相似三角形的基本类型总结

相似三角形的基本类型总结
类型一 平行线型
相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.
平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC .
E
D
C
B
A
图（1）
E
D
C
B
A
图（2）
1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=∆DBCE ADE S S 四边形,则
=AC
AE
【 】
（A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）2
1
2. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若3
2
=OC BO ,10=AD ,则
=AO _________.
图（3）
E
D
C
B
A
图（4）
O
D
C
B
A
F
E D
C
B
A
图（5）
3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .
如图（6）所示,由D B ∠=∠或
AE
AC
AD AB =
,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE AC
AD AB =
,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AE
AC
AD AB =
,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似.
图（6）
E
D C
B
A
E
D
C B
A
图（7）
图（8）
E
D
C
B
A
4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CG
DF
AC AD =
. （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若
21=AC AD ,求
FG
AF
的值. G F
E D
C
B
A
图（9）
如图（10）,在Rt △ABC 中,AB CD ACB ⊥︒=∠,90,则有Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC , Rt △ACD ∽Rt △CBD .其中,Rt △ACD ∽Rt △CBD 为姊妹型相
似,Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC 为母子型相似.
图（10）
D C
B
A
D
C
B
A
图（11）
如图（11）所示,若B ACD ∠=∠（或ACB ADC ∠=∠）,则△ACD ∽△ABC ,为母子
型相似.
5. 如图（12）所示,在△ABC 中,D 为AB 上一点.已知△ADC 与△DBC 的面积比为1 : 3,且6,3==AC AD . （1）求BD 的长度; （2）求证:B ACD ∠=∠.
图（12）
D
B
A
如图（13）所示,由21,∠=∠∠=∠D B ,可以得到△ABC ∽△ADE ,我们把这种类型的
相似三角形称为旋转型.
图（13）
21
E
D
C
B
A
图（14）
E
D C
B
A
类型五 一线三等角型
如图（14）所示,在△ABC 中,AC AB =,且B ADE ∠=∠,则△ABD ∽△DCE .像这种
类型的相似三角形称为一线三等角型.
6. 如图（15）所示,等边三角形ABC 的边长为6,D 是BC 边上的动点,︒=∠60EDF . （1）求证:△BDE ∽△CFD ;
（2）当3,1==CF BD 时,求BE 的长.
图（15）
F
A
B
C
E。