蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第7章 求导法则及其在比较静态学中的
蒋中一数理经济学的基本方法第4版课后习题详解
蒋中一数理经济学的基本方法第4版课后习题详解展开全文第一篇导论第1章数理经济学的实质本章是对数理经济学的实质的介绍，并将数理经济学与非数理经济学、经济计量学进行了比较，本章没有对应的课后习题，读者对相关概念了解即可。
第2章经济模型练习2.31用集合符号写出下列集合：（a）大于34的所有实数集；（b）大于8但小于65的所有实数集。
答：（a）大于34的所有实数集可以表示为：A＝{x|x＞34}。
（b）大于8但小于65的所有实数集可以表示为：A＝{x|8＜x＜65}。
2给定集合S1＝{2，4，6}，S2＝{7，2，6}，S3＝{4，2，6}，S4＝{2，4}，下面哪些说法正确？（a）S1＝S3；（b）S1＝R；（c）8∈S2；（d）3∉S2；（e）4∉S3；（f）S4⊂R；（g）S1⊃S4；（h）∅⊂S2；（i）S3⊃{1，2}。
答：（a）（d）（f）（g）（h）是正确的。
（b）应为S1⊂R，（c）应为8∉S2，（e）应为4∈S3，（i）应为{1，2}⊄S3。
3根据上题给出的四个集合，求：（a）S1∪S2；（b）S1∪S3；（c）S2∩S3；（d）S2∩S4；（e）S4∩S2∩S1；（f）S3∪S1∪S4。
答：（a）S1∪S2＝{2，4，6，7}。
（b）S1∪S3＝{2，4，6}。
（c）S2∩S3＝{2，6}。
（d）S2∩S4＝{2}。
（e）S4∩S2∩S1＝{2}。
（f）S3∪S1∪S4＝{2，4，6}。
4下述哪些说法是正确的？（a）A∪A＝A；（b）A∩A＝A；（c）A∪∅＝A；（d）A∪U ＝U；（e）A∩∅＝∅；（f）A∩U＝A；（g）的补集是A。
答：（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）都是正确的。
5已知集合A＝{4，5，6}，B＝{3，4，6，7}，C＝{2，3，6}，验证分配律。
证明：首先验证A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C），有：A∪（B∩C）＝{4，5，6}∪{3，6}＝{3，4，5，6}（A∪B）∩（A∪C）＝{3，4，5，6，7}∩{2，3，4，5，6}＝{3，4，5，6}所以A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）成立。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第10章 指数函数与对数函数)【圣才
第10章指数函数与对数函数练习10.11．在一个图中绘出指数函数y＝3t和y＝32t的图形。
（a）这两个图形是否与教材图10.2（a）反映了相同的一般位置关系？（b）这两条曲线是否有相同的y截距？为什么？（c）在此图中画出函数y＝33t的图形。
解：（a）y＝3t和y＝32t分别为如图10-1所示的两条曲线。
图10-1y＝3t和y＝32t的图形与教材10.2（a）反映了相同的一般位置关系。
（b）这两条曲线具有相同的y截距，因为30＝1。
（c）函数y＝33t的图形如图10-1所示。
2．在同一图中绘出指数函数y＝4t与y＝3（4t）的图形。
（a）两条曲线是否与教材图10.2（b）表示大致相同的位置关系？（b）两条曲线是否有同样的y截距？为什么？（c）在同一图中绘出函数y＝3（4t）/2的图形。
解：（a）y＝4t和y＝3（4t）曲线为如图10-2所示的两条曲线。
y＝4t和y＝3（4t）的曲线与教材10.2（b）中的曲线有大致相同的位置关系。
图10-2（b）两条曲线不具有同样的y截距，因为40＝1，3×40＝3。
（c）函数y＝3（4t）/2的图形如图10-2所示。
3．认可e t的导数为其自身，运用链式法则求下列函数的dy/dt：（a）y＝e5t；（b）y＝4e3t；（c）y＝6e－2t。
解：（a）dy/dt＝[dy/d（5t）][d（5t）/dt]＝5e5t。
（b）dy/dt＝[dy/d（3t）][d（3t）/dt]＝12e3t。
（c）dy/dt＝[dy/d（－2t）][d（－2t）/dt]＝－12e－2t。
4．根据我们对（10.1）的讨论，你能预期函数y＝e t是以递增速率单调地递增吗？通过确定此函数的一阶和二阶导数的符号验证你的答案。
在验证答案时，记住此函数的定义域为全体实数的集合，即区间（－∞，＋∞）。
解：y′＝e t＞0，y″＝e t＞0。
所以，函数是以递增速率单调地递增。
5．在（10.2）中，若a与c被赋予负值，则教材图10.2中的曲线图形便不再适用。
数理经济学的基本方法蒋中一
数理经济学的基本方法蒋中一1.引言1.1 概述数理经济学作为一门交叉学科，涵盖了经济学、数学和统计学等多个领域的知识与方法。
