7. 第七讲 欧氏空间
欧氏空间
(1) [ x , y ] = [ y , x ]; ( 2) [λ x , y ] = λ [ x , y ];
( 3) [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ];
(4) [ x , x ] ≥ 0, 且当 x ≠ 0时, 有 [ x , x ] > 0.
二、向量的长度及性质 定义
α T α1 α T α 2 L α T α n 1 1 1 1 T T T α 2 α1 α 2 α 2 L α 2 α n 0 ⇔ =M M M M Tα T T α2 L α n αn 0 α n 1 α n
⇔ αT α j i 1, 当 i = j = δ ij = 0, 当 i ≠ j
[β1,α2] β2 = α2 − β1 [β1, β1]
已正交, 我们求得 β1 , β 2 已正交 再来求 β 3
β 3 = α 3 − λ1β1 − λ2 β 2 (1)
β3 α3 λ2 β 2 λ1β1 β1
(1)式两边与 β1 内积 注意 式两边与 内积,
[β1 , β 2 ] = [ β1 , β 3 ] = 0
x ⋅ y =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y cos( x , y )
建立标准的直角坐标系后, 建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积 设 x = ( x1 , x2 , x3 )T , y = ( y1 , y2 , y3 )T 则
x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
一、内积的定义及性质 定义 设有 n 维向量
x = [ x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,
欧氏空间
1 0
5 3 1 0 15
《线性代数与解析几何》 第四章 n维向量
第十七讲
4.5 欧氏空间
(几何空间的推广)
本节在实数域内讨论问题
16
本节主要内容
1. 欧氏空间的概念 2. 规范正交基 3.Schmidt正交化 4. 正交矩阵
17
引言
空间的推广： 几何空间R3 n维实向量空间Rn
度量性质的推广: R3中: 长度夹角内积 Rn中: 内积长度夹角
( )2
+ .
24
3.夹角: 设 ∈, Rn 0, 0
称 arc cos ( , ) , 0
为 与 的夹角. 4.正交: 当(,)=0 时,称 与 正交.
记为⊥ .
因为零向量与任何向量的内积为零.
规定: ∈Rn,必有 0⊥ .
25
4.5.2 规范正交基(自然基的推广)
1.正交向量组:两两正交的非零实向量构 成的向量组称为正交向量组.
正交向量组有一个非常重要的性质.
26
2.正交向量组 线性无关
证 设,2,,m是正交向量组, 若 k1+k22++kmm= 0 两边同i 作内积 (k1++kmm , i ) = 0 即 k1(,i )+k2(2, i )++km(m, i ) = 0 当ij 时(i ,j ) = , 有 ki (i ,i ) = 0 又i 0, 则(i ,i ),从而ki , i =1,2,,m 故 ,2,,m 线性无关.
(, ) a12 a22 L an2
单位向量:长度为1的向量.
20
要推广几何空间中向量夹角的概念, 必须先证明下面著名的不等式.
第七章欧氏几何的公理体系简介
第七章欧氏几何的公理体系简介§7.1欧氏几何的公理体系简介一、希尔伯特的公理体系简介1、原始概念点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。
2、欧氏公理公理Ⅰ结合公理（共八条）Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；1Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；2这两条公理的二个直接推论是：推论1o：两个不同的点确定唯一直线；推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。
由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。
Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；3Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。
每个平面上至少4有一个点；5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。
公理4Ⅰ和公理5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。
这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。
6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上所有点都在这个平面上；7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共点；8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。
在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。
公理Ⅱ 顺序公理（共四条）1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。
2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；4Ⅱ：（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；顺序公理用来规定直线上点的相互关系。
公理Ⅲ 合同公理（共五条）1Ⅲ：设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
欧氏空间复习
欧氏空间复习 一、欧氏空间定义如果V 是实数域R 上维线性空间，而且存在V 上二元实函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l R αβγ∈∈。
则称V 为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。
我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有：● 基的度量矩阵正定；● 不同基的度量矩阵合同（由此可以证明标准正交基的存在性） ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补欧氏空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。
标准正交基的存在性一可以通过基的度量矩阵为正定矩阵及其正定矩阵和单位矩阵合同的性质证明。
其次可以通过施密特正交化方法证明。
我们有： ●n 维列向量12,,,n ααα 为n R 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足T A A E =，换句话说A 是正交矩阵。
注意一个正交矩阵决定两组正交基，一个是正交矩阵的列向量组，另外一个是正交矩阵的行向量组。
● 标准正交基的过度矩阵是正交阵。
●根据施密特正交化我们可以推出，对任意实可逆矩阵A 存在正交矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。
●如果12,,,n εεε 为欧氏空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
欧氏空间的定义与基本性质 PPT
一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入：
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
（5）
当且仅当、 线性相关时等号成立.
