一元二次方程计算题解法练习题四种方法(供参考)
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法
总结提高
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0 时，方程没有实数根。 0；
用公式法解一元二次方 求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2, b=5, c= -3, ① ② ③ (a≠0, b2-4ac≥0) = 4、写出方程的解： x1=?, x2=? 程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
解: a 4, b 3, c 2 b 2 4ac 9 32 23 0
方程没有实数根.
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
2 x1 x2 . 2
x
b
例4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b2 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
初三一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、结构特殊的直接开平方法利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的理论依据是平方根的定义．形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的方程可以直接运用“直接开平方法”求解．例1．解方程2256x =．解：∵2256x =，∴25616x =±=±．∴121616x x ==-，．例2．解方程2536x -=（）． 解：∵2536x -=（），∴56x -=±．∴12111x x ==-，． 有的方程可以通过整理，变形化为形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式后，再采用直接开平方法来解．例3．解方程290x -=．解：∵290x -=，∴29x =．∴1233x x ==-，．例4．解方程21120x +-=（）． 解：∵21120x +-=（），∴2112x +=（）．∴123x +=±． ∴12231231x x =-=--，．通过以上例子，我们可以归纳出运用“直接开平方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式； 2．两边开平方，得x a =±或b cx a-±=． 这里要特别注意00a c ≥或≥的条件．若00a c <<或，则方程无实数根，只有当00a c ≥或≥时，方程才有实数根，而运用“直接开平方法”解应用题的关键是将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式．练习：用直接开平方法一元二次方程：1．9x 2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3) ．二、法力无边的配方法把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告我们根据完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法 —— “配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）．例5．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x +=（）．开方，得12112x x ==-，．通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式； 4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．练习：用配方法解一元二次方程：1．x 2-4x -3＝0； 2．6x 2+x ＝35；3．4x 2+4x+1＝7； 4．2x 2-3x -3＝0．三、神通广大的公式法公式法是解一元二次方程的一般方法，它是直接利用了“配方法”的结果，求根公式为224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥．例6．解方程28103x x +=．解：把该方程化为一般形式： 281030x x +-=．∵8103a b c ===-，，，22410483196b ac -=-⨯⨯-=（）， ∴2410196101422816b b ac x a -±--±-±===⨯．∴121342x x ==-，．通过本例可以看出，用公式法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程化为一般形式：200ax bx c a ++=≠（）；2．正确确定a b c ，，的值；3．代入公式242b b acx a -±-=求解，若240b ac -≥则方程有实数根，若240b ac -<则方程无实数解即无解．练习：用公式法解一元二次方程：2．2x 2+7x -4＝0； 3 .2y 2 -y=5 4．3x 2+5(2x+1)=0四、简便易行的因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，它是解一元二次方程的基本方法，它的理论依据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即0a b =，则00a b ==或，这种方法简便易行．是最常用的一种方法．例7．解方程23520x x --=．解：方程左边因式分解，得3120x x +-=（）（），∴31020x x +=-=，，∴12123x x =-=，．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程的右边化为零；2．将方程的左边分解为两个一次因式的积； 3．令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4．解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键是： 1．要将方程右边化为零； 2．要熟练掌握因式分解的方法． 练习：用因式分解法解一元二次方程：1. )7(5)7(2+=+x x x2.223)(x 3)-(4x +=3．0822=--x x 4．06)23(2=---x x这四种方法既有区别又有联系．公式法比配方法简单，它直接由配方法导出的求根公式求解，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解．一般顺序为：先特殊后一般．直接开平方法→因式分解法→公式法．没有特别说明，一般不用配方法．遇到特殊结构或次数较高的方程，就需用到下面要讲的“换元法”．五、出奇制胜的换元法把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代替，从而达到繁为简，化难为易的目的，这种方法叫“换元法”，有些一元二次方程数式结构复杂，或次数较高，或字母个数过多，用常规的四种一元二次方程的解法计算既繁琐也困难，甚至根本无法求解，这时用“换元法”就会出奇制胜．例8．解方程25425430x x -+--=（）（）．解：设54x y -=，则原方程可化为2230y y +-=，130y y -+=（）（），1030y y -=+=或，∴13y y ==-或，即541543x x -=-=-或．∴12115x x ==，．例9． 解方程42440x x -+=．解：设2x y =，则原方程变为2440y y -+=，解之，得2y =．∴22x =，∴2x =±． 练习：用适当的方法解关于x 的方程1、095162=-+）（x 2、8)4(2=-x 3、8)32)(2(=++y y4、02x 3x 2=+-5、04x 3x 22=-+ 6、y 249y 162=+；7、0x 7)1x (52=-+ 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-5）2+x 2=510、)7(5)7(2+=+x x x 11、01224=--x x 12、012222=--x x13、012)(8)(222=+---x x x x 14、02)32(3)32(2=++-+x xx x六、一元二次方程根的两个特性例1、先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2=-2，则x 1+x 2=4，x 1·x 2=-12； (2)方程2x 2-7x+3=0的根是：x 1=12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=32；(3)方程3x 2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2= .则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0且a 、b 、c 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1x 2与系数a 、b 、c 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。
初中数学一元二次方程的解法_公式法
a 2a
a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x b )2 b2 4ac .
2a
4a2
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
.
∵a≠0, 4a2>0,
∴当b2－4ac≥0时，
b2
4ac 4a2
0,
∴ x b b2 4ac .
2a
2a
x b
b2 4ac .
2a
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
(2008年北京市)已知 :关于 mx2 (3m 2)x 2m 2 0(m 0) 的一元二次方程 (1)求证:方程有两个不相等的实数根；
【解析】⑴ mx2 (3m 2)x 2m 2 0 是关于 x 的一元二次方程，
(3) 当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根.
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0).
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
解：∵ 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0，
b2 4ac 0
又∵ b2 4ac (2)2 4 k 3 = 4-12k
∴ 4-12k ≥0，解得 k 1
∴ 当 k1
完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)
完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)1、(x+4)=5(x+4)^22、(x+1)=4x3、(x+3)=(1-2x)^24、2x^2-10x=35、x^2=646、(x+5)^2=167、2(2x-1)-x(1-2x)=08、5x^2-2/5=09、8(3-x)^2-72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、(1-3y)^2+2(3y-1)=012、x^2+2x+3=013、x^2+6x-5=014、x^2-4x+3=015、x^2-2x-1=016、2x^2+3x+1=017、3x^2+2x-1=018、5x^2-3x+2=019、3x-3=020、-2x+12=021、x^2-6x+9=022、3x-2=2x+323、x-2x-4=024、x=3/425、3x^2+8x-3=026、3x^2+11x+14=027、x=-9 or x=-228、2(x-3)^2=x^2-929、-3x^2+22x-24=030、4t^2-4t+1=031、(2x-3)^2-121=032、x^2-4x=033、(x+2)^2=8x34、x=1/3 or x=-235、7x^2+2x-36=036、x=1 or x=-1 or x=3/237、4(x-3)^2+x(x-3)=038、6x^2-31x+35=039、x=1/2 or x=140、2x^2-23x+65=0这是一组一元二次方程的计算题练，需要用不同的方法来解决这些问题。
为了方便，我们可以将这些方程按照不同的方法分类。
一种方法是因式分解法，另一种方法是开平方法，还有一种方法是配方法，最后一种方法是公式法。
根据不同的题目，我们可以选择不同的方法来解决问题。
例如，对于方程(x-2)^2=(2x-3)^2，我们可以使用因式分解法来解决。
将方程化简后，得到x=5/3或x=-1/3.对于方程2x^2-5x+2=0，我们可以使用配方法来解决。
将方程化简后，得到x=1/2或x=2.对于方程-3x^2+22x-24=0，我们可以使用公式法来解决。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
一元二次方程40道题及过程
降
次
∴x+1= 或x+1=- ，
即x1=-1+ ，x2=-1- .