它通过运用数理工具和模型，对经济现象进行深入分析和解释，为经济决策提供科学依据。
数理经济学的发展使得经济学研究更加系统化、定量化，能够更准确地理解和解释经济现象，进而制定更科学的经济政策。
数理经济学的基本方法主要包括数理建模、假设检验和经济模拟等。
数理建模是数理经济学中最关键的方法之一，通过建立数学模型来描述经济行为和市场机制，进而进行定量分析和预测。
假设检验则是用来验证数理模型的适用性和有效性，通过对经济数据进行统计分析，从而得出对经济理论的验证或修正。
另外，经济模拟是一种应用数理方法来模拟经济系统的行为和演化过程，通过构建合理的数学模型，进行计算和仿真，以便更好地理解和预测经济发展的趋势。
数理经济学的应用领域广泛，涵盖了市场结构、价格理论、产业组织、经济增长等方面。
它在经济学理论的发展、政策制定和企业决策等方面都发挥了重要的作用。
但需要注意的是，数理经济学并不是解决所有经济问题的万能工具，它只是经济学领域中的一个工具和方法，需要与其他经济学理论和经验相结合，共同分析和解决实际问题。
本文旨在介绍数理经济学的基本方法，通过对其定义和背景的探讨，进一步了解其在经济学研究中的地位和作用。
接下来的章节将重点介绍数理经济学的基本方法，并总结其应用和展望未来的发展方向。
通过对数理经济学的深入研究，我们可以更好地理解和应用数理工具，以推动经济学的进一步发展和实践应用。
1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，首先会对数理经济学的概念进行概述，介绍数理经济学的背景及其在经济学研究中的重要性。
接着，对本文的结构进行说明，简要介绍各个部分的内容安排。
最后，明确本文的目的，即介绍数理经济学的基本方法，为读者提供一个全面了解数理经济学的基础。
在正文部分，首先会详细阐述数理经济学的定义和背景，介绍数理经济学作为一门交叉学科的特点和重要性。
经济学基础第四版习题答案
第一章1，一般的，相对于人类社会的无限欲望而言，生产人类所需物品的资源总是不足的。
这就是资源的稀缺性。
资源的稀缺性不是指资源绝对数量的多少，而是指相对于无限的欲望而言，再多的资源也是不足的。
即稀缺性是就相对意义而言的。
欲望的基本特点在于无限性，即人们得欲望永远没有完全得到满足的时候，人的欲望要用各种物品或劳务来满足，而物品要用各种资源来生产，这些资源包括人力资源和自然资源。
然而，人类赖以生存的地球的资源是有限的，这样无限的欲望与有限的资源的矛盾就形成了经济学所说的稀缺性。
2，人类社会作面临的基本问题。
面对资源稀缺性的事实，人类社会都必须面对和解决三个基本的经济问题。
他们是：生产什么，如何生产和为谁生产。
（1）生产什么商品和生产多少。
一个社会必须决定，在诸多可能的物品和劳务中，每一种应该生产多少以及何时生产，生产多少消费品和投资品。
（2）如何生产物品。
一个社会必须决定谁来生产，使用何种资源，以及采用何种生产技术。
（3）为谁生产。
谁来享用经济活动的成果？收入和财富的分配是公平合理的吗？社会产品如何在不同的居民之间进行分配？是否会出现贫富差距？3，微观经济学以单个经济单位为研究对象，通过研究单个经济单位的经济行为和相应的经济变量数值的决定来说明价格机制如何解决社会的资源配置问题。
可见，微观经济学研究的对象是单个经济单位的经济行为，即家庭和企业的经济行为。
微观经济学解决的问题是资源配置。
微观经济学的中心理论是价格理论。
微观经济学的研究方法是个量分析。
相对而言，宏观经济学以整个国民经济为研究对象，通过研究经济中各有关总量的决定及其变化，来说明资源如何才能得到充分利用。
可见，与微观经济学的几个方面相对应的，宏观经济学研究的对象是整个经济。
而不是经济中的各个单位。
宏观经济学解决的问题是资源利用。
它把资源配置最为既定的前提，研究现有资源未能得到充分利用的原因，大到充分利用的途径，以及如何增长等问题。
宏观经济学的中心理论是国民收入决定理论。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第20章 最优控制理论)【圣才出品】
第20章 最优控制理论练习20.2找出下面问题的控制变量、状态变量和协状态变量的最优路径：1．，且y （0）＝2，y （1）自由。
解：这个问题的哈密尔顿函数为H ＝y －u 2＋λu，对于u 是凹的，并且u 没有任何限制，所以应用一阶条件使H 最大化：∂H/∂u ＝－2u ＋λ＝0，从而u （t ）＝λ/2或y ′＝λ/2①λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y ＝－1，对其积分可解出λ＝c 1－t 。
又横截性条件为λ（1）＝0，从而c 1＝0，最优协状态变量的路径是λ*（t ）＝1－t 。
由①式，得到y′＝（1/2）（1－t ），通过积分得到y （t ）＝（1/2）t －（1/4）t 2＋c 2，通过初始条件y （0）＝2可确定c 2＝2。
