行列式的定义及其性质证明

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行列式定义间的等价性及某些性质的证明

行列式定义间的等价性及某些性质的证明在数学中，行列式是由一组数字组成的方阵，它可以用于表示向量之间的线性关系和线性方程组的解。

这些方阵能够揭示许多有用的性质，并且有许多定义，它们之间存在着等价性。

本文旨在讨论行列式定义间的等价性及其某些性质的证明。

定义一：行列式是由矩阵的每一行的元素的乘积的累积的积，以及每一列元素的乘积的累积的积组成的。

记作D，则D=[a11a12...a1n|a21a22...a2n|...|an1an2...ann]，其中a11、a12…an1、an2…ann分别表示方阵中的每一个元素。

定义二：行列式是由矩阵的每一行的元素的代数和，以及每一列元素的代数和组成的。

记作D，则D=[a11+a12+...+a1n|a21+a22+...+a2n|...|an1+an2+...+ann]，其中a11、a12…an1、an2…ann分别表示方阵中的每一个元素。

义一和定义二是行列式的另外两种定义，它们之间存在着等价性，也就是说，相同的行列式拥有相同的值。

实际上，它们之间的关系可以表示成如下形式：D=D1=D2下面我们将详细说明一下它们之间的联系：首先，考虑定义一和定义二之间的关系。

由定义一可以看出，行列式的值实际上是每一行元素乘积的累积积以及每一列元素乘积的累积积的总和。

而定义二表明，行列式的值是每一行元素的代数和以及每一列元素的代数和的总和。

两者之间的等价性可以从另一层角度来看：由定义一可知，每一行乘积的累积积和每一列乘积的累积积之和正是每一行元素的代数和以及每一列元素的代数和的总和，这正是定义二的内容。

接下来，我们将证明行列式的一些重要性质。

首先我们来证明变换性质。

假设有一个任意维数n的行列式D，那么D的值通过行交换或者列交换都不会变化，仍然保持不变。

给出下式：D=D1=D2，其中D1是行交换后的行列式，而D2则是列交换后的行列式，因此可以认为D1=D2，这也就证明了变换性质。

我们还可以证明行列式的总和性质。

行列式的认识

行列式的认识在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它是一个方阵的一个标量量度。

它在许多领域中都有着广泛的应用，包括物理，工程学，统计学和计算机图形学等。

1. 行列式的定义行列式通常表示为$det(A)$或$|A|$。

它是一个方阵的数字值，如果它是正的，则表示该矩阵是“正定”的，否则表示它是“负定”的。

一个矩阵的行列式的计算方式如下：$$ det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_i},$$其中，$n$是矩阵的阶数，$a_{i,j}$是矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素，$S_n$是$n$个元素的置换群，$\sigma$是$S_n$中一个置换。

$\tau(\sigma)$表示置换$\sigma$的逆序数，即该置换可以通过多少次交换相邻的元素变为单位置换。

$(-1)^{\tau(\sigma)}$表示符号，当逆序数是偶数时取值为正，当逆序数是奇数时取值为负。

因此，行列式的值可以通过先列出所有可能的$n!$种置换，然后计算每个置换的贡献来得到。

2. 行列式的性质行列式有许多令人惊讶的性质。

以下是一些重要性质的概述：2.1 行列式的性质1：任意交换矩阵的两行或两列，行列式的值会发生反转。

根据上述公式，当交换两行时，置换的符号改变了，因为逆序数的奇偶性改变了。

当交换两列时，置换的奇偶性也改变了，因此结果符号仍然改变。

例如，对于一个3x3的矩阵A，如果我们交换第1行和第2行，那么行列式的值将由$det(A)$变为$-det(A)$。

2.2 行列式的性质2：如果矩阵的两行或两列成比例，那么该行列式的值为零。

如果两行成比例，那么矩阵的行列式为零，因为对于任何置换$\sigma$，这两行的元素始终被映射到了同一列。

结果是，对于每个乘积$a_{i,\sigma_i}$，该乘积乘以一个相同的因子$a_{j,\sigma_j}=ka_{i,\sigma_j}$，其中$k$是一个常数。