证：当 0时， ( ,0) 0, 0 ( , ) 0. 结论成立. 当 0 时，作向量 t ,
tR
由内积的正定性，对 t R，皆有
( , ) ( t , t )
注意：由于对 V , 未必有 (, ) (, )
所以1），2）是两种不同的内积. 从而 Rn 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
例2．C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
1. 引入夹角概念的可能性与困难
1）在 R3中向量 与 的夹角 , arccos
（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先
应证明不等式： 此即,
( , ) 1
2. 柯西－布涅柯夫，有
( , )
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
1 (, ) ( , )
（对称性）
2 (k, ) k(, )
3 ( , ) , ( , )
（数乘） （可加性）
欧氏空间
必要性。如果 α , β 线性无关，那么对任意实数 k ， α − k β ≠ 0 所以：
0 < (α − k β , α − k β ) = (α , α ) − 2k (α , β ) + k 2 ( β , β )
右边是关于 k 的二次多项式，那么由上式不等式知，判别式： Δ = (−2(α , β ))2 − 4(α , α )( β , β ) < 0 那么就有：
注意： ① 因为对称性， 对于上面的双线性只需要求一个线性就够了， 另一个可以从单线性和对称性推 导出。 ② 同一个实线性空间可以定义不同的内积， 从而得到不同的欧氏空间， 这会在以后的习题中遇 到。 内积的基本性质
1.2
从定义容易得到，向量的内积有如下基本性质： （ 1） (0, a) = (a, 0) = 0 （ 2）任给的 α1 , α 2 ,L , α n ∈ V 和 β1 , β 2 ,L , β n ∈ V ，及 k1 , k2 ,L , kn ∈ R 和 l1 , l2 ,L , ln ∈ R 有：
k o o b n c . w ww ∑∑ ∑∑
( A, B ) =
n n i =1 j =1
aij bij =
n
n
满足对称性。 又有：
( A + C , B) =
k o o ∑∑ b n c . ∑∑ ∑∑ w ww
n n i =1 j =1 n n
i =1 j =1
bij aij = ( B, A)
b
k o o b n c . w ∫ ww ∫
1
1
称之为三角不等式。 证明： 因为：
| α + β |2 = (α + β , α + β ) = (α , α ) + 2(α + β ) + ( β , β ) ≤| α |2 +2 | α || β | + | β |2 = (| α | + | β |) 2
欧氏空间的知识点总结
欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。
在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。
欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。
2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。
在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。
例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。
3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。
内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。
在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。
内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。
二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。
- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。
- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。
- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。
2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。
- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。
第七讲 欧氏空间部分
第七讲 欧式空间及特殊矩阵对称矩阵与正定矩阵一 .实对称矩阵A 正定的充分必要条件 1.任意的,0n x R x ∈≠，都有0T x Ax > 2.A 的所有顺序主子式都大于零 3.A 的所有主子式都大于零 4.A 的所有特征值都大于零5.存在唯一的正定矩阵B ，使得2T A B B B ==6.存在可逆矩阵P ，使得T A P P =(A 与单位矩阵合同)1.A 是n 阶实矩阵，0A =,证明：TA A kE +正定当且仅当0k >证明：对任意的,0n x R x ∈≠，()()TTTT x AA kE x Ax Ax kx x +=+其中()0,0TTAx Ax x x ≥>，所以T A A kE +正定当且仅当对任意的,0n x R x ∈≠，()()0TT T T x A A kE x Ax Ax kx x +=+>当且仅当0k >2. A 是m n ⨯实矩阵，m n <，证明：TAA 正定当且仅当()r A m = 证明：TAA 正定当且仅当对任意的,0m x R x ∈≠，()()0TTTTT xAA x A x A x =>，当且仅当对任意的,0mx R x ∈≠,0TA x ≠，当且仅当TA 的列向量线性无关，当且仅当()r A m =.3. A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵， ()r B m =，证明：(0)TB AB kE k +≥正定. 