这样状态变量的最优路径为y *（t ）＝（1/2）t －（1/4）t 2＋2。
对应的最优控制路径是u *（t ）＝（1/2）（1－t ）。
2．，且y （0）＝10，y （8）自由，u （t ）∈[0，2]。
解：哈密尔顿函数为H ＝6y ＋λ（y ＋u ）＝（6＋λ）y ＋λu ，是关于u 的线性函数，斜率为λ。
为使H 最大化，当λ＞0时，取u ＝2；当λ＜0时，取u ＝0。
λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y ＝－6－λ，该方程的通解是λ（t ）＝Ae －t －6。
通过横截性条()120Max d ..y u t s t y u -' =⎰80Max 6d ..y t s t y y u ' =+⎰件λ（T ）＝λ（8）＝0可以确定A ＝6e 8，从而协状态变量的最优路径是λ*（t ）＝6e 8－t －6。
这是一个关于t 的单减函数，且λ*（8）＝0，从而对于t ∈[0，8]，λ*（t ）≥0。
所以取控制变量u 的最优路径为u *＝2。
由运动方程有y ′＝y ＋u ＝y ＋2，该方程的通解为y （t ）＝ce t －2。
由初始条件y （0）＝10可确定出c ＝12，从而状态变量的最优路径为y *（t ）＝12e t －2。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第6~9章)【圣才出品】
v7 v 7
v7
v7
v7
因为左极限与右极限相等，所以 v→7 时 q 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
2．已知 q＝[（v＋2）3－8]/v，（v≠0），求：
（a）
lim
v0
q
；
（b）
lim
v2
q
；
（c）
lim
va
q
。
解
：
（
a
（c）求 f′（3）和 f′（4）。
解：（a）Δy＝4（x＋Δx）2＋9－（4x2＋9）＝8xΔx＋4Δx2，差商为：Δy/Δx＝（8xΔ
x＋4Δx2）/Δx＝8x＋4Δx。
（b） dy f x lim y lim 8x 4x 8x
dx
x x0
x 0
（c）f′（3）＝3×8＝24，f′（4）＝4×8＝32。
2．已知函数 y＝5x2－4x： （a）求作为 x 和Δx 的函数的差商； （b）求导数 dy/dx； （c）求 f′（2）和 f′（3）。 解：（a）Δy＝5（x＋Δx）2－4（x＋Δx）－（5x2－4x）＝10xΔx＋5Δx2－4Δx。 差商为：Δy/Δx＝（10xΔx＋5Δx2－4Δx）/Δx＝10x＋5Δx－4。
（a）
lim
v
q
；
（b）
lim q
v
。
解：（a） lim q lim 5 1 5
v
v
v
（b） lim q lim 5 1 5
v
v
v
4．运用教材图 6.3 证明：我们不能将（L＋a2）看做当 v 趋近于 N 时 q 的极限。 证：教材中图 6.3 如下所示：
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蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第17~20章)【圣才出品】
蒋中一《数理经济学的基本方法》（第4版）课后习题详细分析和解答第17章离散时间：一阶差分方程练习17.21．将下列差分方程变换为（17.2″）的形式。
（a）Δy t＝7（b）Δy t＝0.3y t（c）Δy t＝2y t－9解：（a）y t＋1＝y t＋7。
（b）y t＋1＝1.3y t。
（c）y t＋1＝3y t－9。
2．用迭代法解下列差分方程：（a）y t＋1＝y t＋1（y0＝10）；（b）y t＋1＝αy t（y0＝β）；（c）y t＋1＝αy t－β（当t＝0时，y t＝y0）。
解：（a）y1＝y0＋1，y2＝y1＋1＝y0＋2，y3＝y2＋1＝y0＋3。
不难看出，一般而言，对任意时期t，y t＝y0＋t＝10＋t。
（b）y1＝αy0，y2＝αy1＝α2y0，y3＝αy2＝α3y0。
不难看出，一般而言，对任意时期t，y t＝αt y0＝βαt。
（c）y 1＝αy 0－β，y 2＝αy 1－β＝α2y 0－αβ－β，y 3＝αy 2－β＝α3y 0－α2β－αβ－β。
不难看出，一般而言，对任意时期t，()120=1t t t t y y αβααα---++++ 3．按（17.6）式改写上题中的差分方程，并用公式（17.8′）或（17.9′）解之（哪个方便用哪个）。
答案与用迭代法求得的答案一致吗？解：（a）改写：y t＋1－y t ＝1（y 0＝10）。
a＝－1，c＝1，由（17.9′），定解为y t ＝y 0＋ct＝10＋t。
答案与用迭代法求得的答案一致。
（b）改写：y t＋1－αy t ＝0（y 0＝β）。
a＝－α，c＝0。