行列式的性质及求解方法

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

行列式运算法则

• 利用代数法，通过行列式的性质和公式证明性质
• 利用几何法，通过图形直观地证明性质
行列式的特殊类型
对角行列式
• 对角线上的元素相乘后求和，即det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(I_(ij))，其中I是
单位矩阵
上三角行列式和下三角行列式
• 上三角行列式：主对角线以下的元素全为0的行列式
det(I)
• 伴随矩阵可以用来计算行列式的导数
03
逆矩阵和伴随矩阵的计算方法
• 利用高斯消元法计算逆矩阵
• 利用行列式的性质和公式计算伴随矩阵
05
行列式运算的误差分析与优化
行列式运算的误差来源
误差来源分析
误差控制方法
• 舍入误差：由于计算机的浮点数表示和运算，可能导致
• 提高计算机的浮点数精度
• 对角线求和性：det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(A(ij))，其中A(ij)是去掉第i行和第
j列后的矩阵
• 交换律：det(AB) = det(BA)
• 多行（列）展开性：可以将行列式的一行（列）展开，得到一个新的行列式
行列式性质的证明方法
• 利用定义法，通过计算证明性质
行列式运算法则
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01
行列式的定义与性质
行列式的定义及其意义

行列式是线性代数中的一个重要概念
• 定义：一个n阶方阵A的元素aij（i, j = 1, 2, ..., n）按照一定的规则
相乘后求和，记作det(A)
• 意义：行列式反映了矩阵的一些重要性质，如线性无关向量组的体
• 行展开式：将第i行展开，得到一个新的(n-1)阶行列式

线性代数行列式

行列式一、行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211，（11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211，（11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。

在行列式中，ij a 也称为元素。

为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。

定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。

()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。

例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。

而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。

定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。

n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。

用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。

上式称为行列式按第i 行展开。

可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。

例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。

解按第1行展开。

因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。

行列式

行列式1.性质 1行列式与它的转置行列式相等.即DnDn .2.性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.3.性质 3行列式Dn 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积的和.推论行列式任意一行(列)的元素与另一行(列)的代数余子式乘积的和为零.4.性质 4行列式某行(列)元素的公因子可提到行列式符号之外.也即行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.推论若行列式有两行(列)成比例，则其值为0．eg. 奇数阶反对称行列式的值必为0．5.性质 5若行列式的某行(列)的元素均为两项之和，则行列式可按此行(列)拆成两个行列式之和．6.性质 6行列式某行(列)的倍数加于另一行(列)，行列式的值不变．7.行列式的计算（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式等于x1, x2, , xn这n个数的所有可能的差xi xj 1 j i n 的乘积.（2）行列式主对角线上方和下方元素完全相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:所有行(列)都加到第一行(列),然后化成三角形行列式（3）主对角线上方和下方元素分别相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:可用拆分法.（4）三对角线型行列式:指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为0而其余元素全为0的行列式.三对角线型及其变形行列式通常可用数学归纳法、递推法、化成三角形行列式等方法.8.行列式的乘法即行乘列规则，An的第i 行与Bn的第j列对应元素乘积之和为9.克拉默法则(1)用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零(2)定理若方程组的系数行列式 ,那么线性方程组有解，并且解是唯一的(3)推论若齐次线性方程组的系数行列式,则方程组只有惟一零解推论的等价叙述：齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必等于零。

行列式的定义及其性质证明

行列式的定义及其性质证明(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--行列式的定义及其性质证明摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。

关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数1 基本定理与性质的证明引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。

证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。

定理1 n阶行列式也可定义为证明由定义1和引理即可证得。

性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。

(根据性质1知对行成立的性质对列也成立)性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。

性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。

证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即(mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这2行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知D i=0，所以M i+s=0，因此D=0，证毕。

性质4 行列式的某行(列)的每个元素与另一行(或列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零。

§2 行列式的性质与计算

1 2 n

j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn

p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零．比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0

