0计算方法及MATLAB实现简明讲义课件PPS8-1欧拉龙格法

第8章

常微分方程初值问题数值解法

8.1 引言

8.2 欧拉方法

8.3 龙格-库塔方法

8.4 单步法的收敛性与稳定性

8.5 线性多步法

8.1 引 言

考虑一阶常微分方程的初值问题

00(,),[,],

().y f x y x a b y x y '=∈=（1.1） （1.2）

如果存在实数 ，使得

121212(,)(,).,R f x y f x y L y y y y -≤-∀∈（1.3）

则称 关于 满足李普希茨(Lipschitz ）条件， 称为 的李普希茨常数（简称Lips.常数）. 0>L f y L f (参阅教材386页)

计算方法及MATLAB 实现 所谓数值解法，就是寻求解 在一系列离散节点

)(x y

<<<<<+121n n x x x x 上的近似值 .

,,,,,121+n n y y y y 相邻两个节点的间距 称为步长.

n n n x x h -=+1 如不特别说明，总是假定 为定数， ),2,1( ==i h h i 这时节点为 . )

,2,1,0(0 =+=i nh x x n 初值问题(1.1),(1.2)的数值解法的基本特点是采取 “步进式”.

即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.

00(,),[,],

().

y f x y x a b y x y '=∈=

描述这类算法，只要给出用已知信息 ,,,21--n n n y y y 计算 的递推公式.

1+n y 一类是计算

时只用到前一点的值 ，称为单步法. 1+n y n y 另一类是用到 前面 点的值

， 1+n y k 11,,,+--k n n n y y y 称为 步法.

k 其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解 与 精确解 的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算 稳定性等问题.

n y )(n x y 首先对方程 离散化，建立求数值解的递推 公式.

),(y x f y ='

8.2 简单的数值方法

8.2.1 欧拉法与后退欧拉法

积分曲线上一点 的切线斜率等于函数 的 值.

),(y x ),(y x f 如果按函数 在

平面上建立一个方向场，那么， ),(y x f xy 积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.

在 平面上，微分方程

的解 称 作它的积分曲线.

xy )(x y y =),(y x f y ='

基于上述几何解释，从初始点 出发， ),(000y x P 先依切线 在该点的方向推进到 上一点 ，然后再 1x x =1

P 从 依切线 的方向推进到 上一点 ，循此前进 1P 2x x =2

P 做出一条折线 （图8-1).

210P P P 图8-1

7

9

一般地，设已做出该折线的顶点 ，过 依 切线 的方向再推进到 ，显然两个顶点

的坐标有关系 ),(n n n y x P n

P ),(111+++n n n y x P 1

,+n n P P 11n n n n y y x x ++-=-反解，得

).

,(1n n n n y x hf y y +=+（2.1）

这就是著名的欧拉（Euler ）方法. 欧拉法实际上是对常微分方程中的导数用差商近似，即

1()()n n y x y x h

+-≈直接得到的.

(,)d d n n x y y x =(,)

n n f x y 00(,),[,],().y f x y x a b y x y '=∈=1n n y y h +-=()(,())n n n y x f x y x '=

11

1(,)

n n n n y y hf x y +=+例

欧拉方法

13

若初值

已知，则依公式（2.1）可逐步算出 0y ),,(0001y x hf y y +=

),

,(1112y x hf y y +=).

,(1n n n n y x hf y y +=+（2.1）

例1 求解初值问题

⎪⎩⎪⎨

⎧=<<-

='

.

1)0(),

10(2y x y x y y （2.2）

解 欧拉公式的具体形式为

).

2(1

n

n

n n n y x y h y y -+=+取步长 ，计算结果见表8-1.

1.0=h 初值问题（

2.2）的解为 ，按这个解析式 子算出的准确值 同近似值 一起列在表8-1中，两者

相比较可以看出欧拉方法的精度不高.

x y 21+=)(n x y n y 1(,)

n n n n y y hf x y +=+12y x

=+

81()()0.1 1.1000 1.09540.6 1.5090 1.48320.2 1.1918 1.18320.7 1.5803 1.54920.3 1.2774 1.26490.8 1.6498 1.61250.4 1.3582 1.34160.9 1.7178 1.67330.5

1.4351

1.4142

1.0

1.7848

1.7321

n n

n n n

n x y y x x y y x -表计算结果对比 还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.

假设 ，即顶点 落在积分曲线 上，那么，按欧拉方法做出的折线 便是 过点 的切线（图8-2）. )(n n x y y =n

P )(x y y =1+n n P P )

(x y y =n

P