若α≠1，由（17.8′），定解为y t ＝y 0αt ＝βαt 。
若α＝1，则a＝－1，由（17.9′），定解为y t ＝y 0＋ct＝β。
不难发现，定解的形式可以统一为y t ＝βαt 。
答案与用迭代法求得的答案一致。
（c）改写：y t＋1－αy t ＝－β（当t＝0时，y t ＝y 0）。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第9章 最优化：一类特殊的均衡分析)
第9章最优化：一类特殊的均衡分析练习9.21．假设定义域为全部实数的集合，求下列函数的稳定值，并检验其为相对极大值、极小值还是拐点：（a）y＝－2x2＋8x＋7；（b）y＝5x2＋x；（c）y＝3x2＋3；（d）y＝3x2－6x＋2。
解：（a）令y′＝－4x＋8＝0，解得x＝2。
当x＜2时，y′＞0；当x＞2时，y′＜0。
所以，稳定值y＝－2×22＋8×2＋7＝15是函数的极大值。
（b）令y′＝10x＋1＝0，解得x＝－1/10。
当x＜－1/10时，y′＜0；当x＞－1/10时，y′＞0。
所以，稳定值y＝5×（－1/10）2－1/10＝－1/20是函数的极小值。
（c）令y′＝6x＝0，解得x＝0。
当x＜0时，y′＜0；当x＞0时，y′＞0。
所以，稳定值y ＝3是函数的极小值。
（d）令y′＝6x－6＝0，解得x＝1。
当x＜1时，y′＜0；当x＞1时，y′＞0。
所以，稳定值y＝3×1－6×1＋2＝－1是函数的极小值。
2．假设定义域为区间[0，∞），求下列函数的稳定值，并检验其为相对极小值、极大值，还是拐点：（a）y＝x3－3x＋5；（b）y＝x3/3－x2＋x＋10；（c）y＝－x3＋4.5x2－6x＋6。
解：（a）令y′＝3x2－3＝0，解得x＝1。
当0≤x＜1时，y′＜0；当x＞1时，y′＞0。
所以，稳定值y＝1－3＋5＝3是函数的极小值。
（b）令y′＝x2－2x＋1＝0，解得x＝1。
当0≤x＜1时，y′＞0；当x＞1时，y′＞0。
所以，稳定值y＝1/3－1＋1＋10＝31/3是函数的拐点。
（c）令y′＝－3x2＋9x－6＝0，解得x1＝1，x2＝2。
当0≤x＜1时，y′＜0；当1＜x＜2时，y′＞0；当x＞2时，y′＜0。
所以，稳定值y＝－1＋4.5－6＋6＝3.5是函数的极小值，稳定值y＝－23＋4.5×22－6×2＋6＝4是函数的极大值。
数理经济学习题参考答案
1
2
则有
6
x >0 ⇒ u =1 2
⇒ 2−x −x = 0
⇒
(2x
) 1
2
−1 x
=0
1
1
⇒ x = 0 or x = 1
1
12
⇒ x = 2 or x = 3
2
1
2
其中所用到的条件依次为第二互补条件, 第三互补条件, 第一互补条件. 由于 x = (0,2)T
不满足梯度差非负的第一个条件, 删去. 同理
kλ
l =1 1l
= 1,
kλ
l =1 2l
= 1,
且使得
∑k
y1 = λ xl 1l l =1 ∑k
y2 = λ xl 2l l =1
对于任意 λ ∈ (0,1), 由于 λλ + (1 − λ)λ ≥ 0, l = 1, 2, ", k , 且
1l
2l
因此
( ) ( ) ( ) ∑k λλ + (1−λ)λ = ∑k λλ + ∑k (1− λ)λ
11. 证明: 显然所有包含 S 的半空间的交集仍然包含 S . 现证该交集也包含于 S , 否则必存 在 x 属于半空间的交集但不属于 S , 则根据凸集分离定理, 存在实数 α 与不为 0 的向量 u 使得对于任意 z ∈ S 都有
uT z > α > uT x
{ } { } 这表明 S ⊂ y : uTy ≥ α , x ∉ y : uTy ≥ α , 或者说我们找到了一个新的包含了 S 的半
x1 x1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ + (1 − λ)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜f
x2 x2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝λf
计量经济学第四版)习题及参考答案详细版
计量经济学（第四版）习题参考答案潘省初第一章 绪论1.1 试列出计量经济分析的主要步骤。
一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据 （4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析 1.2 计量经济模型中为何要包括扰动项?为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。
1.3什么是时间序列和横截面数据? 试举例说明二者的区别。
时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。
