初中数学竞赛——二次函数与不等式
二次函数与一元二次方程和不等式(热考题型)-解析版
专题07 二次函数与一元二次方程和不等式【思维导图】◎考试题型1 抛物线与x轴的交点情况二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c= 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b 2-4ac =0 有一个 有两个相等的实数根b 2-4ac <0没有公共点没有实数根例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根为4x =，则另一个根为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．0【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，求出2ba-=，设20ax bx c ++=的另一根为m ，利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a，即可求出m ． 【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =， ∵12b a-=，即2ba -=，设20ax bx c ++=的另一根为m ， 利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a， ∵=2m -． 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质．变式1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一个交点是B ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 【解析】 【分析】将()1,0A -代入抛物线242y ax ax =-+中求出a 的值，然后令2420y ax ax =-+=求出点B 的坐标，即可求出AB 的值． 【详解】抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -， 420a a ∴++=，即25a =-，∴抛物线为：228255y x x =-++，∴令2282055y x x =-++=，求出1215x x =-=，，(50)B ∴，，6AB ∴=． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数与x 轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x 轴交点坐标之间的联系是解题的关键．变式2．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x -2 -1 0 6 y461下列结论不正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D ．函数2y ax bx c =++的最大值为254【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线12x =，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令0y =，则260x x -++=， 解得3x =或2x =-，∵抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意； 故选C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．变式3．（2022·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系内，抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一交点为B ，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据点A 在抛物线上，先求出a 的值，进而求出B 的坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A - ∵0=a +4a +2 ∵a =25-∵228255y x x =-++当y =0时，2282055x x -++=，解得121,5x x =-= ∵B （5，0） ∵AB =5-（-1）=6， 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解题的关键．◎考试题型2 抛物线与y 轴的交点情况图像与y 轴的交点即是x ＝0的情况求y 的值，也就是c 的值。
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
九年级上册 专题03 二次函数与方程、不等式(知识点串讲)(教师版含解析)
专题03 二次函数与方程、不等式知识网络重难突破知识点一二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.【典例1】(2019•镇海区一模)若二次函数y＝ax2﹣2ax+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c ＝0的解为()A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1【点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式训练】1．(2018秋•江汉区期中)如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围是()x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1【点拨】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解析】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．2．(2019•德城区一模)关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)＝m(m＞0)有两个实数根α，β(α＜β)，则下列选项正确的是()A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5【点拨】根据平移可知：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．【解析】解：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，画出函数图象，如图所示．∵抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)与x轴的交点坐标为(3，0)、(5，0)，抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m与x轴的交点坐标为(α，0)、(β，0)，∴α＜3＜5＜β．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．3．(2019秋•镇海区校级期中)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为﹣3，1．【点拨】根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．【解析】解：因为抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，所以关于x的方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为﹣3、1．【点睛】本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．知识点二二次函数与x轴交点情况对于二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.【典例2】下列二次函数的图象与x轴没有交点的是()A．y＝﹣3x2﹣4x B．y＝x2﹣3x﹣4 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝2x2+4x+5【点拨】分别计算四个选项中的判别式的值，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数，从而可对各选项进行判断．【解析】解：A、△＝(﹣4)2﹣4×(﹣3)×0＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、△＝(﹣3)2﹣4×(﹣4)＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；C、△＝(﹣6)2﹣4×9＝0，此抛物线与x轴有1个交点，所以C选项错误；D、△＝42﹣4×2×5＜0，此抛物线与x轴没有交点，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数(△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点)．【变式训练】1．(2019秋•新昌县校级月考)二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有()A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，即可求解．【解析】解：△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，故二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴有两个交点，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查根的判别式，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点代表的意义．2．(2018秋•西湖区期末)一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点()A．(﹣3，0) B．(3，0) C．(﹣3，27) D．(3，27)【点拨】先把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得3b﹣c＝9，利用整体代入的方法计算出自变量为﹣3对应的函数值为27，从而可判断抛物线经过点(﹣3，27)．【解析】解：把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得9﹣3b+c＝0，则3b﹣c＝9，当x＝﹣3时，y＝2x2﹣bx﹣c＝18+3b﹣c＝18+9＝27，所以二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点(﹣3，27)．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．3．(2018秋•瑞安市期末)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为(1，0)，则点B的坐标是()A．(﹣2，0) B．(0，﹣2) C．(0，﹣3) D．(﹣3，0)【点拨】利用点B与点A关于直线x＝﹣1对称确定B点坐标．【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为(1，0)，∴点B的坐标是(﹣3，0)．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．知识点三二次函数与不等式(组)1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.【典例4】(2019秋•新昌县校级月考)已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是()A．＜x＜2 B．x＞2或x＜C．x＜﹣2或x＞D．﹣2＜x＜【点拨】联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，y1＜y2，此时直线在抛物线上方，即可求解．【解析】解：联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，∵y1＜y2，即直线在抛物线上方时，确定x的取值范围，此时，﹣2＜x，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组)，要求学生通过函数图象交点，比较函数值的大小，从而确定不等式的解值，而不是采取直接解不等式的方法求解．【变式训练】1．(2018秋•苍南县期中)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，则不等式ax2+bx+c＞2的解集为0＜x＜4．【点拨】直接利用二次函数图象利用A，B点坐标得出不等式ax2+bx+c＞2的解集．【解析】解：如图所示：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，∴不等式ax2+bx+c＞2的解集为：0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．2．(2018秋•下城区期末)已知函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过A(4，﹣4)．若y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．【点拨】先A点坐标代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，再求出m，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：把A(4，﹣4)代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，解得m＝﹣，∵﹣(m+1)＞0，∴二次函数图象的开口向上，∵函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，∴y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．故答案为x≤0或x≥4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．(2019秋•秀洲区期中)如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+3都经过点A、点B，且A(1，0)，(1)求m的值及点B的坐标；(2)求不等式x2+bx+3≥x+m的解集．