（1） 在解 (1)由图象可知， 函数的最大值 M＝3， 最小值 m＝1，
4π M－m 3－1 T 5π π 2π ∴ T ＝ ， 由 A＝ ＝ ＝1， 2 ＝ 6 －6＝ 3 ， 3 2 2 3 5π 2π 3 ∴ω＝ T ＝ . ∴y＝sin x＋φ＋2， ， 3 把点 代入得： 2 2 6 5π 3π sin 4 ＋φ＋2＝3， 解得 φ＝－ . 故选 C 4
11π 5π T＝2 12 －12 ＝π，
2π 所以 ω＝ T ＝2.(2 分) 5π 5π 因为点12，0在函数图象上，所以 Asin2× 12＋φ＝0， 5π 即 sin 6 ＋φ＝0. π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ，所以 < ＋φ< ， 2 6 6 3 5π π 从而 ＋φ＝π，即 φ＝ .(4 分) 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上，所以 Asin ＝1，即 A＝2. 6 π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋ 6 .(6 分)
5π sin 4 ＋φ＋2＝3，解得
3π φ＝－ . 4
T π 7π π 2π (2)由 ＝－ － － 12 ＝ ，得 T＝π，∴ω＝ T ＝2. 2 12 2
π 2 把点－12，3代入
2 y＝ sin(2x＋φ)， 3 2π φ＝ . 3
2

2
，
y 2sin(2 x ) 3

练习
课本例2
考向二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例 2】►(1)如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0) 的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )． 4π π A．A＝3，T＝ ，φ＝－ 3 6 4π 3π B．A＝1，T＝ ，φ＝ 3 4 4π 3π C．A＝1，T＝ ，φ＝－ 3 4 4π π D．A＝1，T＝ ，φ＝－ 3 6
π 得：sin－6＋φ 解得 ＝1，
2π φ＝ . 答案 D 3
“谷点”)时 ωx＋φ＝ “第五点”时 ωx＋φ＝2π.
2
；
2. 已知简谐运动
π f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) |φ|＜ 2
的部分图象如图所示， 则该简谐运动的最 小正周期 T 和初相 φ 分别为(
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，
π π 将 x＝6，y＝3 代入上式，得 sin3＋φ＝1，
π π π π ∴ ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z ，即φ＝ ＋2kπ，k∈Z ，∴φ＝ ， 3 2 6 6 π 2x＋ ∴f(x)＝2sin 6 ＋1.
2．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图 ，
T 7π π π 解析： 由图象知4＝12－3＝4，∴T＝π，ω＝2. 7π π 且 2×12＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6(k∈Z)． π π 又|φ|＜2，∴φ＝－6.
y A si n( x )
例 3： x ) 2 如图是函数 y A sin(
的一段图象，求函数的解析 式.并说明当其表示一个振动
例1、由图象求解析式 y A sin( x )
(1) A 2
( 2) T 4 12 6
y 2
O
6
A


4
T
又T
2
A
(3) y 2 sin( 2x )
A点的坐标为(

12

2

12

3
12
x
, 2)
百度文库
2
由五点作图法， A点是第二点
3 5 2k 2 6 2 时， 要令 k=适当的值， 以寻求答案。
考向二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【审题视点 】 (2)如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图 【方法锦囊 】 (2) 观 察 半 个 周 期 求 象的一段，它的解析式为( )． 五点法求y＝Asin( ωx＋ π 2 π 2 － ， 代入 ， 将点 φ)ω 中的 φ 的方法： 12 3 A．y＝ sin2x＋ 3 3 “第一点 求 φ. ”(即图象上 2 x π 升时与 x 轴的交点)时 B．y＝ sin ＋ 3 2 4 ωx＋φ＝0； π 2 “第二点”(即图象的 C．y＝ sinx－ 3 3 π “ 峰点 ”) 时 ωx ＋ φ ＝ ； 2π 2 2 2x＋ D．y＝ sin 3 3 “第三点”(即图象下降 T π 7π π 时与 x 轴的交点)时 解析（2）由 ＝－ －－ ＝ ， 得 T＝π， 2 12 12 2 ωx＋φ＝π； 2π π 2 2 “第四点”(即图象的 ∴ω＝ ＝2.把点－ ， 代入 y＝ sin(2x＋φ)， T 3π 3 12 3
则ω和φ的取值是
( C )
π A．ω＝1，φ＝3 1 π C．ω＝2，φ＝6
π B．ω＝1，φ＝－3 1 π D．ω＝2，φ＝－6
π 得：sin－6＋φ＝1，解得
答案
(1)C
(2)D
【真题探究】► (本小题满分12分)(2012· 湖南)
已知函数 f (x ) ＝ A sin(ωx ＋ φ)(x ∈ π R， ω>0,0<φ < )的部分图象如图所 2 示． (1)求函数 f (x )的解析式；
[规范解答] (1)由题设图象知，周期
数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内 的图象，此函数的解析式可为 π ( )． A．y＝2sin2x＋3 2π B．y＝2sin2x＋ 3 解析 由T ＝5π ＋ π ＝π，得 T＝π ，∴ω＝2π ＝2. 2 12 12 2 T x π C．y＝2sin2－3 π π π D．y＝2sin2x－3 － ，2 － ＋φ
量时，振幅、周期、频率、
相位、初相各是多少？
考向二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】►(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)的
图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是
A．A ＝3，T ＝ B．A ＝1，T ＝ 4π π ，φ ＝－ 3 6
(
)．
4π 3π ，φ ＝ 3 4