横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。
如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。
1.4估计量和估计值有何区别？估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。
在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。
如Y 就是一个估计量，1nii YY n==∑。
现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。
第二章 计量经济分析的统计学基础2.1 略，参考教材。
2.2请用例2.2中的数据求北京男生平均身高的99％置信区间NSS x ==45=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为 x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第12章 具有约束方程的最优化)【圣
第12章具有约束方程的最优化练习12.21．运用拉格朗日乘数法求z的稳定值：（a）z＝xy，满足约束x＋2y＝2；（b）z＝x（y＋4），满足约束x＋y＝8；（c）z＝x－3y－xy，满足约束x＋y＝6；（d）z＝7－y＋x2，满足约束x＋y＝0。
解：（a）拉格朗日函数为：Z＝xy＋λ（2－x－2y），稳定值的必要条件为：Zλ＝2－x－2y＝0Z x＝y－λ＝0Z y＝x－2λ＝0解得：λ*＝1/2，x*＝1，y*＝1/2，故z的稳定值为z*＝1/2。
（b）拉格朗日函数为：Z＝xy＋4x＋λ（8－x－y），稳定值的必要条件为：Zλ＝8－x－y＝0Z x＝y＋4－λ＝0Z y＝x－λ＝0解得：λ*＝6，x*＝6，y*＝2，故z的稳定值为z*＝36。
（c）拉格朗日函数为：Z＝x－3y－xy＋λ（6－x－y），稳定值的必要条件为：Zλ＝6－x－y＝0Z x＝1－y－λ＝0y解得λ*＝－4，x*＝1，y*＝5，故z的稳定值为z*＝－19。
（d）拉格朗日函数为：Z＝7－y＋x2＋λ（－x－y），稳定值的必要条件为：Zλ＝－x－y＝0Z x＝2x－λ＝0Z y＝－1－λ＝0解得λ*＝－1，x*＝－1/2，y*＝1/2，故z的稳定值为z*＝27/4。
2．在上题中，约束条件略微放松是增加还是降低了z的最优值，增加或降低的速率是多少？解：（a）增加，增加的速率为：dz*/dc＝λ*＝1/2。
（b）增加，增加的速率为：dz*/dc＝λ*＝6。
（c）降低，降低的速率为：dz*/dc＝λ*＝－4。
（d）降低，降低的速率为：dz*/dc＝λ*＝－1。
3．写出下列函数的拉格朗日函数和稳定值的一阶条件（不必解方程）：（a）z＝x＋2y＋3w＋xy－yw，满足约束x＋y＋2w＝10；（b）z＝x2＋2xy＋yw2，满足约束2x＋y＋w2＝24和x＋w＝8。
解：（a）拉格朗日函数为：Z＝x＋2y＋3w＋xy－yw＋λ（10－x－y－2w）稳定值的一阶条件为：Zλ＝10－x－y－2w＝0Z x＝1＋y－λ＝0y Z w ＝3－y －2λ＝0 （b ）拉格朗日函数为：Z ＝x 2＋2xy ＋yw 2＋λ（24－2x －y －w 2）＋v （8－x －w ） 稳定值的一阶条件为： Z λ＝24－2x －y －w 2＝0 Z v ＝8－x －w ＝0 Z x ＝2x ＋2y －2λ－v ＝0 Z y ＝2x ＋w 2－λ＝0 Z w ＝2yw －2λw －v ＝04．若将约束条件写成G （x ，y ）＝0，而不是写成g （x ，y ）＝c 的形式，那么，拉格朗日函数和一阶条件应如何修正？ 解：拉格朗日函数应修正为：一阶条件应修正为： Z λ＝－G （x ，y ）＝0 Z x ＝f x －λG x ＝0 Z y ＝f y －λG y ＝05．在讨论全微分法时，我们曾指出已知约束条件g （x ，y ）＝c ，可以推导出dg ＝0。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第8章 一般函数模型的比较静态分析)
5．上题中两个偏弹性如何随 P 和 R 的变化而变化？若 P 和 R 为正，变化是严格单调的吗？ 解：∂εQP/∂P＝4bP（a＋R1/2）/（a＋bP2＋R1/2）2，∂εQP/∂R＝－bP2R－1/2/（a＋bP2＋R1/2） 2＜0。 所以，供给的价格弹性随 R 增大而减小；如果 a＋R1/2＞0，则随 P 的增大而增大，如果 a ＋R1/2＜0，则随 P 的增大而减小，如果 a＋R1/2＝0，则不随 P 变化。但是供给的价格弹性 关于 R 和 P 的变化都是单调的。