2
【例3】解方程(1)x -4x+4=5；
2
2
(1)分析：x -4x+4 =(x-2) ,
2
(2)(2x-1) =(x-2)2 .
(2)分析：如果把2x-1看成
同样可以用直接开平方法
是(x-2)2的平方根，同样可
求解.
以用直接开平方法求解.
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
则有 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0， x2=-1.
【例1】解下列方程
(1)x2-1.21=0
解：(1)移项，得x2=1.21，
(2)4x2-1=0
(2)移项，得4x2=1，
∵x是1.21的平方根，
2
解:(1) (x-2) =5，
(2)2x-1=± ( − )²,
即 x-2=± ，
即 2x-1=±(x-2),
即x-2= 或x-2=- ，
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2,
所以x1=2+ ，x2=2- .
即x1=-1，x2=1.
2.解下列方程：
(1)x2-0.81=0；
解:(1)x²=0.81，
【例1】 用公式法解下列方程：
(1)2x²-x-1=0；
(2) 4x²-3x+2=0；
(3) 2x²-2 x+1=0.
解:(2)a=4,b=-3,c=2,
b²-4ac=(-3)²-4×4×2=-7＜0，
一元二次方程10道例题
一元二次方程10道例题一、直接开平方法例1：解方程(x - 3)^2=16解析：对于方程(x - 3)^2 = 16，根据直接开平方法，我们得到：x-3=±4当x - 3=4时，x=4 + 3=7；当x-3=-4时，x=- 4+3=-1。
所以方程的解为x_1 = 7，x_2=-1。
二、配方法例2：解方程x^2+6x - 7 = 0解析：在方程x^2+6x-7 = 0中，1. 移项得x^2+6x=7。
2. 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+6x + 9=7 + 9，得到(x + 3)^2=16。
3. 然后用直接开平方法，x+3=±4。
- 当x+3 = 4时，x=1。
- 当x + 3=-4时，x=-7。
所以方程的解为x_1=1，x_2 = - 7。
三、公式法例3：解方程2x^2-5x+3=0解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，其求根公式为x=(-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
在方程2x^2-5x + 3=0中，a = 2，b=-5，c = 3。
1. 先计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×3=25 - 24 = 1。
2. 把a、b、Δ的值代入求根公式，得到x=(5±√(1))/(4)。
- 当取正号时，x=(5 + 1)/(4)=(3)/(2)。
- 当取负号时，x=(5-1)/(4)=1。
所以方程的解为x_1=(3)/(2)，x_2 = 1。
四、因式分解法例4：解方程x^2-3x+2=0解析：1. 对x^2-3x + 2进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)=0。
2. 则有x-1=0或者x - 2=0。
- 当x-1=0时，x = 1。
- 当x-2=0时，x=2。
所以方程的解为x_1=1，x_2=2。
例5：解方程6x^2+x - 1=0解析：1. 对6x^2+x - 1进行因式分解，得到(2x + 1)(3x - 1)=0。
(完整版)解一元二次方程配方法练习题
解一元二次方程练习题(配方法)步骤：(1)移项；(2)化二次项系数为1 ;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方；(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式；(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解.1 •用适当的数填空：①X2+6X+__ = (x+ _) 2；② x2—5x+ = (x —_) 2;③X2+ X+ ___ = ( X+ _) 2；④ X2—9X+ = (X—_) 22 .将二次三项式2X2-3X-5进行配方，其结果为•3. 已知4x2-ax+1可变为(2x-b) 2的形式，贝V ab= _______ .4. 将一元二次方程X2-2X-4=0用配方法化成(x+a) 2=b的形式为_______ , ?所以方程的根为___________ .5. 若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是()A . 3B . -3 C.± 3 D .以上都不对6. 用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是( )A. (a-2) 2+1B. (a+2) 2-1C. (a+2) 2+1 D . ( a-2) 2-17. 把方程X+3=4X配方，得()A . ( X-2 ) 2=7B . ( X+2)2=21C. (X-2 ) 2=1 D . ( X+2)2=2&用配方法解方程X2+4X=10的根为()A. 2± \10B. -2 ±14C. -2+ 10D. 2- -109. 不论X、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值()A.总不小于2B.总不小于7C.可为任何实数 D .可能为负数10. 用配方法解下列方程：(1) 3X2-5X=2 . (2) X2+8X=9(5) 6X2-7X+仁0 (6) 4X2-3X=5211.用配方法求解下列问题(1)求2X2-7X+2的最小值；(2)求-3X2+5X+1的最大值。
解一元二次方程练习题(求根公式、配方法)
解一元二次方程练习题(求根公式、配方法)问题1已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，求解下列方程：1. $x^2 - 4x + 3 = 0$2. $2x^2 - 5x - 3 = 0$3. $3x^2 + 2x - 7 = 0$解答1求根公式对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其求根公式为：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$1. 对于方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，可以得到 $a = 1$，$b = -4$，$c = 3$。
代入求根公式，可得两个解：$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$$ 简化后得：$$x_1 = 3$$$$x_2 = 1$$2. 对于方程 $2x^2 - 5x - 3 = 0$，可以得到 $a = 2$，$b = -5$，$c = -3$。
代入求根公式，可得两个解：$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$$$$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$$简化后得：$$x_1 = 3$$$$x_2 = -\frac{1}{2}$$3. 对于方程 $3x^2 + 2x - 7 = 0$，可以得到 $a = 3$，$b = 2$，$c = -7$。
代入求根公式，可得两个解：$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3}$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3}$$ 简化后得：$$x_1 = \frac{1}{3}(\sqrt{43} - 2)$$$$x_2 = \frac{1}{3}(-\sqrt{43} - 2)$$配方法对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用配方法进行求解。
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)(最新整理)
(7) 5x 2 －3x+2 =0
(8) 7x 2 －4x－3 =0
(9) -x 2 -x+12 =0
(10) x 2 －6x+9 =0
韦达定理：对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ，如果方程有两个实数根 x1, x2 ，那么
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
说明：（1）定理成立的条件 0
2．已知 x1，x2 是方程 2x2－7x＋4＝0 的两根，则 x1＋x2＝
，x1·x2＝
，
（x1－x2）2＝
1
3．已知方程 2x2－3x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k=
;
2
4．若方程 x2+(a2－2)x－3=0 的两根是 1 和－3，则 a=
;
5．若关于 x 的方程 x2+2(m－1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为
（2）注意公式重
x1
x2
b a
的负号与
b
的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若 x1, x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
(1) x12 x22 ；
(2) 1 1 ； x1 x2
(3) (x1 5)(x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
25、 5x2 7x 1 0
26、 5x2 8x 1
27、 x2 2mx 3nx 3m2 mn 2n2 0
28、3x2+5(2x+1)=0
29、 (x 1)(x 1) 2 2x
30、 3x2 4x 1
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法教学目标1.理解一元二次方程及其有关概念2.会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解教学重难点1.一元二次方程的判定，求根公式2.一元二次方程的解法与应用 课前练习： 1.方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