证明：A 是n 阶正定矩阵，存在可逆矩阵C ，使得T A C C =，T T TB AB kE BC CB kE +=+ 对任意的mx R ∈，()()()()TTTT T T T xBAB kE x x B C CB kE x CBx CBx kx x +=+=+由于()r B m =，C 可逆，所以()r CB m =,所以对,0mx R x ∈≠,()0CB x ≠ 所以任意的,0mx R x ∈≠，()()0,0TT CBx CBx kx x >≥所以()()()0TTTT xBAB kE x CBx CBx kx x +=+>，即(0)T B AB kE k +≥正定.4. A 是n 阶实对称矩阵，证明：234A A E -+正定证明：2222393734342424A A E A A E E A E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A 是实对称矩阵，所以234A A E -+337224TA E A E E ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的,0n x R x ∈≠，()233734224T T Tx A A E x x A E A E E x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦337224TT A E x A E x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中33770,02244T TT x A E A E E x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+≥>⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以()2340TxAA E x -+>，即234A A E -+正定.或A 是n 阶实对称矩阵， ()()222343434TT T A A EA A E A A E -+=-+=-+所以234A A E -+为实对称矩阵.设若λ是A 的一个实特征值，则234λλ-+是234A A E -+的特征值.又237024λ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以234A A E -+的特征值都大于零，所以234A A E -+正定.5. A 为n 阶反对称矩阵，证明：2A -半正定.证明：T A A =-,2TA A A -=,所以任意的,0mx R x ∈≠，()()()()20TT T T x A x x A A x Ax Ax -==>，2A -半正定.6. A 为n 阶正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明：2A B -正定.证明：B 为n 阶实反对称矩阵，所以2B -半正定，A 为正定矩阵，所以2A B -正定. 7.()ij n n A a ⨯=为正定矩阵，12,,,n b b b 均为非零实数，证明()ij i j n n B a bb ⨯=也正定证明：11n n b b B A b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 与A 合同，A 正定，所以B 正定.8.A 、B 都为n 阶实对称矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使=T Q BQ E ,T Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）证明：A 、B 都为n 阶实对称矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得T B P P =,即()1111T T P BP P BP E --==，设111TP AP A =，则1A仍为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵T ,11T n T A T λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，同时TT E T E =,令 1Q TP =，则=T Q BQ E ,T Q AQ 为对角矩阵.9.A 是n 阶半正定矩阵，B 是n 阶正定矩阵，证明：A B B +≥,当且仅当0A =时取等号.证明:B 为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得TB P P =, 即()1111TT PBP P BP E --== (其中11P P -=)，设111T PAP A =，则1A 仍为n 阶半正定矩阵，所以存在正交矩阵T ,11(0,1,2,,)Ti n T A T i n λλλ⎛⎫⎪=≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ，由于T 是正交矩阵，同时有T T ET E =,令 1Q PT =，则=T Q BQ E ,TQ AQ 1n λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11TT T n QA B Q Q AQ Q BQ E λλ⎛⎫⎪+=+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭,1111T T TA B P P B Q QP P +≥===.10. A 是n 阶实对称矩阵，B 为m 阶正定矩阵，证明：存在非零矩阵H ，使得TB HAH -正定.证明：B 为m 阶正定矩阵，所以存在m 阶正交矩阵P ,使得1,T Tm B P P P P μμ⎛⎫ ⎪==∑ ⎪⎪⎝⎭ 记1(0)m μμ≥≥> , A 为n 阶实对称矩阵，()r A r =，所以存在n 阶正交矩阵Q ,使得1,T n A Q Q λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1,n λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭不妨设{}1m a x i iλλ=如果n m >，取()10T H P H Q =,其中1m mH ⨯⎫⎪⎪⎪=⎝则()11111T T TT m m k B HAH P H H P P P k μμ-⎛⎫⎪-=∑-Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭ ，其中11,m λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭()11111T T T Tm m k B HAH P H H P P P k μμ-⎛⎫⎪-=∑-Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭10(=1,2,,)2mi i i i k i m μμμλλ-=-> 如果n m <，取10T H H P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1n nH ⨯⎫⎪⎪⎪=⎝则1111TTT Tm m k H H O B HAH P P P P O O k μμ-⎛⎫⎡⎤⎛⎫Λ ⎪-=∑-=⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪⎣⎦-⎝⎭，其中i n ≤时，102mi i i i k μμμλλ-=->，n i m <≤时，00i i i k μμ-=->， 综上TB HAH -正定.11. A 、B 都为n 阶正定矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定矩阵证明：()TT TAB B A BA AB ===,所以AB 是对称矩阵.A 为n 阶正定矩阵，所以存在正定矩阵P ,使得2A P =， 所以112TP ABP P P BP PBP P BP --===,所以AB 与TP BP相似，而TP BP 正定，所以特征值都大于零，所以AB 的特征值都大于零，又AB 是对称矩阵，所以，AB 亦为正定矩阵.12. A 、B 都为n 阶正定矩阵，证明：1）方程0A B λ-=的根均大于零2）方程0A B λ-=的根均1当且仅当A B =证明：A 为n 阶正定矩阵，1A -也为n 阶正定矩阵，所以存在正定矩阵P ,使得12AP -=，所以1112T P A BP P P BP PBP P BP ---===,所以1A B -与TP BP 相似，而TP BP 正定，所以特征值都大于零，所以1A B -的特征值都大于零.1）1A B A E A B λλ--=-，A 为正定矩阵，0A >，所以方程0A B λ-=的根即为10E A B λ--=的根，即为1A B -的特征值，所以方程0A B λ-=的根均大于零.2）如果方程0A B λ-=的根均1当且仅当1A B -的特征值均为1，由于1A B -与T P BP 相似，而TP BP 正定，所以1A B -可对角化，所以1A B -的特征值均为1当且仅当1A B E -=,当且仅当A B =.13.