行列式定义间的等价性及某些性质的证明

行列式定义间的等价性及某些性质的证明矩阵是一种由列向量数据组成的量值表，它不管是计算还是分析，都是数学中十分重要的一个概念和工具，可以完成复杂的精确计算。

它的另一个重要的特性是行列式，行列式可以定义整个矩阵的值。

行列式的定义是：对于矩阵A=(aij)，当A的阶数为n时，A的行列式叫做det A，记作∆A或|A|，它的值为：∆A = ∏j=1n (aj1+aj2……+ajn)在定义上，我们发现行列式可以完美地与矩阵对应，它可以代表整个矩阵的性质，是矩阵在数学分析和计算中的重要指标，同时它仍旧保留了其原有的结构关系。

从等式中还可以发现，行列式与矩阵之间是等价的，它们之间通过计算得出的中间变量(aj1+aj2…+ajn)来建立联系，可以用来解决一些行列式的性质。

关于等价性的证明，首先，它们的阶数必须相等，行列式的阶数一旦改变，则矩阵中的每一项数值都会发生变化，从而影响行列式中所有项中间变量(aj1+aj2……+ajn)的计算及最终行列式的值。

其次，它们代表的整个矩阵的性质以及它们能够进行精确的计算，均要求保证每一项的计算正确，也就意味着两者是完全等价的，可以通过矩阵求出行列式的值，反之亦然。

此外，行列式还具有一些极其重要的应用，比如矩阵的可逆性、行列式的余子式及其等价性及代数余子式等，这些性质都可以从行列式定义来证明。

比如利用行列式的定义，可以证明如下： A的行列式若不等于零，则矩阵A一定可逆；A的行列式的元素可以截取出若干相同元素以求解矩阵；A的行列式的每一项，按其正负性变换而变换；A的行列式等于A转置矩阵的行列式\等。

以上等性质通过行列式本身的定义来得出，以此说明它们是等价的。

综上所述，行列式的定义可以很好地定义矩阵的数值，由行列式也可以计算出矩阵中的每一项数值，它们之间是完全等价的。

同时，由行列式的定义可以推出一系列的性质，可以去解释矩阵的可逆性、行列式的余子式及其等价性及代数余子式等概念。

因此，行列式的定义实际上是给矩阵数学计算及理论分析提供了一个重要的方法，可以整合概念，精准计算，正确证明某些性质，展现了它等价性及重要性的深刻程度。

用行列式的性质证明

用行列式的性质证明行列式是数学中重要的组成部分，在线性代数以及矩阵论中有着广泛的应用。

在数学的有关研究中，行列式拥有着许多独特的性质，这些性质可以用来证明一些公式的正确性。

1.阵的行列式的性质。

一般而言，对于一个n阶的方阵A=(a_{ij})，其行列式的定义为det A=sum_{1≤i_{1}<i_{2}<...<i_{n}}a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}。

为了使行列式取得最大值，所有元素必须满足a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}>=0，否则行列式会变小。

这是行列式的第一个性质。

2.阵的总体特征性质。

从矩阵的特征性质来看，行列式的值受到矩阵的总列数的影响，即行列式的值与矩阵的列数成正比。

如果在n 阶矩阵中，行列式的值为det A=a_{1}a_{2}..a_{n}，则可以推出，在n+1阶矩阵A=(a_{ij})中，行列式的值为detA=a_{1}a_{2}...a_{n+1}。

是行列式的第二个性质。

3.质A：对于任意n阶矩阵A=(a_{ij})，当在其第i行中增加一个新的元素时，行列式的值将变为原来值的2倍。

这是行列式的第三个性质。

4.质B：对于任意n阶矩阵A=(a_{ij})，当在其第i列中增加一个新的元素时，行列式的值将变为原来值的3倍。

这是行列式的第四个性质。

5.质C：对于任意n阶矩阵A=(a_{ij})，当所有元素都增加K倍时，行列式的值将增加K^n倍。

这是行列式的第五个性质。

6.质D：对于n阶矩阵A=(a_{ij})的行列式可以写成：detA=sum_{1≤i_{1}<i_{2}<...<i_{n}}a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}，其中i_{1},i_{2},…,i_{n}是1到n的数字。