(直接写出答案)【点拨】(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，同理解得：b＝﹣4，联立方程组即可求解；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【解析】解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，故直线的表达式为：y＝x﹣1…①；将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+3，解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…②，联立①②并解得：x＝1或4，故点B(4，3)；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．巩固训练1．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝ax2+bx+c如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则()A．k＞0 B．k＞﹣3 C．k＜﹣3 D．k＝0【点拨】结合函数图象，利用当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，从而可对各选项进行判断．【解析】解：抛物线y＝ax2+bx+c的顶点的纵坐标为﹣3，直线y＝﹣3与抛物线y＝ax2+bx+c＝0只有一个交点，当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，所以当k＞﹣3时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．(2019春•安吉县期中)如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是()A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5【点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为(2，4)，再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为(2，4)，当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，∴3＜t≤4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3．(2019•慈溪市模拟)已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，则b 的值为()A．4 B．2 C．6 D．9【点拨】根据抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，∴b＝a2+ma+n，b＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，∴a2+ma+n＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝()2+m×+m2＝4，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．4．(2019•杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y ＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【点拨】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解析】解：∵y＝(x+a)(x+b)，a≠b，∴函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，∵函数y＝(ax+1)(bx+1)＝abx2+(a+b)x+1，∴当ab≠0时，△＝(a+b)2﹣4ab＝(a﹣b)2＞0，函数y＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝(ax+1)(bx+1)＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．5．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，则不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3．【点拨】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解析】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+(b﹣1)x+c＜0．∴不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3，故答案为1＜x＜3．【点睛】主要考查二次函数与不等式(组)，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．6．(2019•拱墅区校级模拟)已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2，4)，B(8，2)(如图所示)则能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．【点拨】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解析】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：﹣2＜x＜8．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．7．(2019•柯城区校级一模)如图，已知直线y1＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．过A，B两点的抛物线y2＝ax2+bx+c交x轴于点C(﹣1，0)．(1)求A，B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)求出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．【点拨】(1)利用一次函数的解析式确定A、B的坐标；(2)利用待定系数法求抛物线解析式；(3)写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围．【解析】解：(1)当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B(0，2)；当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，则A(4，0)；(2)设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，把B(0，2)代入得a(0+1)(0﹣4)＝2，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣(x+1)(x﹣4)，即y＝﹣x2+x+2；(3)当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题和二次函数的性质．8．(2019春•西湖区校级月考)若二次函数y＝kx2+(3k+2)x+2k+2．(1)若抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求k的值；(2)求证：抛物线与x轴有交点．(3)经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．(4)若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内请比较y1，y的大小．【点拨】(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，即可求解；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，即可求解；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，即可求解；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【解析】解：(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，解得：k＝﹣2；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，故：抛物线与x轴有交点；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，则定点为：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．。
二次函数与不等式知识点总结
二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数和不等式都是非常重要的知识点。
二次函数是一种数学函数，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
不等式是数学中关系的一种表达方式，用于描述两个数或两个算式之间的大小关系。
本文将对二次函数与不等式的相关知识点进行总结。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
其中，a决定了二次函数的开口方向以及抛物线的开口程度，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b和c分别决定了函数图像在x轴和y轴上的平移。
2. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，在数轴上表示为(x,y)。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。
3. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点并垂直于x轴的一条直线，其方程为x=-b/(2a)。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
4. 二次函数的零点二次函数的零点是使函数值为0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
其中，判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根。
5. 不等式的基本性质不等式中的关系符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)以及不等于(≠)。
不等式的解是满足不等式的数值范围，可以是实数或整数。
6. 不等式的解集表示不等式的解集可以用区间表示，常见的有开区间、闭区间和半开半闭区间。
例如，表示不等式x>1的解集可以表示为(1, +∞)，表示不等式x≥-2的解集可以表示为[-2, +∞)。
7. 一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有二次项及其系数的一元不等式。
常用的解法包括关于不等式的变形、利用不等式的性质以及绘制函数图像等方法。
二次函数与不等式知识点总结
二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数与不等式是非常重要的知识点，它们不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也常常能帮助我们解决各种问题。
下面就来对二次函数与不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、二次函数的基本概念二次函数的一般形式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。
＄a$决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。
当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。
＄｜a|＄越大，开口越小。
＄b$和$a$一起决定了对称轴的位置，对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
＄c$是二次函数图象与$y$轴的交点纵坐标，即当$x ＝ 0$时，＄y ＝ c$。
二、二次函数的图象和性质1、图象二次函数的图象是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，有最低点；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，有最高点。
2、顶点坐标顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
3、增减性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。
当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。
三、二次函数的三种表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$，其中顶点坐标为$（h, k)＄3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄，其中$x_1$和$x_2$是二次函数与$x$轴交点的横坐标四、不等式的基本概念不等式是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）表示两个数或表达式之间关系的式子。
五、一元二次不等式形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$（或< 0、≥ 0、≤ 0）（＄a ＼neq 0$）的不等式称为一元二次不等式。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版附答案).docx
