高考理科数学刷题练习压轴题(一)

压轴题(一)

12．设P 为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，

c ，e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF 1→·PF 2→

＝0，直线PF 2交y 轴于点A ，则△AF 1P 的内切圆的半径为( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．e

答案 A

解析 因为PF 1→·PF 2→

＝0，所以△AF 1P 是直角三角形．设△AF 1P 的内切圆的半径是r ，则2r ＝|PF 1|＋|P A |－|AF 1|＝|PF 1|＋|PA |－|AF 2|＝|PF 1|－(|AF 2|－|P A |)＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .所以r ＝a .

16．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f (x )＝sin x ＋2cos x 的图象向右平移φ个单位长度得到g (x )＝2sin x ＋cos x 的图象，若x ＝φ为h (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴，则a ＝________.

答案 43

解析 由题意，得f (x )＝5sin(x ＋α)，其中sin α＝255，cos α＝5

5.g (x )＝5sin(x ＋β)，其中sin β＝55，cos β＝255，

∴α－φ＝β＋2k π，即φ＝α－β－2k π， ∴sin φ＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝3

5， cos φ＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝4

5， 又x ＝φ是h (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴， ∴h (φ)＝sin φ＋a cos φ＝35＋4

5a ＝±1＋a 2， 即a ＝43.

20．已知函数f (x )＝1

2(x 2＋2a ln x )．

(1)讨论f(x)＝1

2(x

2＋2a ln x)，x∈(1，e)的单调性；

(2)若存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0成立，求a的取值范围．

解(1)由f(x)＝1

2(x

2＋2a ln x)，得

f′(x)＝x＋a

x＝

x2＋a

x(x>0)，

当a≥0时，f′(x)>0恒成立，

所以f(x)在(1，e)上单调递增；

当a<0时，f′(x)＝0的解为x＝－a(舍负)，

若－a≤1，即a∈[－1,0)，则f(x)在(1，e)上单调递增；

若－a≥e，即a∈(－∞，－e2]，

则f(x)在(1，e)上单调递减；

若a∈(－e2，－1)，则f(x)在(1，－a)上单调递减，在[－a，e)上单调递增．

(2)由(1)可知，当a≤－e2或a≥－1时，函数f(x)在(1，e)上为单调函数，此时不存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.

当a∈(－e2，－1)时，f(x)在(1，－a]上单调递减，在[－a，e)上单调递增，所以f(x)在x＝－a处取得极小值，

f(x)极小值＝f(－a)＝1

2(－a＋2a ln －a)＝－

1

2a＋

1

2a ln (－a)，其中a∈(－e

2，－

1)，

令g(a)＝－1

2a＋

1

2a ln (－a)，a∈(－e

2，－1)，

则g′(a)＝－1

2＋

1

2ln (－a)＋

1

2＝

1

2ln (－a)，

a∈(－e2，－1)，

所以g′(a)>0，所以g(a)在(－e2，－1)上单调递增，

且g(－e)＝0，g(－e2)＝－e2

2<0，

所以当a∈(－e2，－e)时，f(x)

极小值

<0，此时存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.

21．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1

元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．

(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？

(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为p (0

①若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0； ②若以①中的p 0作为p 的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片最终利润X (单位：元)的期望．

解 (1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A ，则P (A )＝C 39

C 312＝2155.

答：该盒芯片经一次检验即可出厂的概率为21

55. (2)①某盒12片芯片中恰有3片次品的概率

f (p )＝C 312p 3(1－p )9

＝127C 312⎝ ⎛⎭

⎪⎫3412， 当且仅当3p ＝1－p ，即p ＝1

4时取“＝”号， 故f (p )的最大值点p 0＝1

4. ②由题设，知p ＝p 0＝1

4.

设这盒芯片不合格品的个数为n ， 则n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 故E (n )＝12×1

4＝3，

则E (X )＝120－12－30－3×2＝72.