设B 为n 阶实矩阵，而TE B B -为正定矩阵，证明：若λ是B 的一个实特征值，则1λ<证明：若λ是B 的一个实特征值，设x 为B 的对应λ的单位特征向量，则Bx x λ=，由于0x ≠，且T E B B -为正定矩阵，所以()()()210TT T T x E B B x x x Bx Bx λ-=-=->，λ是实数，所以1λ<.14. A 为n 阶可逆的对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，AB BA =，证明：A +B 可逆证明：1A B A E A B -+=+，由于AB BA =，所以11A B BA --=，所以()()1111TTT A BB A BA A B ----==-=-,所以1A B -是反对称矩阵，所以1A B -的特征值都是零或纯虚数，所以1-不是1A B -的特征值，所以110E A B --⋅-≠，所以10A B A E A B -+=+≠，即A +B 可逆.15. A 为n 阶实正定矩阵， 1) 证明:TAG a ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件为10T a A ββ-->； 2)讨论：A 为n 阶实正定矩阵，C 为s 阶方阵时，TAB G BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件.证明:因为11100101T T T EA AE A Aa a A ββββββ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以10,0TT AAa a A ββββ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭合同,所以TA G a ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件为100T A a A ββ-⎛⎫ ⎪-⎝⎭正定.即100T A a A ββ-⎛⎫⎪-⎝⎭所有顺序主子式均大于零，由于A 为n 阶正定矩阵,所以其顺序主子式均大于零. 所以100T A a A ββ-⎛⎫⎪-⎝⎭正定的充分必要条件为11000T T A A A a A ββββ--⎛⎫=> ⎪-⎝⎭,即110T T a A a A ββββ---=->. 2）A 为n 阶实正定矩阵，C 为s 阶方阵时，T A B G B C ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件：1T C B A B --正定与1）类似有T A B G B C ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件为100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭正定.即100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭所有其顺序主子式均大于零，由A 正定知当k n ≤时G 的k 顺序主子式都大于0，当k n >时，100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭的k 顺序主子式为k n k nA A C C --=其中k n C -为1T C B A B --的k n -阶顺序主子式，所以T AB G BC ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件为0(1,,)k n k nA A C k n n s C --=>=++ ，充分必要条件0(1,,)k n C k n n s ->=++ ，即1T C B A B --正定.16.若Q 是n 阶正定矩阵，x 为n 阶为实非零列向量，证明：10()1T T x Q xx x -<+<. 证明：Q 是n 阶正定矩阵，对任意的x 为n 阶为实列向量，显然T Q xx +为正定矩阵，所以1()T Q xx -+为正定矩阵，所以1()0T T x Q xx x -+≥.因为110()()()1101T T T T TE Q xx x E Q xx x x Q xx x --⎛⎫⎛⎫+-+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1()001()T T T Q xx x Q xx x -⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 而00()011011T T TE x EQ Q xx x xx -⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以001Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭合同，由于001Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭正定，所以()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭也正定，而TQ xx +正定，所以()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭正定当且仅当11()0T T x Q xx x --+>，即1()1T T x Q xx x -+<. 17.A 为秩为r 的半正定矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得TA P P =∑,其中1(0,1,2,,),T i r r i r PP E λλλ⎛⎫ ⎪∑=>== ⎪⎪⎝⎭. 证明：由于A 为秩为r 的半正定矩阵，所以存在正交矩阵Q ,使得000TA Q Q ∑⎛⎫=⎪⎝⎭其中1r λλ⎛⎫ ⎪∑= ⎪⎪⎝⎭，所以()00000r TT r E A Q Q Q E Q ∑⎛⎫⎛⎫==∑ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()0rP E Q =，则P 是行满秩矩阵，且T A P P =∑18.