2.已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
3.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
4.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法例1、解方程：;0822=-x ();0912=--x ()()2221619+=-x x11162492=+-x x例2. 下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x类型二、配方法 基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。
例4：已知010n 6-n m 2m 22=+++，求m 和n 的值。
例5：已知M=x+2，N=19-x 5x 5x -x 22+=+Q ，，其中x ＞2.（1）求证M ＜N ；（2）比较M 与Q 的大小。
计算 一元二次方程的七大解法(60题)(老师版)
计算1一元二次方程的七大解法专项训练（60题）【北师大版】【解法1直接开平方法解一元二次方程】1．（23-24九年级·广东东莞·阶段练习）解方程：4x2−25=0．【答案】x=±52【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用开平方法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【详解】解：4x2−25=0，∴4x2=25，∴x2=254，∴x=±52．2．（23-24九年级·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：(1)x2−9=0(2)3x2−54=0．【答案】(1)x1=3,x2=−3(2)x1=32,x2=−32【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；（1）根据直接开平方法可进行求解方程；（2）根据直接开平方法可进行求解方程【详解】（1）解：移项，得x2=9，根据平方根的意义，得x=±3，即x1=3,x2=−3．（2）解：移项，得3x2=54，两边同除以3，得x2=18，根据平方根的意义，得x=±32，即x1=32,x2=−32．3．（23-24九年级·上海·假期作业）解方程：(1)3x2(2)(x−5)2−36=0(3)12(x−2)2=6(4)y+4y−4−9=0【答案】(1)x1=3,x2=−3(2)x1=11,x2=−1(3)x1=23+2,x2=−23+2(4)y1=5,y2=−5【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程．（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．【详解】（1）解：3x2−27=0，3x2=27，x2=9，∴x1=3,x2=−3；（2）(x−5)2−36=0，(x−5)2=36，x−5=6或x−5=−6，∴x1=11,x2=−1；（3）12(x−2)2=6，(x−2)2=12，x−2=23或x−2=−23，x=23+2或x=−23+2，即：x1=23+2,x2=−23+2；（4）(y+4)(y−4)−9=0，y2−16−9=0，y2=25，y=±5，即y4．（23-24九年级·全国·课后作业）求x的值：4x−12=16．【答案】x=3或x=−1【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；【详解】解：∵4(x−1)2=16∴(x−1)2=4∴x−1=2或x−1=−2，解得x=3或x=−1．5．（23-24九年级·浙江·专题练习）求下列方程中x的值：(1)x2−1009=0；(2)x−12=49．【答案】(1)x1=103,x2=−103(2)x1=8，x2=−6【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）先移项，再开平方即可得到答案；（2）直接开平方即可得到答案．【详解】（1）解：∵x2−1009=0，∴x2=1009，则x1=103,x2=−103；（2）解：∵x−12=49，x−1=7或x−1=−7，解得x1=8，x2=−6．6．（23-24九年级·上海松江·期中）解关于的x方程：ax2=2a≠0【答案】x=±>0【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可．【详解】解：∵ax2=2a≠0，∴x22，∴x>0．7．（23-24九年级·上海青浦·期末）解关于x的方程：m−22x2−4=0m≥2．【答案】当m=2时，原方程无解，当m>2时，x=2m−2或x=−2m−2m=2时，当m>2时，分别求解即【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出x2=可得出答案．【详解】解：∵m−22x2−4=0，∴m−222=4，∴x2=∵m≥2，∴当m=2时，原方程无解，当m>2时，x=2m−2或x=−2m−2．【解法2配方法解一元二次方程】8．（23-24九年级·上海青浦·期中）用配方法解方程：x2−22x−4=0【答案】x1=2+6，x2=2−6【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成x+m2=n的形式，再利用直接开平方法求解，移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．【详解】解：移项得，x2−22x=4，配方得，x2−22x+2=4+2，即x−22=6，x−2=±6，x1=2+6，x2=2−6．∴方程的解为x1=2+6，x2=2−6．9．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)x2+4x=2；(2)x2−3x−74=0；(3)4x2−8x=−3；(4)4x2+4x+10=1−8x【答案】(1)x(2)x1=−12，x2=72(3)x1=12，x2=32(4)x1=x2=−32【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2+4x=2，x+22=6，x1=−2+6，x2=−2−6；（2）解：x2−3x−74=0，x−=74+94=4，x1=−12，x2=72；（3）解：4x2−8x=−3，2x−22=−3+4=1，x1=12，x2=32；（4）解：4x2+4x+10=1−8x，4x2+12x+9=0，2x+32=0，x1=x2=−32．10．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2+4x+4=0；(2)2x2−3x+2=0．【答案】(1)x1=x2=−2(2)原方程无实数根【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得x2+4x=−4，然后进行配方即可求解；（2）由题意易得2x2−3x=−2，则有x2−32x=−1，然后进行配方即可求解【详解】（1）解：移项，得x2+4x=−4，配方，得x2+4x+22=−4+22，即(x+2)2=0，∴x1=x2=−2．（2）解：移项，得2x2−3x=−2．二次项系数化为1，得x2−32x=−1配方，得x2−32x+−=−1+−，即x=−716．因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．11．（23-24九年级·全国·专题练习）用配方法解方程x2−4x−5=0．【答案】x1=5，x2=−1【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可．【详解】解：方程移项得：x2−5，配方得：x2−4x+4=9，即x−22=9，开方得：x−2=3或x−2=−3，解得：x1=5,x2=−1．12．（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：2x2+4x+1=0．【答案】x1=x2=【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解．【详解】解：2x2+4x+1=0，原方程化为x2+2x=−12，配方得x2+2x+1=1−12，即(x+1)2=12，开方得x+1x=−∴x1=x2=13．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：x2−14x+21=0【答案】x1=7+27，x2=7−27．【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解．【详解】解：x2−14x+21=0，移项得x2−14x=−21，配方得x2−14x+49=−21+49，即x−72=28，∴x−7=27，∴x1=7+27，x2=7−27．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．14．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2−x−6=0；(2)3y2+1=23y．【答案】(1)x3，x2=−2；(2)y1=y2=【详解】解：（1）移项，得x2x=6．配方，得x2−x+=6+，即x=254．直接开平方，得x−12=52或x−12=−52，解得x1=3，x2=−2．（2）移项，得3y2−23y=0．二次项系数化为1，得y2−+13=0，即y−=0．直接开平方，得y=0，解得y1=y2=15．（23-24九年级·全国·课后作业）用配方法解方程：(1)(2x−1)2(2)5y2+(2y−3)2=14．【答案】(1)x1=1+3,x2=1−3(2)y1=53,y2=−13【分析】（1）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解；（2）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解．【详解】（1）解：(2x−1)2=4x+9，x2−2x−2=0，x2−2x+1=3，(x−1)2=3，∴x−1=3或x−1=−3．∴x1=1+3,x2=1−3．（2）解：5y2+(2y−3)2=14，9y2−12y−5=0，y2−43y+49=59+49，∴(y−23)2=1．∴y−23=1或y−23=−1．∴y1=53,y2=−13．【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键．【解法3因式分解法解一元二次方程】16．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）解方程：(1)x2−7x+10=0．