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅【例1】解下列不等式：（1）6x2＋5x＋1>0；（2）2x2＋7x＋3>0；（3）－2x2＋3x－2<0. （4）(x＋1)(x－7)≤2.【方法技巧】1. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．2. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．3. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】 解不等式： （1）x 2－4x －5≤0； （2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并．【针对训练】2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则x1＋x2,x1x2为何值？【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循： （1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】 解下列不等式： （1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.考点5：一元二次不等式的应用【例5】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围．【方法技巧】1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c >0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c <0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a<0Δ<0.3．f (x )≤a 恒成立⇔a ≥[f (x )]max ,f (x )≥a 恒成立⇔a ≤[f (x )]min .考点过关一、选择题A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠31x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3131x x C ．∅D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=31x x 2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0},B ＝{x |x ∈N *,x ≤5},则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}3．不等式1＋x1－x ≥0的解集为( )A ．{x |－1<x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1} 4．不等式（x －2）2（x －3）x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}5．若0<t <1,则不等式(x －t )⎪⎭⎫ ⎝⎛-t x 1<0的解集为( ) A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x t x 1 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>t x t x x 或1C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x t x x 或1 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x x 1t 6．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3,a <0,那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}7．不等式组⎩⎨⎧x －1>a2x －4<2a有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)8．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A ．⎩⎨⎧a>0Δ>0B ．⎩⎨⎧a>0Δ<0C ．⎩⎨⎧a<0Δ>0D ．⎩⎨⎧a<0Δ<09．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B ),若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)D ．(－1,2)二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．12．当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立,则m 的取值范围是________．13．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0},B ＝{x |x －a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为________．14．某地每年销售木材约20万m 3,每m 3价格为2 400元．为了减少木材消耗,决定按销售收入的t %征收木材税,这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t 的取值范围是________．15．不等式2x 2－x ＜4的解集为______． 三、解答题16．求下列不等式的解集： （1）x 2－5x ＋6>0； （2）－12x 2＋3x －5>0.17．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.18．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． （1）解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； （2）b 为何值时,ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?19．某地区上年度电价为0.8元/kw ·h ,年用电量为a kw ·h .本年度计划将电价降低到0.55元/kw ·h 至0.75元/kw ·h 之间,而用户期望电价为0.4元/kw ·h .经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.（1）写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；20．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集,且M中的一个元素是0,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅（1）6x 2＋5x ＋1>0； （2）2x 2＋7x ＋3>0； （3）－2x 2＋3x －2<0. （4）(x ＋1)(x －7)≤2.[解] (1)由6x 2＋5x ＋1>0,得(2x ＋1)(3x ＋1)>0, ∴x >－13或x <－12,∴不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, (2)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0,所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3,x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0,所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根,又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R. (4)由(x ＋1)(x －7)≤2,得x 2－6x －9≤0. 又x 2－6x －9＝(x －3)2－18, ∴原不等式化为(x －3)2－18≤0, ∴(x －3)2≤18, 即－32≤x －3≤32, 解得3－32≤x ≤3＋32,∴不等式的解集为[3－32,3＋32]． 【方法技巧】4. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．5. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．6. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】 解不等式： （1）x 2－4x －5≤0； （2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.[解]：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0,所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)原不等式可化为2292⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≤0,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=49x x (3)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,因为Δ＝(－6)2－40＝－4<0,所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根,又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上,所以原不等式的解集为∅.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a 是否分a ＝0,a <0,a >0三类进行讨论？②当a ≠0时,是否还要比较两根的大小？ [解] 当a ＝0时,原不等式可化为x >1. 当a ≠0时,原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0.当a <0时,不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0, ∵1a <1,∴x <1a或x >1. 当a >0时,原不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. 若1a <1,即a >1,则1a <x <1； 若1a ＝1,即a ＝1,则x ∈∅； 若1a >1,即0<a <1,则1<x <1a. 综上所述,当a <0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或；当a ＝0时,原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11；当a ＝1时,原不等式的解集为∅；当a >1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x .【方法技巧】解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并． 【针对训练】2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0, 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0,∴(x ＋1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2≤0. 当－2<a <0时,2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时,x ＝－1； 当a <－2时,－1≤x ≤2a .综上所述,当－2<a <0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12x a x ； 当a ＝－2时,解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤a x x 21-.考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ [提示] y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合,亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理,满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3},满足y ＝0时x 的取值集合,亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y ＝0时,函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程,当y >0或y <0时,就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？ [提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3},观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则x 1＋x 2,x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－ba x1x2＝ca即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3},求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．思路探究：由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于abc 的方程组→错误!→错误!→错误![解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,由根与系数的关系可知b a ＝－5,c a ＝6.由a <0知c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即x 2＋b cx ＋a c>0,即x 2－56x ＋16>0,解得x <13或x >12,所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ,c ＝6a ,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131x x <0,故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131, 【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知b a ＝－5,ca ＝6且a <0.∴c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2－bx ＋a >0,即x 2－b c x ＋a c <0,即x 2＋56x ＋16<0.解之得.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 知a ＜0.又31-×2＝c a＜0,则c ＞0. 又－13,2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,∴－b a ＝53,∴b a ＝－53.又c a ＝－23,∴b ＝－53a ,c ＝－23a , ∴不等式变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 32x 2＋⎪⎭⎫⎝⎛-a 35x ＋a ＜0, 即2ax 2＋5ax －3a ＞0. 