蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第7章 求导法则及其在比较静态学中的

第7章求导法则及其在比较静态学中的应用练习7.1

1．求下述每一函数的导数：

（a）y＝x12；

（b）y＝63；

（c）y＝7x5；

（d）w＝3u－1；

（e）w＝－4u1/2；

（f）w＝4u1/4。

解：（a）y′＝12x11；

（b）y′＝0；

（c）y′＝35x4；

（d）w′＝－3u－2；

（e）w′＝－2u－1/2；

（f）w′＝u－3/4。

2．求下列各式结果：

（a）d（－x－4）/dx；

（b）d（9x1/3）/dx；

（c）d（5w4）/dw；

（d）d（cx2）/dx；

（e）d（au b）/du；

（f）d（－au－b）/du。

解：（a）d（－x－4）/dx＝4x－5。

（b）d（9x1/3）/dx＝3x－2/3。

（c）d（5w4）/dw＝20w3。

（d）d（cx2）/dx＝2cx。

（e）d（au b）/du＝abu b－1。

（f）d（－au－b）/du＝abu－b－1。

3．求下述每一函数的f′（1）、f′（2）的值：

（a）y＝f（x）＝18x；

（b）y＝f（x）＝cx3；

（c）f（x）＝－5x－2；

（d）f（x）＝3x4/3/4；

（e）f（w）＝6w1/3；

（f）f（w）＝－3w－1/6。

解：（a）f′（x）＝18，则f′（1）＝f′（2）＝18。（b）f′（x）＝3cx2，则f′（1）＝3c，f′（2）＝12c。（c）f′（x）＝10x－3，f′（1）＝10，f′（2）＝5/4。（d）f′（x）＝x1/3，f′（1）＝1，f′（2）＝21/3。（e）f′（w）＝2w－2/3，f′（1）＝2，f′（2）＝21/3。

（f）f′（w）＝w－7/6/2，f′（1）＝1/2，f′（2）＝2－13/6。

4．绘出使得导函数f′（x）＝0的原函数f（x）的图形。然后再绘出以g′（x0）＝0为特征的函数g（x）的图形。

解：两函数图像如图7-1所示：

图7-1

练习7.2

1．给定总成本函数C＝Q3－5Q2＋12Q＋75，写成可变成本（VC）函数，求VC函数的导数，并解释其经济含义。

解：可变成本函数为：VC＝Q3－5Q2＋12Q，则VC函数的导数为：

VC′＝dVC/dQ＝3Q2－10Q＋12

其经济含义为边际成本MC函数。

2．已知平均成本函数AC＝Q2－4Q＋214，求MC函数。这个已知函数更适合于作长期成本函数或短期成本函数吗？为什么？

解：总成本函数为C＝AC·Q＝Q3－4Q2＋214Q，对其求导，得到边际成本函数为：

MC＝dC/dQ＝3Q2－8Q＋214

这个已知函数更适合做长期成本函数，因为所得总成本函数中没有与产量变化无关的固定成本。

3．运用积的求导法则求下列导数：

（a）（9x2－2）（3x＋1）；

（b）（3x＋10）（6x2－7x）；

（c）x2（4x＋6）；

（d）（ax－b）（cx2）；

（e）（2－3x）（1＋x）（x＋2）；

（f）（x2＋3）x－1。

解：（a）[（9x2－2）（3x＋1）]′＝（9x2－2）′（3x＋1）＋（9x2－2）（3x＋1）′＝18x（3x ＋1）＋3（9x2－2）＝81x2＋18x－6。

（b）[（3x＋10）（6x2－7x）]′＝（3x＋10）′（6x2－7x）＋（3x＋10）（6x2－7x）′＝54x2＋78x－70。

（c）[x2（4x＋6）]′＝2x（4x＋6）＋4x2＝12x2＋12x。

（d）[（ax－b）cx2]′＝acx2＋（ax－b）2cx＝3acx2－2bcx。

（e）[（2－3x）（1＋x）（x＋2）]′＝（－3）（1＋x）（x＋2）＋（2－3x）（x＋2）＋（2－3x）（1＋x）＝－x（9x＋14）。

（f）[（x2＋3）x－1]′＝2xx－1＋（－2）x－2（x2＋3）＝1－3/x2。

4．（a）给定AR＝60－3Q，绘出平均收益曲线，并运用教材图7.2所用的方法求出MR曲线。

（b）用数学方法由给定的AR函数求总收益函数和边际收益函数。

（c）（a）中以图形方法推导出的MR曲线与（b）中以数学方法推导出的MR曲线一致吗？（d）比较AR和MR函数，关于其相对斜率可得出何结论？

解：（a）MR曲线如图7-2所示。

图7-2

（b）总收益函数R＝AR·Q＝60Q－3Q2，边际收益函数为MR＝R′＝60－6Q。

（c）两种方法是一致的。

（d）AR曲线的斜率是MR曲线斜率的两倍。

5．给出下述一般结论的数学证明：给定线性平均曲线，其相应的边际曲线必定与平均曲线有相同的截距，而其陡度是平均曲线的二倍。

证明：设平均曲线的表达式为A＝a＋bx，则总量的表达式为T＝A·x＝ax＋bx2，边际量的表达式为M＝dT/dx＝a＋2bx。

所以，给定线性平均曲线，其相应的边际曲线必定与平均曲线有相同的截距，而其陡度是平均曲线的二倍。

6．用下述方法证明（7.6）的结论：先将g（x）h（x）看做单个函数，即令g（x）h（x）≡∅（x），然后再应用（7.4）的积的求导法则。

证明：式（7.6）为：

d[f（x）g（x）h（x）]/dx＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）g′（x）h（x）＋f（x）g（x）h′（x）

若令g（x）h（x）≡∅（x），则有：

d[f（x）g（x）h（x）]/dx＝d[f（x）∅（x）]/dx＝f′（x）∅（x）＋f（x）∅′（x）＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）[g（x）h（x）]′＝f′（x）g（x）h（x）＋f（x）g′（x）h（x）＋f （x）g（x）h′（x）

故（7.6）得证。

7．求下列函数的导数：

（a）（x2＋3）/x；

（b）（x＋9）/x；

（c）6x/（x＋5）；

（d）（ax2＋b）（cx＋d）。

解：（a）d[（x2＋3）/x]/dx＝d（x＋3/x）/dx＝1－3/x2。

（b）d[（x＋9）/x]/dx＝d（1＋9/x）/dx＝－9/x2。

（c）d[6x/（x＋5）]/dx＝[6（x＋5）－6x]/（x＋5）2＝30/（x＋5）2。