是行列式的第六个性质。

7.质E：对于四阶以上的方阵A=(a_{ij})，其行列式的值只取决于A的矩阵元素，而与元素的相对位置无关。

行列式及其性质

行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。

在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。

本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。

一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。

对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。

2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。

3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。

4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。

5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。

三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。

对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。

行列式的定义是什么

行列式的定义是什么行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。

行列式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!行列式的定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：其中s g n(σ)是排列σ的符号差。

对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。

2阶： 3阶：。

但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。

二维向量组的行列式行列式是向量形成的平行四边形的面积设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。

两个向量 X和X’的行列式是：经计算可知，行列式表示的是向量 X和X ’形成的平行四边形的有向面积。

并有如下性质：行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。

如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列(如图)。

行列式是一个双线性映射。

三维向量组的行列式设E是一个三维的有向欧几里得空间。

三个三维向量的行列式是：这时的行列式表示 X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。

同样的，可以观察到如下性质：行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。

这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有，对第二、第三个向量也是如此。

基底选择在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。

这并不是说平行六面体的体积不唯一。

恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。

可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。

也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。

行列式的定义

定义1 由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i ,称为一个n 级排列.例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列. 显然, n 级排列共有!n 个.排列12n 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.定义2 在n 个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n 级排列12t s n i i i i i 中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若t s i i >,则称这两个数,t s i i 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12()n i i i τ或τ.例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4τ=. 根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数：设在一个n 级排列12n i i i 中，比(1,2,,)t i t n =大的且排在t i 前面的数共有i t 个，则t i 的逆序的个数为i t ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即12121().nn n i i i i i t t t t τ==+++=∑例1 计算排列45321的逆序数.解因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0；比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2；比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4．可见所求排列的逆序数为(45321)002349τ=++++=．定义3 如果排列12n i i i 的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12n i i i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12n 的逆序数是0，因此是偶排列.2.对换定义1 在排列12t s n i i i i i 中,将任意两数t i 和s i 的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换. 例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实. 定理1 对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列.推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.3.n 阶行列式定义1 设有2n 个数，排成n 行n 列的表：111212122212n n n n nna a a a a a a a a作出表中位于不同行列的n 个数的乘积，并冠以符号(1)τ-，得到!n 个形如1212(1)n j j nj a a a τ-的项，其中12n j j j 为自然数1,2,,n 的一个排列，τ为这个排列的逆序数.所有这!n 项的代数和121212(1)n nj j nj j j j a a a τ-∑称为n 阶行列式，记作1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑.其中12nj j j ∑表示对所有的n 级排列12n j j j 求和.行列式有时也简记为det()ij a ，这里数ij a 称为行列式的元素，1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ-称为行列式的一般项.定义1.1.5通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点： ①由于n 级排列的总数是!n 个，所以展开式共有!n 项； ②每项必须是取自不同行不同列的n 个元素的乘积；③每项前的符号取决于n 个元素列下标所组成排列的奇偶性.要注意的是，当1n =时，一阶行列式a a =，不要与绝对值记号相混淆. 例1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).1(1)2,1212,111(1)nn n n n n n n a a a a a a ---=-.证根据n 阶行列式的定义易得121nnn a a a (1)((1)21)212,1112,11(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=-.上例中行列式，其非副对角线上元素全为0，此类行列式可以直接求出结果，例如0001002003004000(4321)(1)123424τ=-⨯⨯⨯=. 证毕类似地，非主对角线上元素全为0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主对角线上元素的乘积，即有11221122nn nna a a a a a =.主对角线以下（上）的元素全为0的行列式称为上（下）三角行列式，它的值与对角行列式的一样.例2 计算上三角形行列式1112122200n n nna a a a a a .