又∵a ＜0,∴2x 2＋5x －3＜0,所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x 法二：由已知得a ＜0 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-31＋2＝－b a,⎪⎭⎫ ⎝⎛-31×2＝ca知c ＞0,设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1,x 2, 则x 1＋x 2＝－b c ,x 1·x 2＝a c ,其中a c ＝1⎝⎛⎭⎫－13×2＝－32,－b c ＝－b a c a ＝⎝⎛⎭⎫－13＋2⎝⎛⎭⎫－13×2＝1⎝⎛⎭⎫－13＋12＝－52,∴x 1＝1⎝⎛⎭⎫－13＝－3,x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x . 【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循： （1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】 解下列不等式： （1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.[解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3,∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1, ∴x ＋12x －3－1≤0, ∴－x ＋42x －3≤0, 即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-23x ≥0且x －32≠0,解得x <32或x ≥4,∴原不等式的解集为.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥<423x x x 或 【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.[解] (1)根据商的符号法则,不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧（x ＋1）（x －3）≥0x≠3.解这个不等式组,可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0,即2（x －1）x ＋1<0.可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0, 解得－1<x <1.所以,原不等式的解集为{x |－1<x <1}．考点5：一元二次不等式的应用【例5】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”,此时总收购量为m (1＋2x %)吨,“原计划的78%”即为2 400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )% ＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)．依题意,得y ≥2 400m ×8%×78%,即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%,整理,得x 2＋42x －88≤0,解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义,知0<x ≤8,所以x 的范围为(0,2]．【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x <600),则中间草坪的长为(800－2x )m ,宽为(600－2x )m .根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600,整理得x 2－700x ＋600×100≥0,即(x －600)(x －100)≥0,所以0<x ≤100或x ≥600,x ≥600不符合题意,舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？[提示] 若a ＝0,显然f (x )>0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0,此时只有二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时,才满足题意,则⎩⎨⎧a ＞0Δ＝4－8a<0解得a >12.2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？[提示] 要使f (x )<0在[－3,－1]上恒成立,则必使函数f (x )＝x 2－ax －3在[－3,－1]上的图象在x 轴的下方,由f (x )的图象可知,此时a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）<0f （－1）<0即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋6<0a －2<0 解得a <－2.故当a ∈(－∞,－2)时,有f (x )<0在x ∈[－3,－1]时恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？[提示] 由于本题中已知a 的取值范围求x ,所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数,求参数x 的取值问题,则令g (a )＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立,只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）<0g （－3）<0即⎩⎨⎧x2－2x ＋4<0x2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集,所以不存在实数x ,使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立． 【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解． [解] 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2,2]时的最小值为g (a ),则(1)当对称轴x ＝－a 2<－2,即a >4时,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,解得a ≤73,与a >4矛盾,不符合题意．(2)当－a 2∈[－2,2],即－4≤a ≤4时,g (a )＝3－a －a24≥0,解得－6≤a ≤2,此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2,即a <－4时,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,解得a ≥－7,此时－7≤a <－4.综上,a 的取值范围为－7≤a ≤2. 【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．[解] 若x ∈[－2,2],f (x )≥2恒成立可转化为：当x ∈[－2,2]时,f (x )min ≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2f （x ）min ＝f （－2）＝7－3a≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－a2≤2f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥2或⎩⎨⎧－a2>2f （x ）min ＝f （2）＝7＋a≥2 解得a 的取值范围为[－5,－2＋22]．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围． 知识改变命运。
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式
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初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式二次函数在数学中是非常重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。
在初中数学中，学生们需要学习二次函数的应用和方程与不等式。
下面是初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)的内容。
一、二次函数的应用1.抛物线运动问题：抛物线运动是指在给定的初速度和重力加速度下，物体受到重力的作用而做抛物线运动。
学生们需要通过二次函数的知识，求解抛物线运动问题中的相关参数，如最高点、飞行时间和落地点等。
2.最值问题：通过二次函数的图像，可以求解最值问题。
学生们需要通过自定义条件，建立二次函数模型，求解二次函数的最值。
3.平方差问题：通过二次函数的知识，可以求解平方差问题。
学生们需要通过二次函数的知识，求出平方差的最小值。
二、二次函数的方程与不等式1.二次函数的解法：对于二次函数的方程，学生们需要掌握二次函数的解法。
通过配方法、因式分解法和根与系数的关系等方法，求解二次函数的方程。
2.二次函数的不等式：对于二次函数的不等式，学生们需要通过图像的性质，求解二次函数的不等式。
通过求解二次函数的图像与坐标轴的交点，求解二次函数的不等式。
3.二次函数的应用问题的解法：对于二次函数的应用问题，学生们需要掌握二次函数的方程与不等式的解法。
通过建立方程或不等式，求解二次函数应用问题中的未知数。
三、解题技巧与误区1.解题技巧：学生们在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，应注意抓住题目的关键信息，建立正确的模型，严格按照问题的要求进行求解。
2.误区：在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，学生们可能会出现以下误区：-不理解题目的意思，导致建立错误的模型；-忽略二次函数的性质，导致求解出错；-求解过程中计算错误，导致答案错误。
四、典型例题1.例题一：设二次函数f(x)的图像经过点(1,2)，其顶点是(-1,3)，求该二次函数的解析式。
要求：写出二次函数的标准方程和一般方程。
初中数学竞赛——二次函数与不等式
初中数学竞赛——二次函数与不等式(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第8讲 二次函数与不等式典型例题一. 一元二次不等式【例1】 解不等式：（1）24210x x +-≥；（2）2310<x x --.【例2】 解不等式：51(2)24>x x x ---【例3】 解关于x 的不等式：2256>x ax a +.【例4】 若一元二次不等式20>ax bx c ++的解时13<<x ，求不等式20<cx bx a ++的解.【例5】 不等式2(1)0>ax ab x b +++的解是12<<x ，求a ，b 的值.【例6】 a 为何值时，只有一个x 值满足不等式：2054<x ax ++≤.【例7】 解关于x 的不等式：2(1)10<ax a x -++.【例8】 若不等式2(2)2(2)40<a x a x -+--对一切x ∈成立，求a 的取值范围.【例9】 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥无解，求m 的取值范围.【例10】 已知不等式组22021<>x x a a x a ⎧-+-⎪⎨+⎪⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围.二. 高次不等式和分式不等式【例11】 解不等式：22(45)(2)0<x x x x --+-.【例12】 解不等式：32326>x x x ++.【例13】 解不等式：23(2)(1)(1)(2)0<x x x x +-+-.【例14】 解不等式：302>x x --.【例15】解不等式：223223<x xx x-+--.【例16】解不等式：22911721x xx x-+-+≥.【例17】解不等式：1 >xx.【例18】解不等式：23(1)(2)0 (3)(5)x x xx x+---≤.【例19】 解不等式：232(2)(1)01>x x x x -⋅+++.【例20】 k 为何值时，下式恒成立：22221463<x kx k x x ++++三. 含绝对值的不等式【例21】 解下列不等式：（1）4237x -≤≤；（2）214>x x ++；（3）2124>x x ++-.【例22】 （1）对任意实数x ，12>x x a ++-恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x ，13<x x a --+恒成立，求a 的取值范围.【例23】 求不等式31425>x x ++的解集.【例24】 解不等式：2232>x x --.【例25】 解不等式：2231243>x x x x --+-.【例26】 解不等式：2560>x x -+.【例27】 解不等式：22331>x x x ---.作业1. 解不等式：（1）2280x x +-≥；（2）2370<x x --.2. 解不等式：22<<x x x --．3. 已知不等式20>ax bx c ++的解集为{|24}<<x x ，求不等式20<cx bx a ++的解集.4. 解不等式：22(43)(2)0<x x x x -++-.5. 解关于x 的不等式：2242>x ax a -.6. 解不等式：2560>x x --.7. 解不等式：211<x x x -++.8. 若一元二次不等式20>ax bx c ++的解时23<<x -，求不等式20<cx bx a ++的解.9. 解下列不等式：（1）2256<x -≤；（2）124>x x ++；（3）2125>x x -+-.10. 解不等式：22151120232<x x x x -+-++.11. 若不等式240<x kx -+-的解集为，求实数k 的取值范围.12. 若关于m 的不等式22(41)210mx m x m -++-≥无解，求m 的取值范围.13. 关于x 的不等式2(1)2(1)3(1)0<m x m x m +--+-的解释一切实数，求实数m 的取值范围.14. 已知不等式2364>ax x -+的解集为1<x 或>x b .（1）求a 、b ；（2）解不等式0>x c ax b--（c 为常数）.。
初中数学一次方程、二次函数与不等式知识
初中数学一次方程、二次函数与不等式知识（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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与二次函数有关不等式的问题
与二次函数有关的不等式问题例析解证与二次函数有关的不等式问题，可以从二次函数的两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及与二次函数有关的一些不等式证明的综合问题.1。
