积分不等式的证明及应用论文
积分在不等式证明中的应用
积分在不等式证明中的应用摘 要：本文是根据积分的有关概念与性质，采用举例的方法归纳并总结了积分在不等式证明中的几种比较常见的技术和手法，同时重点突出了积分在不等式证明中的基本的思想与方法。
关键词：积分 不等式 应用Application of integral in proving inequalityAbstract:This article is based on concepts and properties about integral, several common techniques andpractices of the integral in the proving inequalities are concluded and summarized using the example of the way, while highlighting the integral in the proving inequalities of basic ideas and methods.Keywords:integral; inequality; application不等式证明不但是初等数学的重要课题，同时也是解决其他相关数学问题的基础知识。
在初等数学领域中有许多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、放缩法、归纳法、函数法、几何法等，但用这些初等方法证明不等式时证明过程比较繁琐，而常用的高等方法如微分法，则往往忽略了积分在不等式证明中的重要作用，本文着重从积分的一些定理和相关性质的方面来说明不等式证明的几种技术和手法，以便于从整体上更好地掌握证明不等式基本的思想方法。
1. 积分的定义在不等式证明中的应用从积分的定义出发来证明不等式，是很容易被忽略的一种方法，但是这种比较原始的证明方法有时却是一种很有效的证明方法。
例题1：设）（x ψ是[]a ,0上的连续函数，)(x f 二阶可导，0)(≥''x f ，试证：))(1()]([100dt t af dt t f a aa ⎰⎰≥ψψ. 证明：由题意知，0)(≥''x f ，故对于[]a x x x n ,0,,,21∈∀ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ ．若令n i a nix i ,,2,1),( ==ψ.则有)].(1[])([111a nin f a n i f n n i n i ∑∑==≥ψψ 故由根据题意可知，当+∞→n 时，有dt t f a n a a n i f a a n i f n an i n i ⎰∑∑→===011)]([1}])([{1])([1ψψψ, ⎰∑∑→⎪⎭⎫ ⎝⎛===a ni n i dt t a f n a a n i a f a n i n f 011].)(1[])([1)](1[ψψψ 从而))(1()]([100dt t a f dt t f a aa ⎰⎰≥ψψ. 值得注意的是，此题还可以采用积分中值定理来证明。
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用
【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个积分不等式的方法，并给出了相应的例题，从而更好的掌握其积分不等式的证明方法。
然后再给出重要不等式及其证明方法，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式上的应用及其两个重要积分不等式的应用。
【关键词】积分不等式、Schwarz 不等式、Holder 不等式、Gronwa11不等式、Yong 不等式 1 引言
在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2
1
x e e dx -⎰），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，后近似计算，另一种情况是，被积函数是没有明确给出只知道它的某些结构或性（例如设函数y 在（0，1）上连续可微，且（(1)(0)1,f f -=求1
20()f x dx -⎰），应此我们希望对积分值给出某种估计，为此我们来研究积分不等式。
我们把含有定积分的不等式称为积分不等式。
2
2211ln ,(()cos )(()sin )1b b a a xdx x xdx f x xdx f x xdx ≤+≤⎰⎰⎰⎰都是积分不等式。
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用一、积分不等式的证明方法：1.使用定积分定义证明：对于一个函数f(x)，如果在[a,b]上f(x)≥0，那么可以使用定积分的定义进行证明。
将[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，那么对于每个小区间，存在一个ξi ∈ [x_{i-1}, x_i]，使得f(ξi)Δx_i≤∫_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx。
对于所有小区间，将不等式相加并取极限即可得到定积分不等式。
2.使用导数的性质证明：对于一个函数f(x)，如果能够表示出它的导数f'(x)，那么可以使用导数的性质进行证明。
首先计算f'(x)，然后判断f'(x)的正负性，再根据函数在[a,b]上的取值情况，可以得到相应的不等式。
例如，如果f'(x)≥0，那么f(x)在[a,b]上是单调递增的，可以得到∫_a^bf(x)dx≥∫_a^b f(a)dx=f(a)(b-a)。
3.使用恒等式和变量替换证明：对于一个复杂的积分不等式，有时可以通过引入合适的恒等式或进行变量替换来简化证明过程。
例如，对于形如∫_a^b f(x)g(x)dx≥0的不等式，可以通过将f(x)g(x)拆分为两个函数的平方和，然后应用恒等式a^2+b^2≥0进行证明。
或者，可以通过进行变量替换将不等式转化为更简单的形式，然后再进行证明。
二、积分不等式的应用：1.极值问题：2.凸函数与切线问题：3.平均值不等式：平均值不等式是积分不等式的一种特殊情况，它可以用于证明平均值与极值之间的关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，可以通过证明(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx≥ƒ(ξ)来得到平均值与极值之间的关系。
4.泛函分析问题：总结起来，积分不等式的证明方法包括定积分定义证明、导数性质证明、恒等式和变量替换证明等等。
而积分不等式的应用包括解决极值问题、研究凸函数的性质、平均值不等式以及泛函分析问题等。
积分不等式的证明
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１ 用微 积 分 的 方 法 证 明不 等 式 １． 借 助积 分 上 限函 数把 积分 不等 式 转 化 １ 为 函 数不 等 式 的 证 明
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利用函数单调性证明积分不等式(修改)
利用函数单调性证明积分不等式黄道增 浙江省台州学院 （浙江 317000）摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。
关键词：函数单调性 积分不等式 辅助函数 中图分类号 O172.2积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。
如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。
本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。
1 利用被积函数的单调性证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f ba b a ⎰⎰≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数，证明：对于10<<<βα，有⎰⎰>βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得：若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥所以)()()(00αααααf dx f dx x f =≥⎰⎰ （1） 同理有 )()()()(ααβαβαβαf dx f dx x f -=≤⎰⎰ （2） 由（1）（2）得：dx x f f dx x f ⎰⎰-≥≥βαααβαα)(1)()(10 （3） 将（3）式两边同乘以βαβα)(-，有 dx x f dx x f ⎰⎰≥-βααβαβαβ)()(0 因为1<-βαβ，所以⎰⎰>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x⎰⎰-≥-1021021sin 1cos .分析：不等式两边的积分是瑕积分。
在两边的积分中分别作变换x t arccos =与x t arcsin =，原不等式可化为dt t dt t ⎰⎰≥2020)sin(cos )cos(sin ππ，欲证不等式，只需证明)sin(cos )cos(sin t t ≥，)2,0(π∈t ，而)sin(cos )sin 2sin()cos(sin t t t ≥-=π。
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新疆财经大学本科毕业论文题目 : 微分和积分在不等式中的应用学号： 2005101412 学生姓名：阿卜杜瓦哈普·阿卜杜热西提院部：应用数学学院专业：应用数学年级：数学06-2班指导教师姓名职称：阿孜古丽·伊克木（讲师）完成日期：年月日摘要微积分和不等式都是数学中极为重要的内容,本文在回顾了几种常用的证明不等式的初等方法后,利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极（最)值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探讨不等式的证明方法，最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用．微积分是数学中的重要组成部分,是研究函数的性质，证明不等式,探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具．微积分的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和新的途径，可以说微积分是打开数学知识大门的一把钥匙.微积分在实际生活中的应用非常广泛，在不等式证明中也发挥着巨大的作用。
不等式的证明方法很多，灵活地运用微积分的性质及相关定理是解决许多不等式证明问题的关键．本篇论文归纳和总结了一些证明不等式的方法与技巧，利用微积分证明不等式的基本思想和基本方法，提出了运用这些方法和技巧能够使不等式的求解过程更为简单的思路．．关键词：微积分；不等式;微分中值定理；泰勒公式;函数的单调性；极（最)值的判定法;目录前言 (1)第一章微积分 (2)§1微积分的发展 (2)§2微积分的概念 (3)第二章不等式 (7)§1不等式的定义和性质 (7)§2常用的证明不等式的方法 (8)第三章微积分在不等式中的应用 (12)§1利用微分证明不等式 (12)§2利用积分证明不等式 (19)结论 (23)参考文献 (24)致谢 (25)前言在高等数学中常常要证明一些不等式.而不等式的证明方法很多，在以往多采用代数或几何方法,现在可借助于微积分的知识，这是普遍应用的一种方法。
关于积分不等式的证明
关于积分不等式的证明积分不等式是高等数学中的一个重要概念，它可以用来研究函数的性质和求解各类数学问题。
下面将对积分不等式进行证明并详细介绍其应用。
首先，我们来证明\[f(x)\geq0, x\in[a,b]\]是一个有界函数，则其积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]也是有界函数。
证明：我们将证明积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]具体分为以下两种情况：情况一：当\(F(x)\geq0，x\in[a,b]\)时，由于函数\(F(x)\)是连续的，所以根据闭区间上连续函数的值域定理，存在\(c\in[a,b]\)使得\(F(c)=M\)（其中，\(M\)是\(F(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值）。
假设\(M<0\)，则存在\(\delta>0\)，使得当\(x\in[a,b]\)且\(0<，x-c，<\delta\)时，有\(F(x)>F(c)\)。
进一步，根据积分的定义，我们可以找到\(\varphi(x)\)使得\(F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\)。
由于函数\(f(x)\geq0，x\in[a,b]\)，所以有\(\varphi(t)\geq0\)。
结合前面的不等式，有\[F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]。
注意到当\(x=c\)时，左边等式成立。
根据积分的唯一性定理，我们可以得到\(\varphi(t)\geq0\)。
因此，当\(x\in[c-\delta,c+\delta)\)时，\(\varphi(t)>0\)。
进一步，根据连续函数局部连续性的定理，我们可以找到\([\alpha,\beta]\subset[c-\delta,c+\delta)\)，使得\(\varphi(t)>0\)，当\(t\in[\alpha,\beta]\)。
微积分在不等式中的应用论文
摘要微积分和不等式都是数学学科中极为重要的内容，其证明通常不太客易。
本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值（最值）的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用徽积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。
用微积分证明不等式成立, 基本思路是构造一个辅助函数, 然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式.关键词微积分不等式中值定理函数性质泰勒公式定积分性质1AbstractCalculus mathematics and inequality are extremely important, the proof is not usually easily. This paper reviews several commonly used to prove inequality elementary methods, using the differential mean value theorem, monotone of function, extreme value ( maximum ) decision method, function, convex and concave nature of Taylor formula, the nature of definite integral and some knowledge of calculus of the inequality proof method, this paper discusses how clever use of emblem integral knowledge and the method to solve some of the problems of inequality.Using calculus to prove inequality is established, the basic idea is the construction of an auxiliary function, then make use of infinitesimal calculus to derive the properties of function to prove inequality.Key words calculus inequality theorem function Taylor formulaof definite integral character目录摘要 (I)1 Abstract (II)2 前言 (1)3 微积分 (2)2.1微积分的定义 (2)2.2微积分的发展历史 (3)2.3微积分学的创立的意义 (4)2.4微积分不断深化 (5)4 微积分在不等式中的应用 (6)5 利用微分中值定理证明不等式 (7)6 利用函数的单调性证明不等式 (8)7 利用函数的最值(极值)证明不等式 (9)8 利用函数的凹凸性质证明不等式 (10)9 利用泰勒公式证明不等式 (11)10 利用定积分的性质证明不等式 (12)结论 (13)参考文献 (16)附录 (17)致谢......................................................................................................... 错误！未定义书签。
利用积分的性质证明不等式
利用积分的性质证明不等式积分是微积分中非常重要的概念，它可以用来计算函数的面积、曲线的弧长、函数的平均值等等。