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个正交矩阵与一个正定矩阵的乘积 证明：A 可逆，则TA A 正定，所以存在正交矩阵P ，使得1,(0,1,2,,)T Ti n P A AP i n λλλ⎛⎫ ⎪=>= ⎪ ⎪⎝⎭所以22T TP A AP ⎫⎪==∑⎪ ⎝，故11T T P A AP E --∑∑= 令1AP Q -∑=,则T Q Q E =,所以Q 为正交矩阵，且()T T T A Q P QP P P =∑=∑其中T QP 为正交矩阵，TP P ∑为正定矩阵.19. A 是n 阶实对称矩阵，证明：()r A n =当且仅当存在n 阶实矩阵B ,使得TAB B A +是正定矩阵.证明： ()r A n =，取B A =,即有TAB B A +是正定矩阵.反之，存在n 阶实矩阵B ,使得TAB B A +是正定矩阵，如果()r A r n =<，由A 是n 阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ,使得000rTA P P Λ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中1,r λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪⎝⎭1(0,1,)i r λ≠= ，令任取n 阶实矩阵B ，令1234T B B B P P B B ⎛⎫=⎪⎝⎭,则12123434000000TrrT T T TT B B B B AB B A P PP P P PP P B B B B ΛΛ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1120TTr r r T r B B B P P B ⎛⎫Λ+ΛΛ=⎪Λ⎝⎭，由于r n <，所以1120T r r r T r B B B B ⎛⎫Λ+ΛΛ ⎪Λ⎝⎭不正定，所以TAB B A +不可能是正定矩阵.关于对称变换1.()(),,αβαβ=A A2.A 是对称变换的充分必要条件为：A 关于标准正交基的矩阵是对称矩阵.1.设V 为n 维欧式空间，2()37g x x x =-+，A 是V 的一个对称变换，证明：对任意非零向量α，都有(,())0g αα>A证明：对任意非零向量α，都有()2(,())(,37)g αααα=-+A AA E2319(,)24αα⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E E 3319(,)(,)224Tαααα⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A A E E 3319(,)(,)0224αααα⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A E E2. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，{}1,,V V A a a a a =={}2V V A a a a =- ，证明： 12V V V =证明：令=-B A E ，{}{}11,0V V A B a a a a -==?，2V V B =所以12,V V 都是V 的子空间，所以12V V V + 显然.且12dim dim V V n += 任意12V V I a Î，由于由2V a Î所以存在V b Î，使得A a b b =-， 1V a Î， 所以A a a = ，即2A A A A a b b a b b =-==-，所以22A A b b b =-.()()()()(),,,2,,ααββββββββββ=--=-+A A A A A()()()()()()2,2,,,2,2,0βββββββββββββ=-+=-+-=A A =A A ，所以0α=，故{}120V V I =，所以1212V V V V += ，又12dim dim V V n +=，所以12V V V = .3. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，证明：()10-A 是V A 的正交补证明：任意()10V α-∈ AA ，则0,α=A 且存在,V β∈使得αβ=A()()(),,,0αααβαβ===A A ，所以0α=，故(){}100V -= A A ，所以()()1100V V --+=⊕AA A A ，又()1dim 0dim V n -+=A A ，所以()1dim 0V n -⎡⎤+=⎣⎦A A ,故()10V V -⊂+A A ，又()10V V -+⊂A A 所以()10V V -=⊕AA .对任意的()10,V αγ-∈∈AA ，则0,α=A 且存在,V βγβ∈=A()()(),,,0αγαβαβ===A A ，所以()10V -⊥A A ，故()10-A 是V A 的正交补.4. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，证明：对V 中任意非零向量α，(),0A a a >的充分必要条件是A的特征值都是正实数.证明：设若λ是A 的一个特征值，设α为A 的对应λ的特征向量，则αλα=A ， 所以()()()()()(),,,,,,A A a a l a a l a a a a a l a l a a ===== ，由于0,a ¹ 所以(),0a a ¹，所以l l =，所以A 的特征值都是实数. 又()(),,0A a a l a a => 而(),0a a >，所以0l >.5. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，求证：对任意,0V αα∈≠，都有(),0A a a <的充分必要条件为A的特征值均为负数.证明：设若λ是A 的一个特征值，设α为A 的对应λ的特征向量，则αλα=A ， 所以()()(),,,0A a a l a a l a a ==< ，而(),0a a >，所以0l <.6.设A 是n 维欧式空间V 上的一个线性变换，*p A 也是V 上的变换，且对任意的,V αβ∈，都有()(),,p A A a b a b *=证明：1）*p A 是线性变换；2）A 的核等于*p A 的值域的正交补证明：1）对任意的,V αβ∈，()(),()αβαβαβαβ******+--+--p p p p p p A A A A A A =()()(),()(),αβαβαβαβαβα********+--+-+--p p p p p p p p A A A A A A A A()(),αβαββ****-+--p p p p A A A A ()()(),()(),αβαβαβαβαβα******⎡⎤⎡⎤=+--+-+--⎣⎦⎣⎦p p p p p p A A A A A A A A ()(),0αβαββ***⎡⎤-+--=⎣⎦p p p A AA A*p A 是V 上的变换，所以()V αβαβ***+--∈p p p A A A ，且()0αβαβ***+--=p p p A AA ，所以()αβαβ***+=+p p p A A A对任意的,V k P α∈∈，()(),()k k k k αααα****--p p p p A A A A()()(),()(),k k k k k k αααααα******=---p p p p p p A A A A A A()()(),()(),0k k k k k k αααααα****⎡⎤⎡⎤=---=⎣⎦⎣⎦p p p p A A A A A A ()0k k αα**-=p p A A ，所以*p A 是V 上的变换，所以()()k k V αα**-∈p p A A ，且()0k k αα**-=p p A A ，所以()k k αα**=p p A A所以*p A 是线性变换.2）设{}1120,V V V -*==p A A任意{}1120,V V V αγ-*∈=∈=p A A ，存在V b Î，使得*A g b =()()()*,,,0αγαβαβ===A A ，所以2V α⊥∈，任意2V α⊥∈，则对任意V β∈，()()*,,0αβαβ==A A ，由β的任意性， 有(),0αα=A A ，所以0α=A ，所以1V α∈，所以12V V ⊥=正交矩阵1. A 为n 阶正交矩阵，0A <,证明：0A E +=证明：设λ是A 的一个特征值，α为A 的对应λ的单位特征向量，则A αλα=所以()()()1T T T T A A A A αααααα===,又()()2T T A A ααλλααλ==，所以21λ=.