二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f ,∴ ()()()1312-+=f f f .又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .例2 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,. 解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. ∴ 当01≤≤-x 时，()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x xx x x x f xx f x x f x f当10-≤≤x 时，()()()()222102121x f xx f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤222122x xx x x -+-++≤)1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x综上，问题获证.2。
中考数学总复习冲刺——二次函数与方程不等式(共36张PPT)
03
函数与不等式
1. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m,c)，则点 A的坐标是________．
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0， C．a＜0， ＞0 ＞0 B．a＞0， D．a＜0， ＜0 ＜0
4. m为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴没有交点?
5.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为
.
6.已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0＜x1＜1,1＜x2＜2，求k的取值范围
7. 对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．
标，反之也成立.因此可以利用这一特性解决方程与函数的问题.
y (k 2) x2 7 x (k 5)
6. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( A．没有实根
)
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负 D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
二次函数与方程不等式
01
函数与方程
2 1.对于二次函数 y ax2 bx c a 0 ，当x=0时y=c，所以二次函数 y ax bx c a 0 与y轴交点坐标为（0，c）；
2.当二次函数与x轴相交时，y=0，此时函数可以看做是一元二次方程，方程的根就是函数与x轴的交点横坐
02
函数与判别式
二次函数图像与系数a、b、c关系 系数的符号 a的符号
初中数学知识点二次函数的方程与不等式
初中数学知识点二次函数的方程与不等式初中数学知识点：二次函数的方程与不等式二次函数在初中数学中是一个重要的知识点，它在数学中的应用非常广泛。
本文将介绍二次函数的方程与不等式，让我们一起来深入了解这个知识点。
一、二次函数的方程二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
为了求解二次函数的方程，我们需要先将其转化为标准形式。
标准形式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
求解二次函数的方程的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，解出方程的根；4. 根据所求得的根，画出函数的图像。
举个例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，我们按照上述步骤来求解方程：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，方程的根为x = -1；4. 根据所求得的根，我们可以在坐标系中以(-1, 0)为顶点画出函数的图像。
二、二次函数的不等式求解二次函数的不等式时，我们需要先将其转化为标准形式，然后利用图像的特征来解决问题。
解决二次函数的不等式的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，确定函数的凹凸性；4. 根据图像的凹凸性和所给条件，判断不等式的解集。
继续上面的例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，并求解不等式f(x) > 0：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，函数是开口向上的，也就是凹函数；4. 根据图像的凹性和不等式f(x) > 0，我们可以判断当x < -1或x > -1时，不等式成立。
中学数学竞赛讲义——不等式不等式
中学数学竞赛讲义——不等式 一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd; （7）a>b>0, n ∈N+⇒an>bn; （8）a>b>0, n ∈N+⇒n nb a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a2+b2≥2ab;（12）x, y, z ∈R+，则x+y≥2xy , x+y+z .33xyz ≥前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nnb a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以nnb a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc ，即x+y+z≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
2023年中考数学频考点突破--二次函数与不等式(含解析)
2023年中考数学频考点突破--二次函数与不等式1．已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m，n的值．（2）如图，一次函数y2=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．2．如图，函数y=2x的图象与函数y=ax2−3(a≠0)的图象相交于点P(3,k)，Q两点.（1）a=，k=；（2）当x在什么范围内取值时，2x>ax2−3；（3）解关于x的不等式：|ax2−3|>1.3．定义：对于给定函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y={ax2+bx+c,(x≥0)ax2−bx−c,(x<0)为函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G.（1）已知函数y=−x2+2x−1.①写出这个函数的“相依函数”；②当−1≤x≤1时，此相依函数的最大值为；（2）若直线y=m与函数y=−x2+2x−1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；（3）设函数y=−12x2+nx+1(n>0)的相依函数的图象G在−4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当32≤y≤9时，求出n的取值范围.4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是−1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y=−x+3与抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)存在两个交点，设左侧的交点为点P(x1,y1)，当−2≤x1<−1时，求a的取值范围．5．如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围.6．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．7．某商场出售一款速干毛巾，其成本为20元/条，销售中发现，该商品每天的销售量y（条）与销售单价x（元/条）之间存在如图所示的关系。
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16--- 二次函数与不等式(组)(提高篇)
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16 二次函数与不等式（组）（提高篇）1．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，①试求此时k的值；②若y1＞y2，试求x的取值范围．【分析】（1）证明△＝b2﹣4ac≥0，便可得结论；（2）①函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解；②分k＝1和k=−15两种情况，依据y1＞y2列出关于x的不等式，解之可得．【解答】解：（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2=−2k−1k，x1x2=−2k，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(2k+1)2k2，∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，∴|x1﹣x2|＝3，∴(2k+1)2k2=32，解得，k＝1或k=−1 5；②当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2∵y1＞y2，∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞2；当k=−15时，∵y1＞y2，∴−15（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，解得：﹣10＜x＜﹣2．【点评】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．已知二次函数y1=−12x2+bx+c（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；（3）若k+b＝3，当x≥2时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1＝0，即可求解；（2）由平移的性质即可求解；（3）两个函数交点的横坐标为2或2b﹣2k，当x≥2时，y1＜y2恒成立，即：2b﹣2k≥2，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1=−12x2+bx+c＝﹣2+4+c＝0，解得：c＝﹣2，故b＝2，c＝﹣2；（2）由题意得：a=−12，则y=−12（x+2）2+2c+1=−12x2﹣2x+2c﹣1=−12x2+bx+c，故2c﹣1＝c，解得：c＝1，故抛物线的表达式为：y=−12x2﹣2x+1；（3）联立两个函数的表达式并整理得：x2＝2b﹣2kx，解得：x＝0或2b﹣2k，又∵k+b＝3，故两个函数的交点的横坐标为0或6﹣4k，当6﹣4k≤0时，即k≥1.5时，恒有y1＜y2；当0＜k＜1.5时，6﹣4k≤2，即1≤k＜1.5；当k＜0时，6﹣4k≤2，解得k≥1，故无解；当k＝1时，b＝2，当x＝2时，有y1＝y2，综上，k＞1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．3．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x 轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．（1）a＝1，c＝﹣1，k＝1（直接写出结果）；（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2（直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP 的最大面积及点P坐标．【分析】（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1求得k值；再令y2＝0，可求得点A的坐标；将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c，解方程组可求得a和c的值；（2）由A（﹣1，0）、B（2，3），结合函数图象可得答案；（3）如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b，则该直线与抛物线在第四象限相切时，△ABP的面积最大，由一元二次方程的根的判别式可求得b值，从而可得点P坐标及y3＝x+b 的解析式，从y3＝x+b与x轴的交点C向直线y2＝kx+1作垂线段CD，在等腰直角三角形△ACD 中，可求得CD的长；求得AB的长，利用三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：3＝2k+1解得：k＝1∴y2＝x+1令y2＝0得：0＝x+1解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：{0=a+c3=4a+c解得：a＝1，c＝﹣1故答案为：1，﹣1，1；（2）∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴结合图象可得：当y 1＜y 2时，则x 的取值范围为﹣1＜x ＜2故答案为：﹣1＜x ＜2；（3）在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大．如图，设平行于直线y 2＝x +1的直线解析式为：y 3＝x +b由{y 2=x 2−1y 3=x +b得：x 2﹣1＝x +b ∴x 2﹣x ﹣1﹣b ＝0令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b ）＝0解得：b =−54∴y 3＝x −54，∴x 2﹣x ﹣1+54=0解得：x 1＝x 2=12∴P （12，−34） ∴当点P 坐标为（12，−34）时，△ABP 的面积最大 设y 3＝x −54与x 轴交于点C ，则点C 坐标为：（54，0），过点C 作CD ⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD 的长度即为△ABP 的高的长度∵y 2＝x +1与x 轴所成锐角为45°∴△ACD 为等腰直角三角形∵AC =54−（﹣1）=94∴CD =√2=94√2=9√28 ∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴AB =√(2+1)2+32=3√2∴△ABP 的面积为：12×3√2×9√28=278∴在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；△ABP 的最大面积为278；点P坐标为（12，−34）．