高一上学期期末知识点总结

高一数学主要知识点清单

必修一第一章《集合》

１．集合与元素

（1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 ∈ 或 ∉ 表示. (３)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、自然语言．

(４)常用数集：自然数集N;正整数集N *(或N +)；整数集Ｚ;有理数集Q;实数集R ． (5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集． 2.集合间的基本关系 (１)子集、真子集及其性质

子集：对任意的x ∈Ａ，都有ｘ∈Ｂ，则

B A ⊆(或A B ⊇).

真子集：若A ⊆B ，且在Ｂ中至少有一个元素x ∈B ,但x ∉A , 性质:φ⊆A ；A ⊆A ;A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ．

若A 含有ｎ个元素，则Ａ的子集有2ｎ个，A 的非空子集有 12-n 个．

(２）集合相等 若A ⊆B 且B ⊆Ａ,则 A=B . 3.集合的运算及其性质 (１)集合的并、交、补运算

并集：A ∪Ｂ＝{ｘ|x ∈Ａ或x ∈B ｝； 交集：A ∩B ={x |x ∈A 且ｘ∈B }；

补集：C U A =｛x ｜ｘ∈U 且x ∉A }．U 为全集,C U Ａ表示Ａ相对于全集U 的补集. (2)集合的运算性质

①A ∪B ＝A ⇔B ⊆Ａ，Ａ∩B =A ⇔B A ⊆；

②A ∩A =A ，A ∩Φ＝ Φ ； ③A ∪A ＝A ，A ∪Φ=Ａ;

④A ∩C U Ａ=Φ，A ∪C U A =Ｕ,C U (C U A )=A . （3）研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴 ４．函数的基本概念

(1)函数的定义:设Ａ、B 是非空 数集 ，如果按照某种确定的对应关系ｆ,使对与集合A 中的 任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一 确定的数f (x )和它对应，那么称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x ),ｘ∈A .

(2）函数的定义域、值域

在函数ｙ=f (x )，x ∈Ａ中,ｘ叫自变量，x 的取值范围Ａ叫做 定义域 ,与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (ｘ)|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3）函数的三要素： 定义域 、值域和对应关系．

（4）相等函数:如果两个函数的定义域和 对应关系 完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据． 5.函数的三种表示方法

（1） 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法．

(２)关于函数的解析式 ．函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

.(3)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等， 如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

已知复合函数ｆ［g(ｘ)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围; 当已知表达式较简单时,也可用凑配法；

若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出ｆ（x ）

(4)两个特殊的函数形式

分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况．

注意： 如: （１）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；

（2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。

复合函数 ：如果函数y ＝f （ｕ) (u ∈M)，ｕ=g(ｘ） (ｘ∈A)，则函数y=f ［g(x)］=F(x)（定义域为

}

)({M x g A x ∈∈ ） 称为f 、g 的复合函数。

（5）复合函数的单调性 两个函数．．．．复合而成的复合函数f[g(x ）]的单调性与构成它的函数ｕ=g （x ），ｙ=f(u)的单调性之间的关系是：同增异减。

注意:

函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ，不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.

６．映射的概念

一般地,设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ,使对于 集合A 中的任意一个元素

ｘ,在集合B 中都有 唯一 确定的元素y 与之对应,那么就称对应ｆ：Ａ→B 为从集合A 到集合B 的一个映

射.记作“f ：A →Ｂ”． ７．函数的单调性 (１)单调函数的概念

设函数ｙ＝f (ｘ)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的 任意 两个自变量ｘ1，ｘ２,当x １＜x ２时，都有

())()()()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说ｆ(x )在区间Ｄ上是增函数(减函数).

（2)单调区间的概念

如果函数ｆ(ｘ)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说ｆ(ｘ)在这一区间上具有(严格的）单调性， 区间D 叫f (x )的单调区间． 8．函数的最值

设函数y =f (ｘ）的定义域为Ｉ,如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ,都有 ｆ(x ）≤Ｍ（或f （x )≥M )；存在 x ０∈I ，使得f (ｘ0)＝M ．那么,称M 是函数y ＝ｆ（x )的最大值(或最小值)． ９．偶函数、奇函数的概念

一般地，如果对于函数f (ｘ)的定义域内任意x ,都有f (－x ）=ｆ（x )，那么函数f （x )就叫做偶函数．偶函数的图象关于 ｙ轴 对称．

一般地,如果对于函数ｆ(ｘ)的定义域内任意一个x ,都有ｆ(－x )＝—f (ｘ)，那么函数ｆ（x ）就叫做奇函数．奇函数的图象关于 原点 对称. 10．判断函数的奇偶性

判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是：

(1)考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇(偶）性的必要非充分条件． （２）考查表达式f (－x ）是否等于f (x )或－f (x ):

若f (-x )= －f (x ）,则ｆ(ｘ)为奇函数； 若ｆ (－x )= f (x ) ，则f (ｘ)为偶函数； 若ｆ(－ｘ)＝－ｆ(x )且f (－ｘ)＝f (ｘ),则f （x )既是奇函数又是偶函数；