又因为A 为实矩阵，则A 的非实复特征值以共轭复数形式成对出现，设A 的非实复特征值为(1,2,,)k k a b i k l ±= ，实特征值为(1,2,,)j j t λ= ，则1j λ=±所以()()()221111l t l t k k k k j k k j k j k j A ab i a b i a b λλ=====+-=+∏∏∏∏，所以0A <时，(1,2,,j j t λ= 中有奇数个1-，即1-是A 的特征值，所以0A E +=. 2.A 、B 都为n 阶正交矩阵，0A B +=，证明：0A B +=证明：由于正交矩阵Q 满足TQ Q E =,所以正交矩阵的行列式为1±. A 、B 都为n 阶正交矩阵，且0A B +=，所以 A B =-，不妨设1,1A B ==-由于正交矩阵之积还是正交矩阵，所以1A B -还是正交矩阵，且111A B A B --==-，所以1A B A E A B -+=+，由上题1-是1A B -的特征值，所以1A B A E A B -+=+.3. A 为n 阶正交矩阵，且1是A -的s 重特征值，证明：()1s A =-.4. 设A 为n 阶正交矩阵，且只有一个实特征值，12,,,n ααα 为n 个线性无关的n 维列向量，证明：0A <的充分必要条件为()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性相关 证明：设λ是A 的一个特征值， α为A 的对应λ的单位特征向量，则A αλα= 所以()()()1T T T T A A A A ααα===,又()()2T T A A ααλ==， 所以21λ=.因为A 为实矩阵，则A 的非实复特征值以共轭复数形式成对出现，设A 的非实复特征值为(1,2,,)k k a b i k l ±= ，又A 只有一个实特征值实特征值为λ，则1λ=± 由于()()()2211l lk k k k k k k k A ab i a b i a b λλ===+-=+∏∏，所以0A <时，1λ=-，即1-是A 的特征值，所以0A E +=，以12,,,n ααα 为列作矩阵()12,,,n ααα ，由于12,,,n ααα 线性无关，所以()12,,,n ααα 可逆，所以()()()12,,,n r A E r A E n ααα+=+< .即()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 的秩小于n ，所以()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性相关.5. 设A 为n 阶正交矩阵， 12,,,n ααα 为n 个线性无关的n 维列向量，若()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性无关，证明：1A =6. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个正交变换，{}1,,V V A a a a a =={}2V V A a a a =- ，证明： 12V V V =证明：令=-B A E ，{}{}11,0V V A B a a a a -==?，2V V B =所以12,V V 都是V 的子空间，所以12V V V + 显然.且12dim dim V V n +=任意12V V I a Î，由于由2V a Î所以存在V b Î，使得A a b b =-， 1V a Î，所以A a a = ，即2A A A A a b b a b b =-==-，所以22A A b b b =-.()()()()()()()222,,,,,,,ααααββββββββββββ==--=--+A A A A A A A A A A ()()()()()()22,,,,2,,βββββββββββββ=--+=--A A A A A()()()2,,20ββββββ=---==A A ，所以0α=，故{}120V V I =，所以121V V V V += ，又12dim dim V V n +=，所以12V V V = .7.设A 是n 维欧式空间V 上的一个变换，满足（1）()00=A ；（2）任意的,,V αβαβαβ∈-=-A A,证明：1）A 保持长度；2）A 保持内积； 3）A 是线性变换证明：1）由于任意的,,V αβαβαβ∈-=-A A，取0β=即有,V ααα∈=A ，所以A 保持长度.2）22,,V αβαβαβ∈-=-A A ，所以()2,αβαβαβ-=--A A A A A A ()()(),2,,αααβββ=-+A A A A A A ()222,ααββαβ=-+=-A A()22,ααββ=-+，所以()(),,αβαβ=A A3）()()(),αβαβαβαβ+--+--A A A A A A ()()(),αβαβ=++A A ()()()2,)2(,)2(,αβααββαβ-+-++A A A A A A (),)(,ααββ++A A A A ()()(),2,)2(,)2(,,)(,0αβαβαβααββαβααββ=++-+-++++=所以()0αβαβ+--=A A A ，所以()αβαβ+=+A A A()()()()()()()()()2,,2,,k k k k k k k k k αααααααααα--=-+A A A A A A A A A A ()()()()2,2,,0k k k k k αααααα=-+=，所以()0k k αα-=A A ，即()k k αα=A A 所以A 是线性变换.8.设A 为n 阶实矩阵，且其特征值均为实数，若A 的所以1阶和2阶主子式之和为0，证明：0n A =。
线性代数-欧氏空间
, 2
,
0
,
即
, 2 , ,
两边开方后便得到
, 当α,β线性相关时，必有β=kα，从而
, k ,
k
故 , k , k
即(7.4.2)中等式成立. 反之，若(7.4.2)中等 式成立，则或者β=0 ，或者(7.4.3)式对
,
t
,
等式成立，这意味着此时
t , t 0 由内积性质(4)，即知
性质2 设α , β是欧氏空间中的元素， 且α⊥β，则
2 2 2
证 由正交的定义，
2 , , 2 , ,
, ,
2 2
所得到的等式是普通几何空间中勾股 定理的推广. 它对于多个元素也成立，即 若α1,α2,…,αm两两正交，则
1 2 m 2 1 2 2 2 m 2
为基底ε1,ε2,…,εn的度量矩阵.