【点评】本题考查了求一次函数、二次函数的解析式中的相关字母、构成的三角形的面积最大值的动点的存在性、二次函数与不等式的关系、抛物线与直线的交点个数与一元二次方程的实数根的关系等知识点，具有一定的综合性与难度．4．已知在同一平面直角坐标系中有函数y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，其中ab ≠0．（1）求证：函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点为M ，若点M 关于y 轴的对称点M '在函数y 1图象上，求a ，b 满足的关系式；（3）当﹣1＜x ＜1时，比较y 1与y 2的大小．【分析】（1）将函数y 1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y 2的解析式中，即可证得结论；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），根据图象上点的坐标特征得出{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）两函数解析式做差，即可得出y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1），根据x 的取值范围可得出x （x ﹣1）的符号，分a ＞0或a ＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ＝a （x ﹣1）2﹣a +b ，∴函数y 1的顶点为（1，﹣a +b ），把x ＝1代入y 2＝﹣ax +b 得，y ＝﹣a +b ，∴函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），由题意可知{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，∴y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1）．∵﹣1＜x ＜1，∴当﹣1＜x ＜0，x （x ﹣1）＞0．当0＜x ＜1，x （x ﹣1）＜0，当x ＝0，x （x ﹣1）＝0， ∴y 1＝y 2；当a ＞0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2；当a ＞0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．5．已知抛物线C ：y 1＝﹣x 2+bx +4．（1）如图，抛物线与x 轴相交于两点（1﹣m ，0）、（1+m ，0）．①求b 的值；②当n ≤x ≤n +1时，二次函数有最大值为3，求n 的值．（2）已知直线l ：y 2＝2x ﹣b +9，当x ≥0时，y 1≤y 2恒成立，求b 的取值范围．【分析】（1）﹣x2+bx+4＝0，x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）分n+1≤1即n≤0、n≤1≤n+1即0≤n≤1、iii：n≥1三种情况，分别求解即可；（3）①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0；②：△＞0，则b＞4或b＜﹣4，即可求解．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，n=±√2，又∵n≤0，∴n=−√2，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，解得n＝1±√2，又∵n≥1，∴n=1+√2，综上所述：n=−√2或n=1+√2；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：−2−b2＞0，不成立，ii：{−2−b2≤05−b≥0，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．6．如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标（1，4）；（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围x＜﹣1或x＞3；（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围0＜x＜3；（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式y＝x2+2x+1．【分析】（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；（2）由图象即可得到结论；（3）由图象即可得到结论；（4）当根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），抛物线过点C（0，3），∴3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x+2x+3，∴顶点D（1，4）；（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∵抛物线向下平移2个单位，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝﹣x2+2x+1．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法取函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．7．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x＜12．【分析】（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2，联立①②并解得：x=12，即可求解．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x=1 2，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜1 2；故答案为：x＜1 2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．8．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+P A的值最小时，求P的坐标；（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而得到关于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．根据抛物线解析式求出B（0，12），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论；（3）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝42+4m＞0．解得：m＞﹣4．（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．把（6，0）代入y ＝﹣x 2+4x +m ，得﹣62+4×6+m ＝0．解得m ＝12．故该抛物线解析式是y ＝﹣x 2+4x +12当x ＝0时，y ＝12，则B （0，12）．设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，∵A （6，0），B （0，12），∴{6m +n =0n =12，解得∴{m =−2n =12， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +12，∵y ＝﹣x 2+4x +12＝﹣（x ﹣2）2+16，∴对称轴是直线x ＝2．把x ＝2代入y ＝﹣2x +12得，y ＝﹣4+12＝8，∴P （2，8）；（3）∵A （6，0），B （0，12），使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞6．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数与不等式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题等知识，利用数形结合是解题的关键．9．如图，一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x 取何值时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）点P 是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P ，使△ABP 面积最大，若存在，求出此时点P 坐标以及△ABP 面积，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出一次函数y ＝﹣2x +6与y 轴、x 轴交点A 、B 的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）观察图象直接得到答案；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，先利用图象上点的特征表示出P 、Q 两点的坐标，再求出PQ 的长，进而表示出△ABP 的面积，利用顶点坐标求最值．【解答】解：∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，∴A （0，6），B （3，0），∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点，∴{c =6−9+3b +c =0， 解得：{b =1c =6， ∴二次函数的解析式的解析式为：y ＝﹣x 2+x +6；（2）当y ＝0时，﹣x 2+x +6＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝3，∴抛物线与x 轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），当﹣2＜x ＜0或x ＞3时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ，但只有当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0，当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，由点P在y＝﹣x2+x+6的图象上，可设P（m，﹣m2+m+6）（0＜m＜3），则Q（m，﹣2m+6），则PQ＝﹣m2+m+6+2m﹣6＝﹣m2+3m，∴S△ABP=12OB×PQ=12×3×（﹣m2+3m）=−32（m−32）2+278，∵﹣2＜0，∴当m=32时，即P点坐标为（32，214）时，S△ABP取得最大值，最大值为278．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．10．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3与一次函数y＝x﹣1的图象交于点A及点B，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）根据图象，直接写出满足x﹣1≥x2﹣4x+3的x的取值范围；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得P A+PC最小，求点P坐标及P A+PC的最小值．【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；（2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集；（3）根据点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，于是得到直线AB 与对称轴的交点即为点P ，P A +PC 最小值＝AB ，根据勾股定理得到AB ，把x ＝2代入y ＝x ﹣1即可得到结论．【解答】解：（1）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，得y ＝3，∴C （0，3），解{y =x 2−4x +3y =x −1得，{x =1y =0，{x =4y =3， ∴A （1，0），B （4，3）；（2）由图象可知，满足kx +b ≥x 2﹣4x +m 的x 的取值范围为：1≤x ≤4；（3）存在，∵点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，则P A +PC 最小值＝AB ，∴AB =√(4−1)2+(3)2=3√2，把x ＝2代入y ＝x ﹣1得，y ＝1，∴P （2，1），P A +PC 最小值＝3√2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，难点在于求出点B 的坐标．11．直线y 1＝x +m 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于P 、Q （2，3）两点，其中P 在x 轴上，Q （2，3）是抛物线y 2的顶点．（1）求y 1与y 2的函数解析式；（2）求函数值y 1＜y 2时x 的取值范围．【分析】（1）先求出Q 点的坐标，再求出直线的解析式，再把Q 、P 的坐标代入二次函数的解析式求出a 的值即可；（2）根据函数的性质和交点坐标得出即可．【解答】解：（1）把点Q（2，3）代入y＝x+m，∴3＝2+m，∴m＝1，∴y1＝x+1，∴令y＝0，x+1＝0，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，0），∴顶点为（2，3），∴设抛物线y＝a（x﹣2）2+3，把P（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣2）2+3，解得：a=−1 3，∴y2=−13(x−3)2+3，即y=−13x2+43x+53；（2）∵直线y1＝x+1与抛物线y2=−13（x﹣3）2+3交于P（﹣1，0）、Q（2，3）两点，∴函数值y1＜y2时x的取值范围是﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一次函数和二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键．12．已知抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，（−14＜m≤2）．直线l：y＝（k+1）x﹣3m+4．（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣4，求该抛物线的顶点坐标．（2）证明：该抛物线与直线l必有两个交点．（3）若该抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立；当k﹣2≤x≤k时，该二次函数的最小值为﹣2k+1．