空间向量与立体几何高考题汇编62478

1.（2009北京卷）（本小题共14分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.

（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；

（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与

平面PDB 所成的角的大小.

解:如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h ==

则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，

∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）当2PD AB =

且E 为PB 的中点时，()

1120,0,2,,,222P a E a a a ⎛⎫

⎪ ⎪⎝

⎭， 设AC∩BD=O，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=-

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭， ∴2

cos 2

EA EO AEO EA EO

⋅∠=

=⋅， ∴45AOE ︒

∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒

.

2.(2009山东卷)（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

E

C

E 1

A 1

B 1

C 1

D 1

D

解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,

以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系, ,则D （0,0,0）,A （3,-1,0）,F （3,1,0）,C （0,2,0）C 1（0,2,2）,E （32,1

2

-,0）,E 1（3,-1,1）,

所以131(

,,1)22

EE =-,(3,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC =1(3,1,2)FC =-设平面CC 1F 的法向量为(,,)n x y z =则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以30

0x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取(1,3,0)n =,则

131

1310022

n EE ⋅=

⨯-⨯+⨯=,所以1n EE ⊥,所以直线EE 1//平面FCC 1. （2）(0,2,0)FB =,设平面BFC 1的法向量为1111(,,)n x y z =,则11100

n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以

11110320

y x y z =⎧⎪

⎨

-++=⎪⎩,取1(2,0,3)n =,则12130032n n ⋅=⨯-⨯+⨯=, 2||1(3)2n =+=,221||20(3)7n =++=,

所以11127

cos ,7||||27

n n n n n n ⋅〈〉=

==⨯,由图可知二面角B-FC 1-C 为锐角,所以二面角

B-FC 1-C 的余弦值为

7

7

. 3.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、

1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC

（I ）证明：AB AC =

（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。

（I ）分析一：连结BE ，

111ABC A B C -为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=︒

E

A B

C

F

E

A 1

B 1

C 1

D 1

D

x

z M

E 为1B C 的中点，BE EC ∴=。又DE ⊥平面1BCC ，

BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，

AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）

。 分析二：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，进而证AF ∥DE ，

AF BC ⊥，得AB AC =也可。

分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。

（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可。

作AG BD ⊥于G ，连GC ，则GC BD ⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，

60AGC ∠=︒.不妨设23AC =，则2,4AG GC ==.在RT ABD ∆中，由

AD AB BD AG ⋅=⋅，易得6AD =.

设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面

BCD 所成的角为α。利用111

33

B B

C BC

D S D

E S h ∆∆⋅=⋅，可求得h =23，又可求得143B C = 11

sin 30.2

h B C αα=

=∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒

分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n ，则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C 与法向量n 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益 4.（2009全国卷Ⅰ）(本小题满分12分)

如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =

，

2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。