4．某商品的供给函数为： Q＝a＋bP2＋R1/2（a＜0，b＞0）[R：降雨量] 求供给的价格弹性 εQP，供给的降雨量弹性 εQR。 解：供给的价格弹性为：εQP＝（∂Q/∂P）/（Q/P）＝2bP/[（a＋bP2＋R1/2）/P]＝2bP2/ （a＋bP2＋R1/2）。 供给的降雨量弹性为：εQR＝（∂Q/∂R）/（Q/R）＝（R－1/2/2）/[（a＋bP2＋R1/2）/R]＝ R1/2/8.2
1．以梯度向量▽U 表示全微分 dU。
dx1
dx2
解：▽U 为行向量（U1，U2，…，Un），而 dx 为列向量 dxn
那么全微分
dU U1,U2 ,
dx1
,U
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第七章 参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。
解：μ，σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。
（5）()p p m x p px X P x m xmx,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解：（1）X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX Xθ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp令mp = X ， 解得mXp=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn nni ix x x c θx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn nni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini i x nθx θθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第4章 线性模型与矩阵代数)【圣才出
4 30
CB 也有定义：
CB
7 6
2 2
2 3
3 3
7 6
0 0
2 8 3 8
20
21
16 24
BC＝CB 不成立。
3．在例 9 给出的矩阵的基础上，判断 BA 是否有定义？若有，计算其积。在此例中，我们 是否有 AB＝BA？
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1 2
5．在例 7 中，如果我们将数量和价格写成列向量而非行向量，Q·P 有定义吗？我们能否将 总采购成本表示为 Q·P？或 Q′·P？或 Q·P′？ 答：Q·P 有定义。两个元素个数相同的向量的内积是对应元素的积的和，两个行向量、两个 列向量、一个行向量和一个列向量、一个列向量和一个行向量的内积均有定义。所以能将采 购成本表示为 Q·P 或 Q′·P 或 Q·P′。
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Qd1 Qs1 Qd1
Qs1
0
a1P1 a2 P2 a0
b1P1 b2 P2 b0
Qd 2 Qs2
0
Qd 2
1P1 2 P2 0
Qs2 1P1 2 P2 0
则系数矩阵为
1 1 0 0 0 0
Qd－Qs＝0
Qd＋bP＝a
Qs－dP＝－c
1 1 0
0
1 0
b
a
如果系数矩阵为 0 1 d ，则常数向量为 c 。
2．变量按下列顺序排列：Qd1，Qs1，Qd2，Qs2，P1，P2。按（4.1）方式改写方程组（3.12）。 写出系数矩阵、变量向量和常数向量。 解：将方程组（3.12）改写为：
，常数向量为
《数理经济学的基本方法》作业题答案
凸函数，或者都不是。
(������)������ = ������������
解：此题可采用海塞行列式或一阶导数判断。
方法 1：由题目可知������������ = −������，������������ = −������，������������������ = 0，������������������ = 0，������������������ = ������������������ = −1。
������′(3) = ������"(3) = ������(3)(3) = ������(4)(3) = ������(5)(3) = 0, ������(6)(3) = 720 > 0
故������(3) = 7为函数的相对极小值点。
(������)������ = (������ − ������������)������ + ������
������(������)
=
−3
+
(−2)
∙
(������
+
2)
+
(−4) 2!
∙
(������
+
2)2
+
(−12) 3!
∙
(������
+
2)3
+
(−48) 4!