在解决实际问题时，我们经常会利用积分的性质来证明不等式，这种方法可以简化问题的分析过程，提高解题效率。
下面以证明柯西不等式为例，详细介绍如何利用积分的性质来证明不等式。
柯西不等式是一个非常著名的数学不等式，它的数学表达式如下：对于任意的实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)²要证明柯西不等式，我们可以利用积分的性质，首先将函数f(x)进行平方，然后对其进行积分，进而推导出柯西不等式。
假设f(x)为定义在区间[a, b]上的连续函数，我们可以定义一个函数g(x) = f²(x)。
接下来我们对g(x)在区间[a, b]上求积分，表示为∫[a,b]g(x)dx。
由于g(x)是f(x)的平方，根据积分的性质，可以得到：∫[a,b]g(x)dx = ∫[a,b]f²(x)dx。
接下来我们对函数f(x)进行两次积分，得到的结果如下：∫[a,b]f²(x)dx = ∫[a,b][∫[a,b]f(x)du]dx。
我们可以看出，这个双重积分相当于对函数f(x)在区域C内进行了两次求面积的操作。
接下来，我们将C内部的每个小矩形区域的面积加起来，即得到整个区域C的面积。
设每一个小矩形的宽度为Δx，在区域C内任意选取一个点(ξ,x)。
根据微积分的定义，存在一点c，使得：f(ξ)-f(c)=f'(c)Δx。
根据上面的表达式，我们可以得到：f(ξ)-f(c)=f'(c)Δx≥0。
我们可以看出，f'(c)代表函数f(x)的导数，而根据导数的定义，它反映了函数f(x)在特定点的变化率，也可以理解为函数f(x)的斜率。
积分的不等式
积分的不等式积分是数学中的一个重要概念，它在微积分和积分学中有着广泛的应用。
而积分的不等式则是指在积分运算中涉及到的不等式关系。
本文将围绕积分的不等式展开，分析其应用和性质。
我们来讨论积分不等式的基本概念。
在积分运算中，我们常常会遇到对函数进行积分的情况。
而积分不等式则是指在积分的过程中，函数满足的不等式关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果在一个区间[a, b]上，f(x)≥0，则可以得到积分不等式∫[a, b]f(x)dx≥0。
这个不等式表明了函数f(x)在[a, b]区间上的积分结果大于等于0。
接下来，我们将探讨积分不等式的性质。
首先，对于一个连续函数f(x)，如果在一个区间[a, b]上，f(x)≥g(x)，则可以得到积分不等式∫[a, b]f(x)dx≥∫[a, b]g(x)dx。
这个不等式表明了函数f(x)在[a, b]区间上的积分结果大于等于函数g(x)在该区间上的积分结果。
换句话说，如果一个函数在某个区间上大于等于另一个函数，那么它们在该区间上的积分结果也会有相应的关系。
我们来研究积分不等式的应用。
在实际问题中，积分不等式常常被用来求解函数的上下界或估计函数的取值范围。
例如，我们可以通过积分不等式来证明柯西不等式和零点定理等重要的数学定理。
此外，在物理学、经济学等领域中，积分不等式也被广泛应用于求解最优化问题和优化分析等方面。
我们来总结一些常见的积分不等式。
首先是柯西-施瓦茨不等式，它是积分不等式的重要应用之一。
其次是均值不等式，它包括了算术均值不等式、几何均值不等式和调和均值不等式等。
此外，还有切比雪夫不等式、霍尔德不等式、琴生不等式等等，它们在积分不等式的研究中起到了重要的作用。
积分不等式作为积分运算中的重要内容，具有广泛的应用和重要的意义。
通过对积分不等式的研究和应用，我们可以更好地理解函数的性质和优化问题的求解方法。
同时，积分不等式也是数学领域中的一个重要研究方向，对于推动数学的发展和应用具有重要的作用。
积分不等式的证明及应用
衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分不等式的证明及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号：08090233作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟2012年4 月27 日积分不等式的证明及应用数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟摘要 本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数0. 引言积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz 不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1. 积分不等式的证明方法1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1) 若()x f 在][b a ,上连续, 则至少存在一点ζ∈][b a ,,使得()()()a b f dx x f b a-=⎰ζ.积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设()x f 在][1,0上可微,而且对于任意)(1,0∈x ,有()M x f ≤'||, 求证:对任意正整数n 有()nMn i f n dx x f n i ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=111,其中M 是一个与x 无关的常数. 分析 由于目标式中一个式子为∑=⎪⎭⎫⎝⎛n i n i f n 11,另一个式子为()dx x f ⎰10,故把()dx x f ⎰10按区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有()()⎰∑⎰=-=111ni n ini dx x f dx x f ()∑==ni i n f 11ζ,⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈n i n i i ,1ζ,.,,2,1n i =又因为()x f 在][1,0上可微,所以由微分中值定理可知,存在 ⎝⎛⎪⎭⎫∈n i i i ,ζη,使得,()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i n i f f n i f ζηζ,.,,2,1n i = 因此()()∑∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i n i i n i n i f n f n n i f n dx x f 1111111ζ()()()nM n M n n i f n f n i f n f n i f n n i i n i i n i i n i i =≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=-⎪⎭⎫⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑====111111111ζηζζ.在抽象函数()x f 的积分不等式中,若出现和号∑、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间][b a ,n 等分,点i ζ也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f 满足如下条件:()i f 在][b a ,上连续；()ii f 在)(b a ,内可导, 则在)(b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()ab a f b f f --='ζ. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设()x f '在][b a ,上连续.证明:若()a f =()b f 0=,则()⎰badx x f ≤()M a b 42-,][()x f Max Mb a x '=∈,.分析 由条件()a f =()b f 0=,及()x f '与()x f ,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+2,b a a , ()()()a f x f x f -=()()x a a x f <<-=11,ζζ.对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+b b a ,2,()()()b f x f x f -=()()b x b x f <<-=22,ζζ.()()()()⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⇒b b a x x b M x f b a a x a x M x f ,2,,2,,, 故()()()⎰⎰⎰+++=b b a b a ab adx x f dx x f dx x f 22()()⎰⎰+++≤bb a b a adx x f dx x f 22()()⎰⎰++-+-≤bb a b a adxx b M dx a x M 22()M a b 42-=.注意到M 是()x f '在][b a ,上的最大值,所以解题的关键是如何使()x f 与()x f '联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x ,式中相同的字母也换成x ,移项,使得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.例3 设函数()x f 在][1,0上连续,证明不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .分析 此例若令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxdt t fdt t f x F 0220,则()x F '的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t fx dt t f x F 0220显然,()00=F ,且()x F 可导,有()()x f x F 2='()dt t f x⎰0()()t xf dt t fx202--⎰()()[]⎰≤--=xdt t f x f 020,则()x F 在0≥x 时单调减小,即有()()0,00≥=≤x F x F ,特别地,(),01≤F 即证得不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .例4 设函数()x f 在][1,0上可微,且当)(1,0∈x 时,()10<'<x f ,()00=f ,试证 ()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .证 问题在于证明()()0103210>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰dx x f dx x f , 令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t f dt t f x F 0320,因为()00=F ,()()()()()()(){}x fdt t f x f x f dt t f x f x F xx23022-=='⎰-⎰,已知()00=f ,()10<'<x f ,故当)(1,0∈x 时,()0>x f , 记()=x g ()()x fdt t f x22-⎰,则()00=g ,()()()()x f x f x f x g '-='22=()()[]012>'-x f x f ,)(1,0∈x , 于是()=x g ()()>-⎰x fdt t f x 22()00=g ,)(1,0∈x ,故(),0>'x F )(1,0∈x ,所以()()001=>F F ,即()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数()x f ,()x p ,()x g 在][b a ,上连续,()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .该不等式称为切贝谢夫不等式.分析 只要证()()()()()()()()0≥-=∆⎰⎰⎰⎰babababadx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故()()⎰⎰=babady y p dx x p ,()()()()⎰⎰=babady y g y p dx x g x p .()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-=∆babababady y g y p dx x f x p dx x g x f x p dy y p()()()()()()()()[]dxdy y g x f y p x p x g x f x p y p D⎰⎰-=()()()()()[]dxdy y g x g x f y p x p D⎰⎰-= ()1其中,积分区域()b y a b x a D ≤≤≤≤;.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x 与y 的位置,得到()()()()()[]dxdy x g y g y f x p y p D⎰⎰-=∆ ()2将()1式与()2式相加,得()()()()[]()()[]dxdy y g x g y f x f y p x p D--=∆⎰⎰21,由已知, 可知()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,从而()()[]y f x f -与()()[]y g x g -同号, 于是在D 上()()y p x p ()()[]y f x f -()()[]y g x g -0≥,从而,0≥∆. 即()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .例6 若函数()x f 在][1,0上不恒为零且连续增加,则()()()()⎰⎰⎰⎰≤1210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f . 证 由于在][1,0上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于()()⎰⎰-=∆101032dx x xf dx x f()()0102103≥⎰⎰dx x xf dx x f ,而 ()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()⎰⎰102103dx x xf dx x f()()()()dxdy y xf x f dxdy y yf x f DD⎰⎰⎰⎰-=3232()()()dxdy x y y f x f D⎰⎰-=32 ()3其中,积分区域()10;10≤≤≤≤y x D 因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有()()()dxdy y x x f y f D⎰⎰-=∆32 ()4将()3式与()4式相加,得()()()()()[]dxdy y f x f x f y f y x D--=∆⎰⎰2221,由已知,函数()x f 在][1,0上连续增加,从而对任意的][1,0,∈y x ,有()()()()()[]022≥--y f x f x f y f y x ,故()()()()⎰⎰⎰⎰≤1213102103dx x xf dx x xf dx x f dx x f. 从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设()0>x f ,且在][b a ,上连续,试证()()()2a b x f dx dx x f bab a-≥⎰⎰. 分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式. 证 由题设对任意的λ,考察函数()()x f x f λ+,因为()()02≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+x f x f λ,有 ()()022≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰dx x f x f ba λλ,即()()022≥++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx b a b a b a λλ, 不等式的左端可以看成λ的二次三项式,且对任意的λ上述不等式均成立, 故判别式()()()0422≤-⎰=∆⎰⎰b abab adx x f x f dx dx ,即()()()2a b x f dx dx x f b a b a -≥⎰⎰. 用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程()x g ,而()02≥x g ,于是我们构造()02≥⎰dx x g ba这样一个方程,再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式命题1 当积分区域关于直线x y =对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数()x f 在][b a ,上取正值且()x f 在][b a ,上连续试证:()()()2a b dxdy y f x f h-≥⎰⎰,][b a b a h ,;,=.