(2)x−32=2x−6【答案】(1)x1=5，x2=2(2)x1=3，x2=5【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)形式的式子，分解因式为px+q mx+n的方法．其中p、q、m、n是常数，且pm=a，qn=c，pn+qm=b．通过寻找合适的数对来实现因式分解．（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：因式分解，得x−5x−2=0，则有x−5=0或x−2=0，解得x1=5，x2=2．（2）解：x−32=2x−6x−32=2x−3x−32−2x−3=0则x−3x−5=0，∴x−3=0或x−5=0，解得：x1=3，x2=5．17．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：(1)(x−3)2x+1=x−32．(2)(x+1)(x−2)+2(2−x)=0(3)3x(x−1)=2−2x【答案】(1)x=3或x=−4(2)x=2或x=1(3)x=1或x=−23【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：(x−3)2x+1=x−32，移项得，(x−3)2x+1−x−32=0，因式分解得，x−32x+1−x+3=0，即x−3x+4=0，∴x−3=0或x+4=0，∴x=3或x=−4．（2）解：(x+1)(x−2)+2(2−x)=0，因式分解得，x−2x+1−2=0，即x−2x−1=0，∴x−2=0或x−1=0，∴x=2或x=1．（3）解：3x(x−1)=2−2x，移项得，3x x−1+2x−1=0，因式分解得，x−13x+2=0，∴x−1=0或3x+2=0，∴x=1或x=−23．18．（23-24九年级·山东滨州·期末）解方程：(1)x2−6x+5=0；(2)y+12=2y−12．【答案】(1)x1=5，x2=1(2)y1=0，y2=2【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二方程的常用方法和步骤．（1）运用因式分解法解该一元二次方程即可；（2）运用因式分解法解该一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2−6x+5=0，∴x−5x−1=0，∴x1=5，x2=1；（2）解：y+12=2y−12，∴y+12−2y−12=0，∴y+1+2y−1y+1−2y+1=0，∴3y2−y=0，∴y1=0，y2=2．19．（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程：(1)x2−4x−5=0；(2)3x(x−1)=2(x−1)．【答案】(1)x1=−1,x2=5(2)x1=1,x2=23【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．（1）根据因式分解法解方程即可；（2）整理后根据因式分解法解方程即可；【详解】（1）解：x2−4x−5=0，因式分解得(x+1)(x−5)=0，∴x+1=0或x−5=0，解得x1=−1,x2=5．（2）解：原方程可变形为：3x(x−1)−2(x−1)=0，因式分解得(x−1)(3x−2)=0，∴x−1=0或3x−2=0，解得x1=1,x2=23．20．（23-24九年级·山东泰安·期末）解方程：(1)5x2−2=3x(2)3x+32=x x+3【答案】(1)x1=1，x2=−25(2)x1=−3，x2=−92【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．（1x−1=0或5x+2=0，然后解一次方程即可；（2）先移项得到3x+32−x x+3=0，再利用因式分解法把方程转化为x+3=0或2x+9=0，然后解一次方程即可．【详解】（1）5x2−2=3x，5x2−3x−2=0，(x−1)(5x+2)=0，x−1=0或5x+2=0，所以x1=1，x2=−25；（2）3x+32=x x+3，3x+32−x x+3=0，(x+3)3(x+3)−x=0，(x+3)(2x+9)=0，x+3=0或2x+9=0，所以x1=−3，x2=−92；1121．（23-24九年级·浙江宁波·期末）解方程：(1)2x2−3x=0；(2)3x2−5x−2=0．【答案】(1)x1=0，x2=32(2)x1=−13，x2=2【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵2x2−3x=0，∴x2x−3=0，∴x=0或2x−3=0，解得：x1=0，x2=32；（2）解：∵3x2−5x−2=0，∴3x+1x−2=0，∴3x+1=0或x−2=0，解得：x1=−13，x2=2．22．（23-24九年级·浙江金华·期末）解方程：(1)2x2−x=0；(2)5x2+2x−3=0．【答案】(1)x1=0，x2=12；(2)x1=35，x2=−1．【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；（2）利用因式分解法解答即可求解；本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．【详解】（1）解：∵2x2−x=0，∴x2x−1=0，∴x=0或2x−1=0，12∴x1=0，x2=12；（2）解：∵5x2+2x−3=0，∴5x−3x+1=0，∴5x−3=0或x+1=0，∴x1=35，x2=−1．23．（23-24九年级·浙江杭州·期中）解方程：(1)x2−2x=15.(2)x−1x+5=−2x+5；【答案】(1)x=5或x=−3(2)x=−1或x=−5【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答.（1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.（2）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.【详解】（1）解：x²−2x=15,(x−5)(x+3)=0,即:x−5=0或x+3=0,∴x=5或x=−3；（2）解：(x−1)(x+5)=−2(x+5),(x−1)(x+5)+2(x+5)=0,(x−1+2)(x+5)=0,即:x+1=0或x+5=0,∴x=−1或x=−5．【解法4公式法解一元二次方程】24．（23-24九年级·全国·单元测试）用公式法解下列方程：(1)x2−x−12=0；(2)2x2+5x−3=0；(3)2x2−7x+7=0；(4)x2−23x−1=0．【答案】(1)x1=4,x2=−31314(2)x 1=12，x 2=−3(3)方程无解(4)x 1=3+2，x 2=3−2【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键．（1）由题意易得a =1,b =−1,c =−12，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得a =2,b =5,c =−3，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得a =2,b =−7,c =7，然后根据公式法可进行求解；（4）由题意易得a =1,b =−23,c =−1，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：∵x 2−x −12=0∴a =1,b =−1,c =−12，∴△=b1×12=49>0，∴x ===1±72，∴x 1=4，x 2=−3．（2）解：∵2x 2+5x −3=0∴a =2,b =5,c =−3，∴Δ=b2×3=>0，∴x ===−5±74，∴x 1=12，x 2=−3．（3）解：∵2x 2−7x +7=0∴a =2,b =−7,c =7，∴Δ=b 2−4ac =49−4×2×7=−7<0，∴原方程无解．（4）解：∵x 2−23x −1=0，∴a =1，b =−23，c =−1，∴Δ=b 2−232−4×1×−1=16，∴x ==2=3±2，∴x 1=3+2，x 2=3−2．25．（23-24九年级·广西梧州·期末）用公式法解方程：x 2−x −3=0．15【答案】x 1=x 2=【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键．用公式法求解即可．【详解】解：∵a =1，b =−1，c =−3，∴Δ=b 1−4×1×−3=13>0，x =∴x =∴x 1=x 2=26．（23-24九年级·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：2x 2−6x −3=0．【答案】x 1=2=【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键【详解】解：∵a =2,b =−6,c =−3∴Δ=b62−4×2×−3=60，∴x =∴x 1=2=27．（23-24九年级·安徽滁州·期末）解方程：x(3x −5)=9−7x ．【答案】x 1=x 2=【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．原方程化为3x 2+2x−9=0，得根的判别式Δ=112，得到x =x 1=x 2=【详解】解：方程化为3x 2+2x −9=0，a =3，b =2，c =−9．Δ=b 2−4ac=22−4×3×(−9)=112>0，∴∴x ==即x 1=x 2=28．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：2x 2−x +2=3x +1．【答案】x 1=x 2=16【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．【详解】解：2x 2−x +2=3x +1，2x 2−4x +1=0，a =2，b =−4，c =1，Δ=b 2−4ac =−42−4×2×1=8>0．方程有两个不等的实数根，x =−b ±b 2−4ac 2a =4±224=2±22，即x 1=x 2=29．（23-24九年级·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)x 2−x −12=0；(2)2x 2+5x −3=0；(3)2x 2−7x +7=0．【答案】(1)x 1=4,x 2=−3(2)x 1=12，x 2=−3(3)方程无解（1）由题意易得a =1,b =−1,c =−12，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得a =2,b =5,c =−3，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得a =2,b =−7,c =7，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：x 2−x −12=0∴a =1,b =−1,c =−12，∴Δ=b 1×12=49>0，∴x ===1±72，∴x 1=4，x 2=−3；（2）解：2x 2+5x −3=0∴a =2,b =5,c =−3，∴Δ=b 2×3=49>0，∴x ===−5±74，∴x 1=12，x 2=−3；17（3）解：2x 2−7x +7=0∴a =2,b =−7,c =7，∴Δ=b 2−4ac =49−4×2×7=−7<0，∴原方程无解．