∙
(������
+
2)4
+
⋯
= −3 − 2(������ + 2) − 2(������ + 2)2 − 2(������ + 2)3 − 2(������ + 2)4 − ⋯
4
������"(������) =
计量经济学第四版)习题及参考答案详细版
计量经济学（第四版）习题参考答案潘省初第一章 绪论1.1 试列出计量经济分析的主要步骤。
一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据 （4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析 1.2 计量经济模型中为何要包括扰动项?为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。
1.3什么是时间序列和横截面数据? 试举例说明二者的区别。
时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。
横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。
如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。
1.4估计量和估计值有何区别？估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。
在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。
如Y 就是一个估计量，1nii YY n==∑。
现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。
第二章 计量经济分析的统计学基础2.1 略，参考教材。
2.2请用例2.2中的数据求北京男生平均身高的99％置信区间NSS x ==45=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为 x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。
数理经济学参考答案
（x y) (x (1)y ) = x (1)y = x y
(6) 证明
0 (x (x)) = x ( x ) = x x
=0
2.2 证明下列集合是线性空间：(Expl.1.67~1.69) (1)
n 维实向量空间 n ；
xy yz x (x y ) x (x z ) ( x x) y ( x x) z 0y 0z yz
(2)证明
1
x = y
( x) 1
( y )
1 1 ( )x ( )y
(2) 所有实数序列的集合 x1 , x2 ,... ，对任意 i ， xi ； (3) 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 an t n 的集合。
2.3 设 X 1 和 X 2 是线性空间，它们的乘积 X X 1 X 2 的加法和乘法定义如下：
( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 y1 , x2 y2 )
N / RN 5. 不是。因为 x ∈ RN ++ 故 R+ 在标量乘法的意义上不是闭的。 ++ , α < 0 ⇒ αx ∈
6. 证明：∀x, y ∈ S1 ∩ S2 ，S1 是 X 的子空间 ⇒ αx + β y ∈ S1 , 同理, αx + β y ∈ S2 7. 证明： (a) ∀x ∈ intS ⇒ ∃Br (x) ⊆ intS ; S ⊆ T ⇒ Br (x) ∈ T ⇒ intS ⊆ intT ¯ ⇒ x ∈ intS ∪ ∂ (S ), 若 x ∈ intS , S ⊆ T ⇒ x ∈ T ⊆ T ¯; 若 x ∈ ∂ (S ) ⇒ ∀Br (x) 包 (b) ∀x ∈ S ¯⊆T ¯ 含 S 中的某些点，由于 S ⊆ T, 因此或者 x ∈ intT, 或者 x ∈ ∂ (T )。综上，S 8. ∂ (S ) = S ∪ {0} 9. 若 ∂ (S ) ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ ∂ (S ), 由于 S ＝ intS ∪∂ (S ), 因此 x ∈ S , 这与 S 是开集矛盾，故 ∂ (S ) = ∅ 10. 证明： (a) 令 G = ∪α Gα , ∀Gα 为开集。∀x ∈ G ⇒ ∃α, x ∈ Gα ; Gα 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Gα ⊆ G ⇒ G 为开集 (b) 令 H = ∩N i=1 Hi , Hi 为开集。∀x ∈ H ⇒ x ∈ Hi , i = 1, . . . , N ; Hi 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Hi ⇒ Br (x) ∈ H ⇒ x 为内点 ⇒ H 为开集 ( )C C C (c) (2) 利用 ∩N = ∪N i=1 Gi i=1 Gi ，(∪α Hα ) = ∩α Hα 2
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第7章求导法则及其在比较静态学中的应用练习7.1
1．求下述每一函数的导数：
（a）y＝x12；
（b）y＝63；
（c）y＝7x5；
（d）w＝3u－1；
（e）w＝－4u1/2；
（f）w＝4u1/4。
解：（a）y′＝12x11；
（b）y′＝0；
（c）y′＝35x4；
（d）w′＝－3u－2；