式(7.4.4)或(7.4.5)说明，在取定了一组 基后，任二元素的内积可由基的内积αij决 定，或由度量矩阵A决定. 换言之，只要给 出了度量矩阵A，就给出了V上的内积. 度 量矩阵完全确定了内积.
由内积的对称性，有 aij i , j j ,i a ji , i, j 1,2,, n
i1 j 1
引入矩阵记号，令
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n a2n
an1 an2 ann
(7.4.4)
x1
X
x2
xn
y1
Y
y2
yn
则(7.4.4)式可写为
, X T AY
(7.4.5)
其中X、Y分别是α , β在基底 ε1,ε2,…,εn下的 坐标，A是由基底的内积组成的矩阵，称
一、欧式空间的定义及性质课件
1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0 0, 0
证 ,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
, ,
, 2 , k 2 k2 , 2 , k ,k , , .
如果 与 线性无关, 那么, 对任意实数 k 都有
k 0. 于是
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即 k2 , 2k , , 0
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(3) , V ,k R, ,k k ,
证 ,k k , k , k ,
(4)i , j V ,ai ,bj R, i 1, 2, , m, j 1, 2, , n
m
n
mn
aii , bj j
2
三 向量的正交
定义 4 欧氏空间的两个向量 与 说是正交的, 如果 , 0. 记作:
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定理 7.1.2 在一个欧氏空间 V 里，如果向量 与 1, 2 , ,m中每一个正交， 那么 与 1, 2 , ,m 的任意一个线性组合也正
aibj i , j
i 1
j1
i1 j1
例 设 1,2 , ,n 是欧氏空间的n个向量，行列式
1 ,1
G 1, ,n 2 ,1
1 , 2 2 , 2
1 , n 2 ,n
n,1 n,2
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n ,n
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叫做 1,2 , ,n 的格兰姆（Gram）行列式.
欧氏空间的定义与基本性质-PPT
a
a
a
证：在 C(a,b) 中， f ( x)与 g( x) 的内积定义为
b
( f ( x), g( x)) a f ( x)g( x)dx
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 ( f ( x), g( x)) f ( x) g( x)
从而得证.
3）
三角 不等式
对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有
设
C
cij
nn
C1,C2 ,
,Cn ,
n
则 i cki k , i 1, 2, , n
k 1
于是
n
n
nn
(i , j ) ( cki k , clj l )
( k , l )ckiclj
k 1
l 1
k1 l 1
nn
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
i 1
j1
m
m
(i ,i ) (i , j )
m
i 1
i j
(i ,i ) 1 2 2 2 m 2
i 1
例3、已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
解： , 22 12 32 22 18 3 2 ( , ) 2 1 1 2 3 2 2 1 0 ,
0 ,
定义2：设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积
, 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即
cos , 0
.
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
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特别地，当 x 1 时，称 x 为单位向量.
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3. 向量长度的简单性质
1) 2) x 0; x 0 x0
kx k x
1 x. 3）非零向量 x 的单位化： x
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18
4.欧氏空间中向量的夹角
（1） 引入夹角概念的可能性与困难
3 R 1）在 中向量 x 与 y 的夹角
a a
b
b
(2)
( k f , g ) k f ( x ) g ( x ) dx k f ( x ) g ( x ) dx
a a
b
b
k( f , g )
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(3)
( f g , h)
f ( x ) g ( x ) h( x ) dx a
则称 ( x , y )为 x 和 y 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
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注： 欧氏空间 V是特殊的线性空间
① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( x , y ) R.
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4
（ 1）
( x, y) ( x, y)2 ( x , x ) 2( x , y ) ( y, y ) 0 2 ( y, y ) ( y, y )
即
( x , y ) 2 ( x , x )( y, y )
两边开方，即得
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x, y
x y.
21
当 x、y 线性相关时，不妨设
设 则
C cij
n
n n
C1 , C 2 , , C n ,
yi cki xk , i 1,2,, n
k 1
14
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于是
n k 1 n l 1
( yi , y j ) ( cki xk , clj xl ) ( xk , xl ) cki clj
也即 x、y 线性相关.
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3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用 柯西
1）
a1b1 a2b2 anbn
a a a
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2
不等式
b b b
b
2 n
施瓦兹 不等式
ai , bi R, i 1, 2, , n.