证 因为][b a b a h ,;,=关于直线x y =对称,从而()()()()dxdy x f y f dxdy y f x f I hh⎰⎰⎰⎰==,所以()()dxdy y f x f I h⎰⎰=()()()()dxdy x f y f y f x f h ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21()21a b dxdy h-=≥⎰⎰. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式积分第二中值定理的推论:设函数f 在][b a ,上可积.若g 为单调函数,则存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x f b g dx x f a g dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+=ζζ.应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.例9 设函数()x f 在][b a ,上单调递增连续,则()()dx x f b a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 证 假设函数()2ba x x g +-=,显然()x g 在][b a ,上可积,又函数()x f 在][b a ,上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f baba⎰⎰⎰+=ζζ()*且()*式又可变为()()()()[]()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+--=ζζ.由定积分的几何意义知()()[]dx x g dx x g ba⎰⎰-=ζζ,][b a ,∈ζ,同时,()()b f a f ≤,于是,()()()()[]()0≥-=⎰⎰dx x g a f b f dx x g x f bbaζ,即()02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎰dx x f b a x ba ,故()()dx x fb a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 2. 一些特殊积分不等式的应用2.1 Chebyshew 不等式及其应用Chebyshew 不等式 设()()x g x f ,同为单调递减或当调递增函数,则有()()()()()⎰⎰⎰-≤⋅bab abadx x g x f a b dx x g dx x f .若()()x g x f ,中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为()()()()()⎰⎰⎰-≥⋅bab ab adx x g x f a b dx x g dx x f .Chebyshew 不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设()x g 是][1,1-上的下凸函数,()x f 为][1,1-上的偶函数且在][1,0上递增,则,()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew 不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew 不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令()()()x g x g x -+=ϕ.证 令()()()x g x g x -+=ϕ,显然()x ϕ也为][1,1-上的偶函数,由于()x g 是][1,1-上的下凸函数,故当1021≤≤≤x x ,()()()()()21212121x x x g x g x x x g x g --≤------, 即()()()()1221x g x g x g x g -≤---,即()()21x x ϕϕ≤,所以()x f ,()x ϕ在][1,0上为增函数, 由Chebyshew 不等式知,()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰≤1101ϕϕ()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔11111122121ϕϕ,可得()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .2.2 利用Schwarz 不等式证明积分不等式Schwarz 不等式 若()()x g x f ,在][b a ,上可积,则()()()()()dx x g x fdxx g x f bab a222⎰≤⎰.Schwarz 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知()0≥x f ,在][b a ,上连续,()1=⎰b adx x f , k 为任意实数,求证:()()()()1sin cos 22≤⎰+⎰dx kx x f dx kx x f ba b a ()5证 ()5式左端第一项应用Schwarz 不等式得()()()()()[]22cos cos dx kx x f x f dx kx x f ba b a⎰=⎰()()dx kx x f dx x f baba⎰⎰⋅≤2cos ()dx kx x f ba⎰=2cos ()6同理()()()dx kx x f dxkx x f bab a⎰≤⎰22sin sin ()7()()()式即得576+.此题证明的关键在将()x f 写成()()x f x f ⋅的形式,以便应用Schwarz 不等式.2.3 Jensen 不等式定理3 设()x f 在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,又()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式()()()⎰⎰-≤⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a dx x f a b dx x f a b ϕϕ11 ()8 注 若()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数,则()8式中的不等式号反向.定理4 设()()x p x f ,在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,()()b x a x p ≤≤>0,()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数,则有()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b ababa b adxx p dx x f x p dx x p dx x f x p ϕϕ ()9注 当()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数时,()9式中的不等号反向. 例12 设()x f 在][b a ,上连续,且()0>x f ,则对任意的自然数n ,有()()⎰⎰-≥⎪⎭⎫⎝⎛-b ab a dx x f n ab dx x f a b n ln 11ln .证 令()t n t ln =ϕ,那么()t n t 1='ϕ,()012<-=''tn t ϕ,故()t ϕ为凹函数,显然()x f 在()t ϕ的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设()()x p x f ,是][b a ,上的正值连续函数,则对任意的自然数n ,有()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎰⎰⎰⎰b a b a babadx x p dx x f x p n dxx p dxx f x np ln ln .证 令()t n t ln =ϕ由上例知()t ϕ为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young 不等式的应用Young 不等式 设()x f 是单调递增的,连续于][a ,0上,()00=f ,0,≥b a ,()x f 1-表示()x f 的反函数,则()()dy y fdx x f ab ab⎰⎰-+≤01,其中等号成立当且仅当()b a f =.Young 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:1,≥b a 时,不等式b b e ab a ln 1+≤-成立. 证 设()1-=x e x f ,则()x f 单调并连续,()()y y f +=-1ln 1,因为1,≥b a ,由Young 不等式有,()()()()⎰⎰----+--+=+≤--11111ln 11a b a b a b b e dy y fdx x f b a ,故b b e ab a ln 1+≤-. 2.5 Steffensen 不等式Steffensen 不等式 设在区间][b a ,上,()x g 1 ,()x g 2连续,()x f 一阶可导,任给][b a x ,∈,成立不等式()()dt t g dt t g xaxa⎰⎰≤21,且()()dx x g dx x g baba⎰⎰=21.若()x f 在][b a ,上单调递减,则()()()()dx x g x f dx x g x f b aba21⎰⎰≤;若()x f 在上单调递增上述不等式变号.例15 证明dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 证 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π,因为x x sin 1cos ≤+-,所以有⎰⎰≤x x tdt tdt 00cos sin ;此外,显然有1cos sin 2020==⎰⎰ππxdx xdx 且函数211x +在⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π上单调递减,从而根据Steffensen 不等式,知dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 结论总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz 不等式和Jensen 不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35. [3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2003. [5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102. [6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young ’s 不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108. [8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109. [9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequalityDepartment of Mathematics and Computational Science Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233 Name:ShengJunyu Instructor:XiaoJuanAbstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality; theorem of mean; function。
毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效 证明方法。
关键词：定积分不等式证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明 却一直是一个难点。
要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定 证明方法。
本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证 法。
1 .运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与 该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。
a例1 ：设f (x)在［0,1］上连续且单调不增，证明a € ［0,1］有°f(x)dx >a °f (x)dx .aa1证明：由原不等式变形得0f (x)dx>a( 0 f (x)dx 0f (x)dx),a1即是要证：(1 a)0f(x)dx > a 0f(x)dx ,对左式，f (x)在［0,1］上连续，故由定 积分中值定理 知：10, a 使a(1 a)0f (x)dxa(1 a)f( 1),冋理对右式：21a ,使 a 0f(x)dx a(1 a)f( 2),显然, 1< 2又f(x)在［0,1］上单调不增,二 f (1)> f (2)a1故原不等式o f(x)dx > a o f (x)dx 成立.定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握 2 .运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限 (下限)换成x ,移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。
然后再求F 'x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。
例2:设f(x)在［a , b ］上连续，且f(x) >0.f(x) f(t)• f (X )> 0,.. f (t) f (x)又a < x ，二 F '(x)0 ,即F(x)单调不减，又F (a)bb12故 f (x)dx dx (b a) 故 a a f (x)该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。
微积分在不等式证明中的应用探究
微积分在不等式证明中的应用探究微积分是一门非常重要的数学分支，其在数学、物理、工程以及经济学等各个领域都有广泛的应用。
在不等式证明中，微积分也有着很大的作用，可以帮助我们更好地理解和证明不等式。
本文将探讨微积分在不等式证明中的应用。
一、不等式证明的基本思路不等式证明是数学中的一个重要问题，它的基本思路是通过变形来证明不等式的成立。
通常，我们可以将不等式转化成一个函数的形式，然后利用微积分的思想对函数进行研究，进而得到不等式的证明。
二、微积分在不等式中的应用微积分在不等式证明中有着广泛的应用，下面列举几个例子来说明。
1. 极值法极值法是一种常用的证明不等式的方法。
当我们要证明一个不等式时，我们可以先找到函数的极值点，然后利用函数在极值点处的取值来说明不等式成立。
具体实现方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过求解f(x)的导数来找到极值点。
假设f(x)的导数为0，即f'(x)=0，则f(x)在x处取得极值。
根据极值的定义，我们知道当f(x)在极值点处取到最大值或最小值时，不等式a≤f(x)≤b都会成立。
例如，要证明不等式sinx≤x（0≤x≤π/2），我们可以定义函数f(x)=x-sinx，然后求出f'(x)=1-cosx。
当f'(x)=0时，即cosx=1，这时f(x)的极小值为0，因此sinx≤x成立。
2. 积分法积分法也是证明不等式的一种重要方法。
具体方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过积分来获得f(x)在[a,b]上的取值。
具体来说，我们可以定义函数g(x)为a≤g(x)≤b且f(x)≤g(x)，然后计算g(x)在[a,b]上的积分，即∫[a,b]g(x)dx。
由于a≤f(x)≤g(x)且g(x)在[a,b]上的积分一定小于等于f(x)在[a,b]上的积分，因此就能证明不等式的成立。
积分不等式在证明不等式中的应用
证 令‘ ） （＋（ ０ １由 ／）偶函 所以 Ｊ厂） ）＝一 明 ｐ ＝ ‘ （ ｇ）Ｐ ，ｓ ｓ ， 于 为 数， 易证 — ｇｔ Ｊ ｒ ｔ 。 ｘ
若 ， ） 一 增函数， 一个是 ｍ） 中 个是 另 减函数， 不等式变 ｆ 出・ｎ ｄ≥６ ｊ ｇ 则 形为 ｒ Ｊ ∽ ｘ （ ｒ ∽出 ｒ ｇ 一
ｎ 口 ｎ
１ ２ 关 于凸 函数 的两个重 要积 分不 等 式 ．
ｆｂ
（Ｊｓ 不 式： 【 ： １ ｅｅ 等 （见３ 设 ） ｎｎ 参 ］ ）
说明 ： 当是 闭 Ｉ ＂Ｄ，】 的严 格下 凸 函数时 ， Ｘｆ ６上 － Ｉ 不等式 是严格 的． 是 琴 生不 等式 的特殊 形式 ， 用起 来更 加方 便 ， 为广泛． 应 更
（ １ ． ３ ）
１ ｉ ２ Ｉ￣个积 分不 等式是 关 于凸 函数 的两个 最重要 的积 分不 等式 ， － 也是 凸 函数 的一 个重要 性质 ． 特别
１
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ｆ ｄ（ Ｏ ） ｆ 山） ｂ ≤ ｄ 。 ） （Ｄ ． ２
