多线性奇异积分算子的加权模不等式

k=1 j
z∈Q j
注意到
M（ …， fm） （x ） ≤C仪 （M （ │f k│（x ） ） ， r 軆 f1 ，
k=1 m m
利用 H觟lder 不等式可得到 ‖M（ …， fm） ‖L（R ， ≤C仪‖M （ │f k│ ） ‖p υ） r 軆 f1 ，
p n 軑 ω
由此得出引理 3 中②的结论 ． 对 ε>0， 令 Uε （x ） = ｛ （y1 ， …， ym） ∈ （R ） ：max │x- yk │ >ε ｝ ，
n m+1
p
关键词：多线性奇异积分算子； 光滑条件； 尺寸条件； 加权模不等式 中图分类号：O 174．2
设 m≥1， K （x， y1 ， …， ym） 是定义在 （R ） ｛ \ （x， y1 ， …， ym） ： x = y1 =… = ym｝ 上的局部可积函数， 如果 K 满 足标准尺寸条件， 即对所有的 （x， y1 ， …， ym） ∈ （R ） 且 x≠yk ， 其中 1≤k≤m， 存在常数 A>0， 使得 A │K （x， y1 ， …， ym） │ ≤ ， mn （ │x- y1 │ +…+│x- ym │ ） 并且满足光滑性条件： 当 max1≤ k≤m│x- yk │ ≥2│yk - yk ′│时， 对某一固定常数 γ∈ （0， 1］ ， 使得 │K （x， y1 ， …， yk ， …， ym） -K （x， y1 ， …， yk ′， …， ym） │ ≤ ， mn+γ （ │x- y1 │ +…+│x- ym │ ） │ ≥2│x- x′ │时， 同时， 当 max1≤ k≤m│x- yk A │x-x′ │ │K （x， y1 ， …， ym） -K （x′， y1 ， …， ym） │ ≤ ， mn+γ （ │x- y1 │ +…+│x- ym │ ） a ） T 是 m－线性算子； b ） 对于 q1 ， …， qm∈ ［1， ∞］ 和 q∈ （1， ∞ ） ， 其中 1/ q1 +…+1/ qm =1/q， T 是 L（R ） ×…× L （R ） 到 L （R ） 有界的； c ） 对于定义在紧支集上的函数 f1 ， …， fm∈L（R ） 且 x埸疑sup fj ，
p1 n pm n
Grafakos 和 Torres[4] 建立了 T 的 Ap加权估计和相应的极大算子
T * ． 近年来， Lerner， et al．[5]引入了新的极大算子， 在多线性 Calderón－Zygmund 算子和相应的交换子方面得到 了混合 Ap权估计 ． 关于多线性奇异积分算子的其它著作可参考 ［4， 6-8］ ． 本文将胡国恩， 施咸亮和张启慧 [9] 建立的经典算子的加权估计推广到多线性算子的情形 ． 设 E 为满足 μ （E ） <∞ 的可测集， 对于 δ≥0 和适当的函数 f， 令 1 ‖f‖L （log L ）， E =inf｛λ>0： μ （E ）E
k=1
ω1 ， …， ωm和具有有界支集的有界函数 f1 ， …， fm ，
m * ‖T（ f1 ， …， fm） ‖L（R ， ≤C仪‖f k‖Lp（R ， υ） M
p n 軑 ω
k
C 表示和主要参数无关的正常数， 但在不同的地方取值可能不同 ． 对任意的 p∈ ［1， ∞ ） ， p′ 表示 本文中， p 的共轭指标， 即 p′= p（ / p-1 ）． 对于 r∈ （0， ∞ ） ， 定义极大函数 Mr 为 Mr f （x ） = （M （ │f│） （x ） ） ．
m
‖M（ f1 ， …， fm） ‖L（R ， ≤C仪‖f k‖L （R ， υ） Mω ）． r 軆
p n pk n 軑 ω
证明
对每一固定的 λ>0， 令 Eλ = ｛x∈R ： M（ …， fm） （x ） >λ ｝ ， 对任意 x∈Eλ ， 存在方体 Qx 使得 r 軆 f1 ，
m
n
（ 仪
k=1 m
m （R n ）
y ， …， y ）f（ y ） … f （y ） dy …dy ， 乙 K（x，
1 m 1 1 m m 1 m
（4 ）
（A， γ ） 核， 则称 T 为 m－线性 Calderón－Zygmund 算子 ． 其中 K 是 m-CZK 当 m≥2 时， 它首先被 Coifman 和 Meyer 提出[1-2]， 在重要著作[3]中， Grafakos 和 Torres 研究了在 1≤p1 ， …， pm <∞ 条件下 T 在 L（R ） ×…× L （R ） 上的性质 ．
k=1
ML （x ） ≤2 （log L ）ω
δ
m-1
（ML （x ） ）． 仪 （log L ）ω
δ
证明