求直线l的解析式．【分析】（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，即可求解；（2）将y＝（k+1）x﹣3m+4代入y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，△＝[﹣（k+3m）]2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，即可求解；（3）分k＜1、1≤k≤3、k＞3三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，解得：m=4 3，∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2−3x−4=(x−32)2−254，∴该抛物线的顶点坐标为（32，−254）．（2）联立y＝（k+1）x﹣3m+4和y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m并整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，∵△＝[﹣（k+3m）] 2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，∴该抛物线与直线l必有两个交点．（3）∵由抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立，∴抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m的最小值为﹣4，∵y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m=(x+1−3m2)2−3m−(1−3m2)2=(x+1−3m2)2−9m2+6m+14，∴−9m2+6m+14=−4，整理得3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1或m=−53（−53＜−14，舍去），∴当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，①当k＜1时，函数值y随x的增大而减小，∴当x＝k时，y min＝k2﹣2k﹣3，∴k2﹣2k﹣3＝﹣2k+1，解得k＝﹣2或k＝2（舍去），∴直线l的解析式为y＝﹣x+1；②当k﹣2≤1≤k时，即1≤k≤3，当x＝1时，y min＝﹣4＝﹣2k+1，解得k=5 2，∴直线l的解析式为y=72x+1；③当k﹣2＞1时，函数值y随x的增大而增大，∴当x＝k﹣2时，y min＝（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3，∴（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3＝﹣2k+1，解得k1＝k2＝2（舍去），综上，直线l的解析式为y＝﹣x+1或y=72x+1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解集．13．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B 的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；（2）根据函数图象点A 以及点A 右边的部分，点B 以及点B 左边的部分的自变量x 的取值范围即为不等式的解集．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝（x +2）2+m 经过点A （﹣1，0），∴0＝1+m ，∴m ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝（x +2）2﹣1＝x 2+4x +3，∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x ＝﹣2，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标（﹣4，3），∵y ＝kx +b 经过点A 、B ，∴{−k +b =0−4k +b =3， 解得{k =−1b =−1， ∴一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；（2）由图象可知，满足（x +2）2+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，难点在于求出点B 的坐标．14．如图，一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的二根x 1，x 2（x 1＜x 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）写出不等式ax 2+bx +c ≥0的解集；（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【分析】（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；（2）根据B、C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴，根据A、C两点坐标可求出直线AC的解析式，再联立两个方程即可求出Q点的坐标；（3）根据两点之间线段最短，当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A点关于x轴的对称点进而求得M点的坐标．【解答】解：（1）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）为：x1＝﹣3，x2＝1．∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0）．设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵抛物线过点A（3，6）．∴6＝a（3+3）（3﹣1），解得a=1 2．∴二次函数的解析式为y=12（x+3）（x﹣1）=12x2+x−32．（2）根据图象可知：不等式ax2+bx+c≥0的解集为：x≤﹣3或x≥1；（3）由y=12x2+x−32．∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴方程为x＝﹣1．设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（3，6），C（﹣3，0），代入解得：k＝1，b＝3，直线AC解析式为y＝x+3．将x＝﹣1代入，得y＝2．∴Q（﹣1，2）．（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），连接A′Q，A′Q与x轴交于点M即为所求的点．设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入解得：k＝﹣2，b＝0．∴直线A′C的解析式为y＝﹣2x．令x＝0，则y＝0．∴M（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是综合运用二次函数相关知识．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）把A点、C点和D点坐标代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（2）连接OM，如图，先把（1）中解析式配成顶点式得到M（2，9），再利用对称性得到B（5，0），然后利用S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC进行计算；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴{a−b+c=0c=5a+b+c=8解方程组得{a=−1b=4c=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）连接OM，如图，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B（5，0），∴S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC=12×5×2+12×5×9−12×5×5＝15；（3）x＜0或x＞2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了待定系数法求抛物线解析式．16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）设二次函数y＝﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）把A坐标代入二次函数解析式求出c的值，确定出二次函数解析式，把B坐标代入求出n 的值，把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值即可；（2）根据函数图象，确定出所求x 的范围即可；（3）连接AC ，BC ，设直线AB 与y 轴交于点D ，三角形ABC 面积等于三角形ACD 面积+三角形BCD 面积，求出即可．【解答】解：（1）把A （﹣1，2）代入y ＝﹣x 2+c 得：﹣1+c ＝2，解得：c ＝3，∴y ＝﹣x 2+3，把B （2，n ）代入y ＝﹣x 2+3得：n ＝﹣1，∴B （2，﹣1），把A （﹣1，2）、B （2，﹣1）分别代入y ＝kx +b 得{−k +b =22k +b =−1， 解得：{k =−1b =1， ∴y ＝﹣x +1；（2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是﹣1＜x ＜2；（3）连接AC 、BC ，设直线AB 交y 轴于点D ，把x ＝0代入y ＝﹣x 2+3得：y ＝3，∴C （0，3），把x ＝0代入y ＝﹣x +1得：y ＝1，∴D（0，1），∴CD＝3﹣1＝2，则S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12×2×1+12×2×2＝1+2＝3．【点评】此题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．如图，抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y2＝kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求a的值；（2）求直线AB对应的函数解析式；（3）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4a2﹣4a＝0，然后解方程和根据二次函数的定义可确定a 的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式得到A（﹣1，0），则把A点坐标代入y＝kx+b中得b＝k，所以一次函数解析式为可表示为y＝kx+k，则C（0，k），利用线段中点坐标公式得到B（1，2k），然后把B（1，2k）代入y＝x2+2x+1求出k即可得到直线AB的解析式；（3）利用函数图象，写出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，∴△＝4a 2﹣4a ＝0，而a ≠0，∴a ＝1；（2）抛物线的解析式为y ＝x 2+2x +1＝（x +1）2，∴A （﹣1，0），把A （﹣1，0）代入y ＝kx +b 得﹣k +b ＝0，解得b ＝k ，∴一次函数解析式为y ＝kx +k ，当x ＝0时，y ＝kx +k ＝k ，则C （0，k ），∵点C 是线段AB 的中点，∴B （1，2k ），把B （1，2k ）代入y ＝x 2+2x +1得2k ＝1+2+1，解得k ＝2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；（3）当x ≤﹣1或x ≥1时，y 1≥y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质．18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C 1：y =32x 2+6x +2的顶点为M ，与y 轴相交于点N ，先将抛物线C 1沿x 轴翻折，再向右平移p 个单位长度后得到抛物线C 2：直线l ：y ＝kx +b 经过M ，N 两点．（1）结合图象，直接写出不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集； （2）若抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，求p 的值及抛物线C 2的解析式．【分析】（1）令抛物线C 1的解析式中x ＝0，求出y 值即可得出点N 的坐标，再利用配方法将抛物线C 1的解析式配方，即可得出顶点M 的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；（2）找出点M 关于x 轴对称的对称点的坐标，找出点M 关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p 的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C 2的解析式；【解答】解：（1）令y =32x 2+6x +2中x ＝0，则y ＝2，∴N （0，2）；∵y =32x 2+6x +2=32（x +2）2﹣4，∴M （﹣2，﹣4）．观察函数图象，发现：当﹣2＜x ＜0时，抛物线C 1在直线l 的下方，∴不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集为﹣2＜x ＜0． （2）∵y =32x 2+6x +2抛物线C 1：的顶点为M （﹣2，﹣4），沿x 轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．∵抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，∴抛物线C 2的顶点坐标为（2，4），∴p ＝2﹣（﹣2）＝4．∵抛物线C 2与C 1开口大小相同，开口方向相反，∴抛物线C 2的解析式为y =−32（x ﹣2）2+4=−32x 2+6x ﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及根的判别式，解题的关键是：（1）求出M 、N 点的坐标；（2）根据点M 找出抛物线C 2的顶点坐标；19．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0），且对一切实数x ，都有2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2成立．（1）当x ＝2时，求y 的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x ＝t +m 时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 1，当x =t 2时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 2，若对一切﹣1≤t ≤1，都有y 1＜y 2，求实数m 的取值范围．