（） ｈｂ ｓｅ ２Ｃ ｅｙｈ ｗ不 等式（ ： 同为单 调递 减 或单调 递增 函数 ， 有 Ｉ设 ） 则
ｒ ｂ ｒ ｂ ，
ｊ（ｄ・ｎ ） ｓ６ Ｉ （ｇ） ｘ ｘ ｉ ｄ （ ｊｆ ）ｘｘ ｎ ） 一 ｘ （ｄ ｆ ｇ ｎ
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若 ‘ｔ Ｐ） （ 为上 凸函数 ， 不等号 反 向． 则
Ｊｎｅ ｅ￣ｎ不等式 还有 一个 特殊 形式 ： 是 区间 ，Ｉ 设／ ） ／上的 可积 函数 ， ｍ ， 且
，
≤ ， 叉设 Ｏ是 区 间 ）
几个重要的积分不等式(硕士论文)
2011届学士学位论文几个重要的积分不等式学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向函数论学生姓名学号指导教师姓名指导教师职称副教授2011年4月15日几个重要的积分不等式（）摘要在本文中,本人首先给出一类非线性Gronwall-Bellman 型积分不等式.然后,本人又给出Bihari型积分不等式的某些推广,并在此基础上进一步推广了所谓的Holder Cauchy-Schwarz等几个重要积分不等式并给出了不同的证明方法.不等式起着非常重要的作用.已有的大量研究工作对其进行了各种形式的推广,并获得了一系列好的结果.关键词微分不等式,积分不等式,微分方程,微分差分方程,不同的证明方法Several important integral inequality()AbstractIn this thesis, I first give a class of nonlinear integral inequality Gronwall-Bellman. Then, I give some of Bihari type integral inequalities promotion, and on this basis to further promote the so-called Holder Cauchy-Schwarz inequality several important points and gives a different proof. Inequality plays an important role. There's a lot of research work was carried out in various forms of promotion, and received a series of good results.Keywords differential inequality, integral inequalities, differential equations, differential difference equation, a different method of proof目录引言 (1)一、积分不等式的提出 (1)二、Gronwall不等式 (2)三、一类非线性Gronwall－Bellman型积分不等式 (3)四、Bihari型积分不等式及其推广 (6)五、Holder Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (8)六、应用 (13)参考文献 (15)致谢 (16)引言积分不等式是含有未知函数积分的不等式.积分不等式是不等式的一个重要类型.由于来源于自然科学、工程技术,特别是数学各个分支的非线性微分方程很难求出显式解,多数情况下根本不可能求出显式解,这样在研究非线性微分方程解的行为时,知道解的界是很有意义的,而积分不等式恰好能提供非线性微分方程和积分方程解的界,所以积分不等式是研究非线性微分方程,积分方程和积分微分方程的一个重要工具.一、积分不等式的提出考虑齐次变系数线性微分方程组 0(),()X A t X X X α'== (1.1.l)其中X 是n 维向量,()A t 是[],αβ上的n n ⨯阶连续矩阵函数.尽管这个微分方程组求解十分困难,但我们可以做如下的估计.由(1.1.l)可以推出不等式 0()()()tX t X A s X s d sα≤+⎰(1.1.2) 从这个不等式可以得到方程（1.1.1）的解的模的估计()()()0exp()tX t X A s X s ds α≤⎰不等式（1.1.2）就是我们经常遇到的积分不等式的最基本形式.1919年Gronwall 为了证实微分方程的解对参数的连续依赖性研究了下面的积分不等式[]0()[()],,,tu t b u s a d s t ααβ≤≤+∈⎰(1.1.3)这里,a b 是非负常数,给出下面的引理.引理 1.1.1 如果u 是区间[],a a h +上的连续函数,且满足积分不等式(1.1.3),那么[]0(),,.bh u t ahe t αβ≤≤∈这个不等式的基本思想又是基于Peano 的工作,Peano 的不等式是Gronwall 不等式当0a =的特殊情况.Peano 不仅证明了有关微分方程的一些一般结果,而且证明了微分方程的最大最小解的问题.随后Bellman 在1943年发表的论文中研究了下面的不等式()()(s),[,]tu t c f s u ds t ααβ≤+∈⎰. (1.1.4)给出了下面的引理引理 1.1.2[1] 假设u 和f 是区间[],αβ上的连续非负函数,令c 是非负常数.那么由不等式(1.1.4),可以得出()exp(()).[,].tu t c f s ds t ααβ≤∈⎰因为taads ah ≤⎰,Bellman 的结果包含了Gronwall 的结果.这种类型的积分不等式被人们称为Gronwall-Bellman 不等式.Bellman 本人在1958年研究线形微分差分方程解的渐近行为时证明并使用了不等式(1.1.4)的推广形式()()()(),[,]tu t a t f s u s ds t ααβ≤+∈⎰. (1.1.5)给出了下面的结果.假设u 和f 都是区间[],αβ上的连续,非负函数,令a (t)是区间[],αβ连续的,正的非递减函数.那么由不等式（1.1.5）可以得出未知函数的估计[]()()exp(()).,.tu t a t f s ds t ααβ≤∀∈⎰二、Gronwall 不等式1919年Gronwall 在研究微分方程解关于参数可微时证明了以下不等式 设,a b 是非负常数,连续u 在0,1[]t t 上满足不等式()()tt u t a b u s ds ≤+⎰. (1.2.1)则{}00,1()exp (-),[]u t a b t t t t t ≤∈. (1.2.2)1934年,Bellman 给出它的推广设(),()u t b t 都是0,1[]t t 上非负连续函数,并满足()()()tt u t a u s b s ds ≤+⎰. (1.2.3)则{}0()exp(),t t u t a b s ds t t ≤≥⎰ (1.2.4)证 从（1.2.3）式,得0()()() ()()tt u t b t b t a b s u s ds ≤+⎰.两边从0t 到t 积分得ln(()())-ln ()t tt t a b s u s ds a b t dt +≤⎰⎰. (1.2.5)从（1.2.3）与（1.2.5）式即得()()()exp () t tt t u t a b s u s ds a b t dt ≤+≤⎰⎰.这类不等式有时也称为Bellman-Gronwall 不等式或Gronwall-Bellman 不等式,由于这类不等式在常微分方程解的存在性,唯一性,稳定性的研究及方程解的估计中经常用到.因此,对它的各种改进和推广,一直是不等式的热点之一.三、一类非线性Gronwall-Bellman 型积分不等式我用到如下的几个记号()i 0I 表示区间[]0,t T 或[]0,t +∞; ()ii 0J 表示区间[]0,x x 或[]0,x +∞; ()iii 0()C I 表示0I 上非负连续函数空间; ()iv 10()C I 表示0I 上正的连续可微函数空间;给如下的微分不等式定理1[2] 若110000()(),()(),()(),()()P t C I Q t C I u t C I F u C I ∈∈∈∈,且存在0α>使-1()()()F u F u F u u uαα'⋅≤< (1) 则由不等式()()()()(())u t P t u t Q t F u t '≤+ (2)可以推出不等式()()()()()()0001000,t tt t P d P d t t u u t e Q e d t I F u βξξβξξβττ-⎡⎤⎛⎫⎰⎰≤Φ+∈⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ (3) 其中1βα=,00()u u t =,1-Φ是()()uu F u Φ=的反函数. 证 以()()F u t 除(2)的两边,得()()()()(())(())u t u t P t Q t F u t F u t '≤+ (4)若令()()()()z t u t F u t =,就有()()()()()()()()()2F u t u t F u t z t u t F u t '-''=⎡⎤⎣⎦(5)于是,有()()()()()()()()()()()F u t z t P t z t Q t F u t u t F u t ''≤+'- (6)由(1)知()()()0F u F u uF u α'-≥>,再注意到()P t ,()Q t 和()z t 的非负性,立得()()()()z t P t z t Q t α'≤+或()()()()z t P t z t Q t β'≤+⎡⎤⎣⎦,其中1βα=.再以()0tt P d eβξξ⎰乘以(6)的两边,并从0t 到t 积分,得到()()()()()000,.ttt t P d P d tt z t ez t Q e d t I βξξβξξβττ⎡⎤⎰⎰≤+∈⎢⎥⎣⎦⎰ 考虑到代换()()()()z t u t F u t =,此不等式就变成()()()()()()()0000t tt t P d P d t t u t u e Q e d F u F u t βξξβξξβττ⎡⎤⎰⎰≤+⎢⎥⎣⎦⎰ (7) 设()()uu F u Φ=,由(1)有 ()()()()()20u F u uF u F u ''Φ=->⎡⎤⎣⎦故()u Φ在0J 上严格递增,于是由(7)可得(3).定理2 设()a t ,()b t 和()x t 均属于()0C I ;(),k t ξ是00I I ⨯上非负连续函数,且()(),0;0k t x tξϕ∂≤≥∂(仅在0J 的某些点处取等号)是0J 上的连续函数;又()[]10g u C J ∈,且存在1α≥,使()()0g u g u '-≤< (8)则由不等式()()()()()()()()()()()()()()0,,,ttt t t t x t b t k t x d a t k t x d gk t x d ϕξϕξξξϕξξξϕξξ≤+≥⋅⎰⎰⎰(9)可以推出不等式()()()()()()()1x t g H t b t a t H T ϕ-≤+⎡⎤⎣⎦ (10)其中1βα=,1g -是g 的反函数,()()001|u G g u ==,而()()()()()()()()0001,,0,t tt tt k b d k b d t H t e G k a e d βξξξξβξξξξβττττ-⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 证 由已知得()()()()00,,ttu t k k x d t I ξϕξξ=∈⎰ (11)于是(11)变为()()()()()()()()x t b t u t a t u t g u t ϕ≤+ (12)以(),0k t t ≥乘(13)两边,并令()()()()()(),,,P t k t t b t Q t k t t a t == (13)再考虑到()()()()()()()0,,tt k t u t x d k t t x t t ξϕξξϕ∂'=+∂⎰及(),0k t tξ∂≤∂就变为 ()()()()()()u t P t u t Q t u t g t '=+依照定理1的推论1,由这个不等式可以推出不等式(这里()000u u t ==)()()()()()()000100,tt t P d t P d t u t G e G Q ed t I τβξξβξξβττ-⎡⎤⎛⎫⎰⎰≤+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰ (14) 其中1βα=,1G -是()()1G u g u =的反函数.为方便,记()()()()()()00000,tt t P d t P d t H t e G Q e d t I τβξξβξξβττ⎛⎫⎰⎰=+∈ ⎪⎝⎭⎰ 其中,()()001|u G g u ==.另外,由(8)有()()()()()()()110ug u g u ug u g u u g u u g u αα⎛⎫''=+≥+-=-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭这意味着()ug u 在0J 上递增.这样,(14)代入(12)得()()()()()()()()()()()111x t b t G H t a t G H t g G H t ϕ---≤+()()()()()()()11,G H t b t a t g G H t t I --⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦(15) 因()0g u '<,所以g 存在反函数1g -,又因为()()()()11111,G v g v g G v v -----==,所以(15)可写成()()()()()()()10,x t g H t b t a t H t t I ϕ-≤+∈⎡⎤⎣⎦于是,定理2得到证明.四、Bihari 型积分不等式及其推广1973年,Dhongade 和Deo 给出了Bihari 积分不等式的一个推广如下 引理1[3] 假定(i)()()()[)[),,:0,0,x t f t g t ∞→∞为连续的;(ii)[)[)():0,0,x Ω∞→∞,且在()0,∞上是连续,单调非减的,满足()()()uv u v Ω≤Ω⋅Ω.若对[)0,t ∈∞与常数0k >有不等式()()()()()0()t tx t k f s x s ds g s x s ds ≤++Ω⎰⎰则不等式()()()()()()()100expexp tt sx t f s ds G G k g s f d ds εε-⎡⎤≤⋅+Ω⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰对一切[]0,t b ∈成立,这样的t 保证()10()()exp ()()tsG k g s f d ds Dom G εε-+Ω∈⎰⎰,其中00(),0()uu dsG z u u s =≥>Ω⎰1978年,梁雄军根据引理1,得到了引理2 在引理1的相同条件下,有更精确的估计()()()10000()exp()()()exp ()exp ()tt s sx t f s ds G G k g s f d f d ds εεεε-⎡⎤≤⋅+-Ω⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰,对一切[]0,t b ∈成立,这样的t 保证()()10()()exp ()exp ()()tssG k g s f d f d ds Dom G εεεε-+-Ω∈⎰⎰⎰,其中00(),0()uu dsG z u u s =≥>Ω⎰. 现在,推广引理2,给出如下的 定理3[]4假定(i)[)[)(),():0,0,x t k t ∞→∞为连续的,且()k t 单调不减;(ii)(,)f t s ,(,)g t s :[)[)[)0,0,0,∞⨯∞→∞为连续的,且都是关于t 单调非减的; (iii)()u Ω:[)[)0,0,∞→∞为连续,单调非减的,且对,0u v >满足()()()uv u v Ω≤Ω⋅Ω (16)若对[)0,t ∈∞有()0()()(,)()(,)()t tx t k t f s t x s ds g s t x s ds ≤++Ω⎰⎰ (17)则不等式()1()()exp(,)[(1)tx t k t f s t ds G G -≤⋅⎰()()()000()(,)exp (,)exp (,)]()ts sk t g s t f t d f t d ds k t εεεεΩ+-Ω⎰⎰⎰ (18)对一切[]0,t b ∈成立,这样的t 保证()()()1000()(1)(,)exp (,)exp (,)()()ts s k t G g s t f t d f t d ds Dom G k t εεεε-Ω+-Ω∈⎰⎰⎰ (19) 其中00(),0()uu dsG z u u s =≥>Ω⎰证 当0t =时,结论显然成立,今任取()0,T ∈∞,由条件(i),(ii)知,对[]0,t T ∈,有()0()()(,)()(,)()t tx t k T f s T x s ds g s T x s ds ≤++Ω⎰⎰用()0k T >除上式两边,可得()00()()()1(,)(,)()()()t t x s x t x s f s T ds g s T ds K T K T K T Ω≤++⎰⎰ (20)在条件(iii)中,令uv ω=,立得()()()v vωωΩ≤Ω⋅Ω这表明对,0v ω>,满足()()()v v v vωωΩΩ≤⋅Ω (21) 根据(21),不等式(20)可写成()00()()()()1(,)(,)()()()()t t K T x t x s x s f s T ds g s T ds K T K T K T K T Ω⎛⎫≤++Ω ⎪⎝⎭⎰⎰ (22) 其中[]0,x T ∈.