（e）w′＝－2u－1/2；
（f）w′＝u－3/4。
2．求下列各式结果：
（a）d（－x－4）/dx；
（b）d（9x1/3）/dx；
（c）d（5w4）/dw；
（d）d（cx2）/dx；
（e）d（au b）/du；
（f）d（－au－b）/du。
解：（a）d（－x－4）/dx＝4x－5。
（b）d（9x1/3）/dx＝3x－2/3。
（c）d（5w4）/dw＝20w3。
（d）d（cx2）/dx＝2cx。
（e）d（au b）/du＝abu b－1。
（f）d（－au－b）/du＝abu－b－1。
3．求下述每一函数的f′（1）、f′（2）的值：
（a）y＝f（x）＝18x；
（b）y＝f（x）＝cx3；
（c）f（x）＝－5x－2；
（d）f（x）＝3x4/3/4；
（e）f（w）＝6w1/3；
（f）f（w）＝－3w－1/6。
解：（a）f′（x）＝18，则f′（1）＝f′（2）＝18。
（b）f′（x）＝3cx2，则f′（1）＝3c，f′（2）＝12c。
（c）f′（x）＝10x－3，f′（1）＝10，f′（2）＝5/4。
（d）f′（x）＝x1/3，f′（1）＝1，f′（2）＝21/3。
（e）f′（w）＝2w－2/3，f′（1）＝2，f′（2）＝21/3。
（f）f′（w）＝w－7/6/2，f′（1）＝1/2，f′（2）＝2－13/6。
4．绘出使得导函数f′（x）＝0的原函数f（x）的图形。
然后再绘出以g′（x0）＝0为特征的函数g（x）的图形。
解：两函数图像如图7-1所示：
图7-1
练习7.2
1．给定总成本函数C＝Q3－5Q2＋12Q＋75，写成可变成本（VC）函数，求VC函数的导数，并解释其经济含义。
解：可变成本函数为：VC＝Q3－5Q2＋12Q，则VC函数的导数为：
VC′＝dVC/dQ＝3Q2－10Q＋12
其经济含义为边际成本MC函数。
2．已知平均成本函数AC＝Q2－4Q＋214，求MC函数。
这个已知函数更适合于作长期成本函数或短期成本函数吗？为什么？
解：总成本函数为C＝AC·Q＝Q3－4Q2＋214Q，对其求导，得到边际成本函数为：
MC＝dC/dQ＝3Q2－8Q＋214
这个已知函数更适合做长期成本函数，因为所得总成本函数中没有与产量变化无关的固定成本。
3．运用积的求导法则求下列导数：
（a）（9x2－2）（3x＋1）；
（b）（3x＋10）（6x2－7x）；
（c）x2（4x＋6）；
（d）（ax－b）（cx2）；
（e）（2－3x）（1＋x）（x＋2）；
（f）（x2＋3）x－1。
解：（a）[（9x2－2）（3x＋1）]′＝（9x2－2）′（3x＋1）＋（9x2－2）（3x＋1）′＝18x（3x ＋1）＋3（9x2－2）＝81x2＋18x－6。
（b）[（3x＋10）（6x2－7x）]′＝（3x＋10）′（6x2－7x）＋（3x＋10）（6x2－7x）′＝54x2＋78x－70。
（c）[x2（4x＋6）]′＝2x（4x＋6）＋4x2＝12x2＋12x。
（d）[（ax－b）cx2]′＝acx2＋（ax－b）2cx＝3acx2－2bcx。
（e）[（2－3x）（1＋x）（x＋2）]′＝（－3）（1＋x）（x＋2）＋（2－3x）（x＋2）＋（2－3x）（1＋x）＝－x（9x＋14）。
（f）[（x2＋3）x－1]′＝2xx－1＋（－2）x－2（x2＋3）＝1－3/x2。
4．（a）给定AR＝60－3Q，绘出平均收益曲线，并运用教材图7.2所用的方法求出MR曲线。
（b）用数学方法由给定的AR函数求总收益函数和边际收益函数。
（c）（a）中以图形方法推导出的MR曲线与（b）中以数学方法推导出的MR曲线一致吗？（d）比较AR和MR函数，关于其相对斜率可得出何结论？
解：（a）MR曲线如图7-2所示。
图7-2
（b）总收益函数R＝AR·Q＝60Q－3Q2，边际收益函数为MR＝R′＝60－6Q。
（c）两种方法是一致的。
（d）AR曲线的斜率是MR曲线斜率的两倍。
5．给出下述一般结论的数学证明：给定线性平均曲线，其相应的边际曲线必定与平均曲线有相同的截距，而其陡度是平均曲线的二倍。
证明：设平均曲线的表达式为A＝a＋bx，则总量的表达式为T＝A·x＝ax＋bx2，边际量的表达式为M＝dT/dx＝a＋2bx。
所以，给定线性平均曲线，其相应的边际曲线必定与平均曲线有相同的截距，而其陡度是平均曲线的二倍。
6．用下述方法证明（7.6）的结论：先将g（x）h（x）看做单个函数，即令g（x）h（x）≡∅（x），然后再应用（7.4）的积的求导法则。
证明：式（7.6）为：
d[f（x）g（x）h（x）]/dx＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）g′（x）h（x）＋f（x）g（x）h′（x）
若令g（x）h（x）≡∅（x），则有：
d[f（x）g（x）h（x）]/dx＝d[f（x）∅（x）]/dx＝f′（x）∅（x）＋f（x）∅′（x）＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）[g（x）h（x）]′＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）g′（x）h（x）＋f （x）g（x）h′（x）
故（7.6）得证。
7．求下列函数的导数：
（a）（x2＋3）/x；
（b）（x＋9）/x；
（c）6x/（x＋5）；
（d）（ax2＋b）（cx＋d）。
解：（a）d[（x2＋3）/x]/dx＝d（x＋3/x）/dx＝1－3/x2。
（b）d[（x＋9）/x]/dx＝d（1＋9/x）/dx＝－9/x2。
（c）d[6x/（x＋5）]/dx＝[6（x＋5）－6x]/（x＋5）2＝30/（x＋5）2。