解一般项为1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ-，现考虑不为零的项.n nj a 取自第n 行，但只有0nn a ≠，故只能取n j n =；11,n n j a --取自第1n -行，只有1,11,0,0n n n n a a ---≠≠，由于nn a 取自第n 列，故11,n n j a --不能取自第n 列,所以11n j n -=-；同理可得，2212,,2,1n j n j j -=-==.所以不为零的项只有(12)11221122(1)n nn nn a a a a a a τ-=.所以11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =.在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，n 阶行列式的项可以写成1122n n i j i j i j a a a其中1212,n n i i i j j j 是两个n 级排列.利用定理1.1.1，可以给出n 阶列式另一种表示法.定理1 n 阶行列式也定义为1212112212121112121222()()12(1).n n n n n nn n i i i j j j i j i j i j i i i j j j n n nna a a a a a a a a a a a ττ+=-∑推论 n 阶行列式也定义为1212121112121222()1212(1).n n nn n i i i i i i n i i i n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑例2 在四阶行列式中，21321443a a a a 应带什么符号？解 1）按定义1.1.5计算.因为2132144314213243a a a a a a a a =，而4123的逆序数为(4123)01113τ=+++=，所以21321443a a a a 的前面应带负号.2）按定理1.1.2计算.因为21321443a a a a 行指标排列的逆序数为(2314)00202τ=+++=，列指标排列的逆序数为(1243)00011τ=+++=.所以21321443a a a a 的前面应带负号. 4、行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212.n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a =性质2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.推论若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零. 性质3 用一个数乘以行列式的某一行（列），等于用这个数乘以此行列式，即111211112112121212.n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 第i 行(或列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或i c k ⨯).推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零. 推论3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.性质4 若行列式中第i 行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.其中这两组数分别是这两个行列式第i 行（列）的元素，而除去第i 行（列）外，这两个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++ 111211112112121212nn i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a ab b b a a a a a a =+. 若n 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n个行列式.如a xb y a b yx b yc zd wc d wz d w++++=+++++a b a yx b x yc dc wz dz w=+++性质5 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变. 例如以数k 乘第j 行加到第i 行上（记作j i kr r +），有111211112112112212121212n n i i ini j i j in jnj j jn j j jn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=.以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.第二讲行列式的计算教学目的：掌握行列式的计算教学重点与难点：行列式的计算教学计划时数：2学时教学过程：1、化行列式为三角行列式来计算性质2，3，5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即i j r r ↔，k i ⨯γ，j i kr r +和i j c c ↔，i c k ⨯，j i kc c +.利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算j i kr r +（或j i kc c +）可以把行列式中许多元素化为0，进而把行列式化为三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：把行列式化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例1 计算行列式.011212120112110-----=D解 313112211021102011201121212011221100314r r r r r r D+-↔------------==32324331102110201120112002400240222r r r r r r ++-------------==1(1)(2)(2)4=-⨯-⨯-⨯-=.例2 计算n 阶行列式n a b b b b a bb D b b ab b b ba=. 解注意到此行列式中各行（列）的n 个数之和相等，故可把第二列至第n 列都加到第一列上去，然后各行都加上第一行的（－1）倍，就有12(1)(1)(1)(1)nc c c na nb bbb a n b a b b D a n b b a b a n b b ba ++++-+-+-+-=21311(1)000000n r r r r r r a n bbbb a b a b a b---+----=1[(1)]().n a n b a b -=+--按本例，特别地有：4131111311[3(41)1](31)4811311113-=+-⨯-=.2、行列式按行（列）展开定理定义1 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，余下的（1-n ）阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ；再记ij j i ij M A +-=)1(，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如，对三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 元素12a 的余子式和代数余子式分别为2123123133a a M a a =，2123121212123133(1)a a A M M a a +=-=-=-.有了定义1，三阶行列式可以写成111213212223111112121313313233a a a a a a a M a M a M a a a =-+ 111112121313a A a A a A =++.引理一个n 阶行列式D ,若其中第i 行（或第j 列）所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij A a D =.定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理. 我们可以利用定理1来计算一些简单的行列式.例3 计算行列式12341012.3110125D =--解因为D 中第二行的数字比较简单，所以选择D 的第二行.应用性质5得314121222100031461217c c c c D -------=222146217=按第二行2＋1展开（－1）－－－－－ 2131111100146135217239c c c c --＝22－－－－＝2(2715)24=-+=-35=2-3-9.例4 计算n 阶行列式000000000000n a b a b D a b b a=.解将n D 按第1列展开，则有1(1)(1)0000000000(1)0000000000n n n n a b b a a b D aba b b a a b +--=+-1111(1)(1)n n n n n n a a b b a b -+-+=⋅+-⋅=+-.例5 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,)(1111112112222121∏≥>≥----==j i n j i n nn n nnn x x x x x x x x x x x D其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.证用数学归纳法.