这样,依条件(i)一(iii)和引理2,从(22)可以推出()10()exp (,)[(1)()tx t f s T ds G G k T -≤⋅⎰()()()000()(,)exp (,)exp (,)]()ts s k t g s T f T d f T d ds k t εεεεΩ+-Ω⎰⎰⎰,[]0,t T ∈ (23)最后,考虑到()0,T ∈∞的任意性,由(23)立得不等式(18)对一切(]0,t b ∈成立,这 样t 保证(19)成立,其中00(),0()uu dsG z u u s =≥>Ω⎰.五、Holder Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广1. 引理引理1[5]（Holder ）不等式qnk q k pnk nk p k k k b a b a 11111)()(∑∑∑===≤,其中0>k a ,0>k b)2,1(n k =,1p >,1q >,且111=+qp . 引理2 若()x f 与()x g 为[]b a ,上的两个可积函数且()()x g x f ≤,x []b a ,∈,则有()()dx x g dx x f baba⎰⎰≤.引理3 若函数()x f 在区间[]b a ,上可积,()x g 在[]d c ,上可积,则有()()()()dy y g dx x f dxdy y g x f dcb aD⎰⎰⎰⎰=,其中[][]d c b a D ,,⨯=.2. 关于Holder 积分不等式的几种证明和推论定理1[6] 若函数()x f 与()x g 在[]b a ,上非负连续,且1p >,1q >,111=+qp ,则有不等式qbaq pbabap dx x g dx x f dx x g x f 11))(())(()()(⎰⎰⎰≤（Holder ）方法1 利用定积分的定义证明积分不等式证 将[]b a ,等分成n 个小区间[]k k x x ,1-取)2,1(n k x k k ==ξ由引理1Holder 不等式qnk k pnk k pn k k k g f g f 11111))()()(()()(∑∑∑===≤ξξξξ,其中1p >,1q >,111=+qp . 在不等式的两边同时乘以nab -则有 ()()()()qnk k q pnk k pk nk k na b g n a b f n a b g f 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∑∑∑===ξξξξ （24）因()x f ,()x g 连续则()x fp,()x g q ,()()f x g x 连续,所以()x f p ,()x g q ,()()f x g x 在[]b a ,上可积.则由定积分定义,对（24）两边令∞→n 时有qbaq pbabap dx x g dx x f dx x g x f 11))(())(()()(⎰⎰⎰≤成立.注 此定理条件中“函数()x f 与()x g 在[]b a ,上非负连续”可减弱为“函数()x f 与()x g 在[]b a ,上可积”.此时Holder 积分不等式的更一般为()()()()qbaq pbapbadx x g dx x fdx x g x f 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎰⎰⎰，对∀1p >,1q >,111=+qp .方法2 由积分性质证明积分不等式证 首先我们证明下列命题成立当p >1 q >1且111=+qp 时,对任何正数A 及B 有qB p A B A qp +≤11 事实上,作辅助函数())10,0(<<+∞<<-=ααφαt t t t ,则()()11/-=-ααφt t .所以,在()1,0上()0/>t φ在()+∞,1上()0/<t φ,因而()1φ是函数()t φ在()+∞,0上的最大值,即()()αφφ-=≤11t ,()+∞∈,0t ,由此可得()ααα-+≤1t t ,()+∞∈,0t .令B A t =并代入上面不等式得()αααα-+≤1B ABA两边同时乘以B 得到()B A BA αααα-+≤-11令p 1=α,且q11=-α,于是上式成为 qBp A B A qp +≤11（25） 若()0f x =或者()0g x =[]b a x ,∈ 定理１显然成立. 不妨设()01>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰pbapdx x f,()01>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰qba q dx x g令 ()()()pb apdx x f x f x 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰φ,()()()qb a q dx x g x g x 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ϕ令()px A φ=,()qx B ϕ=代入（25）式得()()()()qx px x x qpϕφϕφ+≤（26）所以()()x x ϕφ在[]b a ,上也可积.对（26）式从a 到b 积分则有()()()()()()()()11111=+=+=+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰qp dxx g x g q dxx fx f p dx qx dx p x dx x x b abaq qb abappbaqb abapϕφϕφ即()()()()111≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰qbaq pb a pbadx x g dx x f dxx g x f从而,()()()()qbaq pbapba dx x g dx x fdx x g x f 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎰⎰⎰成立.对于上Holder 不等式,许多不等式都可作为它的特殊形式,如Cauchy-Schwarz 不等式,它在近代数学中应用极其广泛,它是推论许多积分不等式的有力工具.推论1[7] 若()x f ,()x g 均在[]b a ,上可积,则有()()()()⎰⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba b a b a dx x g dx x fdx x g x f 222此不等式称为（Schwarz ）不等式.证 方法1 由Holder 积分不等式得()()()()212212⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰ba bab adx x g dx x f dx x g x f又因为()()()()dx x g x f dx x g x f baba⎰⎰≤所以()()()()212212⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f两边平方得()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba baba⎰⎰⎰≤222方法2 利用一元二次方程的判别式进行证明证 因为()()x g x f ,和它们的平方和在[]b a ,上可积,所以R a ∈∀则()()[]2x g x af +在[]b a ,上也可积,因为()()[]02≥+x g x af ,则有()()()⎰≥+ba dx x g x af 02所以,()()()()()()()()d x x g x g x af x f a dx x g x af bab a⎰⎰++=+≤222220=()()()()dx x g a dx x g x f a dx x f ba b a b a⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛2222 把它看作关于a 的二次三项式.应有判别式0≤∆,即 ()()()()044222≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a所以 ()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222推论2 若g f ,都在[]b a ,上可积,则有Minkowski 不等式； ()()()()()21221221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f证明 法1()()()()()()()dx x g dx x g x f dx x f dx x g x f bab aba ba ⎰⎰⎰⎰++=+2222()()()()dx x g dx x g dx x f dx x f ba ba ba ba⎰⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤221221222()()2212212⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ba ba dx x g dx x f两边开方得 ()()()()()21221221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f法2 由Cauchy-Schwarz 积分不等式得()()dx g f dx f dx g f f ba b a b a 222⎰⎰⎰+⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅ ()()212212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+⋅⇒⎰⎰⎰ba ba b a dx g f dx f dx g f f 同理()()212212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+⋅⎰⎰⎰ba ba badx g f dx g dx g f g两式相加得 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+⎰⎰⎰⎰2122122122b a b a ba ba dx g dx f dx g f dx g f所以 ()()()()()21221221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f六、应用例1 讨论方程()()(),x t F t x t '= (27) 满足初始条件()00x x =的解的有界性.假定[)()():0,,,F +∞⨯-∞∞→-∞∞为连续的,方程(27)在[)0,∞上存在连续解()x t .此外,()()()(),F t x f txg t x ≤+Ω (28) 其中()f t ,()g t : [)[)0,0,∞→∞连续,而()():0,0,Ω∞→∞为连续的,且适合()()()xy x y Ω≤Ω⋅Ω.在这些条件下,以()x t 乘(27)两边,并从0到t 积分,便得()()()()22002,tx t x x s F s x s ds =+⎰从而()()()()()()()2220022ttx t x f s x s ds g s x s x s ds ≤++Ω⎰⎰ (29)依定理5,由(29)有估计()()()()()()()()()100000expexp ttttx t f s ds G G x g s f u du f u du ds -⎡⎤≤+-Ω⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(30)对一切[]0,t b ∈成立,这样的t 保证中括号内的式子属于Dom(1G -),而()G z 如(19)所定义,估计(30)给出方程(27)的解在[]0,b 上的界.例2[8] 讨论非线性微分方程()(,()x t F t x t '= (31) 满足初始条件0(0)x x =的解的有界性.解 假定F : [0,)(,)(,)∞⨯-∞+∞→-∞+∞为连续的,且()()(),F t x f t x g t x '≤+ (32)其中()f t ,()g t : [0,)[0,)∞→∞连续,而01r <<.另外,设方程(31)在[)0,∞上满足0(0)x x =的连续解()x t .在上述条件下,以1()p x t -乘(31)两边(其中常数1p >),并从0到t 积分,便得100()()(,())tp p p x t x p x s F s x s ds -=+⎰从而100()()()t tp pp p t x t x pf s ds pg s ds +-≤++⎰⎰若记1q p r =+-,显然0q p <<.根据定理2可知,对[0,)t ∈∞成立以下的估计1111000()exp(())[(1)()]ttrp t rx t f s ds x r pg s ds -+--≤-⎰⎰.参考文献:[1]D.S.密特利诺维奇解析不等式[M].芝加哥:科学出版社,1987.[2]李文荣.关于几类新的积分不等式[J].滨州师专学报1995,12 11(4):23—30.[3]王五生.积分不等式的若干推广[D].成都:四川大学博士论文,2007.[4]李文荣.一类Ou-Iang型积分不等式[J].滨州师专学报1998,12 14(4):34—36.[5]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科技出版社,2004.[6]石红.一类积分不等式的推广[J].数学研究2003,6 36（2）.[7]王瑞莲.关于几类积分不等式等的推广[J] .内蒙古民族大学学报,2009.3,15（2）.[8]李文荣.关于Ou-Iang型非线性积分不等式.[J].数学研究,2000.3,33（1）.致谢感谢淮北师范大学四年来的培养,特别感谢张发明老师,他悉心的指导和严谨的治学态度对本文的完成给予了极大的帮助,并使我受益匪浅.同时也要感谢在四年的大学生涯里,众多老师的关心支持和帮助,学院图书馆工作人员,以及本系同窗,他们对本文的写作也提出了宝贵的意见和建议,给予了热情的帮助和支持.在此也衷心的表示感谢.最后,我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本文论文答辩的各位老师表示感谢.陈雪枫2011年4月15日。
积分不等式的证明方法
积分不等式的证明方法摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty1.引言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．2.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．2.1 Cauchy-Schwarz 不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间()P F ,,Ω中的以及n 维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．定理2.1[1] 设()f x , ()g x 在[,]a b 上连续,则有[()()b af xg x dx ⎰]2≤{2[()]b af x dx ⎰}⋅ {2[()]bag x dx ⎰}．证明：要证明原不等式成立,我们只需要证()()()()2220bbbaaa fx dx g x dx f x g x dx ⎡⎤⋅-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 成立． 设()()()()()222tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,则只要证()()F b F a ≥成立,由()F t 在[,]a b 上连续,在(),a b 内可导,得()()()()()()()()()22222t t taaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx'=+-⎰⎰⎰()()()()()()()()22222ta f t g x f t g t f x g x g t f x dx ⎡⎤=-+⎣⎦⎰()()()()20ta f t g x g t f x dx =-≥⎡⎤⎣⎦⎰．(2.1)由(2.1)式可知()F t 在[,]a b 上递增,由b a >,知()()F b F a >,故原不等式成立． 证毕实际上关于Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式()()()()()()()()0b baabbaaf x f x dxg x f x dx f x g x dxg x g x dx≥⎰⎰⎰⎰,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出Cauchy Schwarz -不等式的推广形式．定理2.2[2] 设()f x ,()g x ,()h x 在[],a b 上可积,则()()()()()()()()()()()()()()()()()()0bbbaaabbbaaabbbaaaf x f x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxg x h x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．