30．（23-24·广东深圳·模拟预测）解方程：2x 2+4x −11=0．【答案】x 1=−1−2=−1+【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：2x 2+4x −11=0∴a =2,b =4,c =−11，Δ=b 2−4ac =16+88=104∴x =解得：x1=−12=−1+31．（23-24九年级·吉林长春·期中）解方程：x 2−23x −1=0．【答案】x 1=3+2，x 2=3−2【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可．【详解】解：一元二次方程x 2−23x −1=0中，a =1，b =−23，c =−1，∴Δ=b 2−232−4×1−1=16，∴x ==2=3±2，∴x 1=3+2，x 2=3−2．32．（23-24九年级·山东威海·期中）用公式法解方程：x −23x −5=1．【答案】x 1=x 2=【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：方程化为3x2−11x +9=0．∴a =3,b =−11,c =9，Δ=b3×9=13∴x =解得：x 1=x 2=33．（23-24九年级·山东淄博·期中）公式法解方程：3x 2−9x +2=0．【答案】x 1=2=18【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出Δ=b 2−4ac =57，则x =【详解】解：∵3x 2−9x +2=0，∴a =3，b =−9，c =2，∴Δ=81−24=57，∴x =解得x 1=x 2=【解法5换元法解一元二次方程】34．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：x 2+1x 2−2x +−1=0【答案】x 1=x 2=【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．利用完全平方公式把方程变形为x +−2x +−3=0，设x +1x =m ，则m 2−2m −3=0，通过解一元二次方程可得m 的值，即可求出x +1可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可．【详解】解：∵x 2+122x +−1=0∴x 2+1x 2+2−2x +−3=0，即：x +−2x +−3=0，设x +1x =m ，则m 2−2m −3=0，因式分解得：m −3m +1=0，∴m −3=0或m +1=0，解得：m =3或m =−1，当m=3时，则x +1x =3，整理得：x +∴x ==解得：x 1=x 2=经检验，x 1=x 2=x +1x =3的解3；当m =−1时，则x +1x =−1，整理得：x 2+x +1=0，Δ=b2−4ac=1−4=−3<0，∴x+1x=−1综上，该方程的解为：x1=x2=35．（23-24九年级·安徽·专题练习）y−32+3y−3+2=0．【答案】y=2或y=1【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将y−3看作一个整体，设y−3=t，利用因式分解法求得t的值，进而即可求得y．【详解】解：设y−3=t，则原方程即t2+3t+2=0，∴t+1t+2=0，∴t+1=0或t+2=0，解得t=−1或t=−2，∴y−3=−1或y−3=−2，解得，y=2或y=1．36．（23-24九年级·广东汕头·期末）若实数x，y满足(x2+y2)(x2+y2−2)=3，求x2+y2的值．【答案】x2+y2=3．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将x2+y2看成一个整体t，转换成一个关于t的一元二次方程求解即可．【详解】解：令x2+y2=t，则，原方程变为，t t−2=3，即，t2−2t−3=0，t−3t+1=0解得：t1=3，t2=−1；又∵x2+y2≥0，∴x2+y2=3．37．（23-24九年级·北京朝阳·期中）解方程：x2−2x−6x2−2x=1．【答案】x1=3,x2=−1【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设y=x2−2x，则原方程可化为y2−y−6=0，解一元二次方程求y，再求x．【详解】设y=x2−2x，则原方程化为y−6y=119∴y2−y−6=0，即y−3y+2=0，解得y1=−2，y2=3．当y1=−2时，x2−2x=−2，该方程无解，当y2=3时，x2−2x=3．解得x1=3，x2=−1，检验：当x1=3时，原方程左边=9−6−69−6=3−2=1=右边，当x2=−1时，原方程左边=1+2−61+2=3−2=1=右边，∴x1=3，x2=−1都是原方程的根，∴原方程的根是x1=3，x2=−1．38．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）解方程：2x−52−22x−5−3=0．【答案】x1=4，x2=2【分析】根据“整体换元法”设2x−5=y，则原方程可化为：y2−2y−3=0，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．【详解】解：设2x−5=y，则原方程可化为：y2−2y−3=0，解得：y1=3，y2=−1，当y=3时，即2x−5=3，解得x=4，当y=−1时，即2x−5=−1，解得x=2，∴原方程的解为x1=4，x2=2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解此题的关键．39．（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）已知x2+22−8x2+1−1=0，求x2+2的值．【答案】x2+2的值为7或1【分析】设x2+2=y，则x2+1=y−1，对原方程进行变形，求出y的值，即为x2+2的值．【详解】解：设x2+2=y，则x2+1=y−1，∴y2−8y−1−1=0，∴y2−8y+7=0，∴y−7y−1=0，20∴y−7=0或y−1=0，∴y=7或1，∴x2+2的值为7或1．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把x2+2看作整体，直接求出x2+2的值是解题的关键．40．（23-24九年级·全国·课后作业）解方程x2−52−16=0．【答案】x1=3，x2=−3，x3=1，x4=−1【分析】设y=x2−5，求出y后，可得关于x的方程，再解方程即可．【详解】设y=x2−5，原方程化为y2−16=0，解得y1=4，y2=−4，当y1=4时，x2−5=4，x2=9，则x1=3，x2=−3；当y2=−4时，x2−5=−4，x2=1，则x3=1，x4=−1，所以原方程的解为x1=3，x2=−3，x3=1，x4=−1．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．41．（23-24九年级·全国·单元测试）已知a2+b2a2+b2+2−15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)−15=0，解得：x1=3,x2=−5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．42．（23-24九年级·全国·专题练习）解下列方程：(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；(2)2x2+3x2﹣42x+3x0．【答案】(1)x1x2x3x4(2)x1＝﹣2.5，x2＝1，x3＝﹣0.5，x4＝﹣1【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解【详解】（1）解：2x2−7x2−21x2﹣7x+10＝0设x2−7x=a，则2a2−21a+10=02a−1a−10=0∴2a−1=0或a−10=0，解得，a1=0.5，a2=10，∴x2−7x=0.5或x2−7x=10，∴2x2−=0−，解得，x1x22x3x4（2）解：2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0设2x2+3x＝a，则a2−4a−5＝0a−5a+1＝0，∴a−5=0或a+1=0，解得，a1=5，a2=﹣1，∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，∴2x2+3x−5=0或2x2+3x+1=0，解得，x1=−2.5，x2=1，x3=−0.5，x4=−1【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．【解法6适当方法解一元二次方程】43．（23-24九年级·甘肃天水·阶段练习）运用适当的方法解方程(1)x−32=25；(2)x2−x−1=0；(3)x2−6x+8=0；(4)x2−x2−5x2−x+6=0【答案】(1)x1=8，x2=−2(2)x1=x2=(3)x1=4，x2=2(4)x1=−1，x2=2，x3=x4=【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用换元法解方程即可；【详解】（1）解：x−32=25x−3=5或x−3=−5，解得：x1=8，x2=−2；（2）解：x2−x−1=0a=1，b=−1，c=−1，b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=5>0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==解得：x1=x2=（3）x2−6x+8=0x2−6x=−8x2−6x+9=−8+9(x−3)2=1x−3=1或x−3=−1，解得：x1=4，x2=2；（4）x2−x2−5x2−x+6=0解：设y=x2−x，则原方程为：y2−5y+6=0，(y−2)(y−3)=0,解得y1=2，y2=3，当y=2时，x2−x=2，解得：x12=2当y=3时，x2−x=3，解得：x3=x4=∴x1=−1，x2=2，x3=x4=【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44．（23-24九年级·北京东城·期末）选择适当方法解下列方程：(1)x2−5x+1=0；(2)x2x+1=2x+1．