证：当 y 0 时， ( x , 0) 0,
y 0
( x , y ) x y 0.
当 y 0 时，作向量
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结论成立.
z x ty, tR
20
由内积的正定性，对 t R，皆有
( z , z ) ( x ty, x ty )
( x , x ) 2( x , y ) t ( y, y ) t 2 0 ( x, y) 取 t 代入（1）式，得 ( y, y )
从而 ( f , f ) 0.
( f , f ) 0 f ( x ) 0.
因此，( f , g ) 为内积， C[a, b] 为欧氏空间.
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2. 内积的简单性质
V为欧氏空间， x , y, z V , k R
1) ( x , ky ) k ( x , y ),
( x , y ) ( i xi , j x j ) i j ( xi , x j )
i 1 j 1
（ 4）
令
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aij ( xi , x j ), i , j 1, 2, n.
11
A aij
nn
,
1 1 2 2 X , Y n n
b b a a
b
f ( x )h( x ) dx g ( x )h( x ) dx
( f , h) ( g , h)
b
(4) ( f , f ) f 2 ( x ) dx
a
f ( x ) 0,
2
( f , f ) 0.
2 f ( x ) 0, 则
且若 f ( x ) 0, 故
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10
3. n 维欧氏空间中内积的矩阵表示
x1 , x2 , , xn为V的一组基，对V中 设V为欧氏空间，
任意两个向量
x 1 x1 2 x2 n xn y 1 x1 2 x2 n xn
n i 1 n j 1 n n
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( x1 , xn ) ( x2 , xn ) ( xn , xn )
12
注：
① 度量矩阵A是实对称矩阵. ② 由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.
1 2 x V , x 0 事实上，对 ，即 X 0 n 有 ( x , x ) X AX 0
x ky
2
于是， ( x , y ) ( ky, y ) k ( y, y ) k y .
x y ky y k y
2
( x, y) x y .
(**)式等号成立.
反之，若（**）式等号成立，由以上证明过程知 或者 y 0 ，或者
x, y x y0 y, y
n
（ 5）
n
则
( x , y ) aij i j X AY
i 1 j 1
（ 6）
( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) x2 , x2 定义：矩阵 A (x , x ) (x , x ) n 2 n 1
称为基 x1 , x2 ,, xn 的度量矩阵.
当 n 3 时，1）即为几何空间 R 3 中内积在直角
坐标系下的表达式 .
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( x, y)即 x y .
5
2）定义 ( x , y ) a1b1 2a2 b2 kak bk nan bn 易证 ( x , y ) 满足定义中的性质(1)～(4). 所以 ( x , y ) 也为内积. 从而 R n 对于内积 ( x , y ) 也构成一个欧氏空间.
矩阵分析与应用
第七讲 欧氏空间、酉空间 信息与通信工程学中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R 2、 R 3 , 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来：
长度：
x
x x
x y 夹角 x , y ： cos x , y x y
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.
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定义： 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意 两个向量 x y,定义一个二元实函数，记 ( x , y ) ，
( x , y ) 满足性质： x , y, z V , k R
例1．在 R n 中，对于向量
x a1 , a2 , , an ,
1）定义
y b1 , b2 , , bn
（ 1）
( x , y ) a1b1 a2 b2 an bn
易证 ( x , y ) 满足定义中的性质 (1)～(4). 所以, ( x , y ) 为内积. 这样 R n 对于内积 ( x , y ) 就成为一个欧氏空间.
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3. 欧氏空间中向量的长度
(1) 引入长度概念的可能性 1）在 R 向量 x 的长度（模） x x x . 2) 欧氏空间V中，x V , ( x , x ) 0 使得
3
x x 有意义.
2. 向量长度的定义
x V , x ( x , x ) 称为向量 x 的长度（模）.
kx, ky k 2 ( x , y)
2) (0, y ) ( x , 0) 0 3) ( x , y z ) ( x , y ) ( x , z )
n n n 推广： i xi , j y j i j ( xi , y j ) i 1 i 1 i , j 1
2）定义 ( A, B ) aij bij tr ( ABT )
i 1 j 1
（ 2）
易证 ( A, B ) 满足定义中的性质 (1)～(4). 所以, ( A, B ) 为内积. 这样 R mn 对于内积 ( A, B ) 就成为一个欧氏空间.
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7
例3． C[a, b] 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数
x y x , y arc cos x y
（ *）
2）在一般欧氏空间中推广（*）的形式，首先 应证明不等式： 此即,
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( x, y) 1 x y
2. 柯西－布涅柯夫斯基不等式
对欧氏空间V中任意两个向量 x、y ，有 ( x, y) x y 当且仅当 x、y 线性相关时等号成立. （**）
k 1 l 1
n
n
n
n
akl cki clj C AC i j
k 1 l 1
B ( yi , y j ) C iAC j
C1 C2 A C1 , C 2 ,, C n C AC C n
y y1 , y2 ,, yn Y2 x1 , x2 ,, xn CY2