证明：对任意的实数1t ,2t ,3t ,有()()()()2123bat f x t g x t h x dx ++⎰()()()222222123bbbaaat f x dx t g x dx t h x dx=++⎰⎰⎰()()()()()()1213232220bbb aaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++≥⎰⎰⎰．注意到关于1t ,2t ,3t 的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为()()()()()()()()()()()()()()()2220bbbaaab bba aabbbaaaf x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dxgx dxh x g x dx f x h x dx g x h x dxh x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．除了Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young 不等式,相较于Cauchy-Schwarz 不等式我们对Young 不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young 不等式进行一些研究．2.2 Young 不等式Young 不等式,以及和它相关的Minkowski 不等式,HÖlder 不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young 不等式的证明．定理 2.3[3] 设()f x 在[0,]c （0c >）上连续且严格递增,若(0)0f =,[0,]a c ∈且[0,()]b f c ∈,则100()()abf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰,其中1f -是f 的反函数,当且仅当()b f a =时等号成立．证明：引辅助函数0()()ag a ab f x dx =-⎰, (2.2)把0b >看作参变量,由于()()g a b f a '=-,且f 严格递增,于是当 10()a f b -<<时,()0g a '>；当 1()a f b -=时,()0g a '=；当 1()a f b ->时,()0g a '<． 因此 当1()a f b -=时,()g a 取到g 的最大值,即()()()()b f g x g a g 1m ax -=≤ (2.3)由分部积分得11()()11(())()()()f b f b g f b bf b f x dx xdf x ----=-=⎰⎰,作代换()y f x =,上面积分变为110(())()bg f b f y dy --=⎰, (2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得110()()()a bbab f x dx f y dy f x dx ---≤=⎰⎰⎰,即10()()a bf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰． 证毕3.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．3.1 利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．定理3.1 若()t ϕ定义在间隔(),m M 内,且()0t ϕ''>,则()t ϕ必为下凸函数．定理3.2 设()f x 在[,]a b 上为可积分函数,而()m f x M ≤≤．又设()t ϕ在间隔m t M ≤≤内为连续的下凸函数,则有不等式()()()11b b a af x dx f x dx b a b aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰．例3.1[4] 设()f x 在[],a b 上连续,且()0f x >,求证：()()()21bba a f x dx dxb a f x ≥-⎰⎰． 证明: 取()u u 1=ϕ, 因为()210u u ϕ'=-<,()320u uϕ''=>,()0>u 即在0u >时,()y u ϕ=为凸函数,故有()()()11b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭⎰⎰， 即()()1babadxf x b ab a f x dx-≤-⎰⎰，故()()()21b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．3.2 辅助函数法辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．[5]设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减,证明：对)1,0(∈∀a 时,有： ()10()af x dx a f x dx ≥⎰⎰．证明：令()01()xF x f t dt x =⎰ ()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导 则()()()02xf x x f t dtF x x ⋅-'=⎰ ()()2f x x f x xξ⋅-⋅=()()f x f x ξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意(0,1)a ∈,有()(1)F a F ≥． 即()1001()af x dx f x dx a≥⎰⎰,两边同乘a ,即得()100()a f x dx a f x dx ≥⎰⎰． 证毕 本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间)1,0(上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减非负,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有: ()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证明：令()01()xF x f t dt x=⎰,()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导, 则 ()()()02x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰ ()()2f x x f xx ξ⋅-⋅=()()f x f xξ-=,(0)x ξ<<．因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意10<≤<b a ,有()()F a F b ≥,即()()0011a bf t dt f t dt a b≥⎰⎰． (3.1)由f 非负,可得()()dx x f dx x f bab ⎰⎰≥0． (3.2)结合(3.1)式和(3.2)式可得()()011a ba f x dx f x dx a b≥⎰⎰．即()()0aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证毕 [6] 函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．证明: 构造辅助函数()()()()2xxa adt x f t dt x a f t φ=--⎰⎰, 则 ()()()()()()12xx aa dt x f x f t dt x a f t f x φ'=+⋅--⎰⎰()()()()2xx x aa a f x f t dt dt dt f t f x =+-⎰⎰⎰()()()()20xaf x f t dt f t f x ⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦⎰, 所以()x φ是单调递增的,即()()0b a φφ≥=,故()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 [7]设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 证明: 原不等式即为()()02≥+-⎰⎰baba dx x fb a dx x xf ,构造辅助函数()()()2t ta a a t F t xf x dx f x dx +=-⎰⎰ ,[],t ab ∈, 则()()()()122t a a t F t tf t f x dx f t +'=--⎰ ()()()12t a t a f t f x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()12t a f t f ζ=-- , (),a t ζ∈．因为a t ζ≤≤,()f x 单调增加,所以()0F t '≥．故()F t 在[],a b 上单调递增,且()0F a =, 所以对(,]x a b ∀∈,有()()0F x F a ≥=．当x b =时,()0F b ≥．即()()02bbaaa b xf x dx f x dx +-≥⎰⎰,故原不等式成立, 证毕通过以上几道题目的观察我们可以发现：1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．3.3 利用重要积分不等式在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．[8]函数()f x 在[]0,1上一阶可导,()()100f f ==,试证明：()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰．证明：由()()()00xf x f t dt f '=+⎰和()()()11x f x f t dt f '=-+⎰可得()()()()()21222201xx xfx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤⎰⎰⎰⎰, 1(0,)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()()()()()21111222201(1)x x x fx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤-⎰⎰⎰⎰, 1(,1)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因此()()112220018f x dx f x dx '≤⎰⎰,(3.3)()()112210218f x dx f x dx '≤⎰⎰． (3.4) 将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰． 证毕[2]设()f x ,()g x 在[],a b 上可积且满足：()0m f x M <≤≤,()0ba g x dx =⎰,则以下两个积分不等式()()()()()()()22222bb b baaaaf xg x dxf x dxg x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰及()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰成立．证明：取()1h x =,由()0b ag x dx =⎰及定理2.2知()()()()()()()()2200bbbaaab baabaf x dxg x f x dxf x dxf xg x dxg x dx f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()222220bbbbbaa a a ab a fx dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx=-⋅---≥⎰⎰⎰⎰⎰．因此()()()()()()()()222221bbbbbaaaaaf xg x dxfx dx g x dx f x dxg x dx b a≤--⎰⎰⎰⎰⎰． (3.5)由()m f x ≤可知()()()222baf x dxm b a ≥-⎰,因而()()()()()()()22222bbbbaaa a f x g x dxfx dx g x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰．由于()0m f x M <≤≤,因此()2222M m M m f x +-⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得()()()2f x Mm M m f x +≤+,两边同时积分得 ()()()()2bbaaf x dx Mm b a M m f x dx +-≤+⎰⎰,由算数-几何平均值不等式可知 ()()()()222bbaaf x dx Mm b a f x dx Mm b a ⋅-≤+-⎰⎰,于是()()()()()2224babab a f x dxM m Mmf x dx-+≤⎰⎰．则()()()221bbaaf x dxg x dx b a -⎰⎰()()()()()()2222bbbabaa af x dxfx dx g x dxb a f x dx=-⎰⎰⎰⎰()()()2224bbaaMmf x dxg x dx M m ≥+⎰⎰．(3.6)由式(3.5)和式(3.6)可知()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰． 证毕以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用,但要注意选取适当的()x f 与()x g ,有时还需对积分进行适当的变形．3.4 利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．定理 3.3（积分第一中值定理） 若()f x 在[,]a b 上可积且()m f x M ≤≤,则存在[,]u m M ∈使()()ba f x dx ub a =-⎰成立.特别地,当()f x 在[,]a b 上连续,则存在[,]c a b ∈,使()()()baf x dx f c b a =-⎰成立．定理 3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,()x f 连续,()x g 在[]b a ,上不变号,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立()()()()⎰⎰=babadx x g f dx x g x f ε．定理3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,且()x f 为单调函数,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立 ()()()()()()⎰⎰⎰+=εεabbadx x g b f dx x g a f dx x g x f ．设函数()f x 在区间[]0,1上连续单调递减,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰,其中()0≥x f ． 用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．证明：由积分中值定理知 ()()10af x dx f a ξ=⋅⎰, []10,a ξ∈； ()()()2baf x dx f b a ξ=⋅-⎰,[]2,a b ξ∈；因为12ξξ≤,且()f x 递减,所以有()()12f f ξξ≥,即 ()()()0111a b ba a f x dx f x dx f x dx ab a b ≥≥-⎰⎰⎰, 故 ()()0a baa f x dx f x dxb ≥⎰⎰． 证毕设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．证法一证明: ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()2222a bb a b a a b a b x f x dx x f x dx ++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 由定理3.4可知,分别存在1,2a b a ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2,2a b b ξ+⎛⎫∈⎪⎝⎭, 使得 ()()22122a ba baa ab a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰,()()22222b b a b a b a b a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰, 因此()()()()()22128ba ab a b x f x dx f f ξξ-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰,由于()x f 在[]1,0单调增加的,且1201ξξ<<<,所以有 ()()210f f ξξ-≥．