【答案】(1)x1=x2=(2)x1=1，x2=−12【分析】本题考查了公式法，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2−5x+1=0，Δ=−521，∴x=解得，x1=x2=（2）解：x2x+1=2x+1，x−12x+1=0，∴x−1=0，2x+1=0，解得，x1=1，x2=−12．45．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）用适当方法解方程(1)3x(x−1)=2(x−1)(2)x2+10x+16=0(3)x2−2x−14=0(4)x2+25x+10=0【答案】(1)x1=1，x2=23(2)x12=−(3)x1=x2=(4)无解【分析】（1）先移项，再运用因式分解法求解即可；（2）运用因式分解法求解即可；（3）用公式法求解；（4）计算Δ=b2-4ac=252−4×1×10=−20<0，由根的判别式判断方程无解．【详解】（1）解：3x(x−1)=2(x−1)3x(x-1)-2(x-1)(x-1)(3x-2)=0x-1=0或3x-2=0，∴x1=1，x2=23；（2）解：x2+10x+16=0(x+8)(x+2)=0x+8=0或x+2=0，∴x1=−2，x2=−8；（3）解：x2−2x−14=0a=1，b=−2，c=-14，∴Δ=b2-4ac=−221×=3，∴=∴x1=x2=（4）解：x2+25x+10=0a=1，b=25，c=10，∴Δ=b2-4ac=252−4×1×10=−20<0，∴原方程无解．【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．46．（23-24九年级·广东深圳·期中）用适当方法解下列方程（1）3（x+2）2＝x（2+x）；（2）2x2+3x﹣2＝0．【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝﹣3；（2）x1＝-2，x2＝【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可．【详解】解：（1）∵3（x+2）2＝x（2+x），∴3（x+2）2﹣x（2+x）＝0，∴（x+2）（3x+6﹣x）＝0，∴x+2＝0或2x+6＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3；（2）∵2x2+3x﹣2＝0，∴（x+2）（2x-1）＝0，∴x+2＝0或2x-1＝0，∴x1＝-2，x2＝12．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法解方程．47．（23-24九年级·山东德州·期末）用适当方法解下列方程（1）3（x﹣2）＝5x（x﹣2）（2）x2+x﹣1＝0【答案】（1）x1＝2，x2＝35；（2）x【分析】(1)用因式分解法解方程；(2)利用求根公式法解方程.【详解】解：（1）方程整理得：3（x﹣2）﹣5x（x﹣2）＝0，分解因式得：（x﹣2）（3﹣5x）＝0，解得：x1＝2，x2＝35；（2）这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵△＝1+4＝5，∴x【点睛】考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．48．（23-24九年级·山东聊城·期末）用适当的方法解下列方程：(1)2x2+5x−7=0；(2)2x2(3)3x(x−1)=2x−2【答案】(1)x=1，x27(2)x1=1+x2=1(3)x1=1，x2=23【分析】本题主要考查解一元二次方程：（1）方程运用公式法求解即可；（2）方程运用配方法求解即可；（3）方程运用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：2x2+5x−7=0这里a=2,b=5,c=−7，Δ=52×−7=81>0，∴x==−5±94，∴x1=1，x2=−72；（2）解：2x2−4x+1=0，x2−2x+12=0，x2−2x=−12，x2−2x+1=12，x−121，x−1∴x1=1+x2=1−（3）解：3x(x−1)=2x−2，3x x−1−2x−1=0，x−13x−2=0x−1=0,3x−2=0，∴x1=1，x2=2349．（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）用适当的方法解下列方程(1)x+52=6x+5；(2)x2−8x=5−4x．【答案】(1)x1=−5,x2=1(2)x1=5,x2=−1【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法∶因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+5=0或x+5−6=0，然后解两个一次方程即可；（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x−5=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．【详解】（1）解：(x+5)2=6(x+5)移项得：(x+5)2−6(x+5)=0因式分解得：(x+5)(x+5−6)=0，x+5=0或x+5−6=0，所以x1=−5,x2=1；（2）方程化为一般式为x2−4x−5=0，(x−5)(x+1)=0，x−5=0或x+1=0，所以x1=5,x2=−1．50．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）选用适当的方法解方程．(1)x2−4=0；(2)3x2−6x−4=0．【答案】(1)x=2(2)x1=2=【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．（1）利用解一元二次方程——直接开平方法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：∵x2−4=0，∴x2∴x=±2，∴x1=2,x2=−2；（2）解：3x2−6x−4=0，∵a=3，b=−6，c=−4，Δ=b−624×3×−4=84>0，∴x=∴x1=2=51．（23-24九年级·天津宁河·阶段练习）用适当的方法解方程(1)x−12=36(2)x2+8x+7=0(3)x2+5=25x(4)x−42=5−2x2【答案】（1）x1=7,x2=−5；（2）x1=−7,x2=−1；（3）x1=x2=5；（4）x1=3,x2=1【详解】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.试题解析：（1）x−12=36x-1=±6x1=7,x2=−5；（2）x2+8x+7=0（x+7）（x+1）=0x1=−7,x2=−1；（3）x2+5=25x移项得x2−25x+5=0(x−5)2=0x1=x2=5；（4）x−42=5−2x2移项得x−42−5−2x2=0（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0解得x1=3,x2=1【解法7指定方法解一元二次方程】52．（23-24九年级·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．(1)x2−36=0(直接开平方法)(2)x2(3)2x2−5x+1=0(公式法)(4)x+12+8x+1+16=0(因式分解法)【答案】(1)x1=6，x2=−6(2)x1=6，x6(3)x1=2=(4)x1=x2=−5【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．【详解】（1）x2−36=0，x2=36，x=±6，∴x1=6，x2=−6；（2）x2−4x=2，x2−4x+4=2+4，x−22=6，x−2=±6，∴x1=2+6，x2=2−6；（3）2x2−5x+1=0，a=2，b=−5，c=1，b2−−520，∴x==即x1=2=（4）x+12+8x+1+16=0，x+1+42=0，x+52=0，∴x1253．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：(1)2x−12=9（用直接开平方法）(2)2x2−9x+8=0（用配方法）(3)x2−2x−4=0（用求根公式法）(4)7x5x+2=65x+2（用因式分解法）【答案】(1)x=1(2)x1=,x2=(3)x1=1+5,x2=1−5(4)x1=−25,x2=67【分析】（1）开平方得到2x−1=±3，即可求出方程的解；（2）把原方程配方成x=1716，再利用开平方法解方程即可；（3）写出a=1，b=−2，c=−4，求出Δ=−22+16=20，代入x=（4）移项后因式分解得到5x+27x−6=0，则5x+2=0或7x−6=0，即可得到方程的解．【详解】（1）解：2x−12=9开平方得，2x−1=±3，∴2x−1=3或2x−1=−3，解得x1=2,x2=−1；（2）2x2−9x+8=0解：原方程整理得2x2−9x=−8．二次项系数化1，得：x2−92x=−配方，得：x2−92x+4+，即x=1716，两边开平方，得x−9∴x1=2=（3）x2−2x−4=0∵a=1，b=−2，c=−4，∴Δ=−2∴x===1±5，∴x1=1+5,x2=1−5；（4）7x5x+2=65x+2移项得，7x5x+2−65x+2=0，因式分解得，5x+27x−6=0，∴5x+2=0或7x−6=0，解得x1=−25,x2=67【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．54．（23-24九年级·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程：(1)3x2−4x+1=0（配方法）；(2)2x2−22x+1=0（公式法）；(3)3x x−2=2x−4．【答案】(1)x1，x2=13；(2)x1=x2=(3)x1=2，x2=23【分析】（1（2）利用公式法解方程即可；（3）利用分解因式法解方程即可．【详解】（1）解：3x2−4x+1=0，方程变形得：x2−43x=−13，配方得：x2−43x+49=−13+49，即x=19，开方得：x−23=±13，解得：x1=1，x2=13；（2）解：2x2−22x+1=0，a=2，b=−22，c=1，∵Δ2−222×2×1=0，∴x==解得：x（3）解：3x x−2=2x−4整理得：3x x−2−2x−2=0，分解因式得：x−23x−2=0，∴x−2=0或3x−2=0，解得：x1=2，x2=23．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．55．（23-24九年级·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程：(1)x2−x−34=0（配方法）；(2)(x−3)2=2(x−3)（因式分解法）；(3)x2−4x−1=0（公式法）．