事件的相互独立性 课件

[活学活用] 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买 乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立， 各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 解：记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”， 则 P(A)＝0.5； 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”，则 P(B)＝0.6；
所以所求概率为 P( A B C )＝P( A )×P( B )×P( C )＝23 ×23×23＝287.
(2)恰好有一枚骰子出现 1 点或 6 点，即 A，B，C 恰有一 个发生，用符号表示为事件 A B C ＋ A B C ＋ A B C，所 求概率为
P(A B C ＋ A B C ＋ A B C)＝P(A B C )＋P( A B C ) ＋ P( A B C) ＝ P(A)P( B )P( C ) ＋ P( A )P(B)P( C ) ＋ P( A )P( B )P(C)＝13×23×23＋23×13×23＋23×23×13＝49.
[活学活用] 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开 关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能 够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率． 解：如图所示，记这段时间内开关 KA，KB，KC 能够闭合为事件 A，B，C. 由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相 互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是
记 C 表示事件“进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商 品都购买”；
记 D 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种 商品中的一种”．
(1)易知 C＝AB，则 P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6 ＝0.3.
(2)易知 D＝(A B )∪( A B)，则 P(D)＝P(A B )＋P( A B) ＝P(A)·P( B )＋P( A )P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
[类题通法] 1．公式 P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件 A1，A2，…，An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于 每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 2．用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： (1)用恰当的字母表示题中有关事件； (2)根据题设条件，分析事件间的关系； (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个 事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； (4)利用乘法公式计算概率．
＝P(A)P( B )P( C )＋P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B )P(C) ＝45×25×130＋15×35×130＋15×25×170＝24570. (2)至多有两人当选的概率为 1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－45×35×170＝18235.
[类题通法] 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手 计算．
[化解疑难] 1．相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对 另一个事件的发生没有影响，也就是若事件 A 与 B 相互独 立，则 P(B|A)＝P(B)，且 P(A|B)＝P(A)，因而有 P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)． 2．定义的推广：对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果 其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影 响，则称事件 A1，A2，…，An 相互独立.
相互独立事件的判断
[例 1] 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互 独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数”； 事件 N：“出现的点数为偶数”．
(2)掷一枚骰子一次，事件 A：“出现偶数点”；事件 B： “出现 3 点或 6 点”．
[解] (1)∵二者不可能同时发生，∴M 与 N 是互斥事件． (2)基本事件空间为 Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件 A＝{2,4,6}，事 件 B＝{3,6}，事件 AB＝{6}， ∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13， P(AB)＝16＝12×13，即 P(AB)＝P(A)P(B)． 故事件 A 与 B 相互独立．当“出现 6 点”时，事件 A，B 可以同时发生，因此，A，B 不是互斥事件．
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相互独立事件概率的实际应用 [例 3] 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率 为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为170. 求：(1)恰有一名同学当选的概率；
(2)至多两人当选的概率． [解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为 A，B 和 C. ∴P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝170. (1)因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一名同学当选的概 率为 P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C)
[类题通法] 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件 A，B 相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)． (2)利用性质：A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B， A 与 B 也都相互独立． (3)有时通过计算 P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件 相互独立．
[活学活用] 下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次有放回地 摸两球，事件 M：“第一次摸到白球”；事件 N：“第二次摸 到白球”． (2)袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次不放回地 摸两球，事件 M：“第一次摸到白球”；事件 N：“第二次摸 到黑球”．
P(A－ ·B－ ·C－ )＝P(A－ )P(B－ )P(C－ ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027. 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能 够正常工作的概率是 1－P(A－ ·B－ ·C－ )＝1－0.027＝0.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.
[例 2] 掷三枚骰子，试求： (1)没有一枚骰子出现 1 点或 6 点的概率； (2)恰好有一枚骰子出现 1 点或 6 点的概率． [解] 记“第一、二、三枚骰子出现 1 点或 6 点”分别为 事件 A，B，C，由已知 A，B，C 是相互独立事件，且 P(A)＝ P(B)＝P(C)＝13.
(1)没有一枚骰子出现 1 点或 6 点，也就是事件 A，B，C 全不发生，即事件 A B C ，
提示：P(A)＝35，P(B)＝12， P(AB)＝35××24＝130.
问题 3：P(B|A)与 P(B)相等吗？ 3
提示：因为 P(B|A)＝PPAAB＝130＝12， 5
所以 P(B|A)与 P(B)相等．
问题 4：P(AB)与 P(A)P(B)相等吗？ 提示：因为 P(B|A)＝PPAAB＝P(B)， 所以 P(AB)与 P(A)P(B)相等．
解：(1)根据事件的特点易知，事件 M 是否发生对事件 N 发生的概率没有影响，故 M 与 N 是相互独立事件．
(2)由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的 概率产生影响，但不会造成“再从中任意取 1 球是黑球”的 事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不是相互 独立事件.
相互独立事件的概率
事件的相互独立性
[提出问题] 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球、 2 个黑球．从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A＝“从 甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”． 问题 1：事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ 提示：不影响．
问题 2：试求 P(A)，P(B)，P(AB)．
[导入新知] 1．相互独立事件的概念 设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件 A 与 事件 B 相互独立． 2．相互独立事件的性质 (1)若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝ P(B) ，P(A|B)＝ P(A)，P(AB)＝ P(A)P(B) ． (2)如果事件 A 与 B 相互独立，那么_A__与__B_，A 与 B，_A__与__B_ 也相互独立．