只需考虑 m=2 时的情况， 当 m≥3 时利用 m=2 时的结论及数学归纳法即可证明 ． 设 ω1 ， ω2 为权
r1 r2
r2 ∈ ［0， 1］ 并且 r1 + r2 =1 ． 令 ω = ω1 ω2 ， 为了证明如下估计 函数， 其中 r1 ， ML （x ） ≤2 （ML （ ） ）（ML （ ） ）， 1 x 2 x （log L ）ω （log L ）ω （log L ）ω
δ δ δ
只需证明对于所有方体 Q， 由齐次性， 可以假设 这意味着 1 │Q│
‖ω‖L ‖ω2‖L ． （log L ）， Q ≤C‖ω1‖ L （log L ）， Q （log L ）， Q
δ δ δ
‖ω1‖L （log L ）， Q =‖ω2‖ L （log L ）， Q =1，
δ δ
Q
ω（y ） log （e+ ω （y ） ） dy= 1 ω（y ） log （e+ ω （y ） ） d y≤ 1 ． 乙 乙 │Q│
＃ ＃ r 1/ r ＃
1
引理及其证明
引理 1[10] 存在正常数 C 使得对任意权函数 ω 和满足任意的 λ>0 和 ω （ ｛x∈R ： f（x ） >λ ｝ ） <∞ 的非负可
n
测函数 f，
Rn
乙f（x）ω（x）d x≤C 乙M
Rn
r1 r2
m
引理 2
设 δ>0， ω1 ， …， ωm为任意权函数， ω = ω 1 ω 2 …ω m ， 其中 r1 ， …， rm∈ ［0， 1］ ， Σrk =1 ． 则
r 1/ r 1 │f（ ） │ dy ） >λ ， k y │Qx│ Q
k k
x
这意味着
λ ≤仪 （
k=1
p
p p/ p 1 │f（ ） │ dy ） ． k y │Qx│ Q
k k
x
对任意紧集 G奂Eλ ， 由 Vitali 覆盖引理， 我们可得到一族不交的方体 ｛Qj｝ 使得 G奂∪j≥1 3Qj ． 由H觟lderr 不 j≥1 ， 等式可以得到 ω （3Qj） p/ p p/ p ≤仪 （ 1 ω（ ） dx ） ≤仪 （ inf Mω（ ） ） ， k x k y y∈Q 3Qj k=1 k=1 │3Q│ j 3Q
δ
f x ） │ │ （ f x ） │ log （e+ ） d x ≤1 ｝． 乙│（ λ λ
δ
收稿日期：2009-03-15 基金项目：河南省教育厅自然科学基金资助 （2007110006 ） 作者简介：彭国强 （1984） ， 男， 河南漯河人， 硕士研究生， 主要研究方向为多线性奇异积分算子 ） ， 女， 河南郑州人， 副教授， 主要从事应用数学研究 . 通信作者：原新凤 （1962-
k k
m
乙
［5］ 中引入 ． 我们将 M 该算子由 Lerner 在文献 ｛1， …， 1 ｝简记为 M ． 引理 3 令 r1 ， …， r m∈ ［1， ∞） ， p1 ， …， p m∈ ［1， ∞） ， 对任意满足 1 ≤ k ≤ m 的 k ， 使得 r k ≤ p k 成立 ． 令
m
軆= r ｛r1 ， r2 ， …， rm｝ ， p∈ （0， ∞） ， 1/ p =Σ1/ pk ．
第 27 卷 第 8 期 2009 年 8 月 文章编号： 1004-3918 （2009 ） 08-0887-06
河 南 科 学 HENAN SCIENCE
Vol.27 No.8 Aug. 2009
多线性奇异积分算子的加权模不等式
彭国强 1， 原新凤 2
（1． 信息工程大学 信息工程学院应用数学系，郑州 450002； 2． 河南工程学院，郑州 451191 ） 摘 要：建立了多线性 Calderón－Zygmund 奇异积分算子及其相关极大算子的交换子的一些加权 L 估计 . 文献标识码：A
m
乙
j
因此
ω （3Qj） p p/ p -p ω （G ） ≤CΣ │Qj│ ≤Cλ Σ仪 （inf Mω（ ） │f（ ） │ dy ） ≤ k z k y z∈Q k=1 j j │3Q│ Q j
j
m
Cλ 由此可直接得到① ．
-p
（inf Mω（ ） │f（ ） │ dy ） = Cλ 仪Σ k z k y
k=1
①如果存在某一 k 满足 r k = p（ ） ， 那么存在正常数 C 使得对任意权 ω1 ， …， ωm， k 1≤ k≤m
m
‖M（ …， fm） ‖L r 軆 f1 ，
②如果对于所有 k 满足 r k < p（ ） ， 那么存在正常数 C 使得对任意权 ω1 ， …， ωm， k 1≤ k≤m
k=1
…， ωm和具有有界支集的有界函数 f1 ， …， fm ， 使得对于任意权 ω1 ，
m
‖T （ f 1 ， …， fm） ‖L
* m