【答案】(1)x1=32，x2=−12(2)x1=3，x2=5(3)x1=2+5，x2=2−5【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可．【详解】（1）原方程可化为x2−x=34，等式两边加14，得x2−x+14=1，由完全平方公式得，(x−12)2=1，∴x−12=1或x−12=−1，所以原方程的解为x1=32，x2=−12．（2）移项得，(x−3)2−2(x−3)=0，提取公因式，得(x−3)(x−3−2)=0，则x−3=0或x−3−2=0，解得x1=3，x2=5．（3）x2−4x−1=0，∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(−1)=20＞0，由求根公式得x==2±5，所以原方程的解为x1=2+5，x2=2−5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键．56．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）按指定方法解方程：(1)x2−4x−2=0(配方法)；(2)2y2−3y−1=0(公式法)(3)3x(x−1)=2−2x(适当方法)；(4)2x2−x−1=0(配方法)【答案】(1)x=26，x2=2−6；(2)y1=y1=(3)x1=1，x2=−23；(4)x1=1,x2=−12【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于6，可以解答；（2Δ的值，最后套用求根公式解得；（3）根据因式分解法解一元二次方程；（4）根据配方法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：x2−4x−2=0，移项得，x2−4x=2，配方，得x2−4x+4=2+4，即x−22=6，所以x−2=±6，解得x1=2+6，x2=2−6.（2）2y2−3y−1=0，a=2，b=−3，c=−1，Δ=−32−4×2×−1=17，y=所以y1=y2=（3）解：∵3x(x−1)=2−2x，∴3x(x−1)+2(x−1)=0，则(x−1)(3x+2)=0，∴x−1=0或3x+2=0，解得x1=1，x2=−23．（4）∵2x2−x−1=0，∴x2−12x=12，则x2−12x+116=12+116，即x=916∴x−14=±34，即x1=1,x2=−12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．57．（23-24九年级·山东泰安·期末）按照指定方法解下列方程：（1）x(x−23)+3=0．（自选方法）（2）3x2−6x−2=0．（配方法）（3）x2−9=2x+6（因式分解法）【答案】（1）x1=x2=3；（2）x1=1+x2=13）x1=−3,x2=5．【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．【详解】（1）原方程整理得：x2−23x+3=0即(x−3)2=0∴x1=x2=3（2）方程两边同除以3，得：x2−2x−23=0配方，得：(x−1)2=53根据平方根的定义，得：x−1=x−1解得：x1=1+x2=1（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0提取公因式得：(x+3)(x-5)=0∴x+3=0或x-5=0∴x1=−3,x2=5【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．58．（23-24九年级·广西钦州·期末）用指定方法解下列方程：（1）x2+4x−2=0（配方法）；（2）(x−2)2=3(x−2)（因式分解法）；（3）2x2−4x−1=0（公式法）．【答案】（1）x1=−2+6, x2=−2−6；（2）x1=2, x2=5；（3）x1=1+2=1−【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解；（2）先移项，再提取公因式x−2，即可求解；（3）利用公式法x=【详解】（1）等式两边加6，得x2+4x+4=6由完全平方公式得，(x+2)2=6∴x+2=6或x+2=−6所以原方程的解为x1=−2+6, x=−2−6；（2）移项得，(x−2)2−3(x−2)=0提取公因式，得(x−2)(x−5)=0解得x1=2, x2=5所以原方程的解为x1=2, x2=5；（3）Δ=42+4=24>0由求根公式得x=即x=1±所以原方程的解为x1=1+2=1−【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．59．（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程：（1）4x2+x−3=0（公式法）（2）x2−6x−16=0（配方法）（3）(x+1)(x+2)=2x+4（因式分解法）【答案】（1）x1=34，x2=−1；（2）x1=8，x2=−2；（3）x1=−2，x2=1【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案；（2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案；（3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：（1）4x2+x−3=0，∴Δ=1−4×4×(−3)=49>0，∴x=−1±78，∴x1=34，x2=−1．（2）方程变形得：x2−6x=16，配方得：x2−6x+9=25，即(x−3)2=25，开方得：x−3=±5，解得：x1=8，x2=−2；（3）(x+1)(x+2)=2x+4(x+1)(x+2)−2(x+2)=0(x+2)(x−1)=0解得：x1=−2，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．60．（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0（直接开平方法）（2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）【答案】（1）x1=6，x2=-6；（2）x1=2+6，x2=2-6；（3）x1=2=4）x1=x2=-5．【分析】（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．【详解】（1）x2﹣36＝0，x2=36，x=±6，∴x1=6，x2=-6；（2）x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x-2）2=6，x-2=±6，∴x1=2+6，x2=2-6；（3）2x2﹣5x+1＝0，a=2，b=-5，c=1，b2-4ac=（-5）2-4×2×1=17>0，∴x==x1=2=（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0，[（x+1）+4]2=0，（x+5）2=0，∴x1=x2=-5．【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．。
一元二次方程---解法练习(4个常见方法)及例题
解一元二次方程的方法解一元二次方程：开平方法；公式法；配方法；因式分解法；1、开平方法)0(2≥=aax2、公式法①将方程化为一般式②写出a、b、c③求出acb42-，若＜0，则无实数解④若＞0，则代入公式求解3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号．．．．．）②同除：方程两边同除二次项系数（每项都要除．．．．．）③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、因式分解法①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；（方法：1提，2套，3十字，4分组）③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程axax-==21()(2≥=+aabx解两个一元一次方程abx±=+练习一、利用开平方法解下列方程 51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x二、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x三、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0四、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 23 ()()0165852=+---x x039922=--x x选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --= 21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x xx （x ＋1）－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、（x+5）2=166、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =648、5x 2 - 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=014、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =020、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋1427、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝030、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x ＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x)33、(x ＋2) 2＝8x 34、(x －2) 2＝(2x ＋3)235、2720x x += 36、24410t t -+= 37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+= 39、()2231210x --= 40、2223650x x -+=41、()()2116x x ---= 42、()()323212x x -+= 44、22510x x +-=45、 46、21302x x ++=、。