从而()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 证法二证明:由定理3.5可知：存在(),a b ξ∈,使得 ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()22b a a b a b f a x dx f b x dx ξξ++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()()f a f b a b ξξ=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．由()x f 单调增加及(),a b ξ∈知()()0f a f b -<,0a ξ->,0b ξ-<．可得()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．3.5 利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．[9]设()f x 在[]0,1上导数连续,试证：[]0,1x ∀∈,有()()()10f x f x f x dx ⎡⎤'≤+⎣⎦⎰． 证明：由条件知()f x 在[]0,1上连续,则必有最小值,即存在[]00,1x ∈,()()0f x f x ≤,由()()()00xx f t dt f x f x '=-⎰⇔()()()00xx f x f x f t dt '=+⎰,()()()00x x f x f x f t dt '=+⎰≤()()00x x f x f t dt '+⎰≤()()100f x f t dt '+⎰()()11000f x dt f t dt '=+⎰⎰≤()()1100f t dt f t dt '+⎰⎰()()10f t f t dt ⎡⎤'=+⎣⎦⎰()()10f x f x dx ⎡⎤'=+⎣⎦⎰.故原不等式成立, 证毕3.6 利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．定理 3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶连续导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公式．[10] 设()f x 在[],a b 上有二阶连续导数,()()0f a f b ==,[](),max x a b M f x ∈''=,试证明:()()312bab a f x dx M -≤⎰．证明：对(),x a b ∀∈,由泰勒公式得()()()()()()212f a f x f x a x f a x ξ'''=+-+- , (),a x ξ∈,()()()()()()212f b f x f x b x f b x η'''=+-+-, (),x b η∈, 两式相加得 ()()()()()()22124a b f x f x x f a x f b x ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭, 两边积分得 ()()()()()()22124b bb aaa ab f x dx f x x dx f a x f b x dx ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰, 其中 ()()()22b b b a a a a b a b f x x dx x df x f x dx ++⎛⎫⎛⎫'-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰, 于是有 ()()()()()2218bb a a f x dx f a x f b x dx ξη⎡⎤''''=-+-⎣⎦⎰⎰, 故()()()()223812bb aa M M f x dx a xb x dx b a ⎡⎤≤-+-=-⎣⎦⎰⎰． 证毕 [6]设()f x 在[],a b 上有二阶导数,且()0f x ''>,求证 ()()2b aa b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证明：将()f x 在02a bx +=处作泰勒展开得到()()2122222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ,2a b x ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为()0f x ''>,所以可以得到 ()222a b a b a b f x f f x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对不等式两边同时积分得到 ()()222b b a a a b a b a b f x dx f b a f x dx +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 因为02b a a b x dx +⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰, 所以有()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证毕通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点o x ,并写出()x f 在这个点o x 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．3.7 利用重积分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．命题一[11]：若在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()bba a f x dx g x dx ≥⎰⎰．[11] 设()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,且满足：()()xxaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,[,]x a b ∈,()()b b a a f t dt g t dt =⎰⎰,证明：()()b ba axf x dx xg x dx ≤⎰⎰．证明：由题得()()x xaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,从而可以得到()()b x b x aaaadx f t dt dx g t dt ≥⎰⎰⎰⎰,即[()()]0b xa adx f t g t dt -≥⎰⎰．左式[()()]b xaadx f t g t dt =-⎰⎰ [()()]Df tg t dxdt =-⎰⎰ (其中{(,)|,}D x t a x b a t x =≤≤≤≤)[()()]b b atdt f t g t dx =-⎰⎰ ()[()()]bab t f t g t dt =--⎰[()()][()()]b b b b aaaab f t dt g t dt tf t dt tg t dt =---⎰⎰⎰⎰[()()]0b baatf t dt tg t dt =--≥⎰⎰．则 ()()0b b aatf t dt tg t dt -≤⎰⎰ , 即()()b baaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰． 证毕在本题中我们将一元积分不等式()()x xaaf x dxg x dx ≥⎰⎰的两边同时增加一个积分变量badx ⎰，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分命题二[11] 若()f x 在[,]a b 上可积,()g y 在[,]c d 上可积,则二元函数()()f x g y 在平面区域{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤上可积,且()()()()()()bd b dacacDf xg y dxdy f x dx g y dy f x dx g x dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．其中{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤[11] 设()p x ,()f x ,()g x 是[,]a b 上的连续函数,在[,]a b 上,()0p x >,()f x ,()g x 为单调递增函数,试证：()()()()()()()()bb b baaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰．证明：由()()()()()()()()b bbbaaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰可知：()()()()()()()()0bb b baaaap x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx -≥⎰⎰⎰⎰,令()()()()()()()()b bbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰,下证0I ≥；()()()()()()()()b b b baaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap x dx p y f y g y dy p x f x dx p y g y dy =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()bbbba a aap x p y f y g y dxdy p x f x p y g y dxdy =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]bba ap x p y g y f y f x dxdy =-⎰⎰． (3.7)同理()()()()()()()()bbbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap y dy p x f x g x dx p y f y dy p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]b baap y p x g x f x f y dxdy =-⎰⎰． (3.8)(3.7)+(3.8) 得2()()[()()][()()]bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--⎰⎰,因为()f x ,()g x 同为单调增函数,所以[()()][()()]0g y g x f y f x --≥ 又因为()0p x >,()0p y >,故2()()[()()][()()]0bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--≥⎰⎰,即0I ≥． 证毕2.将常数转换为重积分的形式在例中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数(,)f x y k =,则可得到2()Dkd k b a σ=-⎰⎰,其中{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤．函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()b baaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰．本题与前面的例3.1以及例题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 1()()bba aDf x dx dy d f y σ≥⎰⎰⎰⎰, 移项可得()(1)0()Df x d f y σ-≥⎰⎰,()()()2(1)(1)(1)0()()()DD Df x f x f y d d d f y f y f x σσσ-=-+-≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以即为证()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰,因为()0f x ≥,()0f y ≥,所以()()20()()f x f y f y f x +-≥． 故 ()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰ 恒成立,即21()()()b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰成立, 证毕通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．3.8 利用微分中值定理微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．[12] 设()0f a =,()f x 在区间[],a b 上的导数连续,证明：()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰． 证明：应用Lagrange 中值定理,(),a x ξ∃∈,其中a x b <<,使得 ()()()()f x f a f x a ξ'-=-, 因为()0f a =, 所以()f x M x a ≤-, [](),max x a b M f x ∈'=,从a 到b 积分得 ()bb aaf x dx M x a dx ≤-⎰⎰()()222bab M M x a dx x a =-=-⎰()()()221max 22M b a f x b a '=-=-．即()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰. 证毕 [13] 设函数()f x 在[]0,1上可微,且当()0,1x ∈时,()01f x '<<,()00f =试证：()()()21130f x dxf x dx >⎰⎰．证明：令()()()2xF x f t dt =⎰,()()30xG x f t dt =⎰,()(),F x G x 在[]0,1上满足柯西中值定理,则()()()()()()()()()211301010f x dxF F FG G G f x dxξξ'-=='-⎰⎰()()()()()003222f f t dt f t dt f f ξξξξξ==⎰⎰()01ξ<< ()()()()02220f t dt f t dtf fξξ-=-⎰⎰()()()22f f f ηηη='()11f η=>' , ()01ηξ<<<．所以()()()21120f x dxf x dx >⎰⎰． 证毕通过以上两道题目可以发现：1.在应用Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数()f x ,并确定()x f 在使用该定理的区间[]b a ,,对()x f 在区间[]b a ,上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange 中值定理．2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy 中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy 中值定理的两个函数()x f ,()x g ,并确定它们应用柯西中值定理的区间[]b a ,,然后在对()x f ,()x g 在区间[]b a ,上运用Cauchy 中值定理．无论是Cauchy 中值定理还是Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．4．总结我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．参考文献[1]王宇,代翠玲,江宜华．一个重要积分不等式的证明、推广及应用[J]．荆州师范学院学报(自然科学版),2000,23(5)：106[2] 张盈．Cauchy-Schwarz不等式的证明、推广及应用[J]．高师理科学刊,2014,34(3):34-37[3] 黄群宾．积分不等式的证明[J]．川北教育学院学报,1996,6(4):22-27[4] 李志飞．积分不等式的证明[J]．高等数学研究,2014,17(6)：50-51[5]郝涌,王娜,王霞,郭淑利．数学分析选讲[M]．北京：国防工业出版社,2014[6]张瑞,蒋珍．定积分不等式证明方法的研究[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2011,20(2)：18[7]林忠．一个积分不等式的几种证明方法[J]．成都教育学院学报,2006,20(12)：66[8]刘法贵．证明积分不等式的几种方法[J]．高等数学研究,2008,11(1):122[9] 苏德矿,李铮,铁军．数学强化复习全书[M]．北京：中国证法大学出版社,2015[10] 李小平,赵旭波．定积分不等式几种典型证法[J]．高等数学研究,2009,12(6):13-17[11] 黄云美．重积分在积分不等式证明中的应用[J]．杨凌职业技术学院学报,2014,13(3):27-33[12] 葛亚平．积分不等式证明的再认识[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2015,24(3):18-20[13] 王丽颖,张芳,吴树良．积分不等式的证法[J]．白城师范学院学报,2007,21(3): 19-22。
积分不等式的证明及应用