因为221211211()i j i j D x x x x x x ≥>≥==-=-∏，所以当2n =时公式成立.现假设公式对于（1n -）阶范德蒙德行列式成立，要证对n 阶范德蒙德行列式也成立.对n D 降阶：从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有2131122133112222213311111100()()(),0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------ 按第一列展开，并把每列的公因子1()(2,3,,)i x x i n -=提出，得到232131122223111()()(),nn n n n n nx x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端的行列式是（1n -）阶范德蒙德行列式，由归纳假设，它等于所有因子()(2)i j x x n i j -≥>≥乘积.故213112()()()()n n i j n i j D x x x x x x x x ≥>≥=----∏1().i j n i j x x ≥>≥=-∏证毕由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是12,,n x x x 这n 个数中至少有两个相等.另外，我们可用例5的结果直接计算行列式，如2222333311112345(54)(53)(52)(43)(42)(32)1223452345=------=.第三讲习题课教学目的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.教学计划时数：2课时教学过程：1 内容精要排列，排列的逆序数，行列式的概念，行列式的性质，行列式的计算.2 知识脉络图12121212n nj j nj n j j j ki kj n D a a a j j j n D a A ττ=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=∑排列,排列的逆序数，奇（偶）排列阶行列式的定义：(-1)，为排列的逆序数（不同行不同列的个元素乘积的代数和）两个翻：全翻（转置）不变，部分翻（交换）变号三个零：某行（列）元素全为零，两行（列）对应位置元素相等，性质两行（列）对应位置元素成比例三个可性：可提性，可分性，可加性行列式按行（列）展开:展开式111n n ik jkk k t i i i a A D M A ===⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩∑∑∑拉普拉斯展开：基本方法：定义法，三角形法，展开法计算方法特殊方法：对角线法则，范德蒙德行列式，递推公式，数学归纳法，加边法，拆开法，三对角行列式等3典型例题例1用行列式定义计算行列式01000020000100n D n n =-解： n D 仅有位于不同行、不同列的n 个非零元素，即1,12,21,11,2,,1,n n n nn a a a n a n ---===-=.因此n D 的!n 项中仅有一项非零，故((1)(2)21)1,12,21,1(1)n n n n n n n nn D a a a a τ-----=-.因为(2)(1)((1)(2)321)(2)(3)32102n n n n n n n τ----=-+-+++++=，所以(2)(1)2(1)!n n n D n --=-.例2 计算行列式.2111712164112324--=D分析对于元素是数字的行列式，通常运用行列式的性质将其化为三角行列式来计算，或将其某一行（列）化成有较多0元素之后，再按该行（列）展开降阶.解法一（化为三角形行列式）05205910354021011232171216412113412134124--------++↔r r r r r r r r D ＝＝102300174100591210105203540591210123243242----------↔r r r r r r ＝＝2300355910210110230025059102101344342-----+-r r r r ＝＝.19 190007100591021012300710059102101344332-=-------+r r r r ＝＝解法二（利用行列式的展开定理逐次降阶）001591235415432131244--++c c c c D ＝591354543)1()1(14--⨯-=+0011741410233121395------c c c c ＝3123101(1)19.4117+--=⨯-=---注上述两种解法是计算数字行列式常用的方法. 例3计算行列式1n D +=012112200000n nna b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.分析因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.解 111012112,3,,2000000j j jcj ja j nc b n a j c c nj nn a b b b a D a a --=-=-∑＝012121()j j jnc b n n a j a a a a a a a ==-∑.注本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.计算行列式1n D +=012112200000n nna b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.分析因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.解 111012112,3,,20000000j j jcj ja j nc b n a j c c nj nna b b b a D a a --=-=-∑＝012121()j j jnc b n n a j a a a a a a a ==-∑.注本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.例4 计算行列式123123123123nn n n n x m x x x x x m x x D x x x mx x x x x m--=--.分析该行列式具有特点：各行（列）的元素之和相同，且各列除主对角线上的元素外均相同，可考虑下面方法求解.解法一从第2列起将各列加到第1列，然后从第2行起各行加上第1行的（－1）倍，得231231231231ni n i ni n i nn i ni ni n i x mx x x x mx m x x D x mx x mx x mxx x m====---=----∑∑∑∑2310000000ni ni x mx x x m m m=--=--∑11()()nn i i x m m -==--∑.解法二把行列式的第1行乘以)1(-分别加到第n , ,3 ,2 行上去，然后依次将第n , ,3 ,2 列加到第1列，得1230000n n x mx x x m m D m m mm--=-- 2310000000nin i x mx x x m m m=--=--∑11()()nn i i x m m -==--∑.例5 计算n 阶行列式n x x xy D y yλαβββαβββα= )2(≥n . 分析这个行列式大部分元素相同，所以问题的关键是想办法变出尽可能多的零. 解从第二行开始，各行都减去第n 行，然后从第二列开始，各列都加到最后一列，再按第一列展开，得00000000n x x xxD yλαββααββααββαβββα----=--(1)000000000(2)x xx n x yn λαβαβαββββαβ---=-+-(1)0000000(2)n n αβαβλαββββαβ---=-+-1(1)(1)000(1)0000n n x x xn x y αβαβαβ+---+---212)()1()1()1(])2([)(-+-----+-+-=n n n n xy n n βαβαβαλ ].)1()2([)(2xy n n n ---+-=-λβλαβα注结合行列式的性质，利用行列式的展开定理计算行列式，这是计算n 阶行列式的又一重要方法.例6 证明：0121101110000100000001n n n n n n a a a a a x x a x a x a x a x x-----=++++-.证明用数学归纳法. 记左边行列式为1n D +，则当1n =时，012011a a D a x a x==+-，命题成立.假设n k =时，11011k k k k k D a x a x a x a -+-=++++，则当1n k =+时，0121210000100000001k k k a a a a a x x D x x++--=-.对2k D +按第(2)k +列展开，得(2)1211(1)1000010(1)000100001k k k k k x xD xD a x ++++++--=+---1310111()(1)(1)k k k k k k k x a x a x a x a a -++-+=+++++--111k k k k x a x a x a ++=++++.因此由数学归纳法，命题对一切正整数n 成立.例7 利用范德蒙德行列式计算下列行列式(1)111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---++++++ (2)222333123123123123nnnn n n n 分析这两个行列式与范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续进行下去，共经过交换2)1(+n n 次行后可化为范德蒙德行列式；对(2)只要每列提出公因数1,2,,n ，也可化为范德蒙行列式.。