【分析】（1）可令x ＝2，可得4≤4a +2b +c ≤4，即有4a +2b +c ＝4；（2）通过图象过一点点（﹣2，0）得到4a ﹣2b +c ＝0，由x ＝2得4a +2b +c ＝4，再将b 、c 都有a 表示．不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立可转化成两个一元二次不等式即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立，即可解得a =14； （3）当﹣1≤t ≤1时，y 1﹣y 2＜0，可得3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0 恒成立．设W ＝3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ，则{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，由此求得t 的范围． 【解答】解：（1）解：∵不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立，∴当x ＝2时也成立，即4≤4a +2b +c ≤4，即有y ＝4；（2）根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0）， 可得4a ﹣2b +c ＝0 ①，又f （2）＝4，即4a +2b +c ＝4 ②．由①②求得 b ＝1，4a +c ＝2，∴y ＝ax 2+x +2﹣4a ，∴2x ≤ax 2+x +2﹣4a ≤12x 2+2，即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立， ∴{ a ＞0△1=1−4a(2−4a)⩽0a −12＜0△2=1−4(a −12)⋅(−4a)⩽0， 解得：a =14，∴c ＝2﹣4a ＝1，二次函数的表达式为y =14x 2+x +1．（3）∵当﹣1≤t ≤1时，y 1＜y 2，即：y 1﹣y 2＜0，即[14(t +m)2+(t +m)+1]−[14（t 2）2+t 2+1]＜0． 整理得：3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0，∵当t ＝1或﹣1时均成立，∴{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，整理得：{4m 2+24m +11＜04m 2+8m −5＜0解得：{−112＜m ＜−12−52＜m ＜12，∴−52＜m＜−12【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．20．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．（1）求出二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出y2＞y1时，﹣2＜x＜1；（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，依据S△ABP＝S△APQ+S△BPQ进行计算即可．【解答】解：（1）如图1，把A（﹣2，0）代入y1═ax2+2x中得：4a+2×（﹣2）＝0，a＝1，∴二次函数的解析式y1═x2+2x，当x＝1时，y1＝1+2＝3，∴B（1，3），把A（﹣2，0）、B（1，3）代入y2＝kx+b中得：{−2k +b =0k +b =3， 解得：{k =1b =2， ∴一次函数的解析式：y 2＝x +2；（2）由图象得：当﹣2＜x ＜1时，y 2＞y 1；（3）过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，y 1═x 2+2x ，令x ＝﹣1，则y ＝﹣1，即P （﹣1，﹣1），y 2＝x +2，令x ＝﹣1，则y ＝1，即Q （﹣1，1），∴PQ ＝2，∴S △ABP ＝S △APQ +S △BPQ =12×2×（1+2）＝3．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；采用数形结合的方式是解决第2小题的关键，第3问中需要运用割补法计算三角形的面积．。
二次函数---二次函数与不等式
22.2（2）---二次函数与不等式一．【知识要点】1.利用二次函数的图象解决不等式的有关问题，首先直接画出函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象，不等式2ax bx c 0++＞的解集为图象在x 轴上方的点所对应的x 值所组成的集合，不等式2ax bx c 0++＜的解集为图象在x 轴下方的点所对应的x 值所组成的集合. 二．【经典例题】1.已知关于x 的一元二次方程()02122=+-+-k x k x 有两个实数根21,x x ，且满足21,1021<<<<x x ，则k 的取值范围是 .2.二次函数y ＝x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是 ．3．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 … y…﹣1﹣﹣2﹣…根据表格中的信息，完成下列各题 （1）当x ＝3时，y ＝ ；（2）当x ＝ 时，y 有最 值为 ；（3）若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，试比较两函数值的大小：y 1 y 2（4）若自变量x 的取值范围是0≤x ≤5，则函数值y 的取值范围是 ．下列结论：（1）ac ＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小．（3）3是方程ax 2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的个数为（ ） A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个三．【题库】 【A 】1．已知抛物线y=x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜4 B ．﹣1＜x ＜3 C ．x ＜﹣1或x ＞4 D ．x ＜﹣1或x ＞32．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x ＝﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ＜﹣4或x ＞2 B ．﹣4≤x ≤2C ．x ≤﹣4或x ≥2D ．﹣4＜x ＜2【B 】1．已知抛物线y=x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜4 B ．﹣1＜x ＜3 C ．x ＜﹣1或x ＞4 D ．x ＜﹣1或x ＞32.（2020年绵阳期末第21题）(本题满分12分)已知二次函数 3221--=x x y ，一次函数12-=x y(1)在同一坐标系中，画出这两个函数的图象； (2)根据图形，求满足21y y >的x 的取值范围.【C】1．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3B．x≤﹣1C．x≥1D．x≤﹣1或x≥32．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是．x…﹣10123…y…105212…【D】1.下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2+2mx的图象的对称轴相同；②该函数的图象与x轴有交点时，m＞1；③该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上；④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上．若x1＜x2，x1+x2＜2m，则y1＜y2．其中正确的结论是（填写序号）．2．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜﹣或a≥1．其中正确的结论是_________。
(word完整版)初中数学二次函数与不等式
二次函数与不等式班级 _____________ 姓名 _______________________1、 二次函数y x 2 x 2的图象如图，则不 式x 2 x集x 的范围是 _______________ ;2、 函数y ax 2 bx c 的图象如图，那么：（1） _______________________________________ 方程ax 2 bx c =2的根是 _____________________________ ；（2）不等式ax 2 bx c >2的解集是 __________________（3）不等式ax 2 bx c <2的解集是 __________________5、已知关于x 的不等式组x a 3无解，则二次函数x 15 5ay a 2 x 2 x 1的图象与x 轴（） 4 A.没有交点B 相交两点C 相交一点 6如图一次函数kx n 与二次函数y 2 ax 2 bx c 的 图象相交于A （-1，5），B （9, 2）两点，则关于x 的不等式kx+n>a x 2 bx c 的解集是（） A. -1 強电B.-1 強<9 3、已知关于x 的一兀二次方程x 2 mx n0的两根分 别为x i =a,x 2=b （a<b ）,则二次函数ymx n 中,当y<0时,x 的取值范围是（ A. x<a B.x>b C.a<x<bD.x<a 或 x>b 4、若二次函数y i ax 2 bx c 与一次函数y 2 kx的图象如图，当y i <y 2时，关于x 的取值范围可能 是下列（ ） x 1 x 1 x 1 B. C. D. x 1 x 1x 1 ) 7、若一兀二次方程 x 2 2x k 0无实数根，则二次函数y D.相交一点或没有交点 x 2 （k 1） k 的图象最低B. -1 <x毛 D.x <-1 或x 为点在第______________ 象限.8、如图二次函数y x2 2x 4的图象，则使y<1成立的x的取值范围是____________ ；9、如图是二次函数y ax2 bx c的部分图象，由图象可知不等式ax2 bx c<0的解集是__________10、如图，抛物线y x2 2x 3与坐标轴分别交于A、B、C, 一次函数的图象与二次函数的图象交于B、C两点，求：（1）一次函数的解析式；（2）当自变时为何值时，两个函数值都随x的增大而增大？（3）当自变量X为何值时，一次函数值大于二次函数值；（4）当自变量x为何值时，两个函数值的积小于0？。
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第8讲 二次函数与不等式
典型例题
一. 一元二次不等式
【例1】 解不等式：
（1）24210x x +-≥；
（2）2310<x x --.
`
【例2】 解不等式：51(2)24
>x x x -
--
!
【例3】 解关于x 的不等式：2256>x ax a +.
~
【例4】 若一元二次不等式20>ax bx c ++的解时13<<x ，求不等式20<cx bx a ++的解.
\
【例5】 不等式2(1)0>ax ab x b +++的解是12<<x ，求a ，b 的值.
'
【例6】 a 为何值时，只有一个x 值满足不等式：2054<x ax ++≤.
【例7】 .
【例8】 解关于x 的不等式：2(1)10<ax a x -++.
【例9】 若不等式2(2)2(2)40<a x a x -+--对一切x ∈成立，求a 的取值范围. -
【例10】 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥无解，求m 的取值范围.
<
【例11】 \
【例12】 已知不等式组22021<>x x a a x a ⎧-+-⎪⎨+⎪⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围.
@
二. 高次不等式和分式不等式
【例13】 解不等式：22(45)(2)0<x x x x --+-.
'
【例14】 解不等式：32
326>x x x ++.
~
【例15】 解不等式：23(2)(1)(1)(2)0<x x x x +-+-.
【例16】—
【例17】解不等式：
3
2
> x
x
-
-
.
【例18】解不等式：
2
2
32
23
<
x x
x x
-+
--
.
·
【例19】解不等式：
2
2
911
7
21
x x
x x
-+
-+
≥.
…
【例20】解不等式：
1 >x
x
.
】
【例21】解不等式：
2
3
(1)(2)
0 (3)(5)
x x x
x x
+-
--
≤.
'
【例22】解不等式：
23
2
(2)(1)
1
>
x x
x x
-⋅+
++
.
】
【例23】k为何值时，下式恒成立：
2
2
22
1 463
< x kx k
x x
++
++
-
三. 含绝对值的不等式
【例24】 解下列不等式：
（1）4237x -≤≤；
（2）214>x x ++；
（3）212
4>x x ++-.
（
【例25】 （1）对任意实数x ，12
>x x a ++-恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x ，13
<x x a --+恒成立，求a 的取值范围.
-
【例26】 求不等式3142
5
>x x ++的解集. *
—
【例27】 解不等式：223
2>x x --.
@
【例28】 解不等式：2231243>x x x x --+-.
{
【例29】 解不等式：2560>x x -+.。
【例30】 解不等式：22331>x x x ---.
、
作业
1. 解不等式：
(
（1）2280x x +-≥；
（2）2370<x x --.
2. 解不等式：22<<x x x --．
&
3. 已知不等式20>ax bx c ++的解集为{|24}<<x x ，求不等式20<cx bx a ++的解集.
)
4. 解不等式：22(43)(2)0<x x x x -++-.
《
5. 解关于x 的不等式：2242>x ax a -.
{
6. 解不等式：2560>x x --.
7. {
8. 解不等式：211<x x x -++.
9. 若一元二次不等式20>ax bx c ++的解时23<<x -，求不等式20<cx bx a ++的解. ）
10. 解下列不等式：
（1）2256<x -≤；
…
（2）124>x x ++；
（3）212
5>x x -+-.
—
11. 解不等式：22151120232
<x x x x -+-++.
12. 若不等式240<x kx -+-的解集为
，求实数k 的取值范围.
13. 若关于m 的不等式22(41)210mx m x m -++-≥无解，求m 的取值范围.
14. 关于x 的不等式2(1)2(1)3(1)0<m x m x m +--+-的解释一切实数，求实数m 的取值范围.
15. 已知不等式2364>ax x -+的解集为1<x 或>x b .
（1）求a 、b ；
（2）解不等式
0>x c ax b
--（c 为常数）.。