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)
一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()512=-x 4、()162812=-x二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x三、用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x2、22314y y -= 3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x6、02322=--x x四、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=2、0)32()1(22=--+x x3、0862=+-x x4、22)2(25)3(4-=+x x5、0)21()21(2=--+x x6、0)23()32(2=-+-x x五、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=- 3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、22244a b ax x -=- 14、()b a x a b x +-=-232215、022=-+-a a x x16、3631352=+x x 17、()()213=-+y y 18、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax19、03)19(32=--+a x a x 20、012=--x x 21、02932=+-x x22、02222=+-+a b ax x 23、 x 2+4x -12=0 24、030222=--x x25、01752=+-x x 26、1852-=-x x 27、02332222=+---+n mn m nx mx x28、3x 2+5(2x+1)=0 29、x x x 22)1)(1(=-+ 30、1432+=x x31、y y 2222=+ 32、x x 542=- 33、04522=--x x34、()1126=+x x ． 35、030222=--x x 36、x 2+4x -12=037、032=-+x x 38、12=+x x 39、y y 32132=+40、081222=+-t t 41、1252+=y y 42、7922++x x =0一元二次方程解法练习题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。
完整版)一元二次方程解法练习题(四种方法)
完整版)一元二次方程解法练习题(四种方法)一元二次方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.4x^2-1=2，解为x=±1/2.2.(x-3)^2=2，解为x=3±√2.3.81(x-2)=162，解为x=3.二、用配方法解下列一元二次方程。
1.y^2-6y-6=0，解为y=3±√15.2.3x^2-4x+2=0，解为x=1/3±√(2/3)。
三、用公式解法解下列方程。
1.x^2-2x-8=0，解为x=1±√9.2.4y^2-1=0，解为y=±1/2.3.2x^2-5x+1=0，解为x=(5±√17)/4.4.-4x^2-8x+1=0，解为x=(-1±√3)/2.5.x^2-4x=96，解为x=2±4√7.6.3x^2+2x-7=0，解为x=(-2±√22)/3.7.3y^2-23y+1=0，解为y=(23±√505)/6.8.2x^2-3x-2=0，解为x=2/3或x=-1.四、用因式分解法解下列一元二次方程。
1.x^2=2x，解为x=0或x=2.2.(x+1)^2-(2x-3)^2=0，解为x=-1或x=5.3.x^2-6x+8=0，解为x=2或x=4.4.4(x-3)^2=25(x-2)，解为x=7/3或x=11.5.(1+2)x^2-(1-2)x-6=0，解为x=-1或x=3/2.6.(2-3x)+(3x-2)^2=0，解为x=2/3.五、用适当的方法解下列一元二次方程。
1.3x/(x-1)=x/(x+5)，解为x=15/8.2.2x-3=5x^3，解为x=(-1±√13)/5.3.x-2y+6=2，解为y=(x-4)/2.4.x^2-7x+10=0，解为x=2或x=5.5.(x-3)(x+2)=6，解为x=1±√7.6.4(x-3)+x(x-3)=27，解为x=4或x=7.7.(5x-1)^2-2=8，解为x=-1/5或x=3/5.8.3y^2-4y-9=0，解为y=(2±√37)/3.9.x^2-7x-30=0，解为x=-3或x=10.10.(y+2)(y-1)=4/11，解为y=-1/2或y=3/2.11.4x(x-1)=3(x-1)，解为x=3/4.12.4x(x-1)=3(x-1)^2，解为x=3/7或x=4.13.x-4ax=b-4a，解为x=(b-4a)/(1-4a)。
新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法
新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法知识点一、配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=??? ??+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。
例4、分解因式：31242++x x一元二次方程的解法（二）针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 .★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。
知识点二、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。
而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-；所以：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；即：ac b 42-=? 根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。
例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。
解一元二次方程练习题(四种解法)
一 直接开方法
类型
I： ax2
=
b
x2
=
b a
b a
0
x
=
b (结果要分母有理化)
a
类型 II： a2 = b2 a = b或a = −b
（1） x2 = 9
（2） 4x2 = 25
（3） ( x +1)2 = 16
（4） 4(2x −1)2 = 81
一元二次方程的解法专题训练
三 公式法
x = −b b2 − 4ac 2a
步骤： 第一步：写成一般式； 第二步：找出 a，b，c；
第三步：计算 = b2 − 4ac ；
第四步：若△≥0，则代入公式；若△≥0，则原方程无实数解；
（1） x2 + 2x −1 = 0
（2） 2x2 + 4x = 1
（7） 300x2 − 40x +1 = 0
（8） ( x − 3)( x + 2) = 6
一元二次方程的解法专题训练
综合练习
（1） x2 − 6x + 8 = 0
（2） x2 − 4x = 1
（3） x2 −12x + 20 = 0
（4） x2 − 40x + 300 = 0
（5） x2 −100x + 2400 = 0
（5） (2x +1)2 = ( x − 3)2
（6） 250( x +1)2 = 360
（7）100(1− x)2 = 81
（8） 440( x +1)2 = 633.6
（9） −2( x − 4)2 + 9 = 5
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一元二次方程解法练习题
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142=-x
2、2)3(2=-x
3、()162812
=-x
二、 用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y
2、x x 4232=-
3、9642=-x x
三、 用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x
2、223
14y y -=
3、y y 32132=+
4、01522=+-x x
5、1842-=--x x
6、02322=--x x
四、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=
2、 x 2+4x -12=0
3、0862=+-x x
4、03072=--x x
五、用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法)
1、()()513+=-x x x x
2、x x 5322=-
3、2
260x y -+=
4、01072=+-x x
5、()()623=+-x x
6、()()03342
=-+-x x x
7、()02152
=--x 8、0432=-y y
10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122
=-+x
13、22244a b ax x -=- 14、36
31352=+x x 15、()()213=-+y y
16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32
=--+a x a x
18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x
21、 22、030222=--x x 23、01752=+-x x
24、1852-=-x x 25、3x 2+5(2x+1)=0 26、x x x 22)1)(1(=-+
解答题：
1、已知一元二次方程0132=-+-m x x .
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根
2、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．
（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0．
3、无论m 为何值时，方程04222=---m mx x 总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由。