矩阵的行列式

矩阵的行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在代数方程、矩阵计算和向量空间等方面都有广泛应用。

本文将介绍行列式的定义、性质和应用，并且重点解释行列式的计算方法。

一、行列式的定义行列式是一个方块矩阵中用一对竖线“| |”括起来的一个特殊代数表达式，可表示为：│a11 a12 … a1n││a21 a22 … a2n││ … … … … ││an1 an2 … ann│行列式的值可以用“det(A)”来表示，其中“A”为一个n阶方阵，即A 是一个n×n的矩阵，而“n”为行列式的阶数。

二、行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1. 行对换的性质：如果行列式中交换了两行的位置，行列式的值会变号。

2. 列对换的性质：如果行列式中交换了两列的位置，行列式的值会变号。

3. 行成比例的性质：如果行列式中有两行成比例，行列式的值为零。

4. 元素乘法的性质：如果行列式中某一行的元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也要乘以k。

5. 行列式具有可加性：如果行列式中某一行的每个元素都加上对应的另一行的元素，行列式的值保持不变。

这些性质是行列式计算的基础，可以通过这些性质来简化行列式的计算过程。

三、行列式的计算方法行列式的计算主要有两种方法：代数余子式法和按行（列）展开法。

1. 代数余子式法：代数余子式法是行列式计算的常用方法。

它通过选定行或列，将行列式展开为该行（列）上的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即：det(A) = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n其中，A11、A12、…、A1n就是a11、a12、…、a1n的代数余子式。