积分不等式的证明及应用一、积分不等式的证明首先考虑一个函数f(x)，如果在一个区间[a,b]上f(x)≥0，并且在[a,b]上f(x)连续，则我们可以利用微积分中的定义，将该区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为△x=(b-a)/n。
假设在每个小区间上，取fx*为小区间中的一个点，记为xi，则有f(xi)≥0。
因此，我们可以得到以下不等式：f(x1)△x+f(x2)△x+...+f(xn)△x ≥ 0当n趋向于无穷大时，△x趋近于0，即得到积分不等式的形式：∫[a,b] f(x) dx≥ 0这就是积分不等式的一个简单证明。
二、积分不等式的应用1.利用积分不等式证明函数的性质通过使用积分不等式，我们可以证明函数的单调性、凹凸性等性质。
例如，要证明函数f(x)在区间[a,b]上是递增的，可以假设a≤x1≤x2≤b，并证明f(x1)≤f(x2)。
根据积分不等式，我们可以推导出以下结论：∫[a,x1] f'(x) dx ≥ 0∫[a,x2] f'(x) dx ≥ 0将两式相减，可以得到以下不等式：∫[x1,x2] f'(x) dx ≥ 0根据积分的定义，可以得到：f(x2)-f(x1)≥0即f(x2)≥f(x1)，证明了函数f(x)在区间[a,b]上是递增的。
2.求解不等式利用积分不等式，我们可以求解各种类型的不等式。
例如，考虑不等式∫[0,π] sin(x) dx ≥ 0。
我们可以通过求解积分来解决这个问题。
由于sin(x)在[0,π]上是非负的，所以这个不等式成立。
另一个例子是求解不等式∫[0,1] ln(1+x) dx ≥ ln2、我们可以通过计算积分的值，来判断不等式的成立性。
利用积分公式，计算得到∫[0,1] ln(1+x) dx = xln(1+x)，[0,1] - ∫[0,1] x/(1+x) dx = ln2因此，不等式∫[0,1] ln(1+x) dx ≥ ln2是成立的。
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广西科技大学毕业论文题目：积分不等式的证明及应用英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院所在专业：信息与计算科学学号：200900901071作者姓名：朱伟指导老师：张明俊二零一三年五月摘要积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。
利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。
文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。
【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式AbstractMathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help.【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.目录摘要 (2)引言 (5)第一章积分不等式的证明方法 (6)（一）定义法 (6)（二）利用定积分的基本性质 (7)（三）利用积分第一中值定理证明积分不等式 (8)（四）利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式 (9)（五）利用二重积分法证明积分不等式 (10)（六）利用线性变换证明积分不等式 (12)（七）利用柯西中值定理来证明积分不等式 (13)（八）利用泰勒公式证明积分不等式 (13)定理4 泰勒定理 (13)2.证明方法 (14)3.例子 (14)4.应用范围 (14)第二章一些特殊积分不等式的应用 (15)（一） Young不等式及其应用 (15)（二）Steffensen不等式 (17)（三）Jensen不等式 (17)结束语 (19)致谢 (20)参考文献 (21)引言数学分析是信息与计算科学专业的一门重要的基础课，积分不等式是数学分析中的重要内容，利用积分不等式可以解决很多问题，由此可见积分不等式的应用很广。
积分不等式的证明与应用历来是数学分析的中的一个难点，它的证明为不同分支的数学架起了桥梁，很大程度的提高了我们的创造思维。
它的证明及应用也是很灵活巧妙的，可以使一些困难的问题迎刃而解。
所以，深刻理解、掌握积分不等式的证明方法及它在数学分析中不同方面的应用，可以提升我们对理论知识的理解、应用，同时也有利于我们以后的学习，对提高我们的思维能力、创新能力、和技巧也有非常大的帮助。
本文通过参考大量的文献，综述出了一些积分不等式的证明及应用。
第一章 积分不等式的证明方法（一） 定义法根据定积分的定义，我们把积分区间分为n 等分，得出积分和后，再由离散型式子，得到积分和之间的大小关系，令∞→n ，取极限即可.例1 设f 在[],a b 上连续，()0ba p x dx ≥⎰，()0p x ≥，且()m f x M ≤≤，()h x 在区间[],m M 上有定义，有二阶导数''()0h x >，试证明：()()()(())()()()bbaabbaap x f x dxp x h f x dxh p x dxp x dx≤⎰⎰⎰⎰.证明： （利用积分和证明）将[],a b n 等分，记()i ix a b a n=+-，()i i p p x =，()i i f f x =，1,2,3i=因为''()0h x >，则()h x 为凸函数，则1111()()nni iiii i nniii i p fp h f h pp====≤∑∑∑∑，所以有：1111()()nni ii i i i n ni i i i b a b ap f p h f n n h b a b a p p n n ====--≤--∑∑∑∑ 令n →+∞取极限，便得证明的积分不等式.例2设函数)(x f 在 []0,1上可积，试证明不等式10()f x dx ⎰.证明： 先用Jensen 不等式法来证明不等式 : 对 R x x x n ∈∀,,,21 , 有nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ 设T 为] 1 , 0 [的n 等分，根据上面的不等式,有∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ni nn i f nn i f 1211 1. 令∞→n , 由函数)(x f 和)(2x f 在[ 0 , 1 ]上的可积性及函数 ||x 和x 的连续性，可得积分不等式10()f x dx ⎰.（二） 利用定积分的基本性质例1 假设)(x f 在[],a b 上二次连续且可微，()02a bf +=，''sup ()a x b M f x ≤≤=，试证明：3()()24baM b a f x dx -≤⎰证明： 将)(x f 在2a b x +=处，用泰勒公式展开，注意()02a bf +=，则 '''21()()()()()222!2a b a b a b f x f x f x ξ+++=-+-，)(x f 右端的第一项在[],a b 上积分为0，所以''21()()()2!2bb aa ab f x dx f x dx ξ+=-⎰⎰''21()()22b a a b f x dx ξ+≤-⎰31()|62b a a b M x +≤-3()24M b a -=， 其中''sup ()a x bM f x ≤≤=.例2设函数()f x 在区间[]0,1上连续且递增，试证明：对任意()0,1k ∈，都有1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰.证法一： 110000()()()()()k k kk k f x dx f x dx k f x dx f x dx f x dx ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()k kk f x dx k f x dx =-+⎰⎰[]12(1)()()k k f f ξξ=--0≥12(1)k ξξ<<<<其中0,移项后得证.证法二： 1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰100()()()kkk f x dx k f x dx k f x dx ⇔≤+⎰⎰⎰10(1)()()kkk f x dx k f x dx ⇔-≤⎰⎰或1011()()1k kf x dx f x dx k k ≤-⎰⎰但是f 在[]0,1上连续并且递增，所以1011()()()1k k f x dx f k f x dx k k≤≤-⎰⎰，即 1011()()1k k f x dx f x dx k k≤-⎰⎰，原题得证.（三） 利用积分第一中值定理证明积分不等式定理1 积分第一中值定理如果()x f 在区间][b a ,连续, 则至少存在一点ζ∈][b a ,,使得等式()()()a b f dx x f ba-=⎰ζ成立.巧妙的利用积分第一中值定理，在证明积分不等式中有着非常重要的作用. 例 设()x f 在区间][1,0上可微,而且对任意函数)(1,0∈x ,都有()M x f ≤'||, 求证:对任何正整数n 都有()nMn i f n dx x f n i ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=111,已知M 是一个常数，与x 无关.分析 因为目标式中一个式子为∑=⎪⎭⎫⎝⎛n i n i f n 11,而另一个式子为()dx x f ⎰10,所以把()dx x f ⎰1按照区间可加性可以写成一些定积分的和,应用积分第一中值定理加以证明.证明： 由定积分的性质和积分中值定理,得()()⎰∑⎰=-=111ni n ini dx x f dx x f ()∑==ni i n f 11ζ,⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈n i n i i ,1ζ,.,,2,1n i = 又因为()x f 在区间][1,0上可微,所以根据微分中值定理可知,存在 ⎝⎛⎪⎭⎫∈n i i i ,ζη,使()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i n i f f n i f ζηζ,.,,2,1n i = 因此()()∑∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i n i i n i n i f n f n n i f n dx x f 1111111ζ()()()nM n M n n i f n f n i f n f n i f n n i i ni i n i i n i i =≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=-⎪⎭⎫⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑====111111111ζηζζ.由此可知，抽象函数()x f 的积分不等式中,如果有和号∑、对函数、幂函数等,一般可利用定积分的区间可加性或定义,把][b a ,n 等分,点i ζ也可以采用特殊的取法.（四） 利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式定理2 拉格朗日中值定理 如果函数f 满足下面的条件: （1）f 在区间][b a ,连续；（2）f 在)(b a ,内可导, 则在区间)(b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()ab a f b f f --='ζ. 利用拉格朗日中值定理的关键步骤是选取适当的函数()f x 以及区间[],a b ,使得()f x 、[],a b 满足拉格朗日定理条件,再用拉格朗日公式（也可以用等价形式）来运算求得所要的结论.例2 设()x f '在定区间][b a ,上连续，试证明:若()a f =()b f 0=,则有()⎰ba dx x f ≤()M a b 42-,][()x f Max M b a x '=∈,.分析 根据()a f =()b f 0=,及()x f '与()x f ,可以利用拉格朗日中值定理求证.证明： 根据拉格朗日中值定理， 对于任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+2,b a a , ()()()a f x f x f -=()()x a a x f <<-=11,ζζ.对于任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+b b a ,2,()()()b f x f x f -=()()b x b x f <<-=22,ζζ.()()()()⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⇒b b a x x b M x f b a a x a x M x f ,2,,2,,, 故()()()⎰⎰⎰+++=bb a b a abadx x f dx x f dx x f 22()()⎰⎰+++≤bb a b a adx x f dx x f 22()()⎰⎰++-+-≤bb a b a adx x b M dx a x M 22()M a b 42-=.我注意到M 是()x f '在区间][b a ,上的最大值,因此解题的关键是想办法使()x f 和()x f '联系起来,随即想到利用拉格朗日中值定理来证明不等式.（五） 利用二重积分法证明积分不等式利用定积分和积分变量形式无关的性质去证明不等式,把定积分的平方项或定积分之间的积，转化成积分变量形式不同的定积分的积,再把定积分化为二重积分,能达到有效的作用.例1 如果函数()x f ,()x p ,()x g 在][b a ,上连续,()x p 为正值函数,()x f ,()x g 为单调增加函数,则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .此不等式就是切贝谢夫不等式.分析 只需证()()()()()()()()0≥-=∆⎰⎰⎰⎰babababadx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p即可,然而上述式子又可看成累次积分,进而化为二重积分.证明： 因为定积分的值和积分变量是无关的,因此()()⎰⎰=babady y p dx x p ,()()()()⎰⎰=babady y g y p dx x g x p .()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-=∆bab ab ab ady y g y p dx x f x p dx x g x f x p dy y p()()()()()()()()[]dxdy y g x f y p x p x g x f x p y p D⎰⎰-=()()()()()[]dxdy y g x g x f y p x p D⎰⎰-= ①其中,积分区域()b y a b x a D ≤≤≤≤;因定积分和积分变量的形式是无关的, 则交换x 和y 的位置,得()()()()()[]dxdy x g y g y f x p y p D⎰⎰-=∆ ②将①式和②式相加,得到()()()()[]()()[]dxdy y g x g y f x f y p x p D--=∆⎰⎰21,根据已知, 可知()x p 为正值函数,()x f ,()x g 为单调增函数,从而()()[]y f x f -和()()[]y g x g -同号, 于是在D 上()()y p x p ()()[]y f x f -()()[]y g x g -0≥,从而有0≥∆. 即得()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .例2 试证明如果函数()x f 在区间][1,0上不恒为零，且连续增加,则()()()()⎰⎰⎰⎰≤10210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f . 证明： 因结论式中的分母在区间][1,0上都是正值,所以结论可等价为()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()0102103≥⎰⎰dx x xf dx x f ,又因 ()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()⎰⎰102103dx x xf dx x f()()()()dxdy y xf x f dxdy y yf x f DD⎰⎰⎰⎰-=3232()()()dxdy x y y f x f D⎰⎰-=32 ③其中,积分区域()10;10≤≤≤≤y x D 因定积分的值和积分变量的形式是无关的,则又有()()()dxdy y x x f y f D⎰⎰-=∆32 ④将③式和④式相加,得到()()()()()[]dxdy y f x f x f y f y x D--=∆⎰⎰2221,根据已知,函数()x f 在区间][1,0上是连续增加,从而对于任意][1,0,∈y x ,都有()()()()()[]022≥--y f x f x f y f y x ,故()()()()⎰⎰⎰⎰≤1210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f .从上述的积分不等式证明中,可知将定积分化为重积分能够灵巧的去证明积分不等式.（六） 利用线性变换证明积分不等式要是问题涉及到函数()x f 在区间[],a b 上的均值()⎰-ba dx x f ab 1，就可以对均值作线性变换。