2020版数学高考专题突破 (1)

第1节 平面向量的概念及线性运算

最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义

.

知 识 梳 理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算

3.共线向量定理

a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得

b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线. [微点提醒]

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A

1A n →

，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.

2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP

→＝12

(OA →＋OB →). 基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(3)向量AB

→与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )

(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上.

答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(必修4P108A1改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②

若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①

B.③

C.①③

D.①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →

互为相反向量，故③错误. 答案 A

3.(必修4P87A6引申改编)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )

A.OM

→ B.2OM

→ C.3OM

→ D.4OM

→ 解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.

答案 D

4.(2019·宜春调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等

式中成立的是( )

A.c ＝32b －12a

B.c ＝2b －a

C.c ＝2a －b

D.c ＝32a －12b

解析 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC

→＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →

－OA

→)＝32OB →－12OA →＝32b －12a .

答案 A

5.(2018·长沙检测)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →

|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形

D.菱形

解析 因为AD

→＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边

形ABCD 是等腰梯形. 答案 A

6.(2019·西安调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.

解析 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，

k ＋λ＝0，

解得k ＝12，λ＝－1

2.

答案 －1

2

考点一 平面向量的概念

【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b

|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－1

3b

D.a ⊥b

(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四

边形”的充要条件；

③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③

B.①②

C.③④

D.②④

解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b

|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b

|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直. (2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.∵AB

→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，

∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝

|DC

→|， AB

→∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .

④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A

规律方法 对于向量的有关概念应注意以下几点：

(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.