2. 按行（列）展开法：按行（列）展开法是行列式计算的另一种方法。

它通过选定一行（列），展开为该行（列）上的每个元素与对应的代数余子式乘积之和的形式，即：det(A) = a11C11 + a12C12 + … + a1nC1n其中，C11、C12、…、C1n就是a11、a12、…、a1n的代数余子式。

高中数学《行列式》课件

4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn

初数数学中的行列式公式详解

初数数学中的行列式公式详解行列式是初等数学中非常重要的概念之一，它在线性代数、线性方程组以及向量空间等领域具有广泛的应用。

本文将详细解析行列式的定义、性质和相关公式，帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的标量量，它的值为一个数。

对于一个n阶方阵A=[a[i,j]]，它的行列式记为|A|或det(A)。

行列式的计算需要按照一定的规则进行，下面将介绍常用的行列式计算方法。

二、行列式的计算方法1. 一阶行列式对于一个1×1的行列式，例如A=[a]，它的值就是a。

2. 二阶行列式对于一个2×2的行列式，例如A=[a11,a12;a21,a22]，它的值可以通过交叉相乘再相减的方法进行计算：|A|=a11·a22-a12·a21。

3. 三阶及以上的行列式对于三阶及以上的方阵，可以使用拉普拉斯展开或三角形法则进行计算。

拉普拉斯展开的思想是：把一个n阶行列式按照某一行（或列）的元素展开，然后递归地计算这些元素的(n-1)阶行列式，直到计算到二阶行列式为止。

三、行列式的性质行列式具有多种重要的性质，下面将介绍几条常用的性质。

1. 行列互换性质行列式的值不变，当互换它的任意两行（或两列）时。

2. 行列式倍乘性质行列式中的一行（或一列）的每个元素都乘上同一个数k，行列式的值也同样乘以k。

3. 行列式的展开性质行列式可以按任意一行（或一列）展开，得到的结果相同。

4. 行列式的转置性质一个方阵与其转置阵的行列式相等。

5. 行列式的相似性质相似矩阵的行列式相等。

四、常见的行列式公式1. 三阶行列式的展开式对于一个三阶行列式A=[a[i,j]]，可以使用拉普拉斯展开进行计算：|A|=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32。

行列式性质及其计算方法

行列式性质及其计算方法
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1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的符号变化。以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时，需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法

行列式的性质及应用知识点总结

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方程组等问题具有重要的应用价值。

本文将对行列式的性质及其在实际问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、行列式的定义和性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。

对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。

2. 行列式的性质（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。

（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。

（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，即|A+B|=|A'|+|B|。

（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *a_nn。

二、行列式的应用1. 矩阵的逆行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。

如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。

利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。

2. 线性方程组的求解行列式也可以应用于求解线性方程组。

对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中A_i是将方程组中第i个未知数对应的列替换为方程组右侧的常数列得到的矩阵。

3. 矩阵的秩行列式还可以用于求解矩阵的秩。

矩阵的秩是一个衡量矩阵线性无关性的指标，它表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的向量个数。

行列式定义及性质

D det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
其中 Aij 代表含有 aij 的项在提出公因式后的代数和，且 Aij 中不含有元素aij ，即 Aij 与第i行第j列元素无关。
如
a11 a12 三阶 D a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
( p1 p2 pn ) t1 t2 tn ti .
i 1
n
例求其逆序数： (n 1, n 2,, 2,1, n) ?
(n 2) 1 (n 1)(n 2) / 2
例若
( p1 p2 pn ) k , 则 ( pn pn1 p2 p1 ) ?
a13 a23 0 时， a33
D1 x1 D , D2 , 三元线性方程组有唯一解： x2 D D3 x . 3 D
其中： b1 a12 a13 a11 a12 b1 a11 b1 a13 D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2 . b3 a32 a33 a31 a32 b3 a31 b3 a33 三阶行列式的定义
当
a11b2 b1a21 b1a22 a12b2 . x1 , x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
a11a22 a12 a21 0 时，求得方程组有唯一解：
a11 系数矩阵为 A a 21
D det A a11a22 a12a 21
第一章
方阵行列式及其性质
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用.本部分主要介绍行列式的概念、性质和计算方法.